3. Variable aleatoria. Distribuci ´on de probabilidad

TEMA 6 Variable aleatoria.

Distribuciones de probabilidad

• Introducci ´on. Probabilidad

• Teorema de Bayes

• Variable aleatoria. Distribuci ´on de probabilidad

• Variable aleatoria bidimensional

• Ejercicio pr´actico

• Bibliograf´ıa

1. Introducci ´on. Probabilidad

Objetivo: Introducir conceptos de probabilidad y variable aleatoria Consideraciones:

- el mundo no es determinista →fen ´omenos aleatorios

→probabilidad - la probabilidad y la estad´ıstica se complementan

- papel fundamental en la inferencia estad´ıstica

Elementos: experimento aleatorio, espacio muestral,

sucesos: elemental, aleatorio, seguro, imposible.

operaciones con sucesos↔teor´ıa de conjuntos Interpretaciones de probabilidad: cl ´asica, frecuentista, axiom ´atica

Definici ´on axiom ´atica de probabilidad:

ax. 1 p(A) ≥ 0 ax. 2 p(E) = 1

ax. 3 p(A ∪ B) = p(A) + p(B), A ∩ B = φ

p(A₁∪ A₂∪ . . . ) = p(A₁) + p(A₂) + · · · , A_i∩ A_j = φ consecuencias:

p(φ) = 0, p(A^C) = 1 − p(A), p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

Ejercicio: Sucesos en el lanzamiento de un dado:

A = {par}, B = {3,4}, C = {impar}, D = {1}, E = { ˙3}, F = {≥ 5}

escribir los siguientes sucesos y calcular sus probabilidades:

A ∪ B, A ∪ D, B ∪ E, A ∩ E, B ∩ E, E ∩ C, B, A ∪ B, C ∩ B, . . .

2. Teorema de Bayes

Probabilidad condicionada palog´ıa → ¿s´ıntoma?

- un suceso Ade probabilidad positiva - un nuevo espacio de resultados: (B|A)

- una nueva medida de probabilidad: pA(B) = p(B|A) Independencia de sucesos

A indepB ⇔ p(A ∩ B) = p(A)p(B)

Ejercicio: 100 gatos con sospecha hipertiroidismo felino. Dos s´ıntomas: “alteraci ´on en el pelo” (24 gatos) y “p ´erdida de peso” (68 gatos).

- ¿probabilidad de que un gato no presente alteraci ´on en el pelo?

- ¿probabilidad de un gato con alteraci ´on en el pelo tenga p ´erdida de peso?

- si en 21 gatos se dan ambos s´ıntomas ¿respondemos el apartado anterior?

p(A|B) = p(B|A)p(A) p(B)

Ejercicio: ¿probabilidad de que un gato con alteraci ´on en el pelo sufra de hipertiroi- dismo felino?

Teorema de Bayes

- generaliza la inversi ´on de condiciones

- importantes aplicaciones m ´edicas y epidemiol ´ogicas B₁, B₂, B₃, . . . , B_n causas

Xn i=1

p(B_i) = 1 E efecto

p(B_k|E) = p(E|B_k)p(B_k)

p(E|B1)p(B1) + · · · + p(E|Bn)p(Bn)

p(Bi) probabilidades a priori p(Bi|E) probabilidades a posteriori

Ejercicio: se cree que un pienso compuesto es el causante de una enfermedad en ovejas de una granja. El 45 % de animales fueron consumidores de dicho pienso, y de los animales enfermos 90 % consumieron 5 % no consumieron ¿es una sospecha razonable?

ayuda al diagn ´ostico

causas→ E hay enfermedad

nE no hay enfermedad efecto→ + prueba positiva

− prueba negativa

p(E|+) = p(+|E)p(E)

p(+|E)p(E) + p(+|nE)p(nE)

p(E) probabilidad a priori: prevalencia p(+|E) sensibilidad de la prueba

1 − p(+|nE) = p(−|nE) especificidad de la prueba

Ejercicio: ¿cu ´ando nos conviene una prueba muy sensible?, ¿cu ´ando nos conviene una prueba muy espec´ıfica?

3. