A A P P EN E N D D IC I CE E 3 3
SU S UP P L L E E M M E E N N T T O O S S T T E E O O RI R IC CO O S S Y Y P P RA R AC CT TI IC CO OS S P PA AR RA A
C C A A L L C C U U L L O O S S E E N N L L A A T T E E O O R R I I A A D D E E E E L L A A S S T T I I C C I I D D A A D D
1. Introducción
El presente apéndice tiene por objetivo suministrar al alumno información compendiada para evitar dispersión de tiempo en la búsqueda de material afín asociado a los contenidos de tensiones y deformaciones que son necesarios para avanzar en los contenidos del Capítulo 2.
2. Circulo de Mohr y tensiones principales
Caso Bidimensional
Se recordará que la obtención del círculo de Mohr implicaba la obtención del estado de tensiones principales y ubicar tal plano. Para ello se recurre a la Figura A3.1, donde se muestran las componentes de tensiones en planos oblicuos.
Figura A3.1. Tensiones en un plano oblicuo.
Del equilibrio en la Figura A3.1 se puede obtener:
2 2 Sen
2 Cos
2 Sen 2
2 Cos 2
y x xy
xy y
x y x
(A3.1) (A3.2) Del análisis de extremo (hallar máximo o mínimo) de (A3.1) se obtiene
y x
2
xy2
Tan
(A3.3)
En (A3.3),
es el ángulo para el cual la tensión normal es máxima o mínima, reemplazando
(A3.3) en (A3.1) se obtienen los valores de las tensiones normales principales:
0
2 2
2 xy 2 y x y
x 2 1
,
(A3.4)
Por otro lado, del análisis de extremo (hallar máximo o mínimo) de (A3.2) se obtiene
2 2
y x
2 xy 2 y x 2
1
,
(A3.5)
donde
es el ángulo para el cual la tensión cortante es máxima o mínima y viene dado por la expresión
xy x y
2 2
Tan
(A3.6)
Figura A3.2. Círculo de Mohr.
Para graficar el círculo Mohr basta seguir los próximos pasos:
1) Determinar las tensiones principales con las ecuaciones (A3.1) a (A3.6).
2) Ubicar el centro del círculo en
0
y 2
x ,
x
y,
(A3.7)
3) Ubicar 2 puntos diametralmente opuestos dados por (
y,
xy) y (
x, -
xy).
4) Trazar el círculo con Radio:
xy2
2 y x
R 2
(A3.8)
5) Identificar los puntos extremos según se aprecia en la Figura A3.2
Caso Tridimensional
Este caso es algo más complicado, sin embargo con herramientas computacionales (Mathematica, Matlab, etc) apropiadas se puede resolver con sencillez. Para ello se deben hallar las raíces de la ecuación:
3
0
2 2 1
3
I I I
(A3.9)
donde I
1, I
2e I
3son los invariantes de primer, segundo y tercer orden dados por:
xz yz xy 2
xy zz 2 xz yy 2 yz xx zz yy xx 3
2 xz 2 yz 2 xy zz xx yy zz yy xx 2
zz yy xx 1
2
I I I
(A3.10)
Entonces de (A3.9) se obtienen las tensiones principales
1
2
3y con ellas se obtienen las tensiones de corte máximas y mínimas como:
2
2 1 2 1
, ,
2
3 2 3 2
, ,
2
3 1 3 1
, (A3.11)
A continuación se mostrará un ejemplo calculado en Mathematica V3.0.
EJEMPLO A3.1
Se tiene un estado tridimensional de tensiones dado por el siguiente tensor de tensiones:
25 12 30
12 25 40
30 40 167
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
(A3.12)
Se desea hallar las tensiones normales principales y las tensiones de corte máximas y mínimas. Los valores se hallan en Mpa.
Recurriendo a Mathematica V3.0 se obtiene:
De tal manera que
MPa 5462 35
7401 21
806 180
3 2 1
. .
.
(A3.13)
MPa 176 108
643 28 533 79
3 1
3 2
2 1
. . .
, max , ,
, MPa
176 108 28 643
533 79
3 1
3 2
2 1
. . .
, min , ,
(A3.14)
Otro tanto se podría haber hecho con la Función Eigenvalues:
Como se ve es más fácil calcular el problema de autovalores.
3. La Energía de Deformación.
La energía de deformación, dada por la expresión convencional (A3.15), se puede plantear aplicando la ley de Hooke generalizada según diferentes configuraciones en términos de las tensiones (A3.16) o bien de las deformaciones (A3.17) de acuerdo a la comodidad que su empleo requiera.
V V
yz yz xz xz xy xy zz zz yy yy xx
xx
dV
2 dV 1 2
U 1 (A3.15)
V
2 yz 2 xz 2 xy yy
zz zz xx yy xx 2
zz 2 yy 2
xx
dV
G 2
E 2
E 2
U 1
(A3.16)
V
2 yz 2 xz 2 xy 2
zz 2 yy 2 xx 2
zz yy
xx
2 G G dV
2 1 1 E 2
U 1
(A3.17)
La expresión (A3.16) se puede describir en términos de las tensiones principales como:
V
3 1 3 2 2 1 2
3 2 2 2
1
dV
E 2
E 2
U 1
(A3.18)
4. Algunos ejemplos de casos particulares convencionales
CASO 1: Barra bajo estado uniaxial de tensiones en Tracción.
En este caso se tiene una barra de sección “A” con longitud “L”, sometida a la acción tractiva de una fuerza “F”. En consecuencia tendrá un estado de tensión dado por:
A F
xx
,
yy
zz
xy
xz
yz 0 (A3.19) Ahora bien empleando (A3.16) con (A3.19) se tiene:
EA 2
L dAdx F
A F E 1 2 dV 1 E 2 U 1
L 2
0 A
0
2
V 2
xx
(A3.20)
Ahora si en vez de utilizar la (A3.16) se utiliza la (A3.17) y tendiendo presente que el estado de deformaciones de una barra bajo estado uniaxial de tensiones es
xx
L
,
yy
zz
xx,
xy
xz
yz 0 (A3.21) donde es la elongación longitudinal. Luego reemplazando en (A3.17) y operando, se tiene
L 2 dV EA 2
L 1 G 2 2
L 1 2 1 1
E 2
U 1
2
V
2 2
2
2
(A3.22)
Se puede demostrar que (A3.20) es igual a (A3.22) pero eso se deja como actividad al lector.
CASO 2: Torsión de una barra circular.
Se considera una barra de sección circular y longitud “L”. El estado tensional más simplificado conviene representarlo en el sistema de referencia cilíndrico para mayor simplicidad ya que la única tensión no nula vendrá representada por:
J r M
xx
(A3.23)
siendo M
x, J y r, el momento torsor actuante en la sección, el momento de inercia polar y un radio genérico de la sección, respectivamente. Reemplazando (A3.23) en (A3.16) se tiene:
GJ 2
L dA M
GJ r 2
L dAdx M
J r M G
1 2 dV 1 G 2 U 1
2 x
J A
0 2 2 2 x L
0 A
0
2 x
V 2
x
(A3.24)
Ahora bien, si se emplea el ángulo de torsión total “”, la deformación por corte, en el sistema
de referencia cilíndrico, vendrá dada por la siguiente expresión:
L r
x
.
(A3.25)
Luego, reemplazando (A3.25) en (A3.17) y operando se obtiene:
L 2 dA GJ L r
2 dAdx G L
G r 2 dV 1 2 G
U 1
2
J A
0 2 L 2
0 A
0
2
V 2 x
. (A3.26)
Se puede demostrar que (A3.24) es igual a (A3.26) pero eso se deja como actividad al lector.
5. Transformaciones de sistemas de referencia
En muchas oportunidades las expresiones de los tensores de tensiones y/o de deformaciones dados por (A3.27) y (A3.28) que están referidos a un sistema cartesiano, deben ser transformadas a un sistema cilíndrico o esférico.
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
(A3.27)
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
(A3.28)
La ley general para transformar un tensor como los anteriores de un sistema de referencia ortogonal a otro se describe a continuación:
T 1 R 2
R
T . . T
(A3.29)
Donde
R1es un tensor cualquiera de rango 2 (es decir una matriz cuadrada de 3x3) en el sistema de referencia original,
R2es el tensor transformado al sistema de referencia deseado, T es la matriz de transformación de coordenadas y T es la matriz transpuesta de la
Tmatriz de transformación T .
La matriz de transformación del sistema ortogonal {O: x
1y
1z
1} (Ver Figura A3.3) al sistema ortogonal {O: x
2y
2z
2} se puede establecer de la siguiente manera en función de los cosenos directores:
2 z 1 z 2
y 1 z 2
x 1 z
2 z 1 y 2
y 1 y 2
x 1 y
2 z 1 x 2
y 1 x 2
x 1 x
