Versión UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

A A P P EN E N D D IC I C E E 5 5

N N O O C C IO I O N N ES E S E EL LE EM ME EN N TA T AL LE ES S D D E E U U SO S O D DE EL L P P R R O O G G R R A A M M A A D D E E C CA A LC L CU U LO L O S S IM I M B B O O LI L IC C O O

“M “ M AT A TH HE EM M AT A TI IC CA A ” ”

1. Introducción

El presente apéndice tiene por objetivo suministrar al alumno información compendiada para tomar un primer contacto con el uso de programas de cálculo simbólico y/o numérico tales como Mathematica^MR.

El programa Mathematica posee en un mismo entorno diferentes facetas y capacidades que lo ponen como uno de los estándares en el manejo de cálculo simbólico además de ser una herramienta aceptable para ejecutar cálculos numéricos. Las notas de este apéndice están orientadas a los rudimentos más elementales como para afrontar algunas fases de cálculo con Mathematica Versión 4.0. En estas circunstancias se sugiere además recurrir a la bibliografía suministrada y a los tutoriales adjuntos al programa para extender el conocimiento del mismo.

2. Presentación del programa y Primeros Pasos

El programa Mathematica Versión 4.0 posee un entorno de trabajo como el que se presenta en la Figura A5.1. En ella se puede apreciar una ventana de trabajo, donde se desarrollan todos los pasos de cálculo deseados, una ventana con una paleta de funciones básicas (similares a las paletas de MathCAD). Se pueden abrir más de una ventana de trabajo y más de una ventana con otras funciones de utilidad para trabajos determinados.

Figura A5.1. Entorno de trabajo de Mathematica

El primer paso cuando se inicia el programa, luego de seleccionar el icono de Mathematica es cargar el denominado KERNEL del programa. El KERNEL es el motor de Mathematica y en el están programadas la mayoría de las funciones más comunes de uso en la Matemática para la ingeniería y otras áreas. El Kernel se carga con la primer función que se tipee en la ventana de trabajo.

A modo de ejemplo se muestra la elemental ejecución de una suma en el cuadro A5.1. Para proceder a la ejecución de la suma la forma más fácil es una de dos, presionando la tecla

“Enter” del teclado numérico a la derecha o la combinación de las teclas “shift” y “Enter”

juntas.

In[1]:=

2 ⁺ 2

Out[1]=

4

Cuadro A5.1

Se puede ver que la ejecución da por resultado algo esperado como que 2+2 es igual a 4. Pero se puede ver también la identificación de los datos de entrada y de salida con las palabras en color azul In[1] y Out[1]. El número uno dentro de los corchetes significa la operación primera desde que se arranco con el KERNEL. En el caso de que dentro de los corchetes de In[] y Out[] figurare por ejemplo el número 25, se tratará de la operación vigésimo quinta.

Aritmética básica

Mathematica Reconoce los operadores básicos de la aritmética que se discriminan en el siguiente cuadro A5.2

a + b suma

a – b resta

a * b o a b producto a / b división a ^ b potenciación

Cuadro A5.2.

Nótese que el producto también puede ser representado con una separación entre las variable puestas en juego. A modo de ejemplo en el cuadro A5.3 En el caso de operaciones aritméticas se sigue con la secuencia de prioridad típica: paréntesis, productos o divisiones, sumas o restas en ese orden

In[2]:=

10 + 2^3 − 5 6 + 8 ê 4 ∗ H 6 − 9 L

Out[2]=

− 18

Cuadro A5.3

Los números que el programa manipula pueden ser los definidos en el campo del a´lgebra numérica, es decir ENTEROS, RACIONALES (fracciones), REALES y COMPLEJOS. Sobre los diferentes números se pueden ejecutar distintas funciones propias del programa para redondear, truncar, y entregar la precisión de un número cualquiera en entre otras funciones.

En el siguiente cuadro se puede apreciar la determinación de la precisión del número π y de la raiz cuadrada de 2 con 30 decim les cada una. a

In[3]:=

N Aè 2 , 30 E

Out[3]=

1.41421356237309504880168872421

In[4]:=

N @π , 30 D

Out[4]=

3.14159265358979323846264338328

Cuadro A5.3

´

Algunas funciones Elementales

En la Tabla A5.1 se muestran algunas (de las más de 100) de las funciones elementales de Mathematica aplicadas a un número cualquiera.

