UNIDAD IV :VARIABLE ALEATORIA Y SUS CARACTERÍSTICAS Competencia: -El estudiante debe definir correctamente lo que es una variable aleatoria,

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COMPETENCIAS Y OBJETIVOS

• UNIDAD IV :VARIABLE ALEATORIA Y SUS CARACTERÍSTICAS

• Competencia:

• -El estudiante debe definir correctamente lo que es una variable aleatoria, reconocer y utilizar las principales características de una variable aleatoria para poder

determinar las principales medidas descriptivas: como de tendencia central ,de dispersión ,como de asimetría y curtosis

• Objetivos.

• -Aplicar adecuadamente la definición de una variable aleatoria ,función de

probabilidad, de distribución ,para determinar las principales medidas descriptivas de la misma.

• Descripción general de la unidad:

• -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones :Variable Aleatoria, Función de probabilidad ,Función de Distribución o Acumulada ; la

determinación de las medidas descriptivas: de tendencia central, de dispersión y de Asimetría-Curtosis

• Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.80 al 90

• Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú 1996 Pags,183 al 223

• Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú .Pags 237 al 356

• Referencia electrónica: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%/A1/cálculo de probabilidades

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Unidad IV VARIABLE ALEATORIA (X) Y SUS CARACTERÍSTICAS Se llama v.a. X a toda función definida en el tal que a cada w€

,le asocia un nº real x= X( w ),por los tanto aparece : Dominio de la v.a. X =

Rango de la v.a.X = { x € R / x = X (w), w € }

Ej. Sea el ε:”Lanzar una moneda 3 veces”,donde se define :

La v.a. X:” Nº de caras obtenidas” .Determine el Dominio y el Rango de X

Sol: = { sss,ssc,scs,css,scc,csc,ccs,sss}

El Dom de X= ,para el rango,se evalua: X=0 { sss } X = 1 { ssc } { scs } { css };X=2 { scc } { csc } { ccs } X = 3 {ccc } Rx ={0,1,2,3 }

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CLASES DE V.A.

De acuerdo a su Rx una v.a. X puede ser:

1.-V.A. DISCRETA .- aquella cuyo Rx un conjunto finito o infinito numerable Rx = { x1,x2,...xn}

2.-V.A. CONTINUA .- es aquella cuyo Rx es un conjunto infinito no numerable FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A.DISCRETA p(x)

Sea una v.a.d X cuyo Rx es discreto P(X)=P(X=x) =P[{w€ /X(w)=x ],que debe satisfacer: a) P(X) 0 y b) P(X) = 1

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Es el conjunto de pares [ xi, p(xi)],es similar a una Distr.de frec .relativas donde se pueden calcular todas las medidas descriptivas.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F(x) F(x) = P( X x ) = P(X =k ) = P(k) ; - < x <

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Ej.Se tiene una tienda comercial que tiene 2 vendedores A y B,donde se definen: X:”Nº de TV vendidos por A ; Y:”Nº de TV vendidos por

B”.Determinar a)Las probabilidades marginales de A y de B,b)cuál la probabilidad que cada vendedor venda a lo más un 1 tv, c) Cuál el promedio de venta de A? .Si la Distribución conjunta es:

X Y 0 1 2 Px(x) b) P(x 1 ; y 1 )= 0.375

0 0.0625 0.125 0.125 0.3125 =c) E(X)= x px(x) =0 +0.25+

1 0.0625 0.125 0.0625 0.2500 +0.875=1.125 2 0.125 0.2500 0.0625 0.4375

P

^y

(y) 0.25 0.50 0.25 1

b) P(0,0)+P(0,1)+P(1,0)+P(1,1)=

=0.0625+0.125+0.0625+0.125=0.375

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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. CONTINUA f(x) Es toda función f(x)= P(X=x) que satisface:

a) f(x)≥ 0 x € R ; b) ∫f(xi)dx = 1; c) P(A) =P(x

€

^{A) =}

∫

^{f(x) dx}

b) Nota.- a) SI X = xo P(X= xo ) = 0

c) P(a≤ X

≤

^{b)= P(a}^≤ ^X^< b)=P(a< X ≤ b)= P(a< X < b) Ej. Sea una f(x)= cx² ; 0<x<2

0 e.o.c. .Hallar a) La constante “c” ; b) P(0<X<1) Sol.-Por el 2º requisito ∫ f(xi)dx = 1 ∫ cx²dx =1 cx³ /3 ] c=3 / 8

f(x)=(3 / 8)*x² ; 0<x<2 P(0<X<1) = ∫(3 / 8)*x² dx=x³/8 = 1/8 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA.-F(X)

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CARACTERÍSTICAS DE LA VARIABLE ALEATORIA

A parte de función de probabilidad y /o su distribución ,la v.a.X tiene otras características:La media,la mediana,la moda,la varianza,la

desviación típica etc,

MEDIA DE UNA V.A.D. X MEDIA DE UNA V.A.C X

= x P(X) =∫ x f(xi)dx

MODA DE UNA V.A.D.X MODA DE UNA V.A.C.X Mo= p(xO) p(x), x Rx Mo= f(x⁰) f(xi); x Rx LA MEDIANA DE UNA V.A.D X

Xm= F(xo) = P(X xo) 1 / 2 y P(X xo ) 1 / 2 LA MEDIANA DE UNA V.AC X

Xm = F(xo) =P(X xo) = P(X xo ) 1

/ 2

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VARIANZA DE UNA V.A.X Var(x) = ² = E [ (X- )²]

VARIANZA DE UNA V.A.D.X VARIANZA DE UNA V.A.C.X V(X) = ² = ( x- )² p(x) V(X) = ² = ∫ ( x- )² f(x)dx

DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA V.A. X = v(x)

Nota.- Las propiedades de la media como de la varianza de una V.A .X son similares al de una V. Estadística

EJ.Se tiene la sigte Distrib.de probabilidades de una va.X

x 2 4 6 8 total Hallar a) La Moda Mo = Xo =2 p(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 b)La mediana Xm= Xo= 4 xp(x ) 0.8 1.2 1.2 0.8 4 c)La media = x P(X) =4

x²p(x) 1.6 4.8 7.2 6.4 20 d)la varianza ²= x²p(x)- ² =

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• Ej.Dada la variable aleatoria continua X cuya : f(x) = 2x/3 , si 1 < x < 2

0 e.o.c Calcular a) La media b) la varianza,c)el coeficiente de

variacion

Sol.- a) E(x) =μ= ∫ x f(x) dx = ∫ x 2x/3 dx= [2 x³/9] = 16/9 – 2/9 = 14/9=1.5556

b) V(x) = ∫ x² f(x) dx – μ²= 15/6 – (14/9)²= 0.0802

c) CV(x) = σ/ μ *100%→ σ = √σ ² = √ 0.0802 =0.2832

→CV(x) = 0.2832/1.5556*100%=18.21%

Ej.Suponiendo que la v.a.c. x se distribuye uniformemente en el intervalo [0; 4] cuya:

f(x) = ¼ ,si 0 ≤ x ≤4

0.e.o.c Calcular la varianza y el coeficiente de varianza Sol.- E(x)= E(x) =μ= ∫ x f(x) dx = ∫ x 1/4 dx= [ x²/8] = (4²/8-0²)= 2