instrumentales Regresión con variables

Regresión con variables instrumentales

Tema 9

Econometría y predicción Matilla, M., Pérez, P. y Sanz, B. McGraw Hill

Introducción

 Cuando el supuesto de exogeneidad no se cumple, los estimadores MCO son sesgados e inconsistentes

 El método de Variables Instrumentales (VI) permite, bajo determinadas condiciones, obtener estimadores

consistentes de los parámetros …

 Para presentar el método recurrimos a un ejemplo:

pero la habilidad no es observable.

0 1 2

log(sal)    educ habil  (1)

Introducción

 Sabemos que excluir la variable y estimar la ecuación

viola el supuesto de exogeneidad lo produce sesgo e inconsistencia (a no ser

 La solución de emplear variables proxy puede ser buena si disponemos de ellas, pero no siempre es el caso

 Pero, aún sin proxy, podríamos estimar de forma

consistente 

y 

, si disponemos de un instrumento o

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0 1

log(sal)   educ u (2)

Condiciones del instrumento

 La variable instrumento debe cumplir dos condiciones:

 Debe estar (muy) correlacionada con la educación (Relevancia)

 No debe estar correlacionada con u (y por tanto con la habilidad que estará en u (Exogeneidad)

 La primera condición es fácilmente contrastable: basta

estimar educ=₀+₁z+v y ver si podemos rechazar H₀:₁=0

 La segunda es más difícil de contrastar (de hecho en este caso no es posible: û no representaría a u …)

Obtención del estimador VI

 Veamos cómo funciona el estimador VI a partir de la ecuación simple y=₀+₁x+u, siendo z un instrumento válido

 Multiplicamos por z y tomamos esperanzas,

 Pero en virtud de las condiciones impuestas al instrumento cov(uz) = 0, y cov(z₀) = 0, al ser ₀ una constante. Por tanto,

 Si sustituimos por las covarianzas muestrales,

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0 1

0 1

( ) ( ) ( ) ( ), o

cov( ) cov( ) cov( ) cov( )

E yz E z E xz E uz

yz z xz uz

 

 

  

  

1

cov( , ) cov( , ) y z

  x z

1 1

ˆ ˆ

cov( , ) cov( , )

ˆ , diferente de ˆ

ˆ ˆ

cov( , ) var( )

VI y z MCO y x

x z x

   

Obtención del estimador VI

Las estimaciones MCO y VI pueden ser muy diferentes.

Ejemplo de Haavelmo

Estimar la ecuación Consumo = 

₊ 

Renta_D +  , ^plantea

problema de endogeneidad (causalidad simultánea). Como instrumento de la Renta propuso la Inversión ^.

ˆ 344.7 3.048 , 2 0.817

(16.48) (0.34)

Renta  Inversion R  Relevancia instrumento

Obtención del estimador VI

Los datos proporcionan la siguiente matriz,

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2

1

2

1

2379.23 ˆ ˆ

: 84.01 0.73 , 0.97 0.73

3249.65 (14.55) (0.03)

584.89 ˆ ˆ

: 113.07 0.67 , 0.96 0.67

870.42 (17.8) (0.037)

MCO

VI

Consumo Renta R

Consumo Renta R





 

      

 

 

      

MCO

VI

CO IN RE

CO 1794.34 584.89 2379.23 IN 584.89 285.53 870.42 RE 2379.23 870.42 3249.65

VI = MC2E renta = 

+ 

invers+v

• El método VI funciona porque el instrumento recoge solo la variación de la renta que no está correlacionada con el error…

• Para verlo explicaremos el método de MC2E que, en este contexto, es equivalente a VI

• La estimación MCO de la ecuación hace la separación ya que 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 no está correlada con . Esta es la denominada ecuación de la forma reducida y es la primera etapa del método

• En en la segunda etapa, en lugar de ^consu=₀^{+ }₁^renta+, estimamos, por MCO, para obtener el estimador VI,

• Es claro el nombre de Mínimos Cuadrados en dos Etapas

0 1

ˆ ˆ

renta   invers

bˆ₁^{VI 0 1}

consu    renta u

Equivalencia de VI y MC2E (en este caso)