Función Acción Round[a] redondea “a” a número entero

Ceiling[a] Mayor entero menor que “a”

Sign[a] signo de “a”

Abs[a] Valor absoluto de “a”

Sin[a] seno de “a” (radianes) Cos[a] coseno de “a” (radianes) Tan[a] Tangente de “a” (radianes) ArcSin[a] arco seno de “a” (radianes) ArcCos[a] arco coseno de “a” (radianes) ArcTan[a] arco tangente de “a” (radianes)

Sinh[a] seno hiperbólico de “a” (radianes) Cosh[a] coseno hiperbólico de “a” (radianes) Tanh[a] Tangente hiperbólica de “a” (radianes)

Exp[a] función exponencial de a Log[a] logaritmo neperiano de “a”

Log[a,b] Logaritmo en base “a” de “b”

Abs[Z] módulo del número complejo Z Arg[Z] argumento del número complejo Z Conjugate[Z] complejo conjugado de Z

Re[Z] Parte real del número complejo Z Im[Z] Parte imaginaria del número complejo Z

Tabla A5.1. Funciones básicas de Mathematica

Nota: Mathematica es sensible a los caracteres en mayúscula. Todas las funciones del programa tienen su primer letra mayúscula, según se ve en la tabla anterior.

Definición de funciones de una o más variables

La definición de funciones de una o más variables se puede ver en los siguientes cuadros.

Nótese que la definición de h[x], exige la presencia de guión bajo “_” al lado de la “x” sólo en el miembro de la izquierda.

In[5]:=

h @ x_ D = 3 x ⁺ 4 x^2

Out[5]=

3 x ⁺ 4 x

In[7]:=

h @ 3 D

Out[7]=

45

Cuadro A5.4. Definición de función de una variable

In[6]:=

g @ x_, y_, z_ D = 4 x ⁺ 5 y^2 ⁺ z

Out[6]=

4 x + 5 y

+ z

In[8]:=

g @ 1, 1, 3 D

Out[8]=

36

Cuadro A5.5. Definición de función de varias variables

Nótese en Cuadro A5.5, que se ha efectuado una definición combinada de las potencias, para la variable “y” con el operador apropiado y para la variable “z” empleando la paleta de funciones (ver Figura A5.1).

La definición de una función como toda asignación puede efectuar de dos maneras distintas:

a) ASIGNACION INMEDIATA (=) b) ASIGNACION DIFERIDA (:=)

Para distinguir estos tipos de asignación se mostrarán en los siguientes cuadros sus diferencias. Nótese que en el Cuadro A5.6 sólo aparece la palabra In[15] y no Out[15], esto se debe a la presencia del carácter “;”, que inhibe la salida de pantalla de los resultados

In[15]:=

a = π ê 2;

h @ x_ D = Sin @ x + a D ; g x_ : @ D = Sin x @ + a ; D

Cuadro A5.6. Definición de dos variables con diferente método de asignación

En el Cuadro A5.7 se ve la comparación de los valores de las funciones en el punto x = 0, de manera que ambas valen lo mismo. Sin embargo, si el valor de “a” es modificado, también se modifica la función g[x] que fue definida con asignación diferida.

In[18]:= 8

h

0

, g

0

Out[18]= 8

1, 1

In[19]:=

a

;

8

h

0

, g

0

Out[20]= 8

1, 0

Cuadro A5.7.

En el Cuadro A5.7 se puede observar una nueva entidad, que figura entre llaves, es la denominada “lista” o “vector” y se tratará a continuación su creación y manipulación.

Construcción y manipulación de listas

Una lista en Mathematica puede ser un conjunto de números o funciones u otras listas, agrupados en una forma definida por el usuario. Los elementos del conjunto no son todos necesariamente del mismo tipo, sin embargo para aplicar algunas funciones a la lista si es necesario que sean todos del mismo tipo. En el Cuadro A5.8 se muestra la definición de una lista a la cual se le aplica la función de seno.

In[21]:= f⁼84, 5⁺I, Sin@xD, ^π,8πê2, z<<

Out[21]= :4, 5+ , Sin@xD,π,: ^π

2, z>>

In[22]:= Sin@fD

Out[22]= 8Sin@4D, Sin@5⁺ D, Sin@Sin@xDD, 0,81, Sin@zD<<

In[23]:= Sin@fD êê N

Out[23]= 8−0.756802,⁻1.4797⁺0.33336 , Sin Sin x , 0., 1., Sin z@ @ DD 8 @ D<<

Cuadro A5.8.

