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C
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2
2
R
1. Introducción
El presente apéndice tiene por objetivo suministrar al alumno información compendiada para evitar dispersión de tiempo en la búsqueda de material afín asociado a los contenidos de probabilidad y estadística que son necesarios para avanzar en los contenidos del Capítulo 3.
2. Las variables aleatorias
Una variable aleatoria (también llamada variable estocástica) se interpretará como una entidad que posee parámetros estadísticos y una distribución características de su variabilidad en un conjunto determinado. La variable se denota por una letra negrita, p.e. S, , x, y la distribución como por ejemplo la distribución normal de Gauss N(xm, xde), donde xm es la
media aritmética de la distribución y xde es la desviación estándar de la muestra.
Para una variable aleatoria específica se puede determinar un intervalo de confianza expresado en términos de un valor de probabilidad, es decir donde la variable aleatoria cumpla con éxito un 80% o 90% o el que se fije como aceptable.
3. Cantidades estadísticas de muestreo.
En un muestreo de N observaciones de una variable aleatoria x, se definen:
a) Clase: de la muestra es el subconjunto de la misma que se halla acotado en un intervalo, llamado intervalo de clase.
b) Frecuencia de Clase: es la cantidad de observaciones de la muestra que se hallan dentro del intervalo de clase. La frecuencia i-ésima se denota por fi. Siendo Nm la
cantidad de clase en una muestra, la propiedad más importante de las frecuencias de clase estipula que:
m N 1 i i f N (A2.1)c) Valor medio o media aritmética. Se calcula de la siguiente forma
m N 1 j j j N 1 j j m f x N 1 x N 1 x (A2.2)d) Desviación Estándar: se calcula de la siguiente forma
1 N x f N 1 x f 1 N x N 1 x 1 N x x x 2 N 1 j j j N 1 j 2 j j 2 N 1 j j N 1 j 2 j N 1 j 2 m j de
(A2.3)e) Coeficiente de variación: Es la razón de la desviación estándar al valor medio de la muestra. m de X x x C (A2.4)
f) Distribución Acumulativa. Si fi y wi son frecuencia y ancho de clase, la distribución
acumulativa será.
1 i 1 j j j i i i f w 2 w f F (A2.5)g) La distribución de una variable aleatoria puede definirse en función de los parámetros introducidos anteriormente:
xm,xde
xmN
1,CX
N
x (A2.6)
4. Funciones de distribución.
La Función de distribución Acumulativa
Si en una variable aleatoria, las frecuencias de clase tienden a cero (lo que sería el caso de variables aleatorias continuas), se puede hallar la distribución acumulativa como:
xf x dx x F (A2.7)de tal manera que se cumple que:
x dx 1 f
(A2.8)
x f dx x dF (A2.9)siendo ahora f(x) la función densidad de probabilidad.
La Distribución gaussiana o distribución normal
La función de densidad de probabilidad de una distribución gaussiana o distribución normal viene dada por la siguiente expresión
2 de m de x x x 2 1 2 x 1 x f exp (A2.10)Esta distribución se denota como N(xm, xde). Para hallar la función de distribución acumulada
se debe integrar (A2.10), lo cual debe hacerse con métodos numéricos (es decir recurriendo a paquetes informáticos de matemática: Mathematica, MatLAB, etc). También se puede recurrir a los métodos clásicos empleando tablas debidas a una distribución N(0,1) (referencia [1]) donde se recurre a una simplificación de la representación algebraica transformando la
(A2.10) en otra que posee valor medio nulo y desviación estándar unitaria, cuya función de distribución se rige por la ecuación (A2.10.b)
2 x 2 1 x f 2 exp (A2.10.b)La Distribución Normal Logarítmica
También llamada distribución lognormal. Esta distribución se define como que el logaritmo x tiene distribución normal, es decir que
xy Ln (A2.11)
xm xde
yN , (A2.12)
Esta distribución se denota como x ~LN(xm, xde).
La función de densidad de probabilidad de una distribución normal logarítmica viene dada por la siguiente expresión
2 de m de y y x Ln 2 1 2 y x 1 x f exp . (A2.13) Donde se definen:
2
X m m Lnx Ln 1 C y (A2.14)
2
X de Ln1 C y (A2.15)entre y y x se pueden establecer las siguientes transformaciones
2 y y x 2 de m m exp (A2.16)
2
de m 2 de m de 2y 2y 2y yx exp exp (A2.17)
La Distribución Weibull
Esta distribución es la que mejor representa distintos campos de aplicación como la resistencia de los aceros, la altura de los hombres sajones, etc.
La distribución de Weibull puede ser biparamétrica o triparamétrica, y se representan respectivamente como x~W[, b] o x ~W[x0, , b]. Las fracciones de supervivencia vienen
dadas por:
x x x 0 R b exp (biparamétrico) (A2.18)
0 b 0 0 x x x x x x R exp (triparamétrico) (A2.19) donde es un valor característico de escala, tal que x0
b es un parámetro de forma, tal que b0
El valor medio y la desviación estándar vienen dados por las siguiente expresiones:
x
1 1 b
x xm 0 0 / (A2.20)
2 0 de x 1 2 b 1 1 b x / / (A2.21) siendo , la denominada función gamma, dada por la siguiente expresión:
o 1 n x dx x e n (A2.22)en ella se verifica la siguiente propiedad
n 1
n
n (A2.23)
5. Bibliografía.
[1] P.L. Meyer, “Probabilidad y aplicaciones estadísticas”, Fondo Educativo Interamericano S.A. 1973