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• Para ver porqué MC2E proporciona el mismo estimador que VI, consideremos las ecuaciones,

• Con los datos de toda la población podemos escribir,

0 1

0 1

( )

( )

renta invers v forma reducida consu renta forma estructural

 

  

  

  

0 1

1 2

0 1

0 1 1

1

0 1 1

ˆ ˆ

ˆ ( )

ˆ ˆ

ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

t t t t

t t t

t t t t t t t VI

t t t t t t t

c r c i

r r i

c c i c i c i

r r i r i r i

  

 

  

   

  



    



 

 

   

   

Proxy e instrumento

• Una proxy para una variable omitida, no puede emplearse como instrumento

• Por ejemplo, en

• La variable coeficiente de inteligencia puede ser una buena proxy para habilidad, pero no podría emplearse como

instrumento en,

• porque si el modelo verdadero es el primero, v incluiría la habilidad correlacionada con el coeficiente de inteligencia que, por tanto, incumpliría la condición de exogeneidad

0 1 2

salario   estudios habilidad 

0 1

salario    estudios v

Modelo VI general

 El caso anterior es el más sencillo. En un modelo general,

(3) suele denominarse ecuación estructural

 Distinguimos cuatro tipos de variables en este contexto:

 La variable a explicar o propiamente endógena, Y_0i

 Los r regresores exógenos, X_ri

 Los k regresores endógenos, Y_ki

 Los m instrumentos Z_i: no están en (3), pero habrán de usarse

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0_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1_i ... _{r k ki i}

Y    X   X  _Y   _ Y  ₍₃₎

Modelo VI general

 En el modelo general,

además de la ecuación estructural, tendremos que



emplear también k ecuaciones de la forma reducida:

 O sea: cada explicativa endógena se regresa en los regresores exógenos y los instrumentos

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0_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1_i ... _{r k ki i}

Y    X   X  _Y   _ Y  ₍₃₎

1 10 11 1 12 2 1 1· 1 1 1·

0 1 1 2 2 · 1 1 ·

... ...

...

... ...

i i i r ri r i r m mi

ki k k i k i kr ri k r i k r m mi

Y X X X Z Z

Y X X X Z Z

     

     

 

 

       

       

Modelo VI general: identificabilidad

 Cuando, como sucede en (3), hay varios regresores endógenos, necesitaremos más de un instrumento …

 Siendo k el nº de regresores endógenos, si llamamos m al nº de instrumentos, caben las siguientes posibilidades:

 m = k, los coeficientes están exactamente identificados

 m > k, los coeficientes están sobreidentificados

 m < k, los coficientes están subidentificados

 Solo en los dos primeros casos podemos llevar a cabo la estimación por VI (MC2E)

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Modelo VI general: un regresor endógeno

 Supongamos que solo hay un regresor endógeno

 Si disponemos de un solo instrumento, Z₁,contrastamos su validez a partir de la forma reducida,

 El instrumento es válido (relevancia) si se rechaza H₀:_r+1=0

 Si hubiese dos instrumentos, la forma reducida sería,

 Si podemos rechazar H₀:_r+1= _r+2=0 ambos instrumentos serían conjuntamente relevantes (basta que uno de los  sea no nulo para disponer de un instrumento válido)

0_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1_{i i}

Y    X   X  _Y 

1_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1_{i i}

Y   X   X  _ Z u

1_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1_{i r} 2 2_{i i}

Y   X   X  _ Z  _ Z u

Más de un regresor endógeno

 Cuando hay más de un regresor endógeno necesitamos como mínimo que m = k (condición de orden)

 Pero esta condición, aunque necesaria, ya no es suficiente para garantizar la identificabilidad

 La condición suficiente o condición de rango, exige que la matriz de los , formada por todos los coeficientes de las variables instrumentales en las distintas formas reducidas, debe tener un rango igual o mayor que el número de

regresores endógenos (k)

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Más de un regresor endógeno: ejemplo

 Como ejemplo de la condición de rango, sea la ecuación,

 donde hay dos regresores endógenos. Supongamos que se dispone de dos instrumentos, Z₁ y Z₂.