Nótese que en el Cuadro A5.8 el operador //N da salida numérica a la operación de calculo del seno, que se ha aplicado directamente a cada elemento de la lista “f” manteniendo la estructura de la misma. Esto se puede verificar revisando la secuencia de llaves. Sobre una lista de números del mismo tipo se pueden ejecutar una serie de comandos para ordenar, reducir, extraer elementos, etc. Algunos de tales comandos se muestran en la Tabla A5.2 y en el cuadro A5.9 se muestran algunos ejemplos.

Función Acción

Sort[lista] Ordena la lista

Reverse[lista] revierte el orden de la lista Length[lista] entrega la cantidad de elementos de la lista Take[lista, a] extrae los “a” primeros elementos de la lista Append[lista, a] agrega “a” al final de la lista Prepend[lista, a] agrega “a” al principio de la lista

Join[lista1, lista2] une dos listas

Tabla A5.2. Funciones básicas de listas en Mathematica

In[30]:= d⁼ 81, 5, 6, 9, 3, 4<; Sort@dD

Append@d, 100D Prepend@d, 100D

Length@dD Take@d, 3D

Out[31]= 81, 3, 4, 5, 6, 9<

Out[32]= 81, 5, 6, 9, 3, 4, 100<

Out[33]= 8100, 1, 5, 6, 9, 3, 4<

Out[34]= 6

Out[35]= 81, 5, 6<

Cuadro A5.9.

Definición de reglas

Otra posibilidad es efectuar sustituciones o transformaciones sobre cualquier tipo de expresiones, en términos de reglas matemáticas, para ello se utiliza en símbolo “/.” y la regla correspondiente, tal om se muestra en el Cuadro A5.10. c o

In[36]:=

x ⁺ Sin @ x D + Cos @ x D ê . x ^{→ π}

Out[36]=

− 1 ^{+ π}

Cuadro A5.10.

Definición de Polinomios

Para definir un polinomio se puede recurrir tanto a la paleta de funciones básicas como a la escritura con operadores. Así pues en el cuadro A5.11 se pueden distinguir las dos formas de definir un mismo polinomio en términos de la variable “x”. Sobre los polinomios se pueden

ejecutar distintas funciones para simplificar, agrupar, disgregar, expandir, extraer coeficientes, etc. Algunas funciones elementales se disponen en la Tabla A5.3.

In[37]:=

pol1 ⁼ x^2 ⁺ y x^3 ⁺ H x ⁻ 1 L ^4 pol2 ⁼ x

⁺ y x

⁺ H x ⁻ 1 L

Out[37]=

H− 1 + x _L

+ x

+ x

y

Out[38]=

H − 1 ⁺ x L

⁺ x

⁺ x

y

Cuadro A5.11.

Función Acción Expand[polinomio] expresa el polinomio como suma de monomios

Factor[polinomio] Factoriza el polinomio Collect[polinomio, x] expresa el polinomio en potencias de x Variables[polinomio] da una lista de las variables dentro del polinomio Exponent[polinomio, x] indica el máximo exponente de la varible x

Length[polinomio] da la cantidad de monomio que integral el polinomio Simplify[polinomio] simplifica lo máximo que puede el polinomio Coefficient[poli, var, n] entrega el coeficiente de potencia n de var en poli

Tabla A5.3. Funciones básicas de polinomios en Mathematica

Definición y manipulación de vectores y de matrice

Un vector y una matriz corresponden a casos particulares de listas, en el primer caso tenemos una lista de orden [N,1] o [1,N] y en el segundo una lista de orden [M,N]. Normalmente se definen como arreglos de entidades encerradas entre llaves “{“ y “}” y separados sus elementos con comas según se muestra en el Cuadro A5.12, para “B” siendo vector y “Z”

siendo matriz:

In[39]:=

B ⁼ 8 2, 4, 5, 6, 7 <

Z ⁼ 88 3, 5, 6 < , 8 4, 7, 2 <<

Out[39]=

8 2, 4, 5, 6, 7 <

Out[40]=

88 3, 5, 6 , 4, 7, 2 < 8 <<

Cuadro A5.12.

