Curso de Formaci´ on continua en Matem´ aticas UAM Curso 2004/2005
Ejercicio para la sesi´ on del martes 26 de abril de 2005
A. Un poquito de teor´ıa
A1. Variables aleatorias
Una variable aleatoria. . . ¿es una funci´on?, ¿una variable? Informalmente, un conjunto de valores que se pueden tomar con determinada probabilidad. Esto es, unhistograma potencial, virtual.
(a)X toma valoresx1, . . . , xn con probabilidadesp1, . . . , pn, unos n´umeros≥0 tales quen
j=1pj = 1.
x1 x2 x3 · · · xn
(b) Un paso m´as all´a: X toma valores x1, x2, . . . con probabilidades p1, p2, . . ., n´umeros no negativos tales que∞
j=1pj= 1.
x1 x2 x3 · · · xn xn+1 · · ·
(c) En un alarde de abstracci´on, aceptamos queX tome valores enR. Esto requiere algo m´as de t´ecnica:
lafunci´on de densidadf(x), una funci´onf(x)≥0 tal que∞
−∞f(x)dx= 1.
· · · · · ·
f(x)h≈P(x≤X ≤x+h))
Asociados a una variable aleatoriaXexisten una serie deestad´ısticos, como lamedia, que los matem´aticos preferimos nombrar como laesperanzadeX,E(X). En el caso discreto,
E(X) =
valores×probabilidades =
j
xjpj
en el caso continuo, E(X) = ∞
−∞x f(x)dx
. De entre losmomentosde la variable, el m´as importante es lavarianza1,V(X), una medida (cuadr´atica) de cu´anto se apartan los valores de la variable de la media:
V(X) =E
(X−E(X))2
=E(X2)−E(X)2.
1Ladesviaci´on t´ıpicaσ(X) es, simplemente,σ(X) =V(X)
1
En el caso discreto (llamandoµ=E(X)), V(X) =
j
(xj−µ)2pj=
j
x2jpj
−µ2.
En el caso continuo,
V(X) = ∞
−∞(x−µ)2f(x)dx=
∞
−∞x2f(x)dx −µ2.
A2. Funci´ on de distribuci´ on
Una descripci´on mejor (para lo que nos interesa): lafunci´on de distribuci´on.
FX(x) =P(X ≤x)
en el caso continuo, FX(x) = x
−∞fX(y)dy
.
1
p0
p0+p1
p0+p1+p2
1
1 1 0
0 1 2 3 . . .
... X= 0 prob = 1/2,
1 prob = 1/2
X=
0 prob =p0, 1 prob =p1, 2 prob =p2
...
Xuniforme en [0,1]
XnormalN(0,1)
1
1
2
A3. La clave para simular
En la simulaci´on de los ejemplos estamos utilizando la funci´on de distribuci´on (en realidad, la “inversa”), junto con el generador de la uniforme en [0,1], a trav´es del comandoaleatorio().
Este es un procedimiento general:´
(a) Si X es una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on F, entonces U = F(X) es una variable aleatoria uniforme.
(b) O al rev´es: siU es una variable aleatoria uniforme, entoncesX =F−1(U) es una variable aleatoria con distribuci´onF.
Veamos c´omo utilizar el segundo resultado para generar muestras de una variable aleatoriaX cuya funci´on de distribuci´on es F(x).
1. generamos una lista de n´umerosu1, . . . , un con arreglo a la uniforme [0,1].
2. con la funci´on “inversa” deF, que llamaremosF−1, calculamos la lista de n´umerosx1=F−1(u1), x2= F−1(u2), . . . , xn=F−1(un). Estos n´umerosx1, . . . , xn yason una muestra de la variableX.
1
0
1
0
Lo que no est´a claro es c´omo calcularF−1.
B. Colas en cajeros
Hay tres cajas en un supermercado. El n´umero Y de clientes que llega (en cada unidad de tiempo, un minuto, por ejemplo) a las cajas sigue una cierta distribuci´on (digamos, una discreta). Los clientes se distribuyen entre ellas “uniformemente”.
Los encargados de las cajas atienden X1, X2, X3 personas, respectivamente, por minuto, donde X1,X2
yX3 siguen una cierta distribuci´on.
¿Cu´al es la longitud de la cola que se forma?
¿C´omo influye si cambiamos la velocidad de atenci´on en una caja?
Variaci´on: los clientes, al llegar, se sit´uan en la caja cuya cola sea m´as corta.
3