 Se cumple por tanto la condición de orden dado que m=k=2

 Para verificar la condición de rango estimamos la formas reducidas,

 Como tiene rango 2, igual al número

de regresores endógenos, se cumple la condición de rango

0i 0 1 1i 1 1i 2 2i i

Y    X  Y  Y 

1 1 1 2

2 1 1 2

ˆ 3 4 3 2

ˆ 1 2 2

i i i i

i i i i

Y X Z Z

Y X Z Z

   

    

3 2

1 2

 _{ }^{  }_

 

Más de un regresor endógeno: ejemplo

 Supongamos ahora que disponemos de tres instrumentos, Z₁ Z₂ y Z₃ y que la estimación de las formas reducidas es,

 m > k por lo que se cumple la condición de orden, pero

 Y ninguna de las matrices 2x2 que pueden formarse, es de rango igual a 2: no se cumple la condición de rango

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1 1 1 2 3

2 1 1 2 3

ˆ 2 3 2 2

ˆ 1 3 2 / 3 2 / 3

i i i i i

i i i i i

Y X Z Z Z

Y X Z Z Z

    

    

3 2 2

1 2 / 3 2 / 3

 _{ }^{  }_

  

Distribución muestral del estimador VI

 Los supuestos de la regresión VI son similares a los conocidos.

 Partiendo del modelo,

0_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1_{i i}

Y    X    X   _ Y 

1) Exogeneidad: E(ε_i |X_1i, …, X_ri)= 0

2) (X_1i, …, X_ri, Y_1i, …, Y_ki) es una muestra aleatoria iid de la población

3) Grandes atípicos poco probables (momentos de orden cuatro finitos y mayores que cero)

4) Se cumplen las condiciones de validez de los instrumentos

Distribución muestral del estimador VI

 En estas condiciones el estimador VI (MC2E) es consistente (pero no insesgado) y se distribuye de forma asintóticamente normal

 La inferencia puede llevarse a cabo del modo habitual

 La fórmula para el cálculo de las varianzas y covarianzas de los estimadores es bastante más complicada,

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 

2

var ˆ ( ) ( )

con , y [ ' ]

MC2E

XZ ZZ ZX XZ ZZ ZZ ZX XZ ZZ ZX

XZ ZZ E i

n n 

    

 

  

β Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q X'Z Z'Z

Q Q Ω ZZ

La regresion VI y la endogeneidad

 El método VI (o MC2E) se puede usar siempre que algún X_i no sea exógeno, cualquiera que sea la causa …

 El particular, si hay simultaneidad … En este contexto, si solo disponemos de datos de P_t y Q_t, tendríamos,

0_i 0 1 1_i ... _{r ri r} 1 1ˆ_{i i}

Y    X    X  _ Y  Q_i

P_i

• No se mantiene la exogeneidad

• Si estimamos una curva, puede ser tanto a la oferta como a la demanda

• La solución está en disponer de un instrumento

• La lluvia influye en la ecuación de oferta, pero no en la de demanda

• Fijada la ecuación de oferta, puede obtenerse la de demanda

Contraste de endogeneidad

 Para saber si hay problemas de endogeneidad disponemos del test de Hausman.

 Por ejemplo, con un solo regresor endógeno,

 Procedemos de la siguiente forma:

 Estimamos la forma reducida de Y₁ y salvamos los residuos, û

 Introducimos û en la ecuación estructural,

 Si el coeficiente  es significativo, Y₁ es un regresor endógeno

 Los  en la segunda ecuación son los estimadores MC2E

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0_i 0 1 1_i ... _{k ki k} 1 1_{i i}

Y    X   X  _Y 

0_i 0 1 1_i ... _{k ki k} 1 1_i ˆ _i

Y    X   X  _Y u



Validez de los instrumentos

Relevancia, [cov(Z_i, X_i)  0]

cov(Z_i, X_i) ha de ser elevada. En otro caso instrumento débil

Puede contrastarse a partir de la forma reducida. Una regla

práctica es que la F de la forma reducida sea mayor que 10; si no el instrumento(s) sería(n) débil(es)

Exogeneidad, [cov(Z_i, _i) = 0]

No es contrastable con un solo instrumento (_i desconocido)

Con más de un instrumento, el contraste de sobreidentificación de restricciones sirve para ver si al menos uno de ellos es exógeno (incorrelado con _i)

Test de sobreidentificación de restricciones

Sea la ecuación y supongamos que disponemos de dos instrumentos ^Z_1i y ^Z_2i para ^Y_2i.