La matriz Z del Cuadro A5.12 se puede definir recurriendo a la paleta de funciones. Por defecto la función tiene dos filas por dos columnas, pero para añadir filas o columnas hay que presionar una secuencia de teclas determinada con el cursor actuando dentro del objeto (es decir con uno de los elementos ennegrecido). así será:

a) teclas “control” y “Enter” para añadir filas

b) teclas “control” y ”,” (coma) para añadir columnas

In[42]:=

Z ⁼ 88 3, 5, 6 < , 8 4, 7, 2 <<

Out[42]=

88 3, 5, 6 < , 8 4, 7, 2 <<

In[43]:=

Z ⁼ J 3 5 6 4 7 2 ^N

Out[43]=

88 3, 5, 6 , 4, 7, 2 < 8 <<

Cuadro A5.13.

Para extraer un elemento de una lista se utiliza el comando Part o bien explícitamente con los índices afectados al vector o la matriz correspondiente como se ve en el Cuadro A5.14, ejemplificando para la matriz Z del Cuadro A5.13.

In[44]:=

Part @ Z, 1, 2 D

Out[44]=

5

In[45]:=

Z @@ 1, 2 DD

Out[45]=

5

Cuadro A5.14.

Con respecto al producto de matrices, en el Cuadro A5.15 se puede notar la diferencia en el empleo del operador “.” y el perador *”. o “

In[49]:=

A ^{= i}

k

1 3 2 7 4 1 6 5 0

y

{ ; V ^{= i}

k

1 3 2 1 1 2 0 4 0

y { ; A.V

A ^∗ V

Out[50]=

88 4, 14, 8 _< , ₈ 11, 29, 22 _< , ₈ 11, 23, 22 _<<

Out[51]=

88 1, 9, 4 , 7, 4, 2 , 0, 20, 0 < 8 < 8 <<

Cuadro A5.15.

En el caso de A.V se tiene el clásico producto de matrices, en el caso A*V se tiene el producto elemento a elemento de la matriz.

La salida de una operación con matrices puede ser formateada adecuadamente para ser presentada como una matriz según se ve en el siguiente Cuadro A5.16.

In[52]:=A⁼ⁱ k

1 3 2 7 4 1 6 5 0 y {; V⁼ⁱ

k 1 3 2 1 1 2 0 4 0 y {; A.V êêMatrixForm

A^∗V êê MatrixForm

Out[53]//MatrixForm=

i k

4 14 8 11 29 22 11 23 22 y { Out[54]//MatrixForm=

i k

1 9 4 7 4 2 0 20 0 y {

Cuadro A5.16.

En una matriz cualquiera se pueden ejecutar las funciones que se muestran en la Tabla A5.4 Función Acción Det[matriz] calcula el determinante de matriz

Inverse[matriz] calcula la matriz inversa Transpose[matriz] calcula la matriz transpuesta MatrixPower[matriz, n] eleva la matriz cuadrada a la potencia n

Eigenvalues[matriz] calcula los autovalores de matriz Eigenvectors[matriz] calcula los autovectores de matriz

Eigensystem[matriz] calcula el sistema de autovalores y autovectores de matriz Tabla A5.4. Funciones básicas de matrices en Mathematica

In[55]:= Det@AD Out[55]=35

In[56]:=Inverse@AD êê MatrixForm

Out[56]//MatrixForm=

i

k

−¹

7 2

7 −¹ 7 6

35 −¹² 35 13

35 11

35 13 35 −¹⁷

35 y

{

In[60]:=Transpose@AD êê MatrixForm

Out[60]//MatrixForm=

i k

1 7 6 3 4 5 2 1 0 y {

Cuadro A5.17.

Solución de ecuaciones de una variable

Con la Función Solve se pueden hallar las raíces de un polinomio. Con la Función NSolve se hace lo mismo pero en forma numérica. Nótese que la ecuación se identifica no con el signo

“=”, sino con el sím olo “==”. b

In[65]:=

Solve A x

⁻ 3 x

⁻ 7 x 0, x E

Out[65]=

:8 x ^→ 0 < , : x ^→ 1

2 ^I 3 ^{− è} 37 M> , : x ^→ 1

2 ^I 3 ^{+ è} 37 M>>

In[66]:=

NSolve A x

⁻ 3 x

⁻ 7 x 0, x E

Out[66]=

88 x ^{→ −} 1.54138 , x < 8 ^→ 0. , x < 8 ^→ 4.54138 <<

Cuadro A5.18

En el Cuadro A5.19 se muestra la forma de definir siste as de ecuaciones m In[68]:=

Solve @8 y ⁻ 7 x 3, y ⁺ 2 x ⁼⁼ 4 < , 8 y, x <D

Out[68]=

:: y → 34

9 , x → 1 9 ^>>

Cuadro A5.19

Calculo Diferencial e Integral

La derivada de una función se puede calcular de la siguiente manera (ver que se emplea la forma estándar y la forma simbólica de la paleta de funciones):

In[81]:=

u = x

+ 2 x

; der1 = ∂

u

der2 = D @ u, 8 x, 2 <D

der3 = ∂

u

Out[82]=

2 x ⁺ 6 x

Out[83]=

2 + 12 x

Out[84]=

12

Cuadro A5.20

En el Cuadro precedente se han calculado las derivadas sucesivas de la función “u”. En el siguiente cuadro se calculan algunas derivadas parciales:

In[85]:=

v ⁼ u y

; der4 ^{= ∂}

v

der5 ⁼ D @ v, x, y D

Out[86]=

2 H 2 x ⁺ 6 x

L y

Out[87]=

2 2 x H ⁺ 6 x

L y

Cuadro A5.21

Para calcular integrales se emplean las siguientes formas:

In[88]:=

u = x

+ 2 x

;

Inte1 = Integrate @ u, x D

Inte2 ⁼ _‡ u x

Inte3 = Integrate @ u, 8 x, a, x <D

Inte4 ⁼ _‡

a

x

u x

Out[89]=

x

3 ⁺

x

2

Out[90]=

x

3 ⁺

x

2

Out[91]=

− π

3 ⁻

π

2 ⁺

x

3 ⁺

x

2

Out[92]=

− π

3 ⁻

π

2 ⁺

x

3 ⁺

x

2

Cuadro A5.22

En el Cuadro A5.22, en Inte1 e Inte2 se ha calculado lo mismo con dos formas diferentes de presentación, lo mismo se ha hecho con Inte3 e Inte4, para el caso en que se definan límites de integración.

Solución de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales no siempre tienen solución en términos de cuadraturas, pero para algunos casos se puede usar la forma de solución simbólica DSolve o la forma numérica NDSolve.

In[93]:=

DSolve @∂

y @ x D − 2 x 0, y @ x D , x D

Out[93]=

:: y @ x D → x

3 ⁺ C @ 1 D + x C @ 2 D>>

Cuadro A5.23

Obsérvese que del cuadro A5.23 se tienen las dos constantes de integración C[1] y C[2]. De definirse las condiciones iniciales o de borde para la ecuación diferencial se obtiene la solución definitiva, es decir:

In[98]:=

DSolve

y

x

2 x 0, y

0

3, y'

0

2

, y

x

, x

Out[98]= ::

y

x

3

2 x

x

3

In[99]:=

DSolve

y''

x

2 x 0, y

0

3, y'

0

2

, y

x

, x

Out[99]= ::

y

x

3

2 x

x

3

Cuadro A5.24

Nótese en el Cuadro precedente las dos formas de escribir el comando de resolución.

Formas de Graficación en Mathematica

Existen diferentes formas de graficación en 2D y 3D de funciones en el programa. Se emplea la función Plot para graficar en el plano y la función Plot3D para graficar en el espacio.

I n [ 1 0 0 ] : = r@x _D = S i n@xD;

P l o t@r@xD, 8x , 0 , π< D

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

O u t [ 1 0 1 ] = G r a p h i c s

Cuadro A5.25

In[102]:=r@x_, y_D =Sin@xDCos@yD;

Plot3D@r@x, yD,8x,− π,π<,8y,− π,π<D

-2

0

2

-2 0

2 -1

-0.5 0 0.5

1

-2

0

2

Out[103]= SurfaceGraphics

Cuadro A5.26

Se pueden graficar dos o más funciones, poniéndolas entre llaves, por ejemplo:

In[104]:= r@x_D=Cos@xD; h@x_D=Sin@xD; Plot@8r@xD, h@xD<,8x, 0,π<D

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1 -0.5 0.5 1

Out[105]= Graphics

Cuadro A5.27

4. Bibliografía.

[1] E. Castillo, A. Iglesias, J.M. Gutiérrez, E Álvarez y A. Cobo, “Mathematica” Editorial Paraninfo (1993)

[2] S. Wolfram “Mathematica. A system for doing mathematics by computer” 2^nd edition Addison-Wesley (1993)