 Podemos estimar Y_1i usando Z₁ y obtener

 A continuación podemos contrastar si Z₂ y están correlados

 Estimando Y_1i con Z₂, podemos contrastar también corr(Z₁, )

En el test de restricciones de sobreidentificación, se contrasta si todos los instrumentos son exógenos. Solo puede llevarse a cabo en ecuaciones con más instrumentos que regresores endógenos

 Estimar por MC2E Y_1i usando todas las VI y obtener

 Regresar en las exógenas y los instrumentos y obtener R²

 J=mF ²(mk); H₀: todas las VI incorreladas con _i (m: nº instrumentos, k : nº explicativas endógenas)

 Si H₀ no se puede rechazar, al menos un instrumento es exógeno

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1i 0 1 2i 1 1i 2 2i i

Y   Y  X  X  ˆ_i

 ˆ_i



ˆ_i



ˆ_i

 ˆ_i



Validez de los instrumentos. Ejemplo

Consideremos la ecuación de salarios,

La estimación MCO es,

Es decir, un año más de educación supone un incremento salarial del11%. Sospechamos que educ es endógeno. Tenemos dos

instrumentos Z₁ (educación de la madre) y Z₂(educación del padre). El test de Hausman confirma la sospecha,

2

0 1 2 3

lsal    educ exper exper 

0.522 0.107 0.04 .0008 2

(0.19) (0.014) (0.013) (.0004) lsal    educ exper exper

2 ˆ

0.011 0.064 0.046 .0009 0.06

(0.36) (0.029) (0.013) (.0004) (0.03)

lsal    educ exper exper  u

Validez de los instrumentos. Ejemplo

Comprobamos la validez de los instrumentos Condición de relevancia,

Ambos instrumentos son individualmente significativos en la forma reducida y el contraste de significatividad conjunto arroja una valor para la F, muy elevado (mucho mayor que 10).

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2

1 2

0 3 4

8.34 0.08 0.001 0.19 0.18

(0.27) (0.025) (0.0008) (.026) (0.024)

: 0, 124

educ exper exper Z Z

H   F

    

  

Validez de los instrumentos. Ejemplo

Comprobamos la validez de los instrumentos Condición de exogeneidad,

Salvamos los errores estimados de la ecuación MC2E empleando los dos instrumentos y obtenemos:

Por tanto el estadístico de contraste es:

J = mF =2·0.187 = 0.357

Al 5% , ² con 2 g.l. es 5.99. Por tanto no se puede rechazar la hipótesis nula: al menos uno de los instrumentos es exógeno

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5 7 2 2

1 2

0.01 1.8 7.34 0.007 0.006 , .00088, 0.187, 428

(0.14) (0.013) (0.0004) (.012) (0.011)

exper exper Z R F N

   ^  ^     

Validez de los instrumentos. Ejemplo

La estimación MC2E es,

Un año más de educación supone un incremento de salario del 6.1% (con MCO habíamos obtenido un 11%)

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Dependent Variable: LWAGE Method: Two-Stage Least Squares Date: 04/06/19 Time: 14:56 Sample (adjusted): 1 428

Included observations: 428 after adjustments Instrument specification: EXPER EXPERSQ Z1 Z2 Constant added to instrument list

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.048100 0.400328 0.120152 0.9044

EDUC 0.061397 0.031437 1.953024 0.0515

EXPER 0.044170 0.013432 3.288329 0.0011

EXPERSQ -0.000899 0.000402 -2.237993 0.0257 R-squared 0.135708 Mean dependent var 1.190173 Adjusted R-squared 0.129593 S.D. dependent var 0.723198 S.E. of regression 0.674712 Sum squared resid 193.0200 F-statistic 8.140709 Durbin-Watson stat 1.945659 Prob(F-statistic) 0.000028 Second-Stage SSR 212.2096

J-statistic 0.374538 Instrument rank 5

Prob(J-statistic) 0.540541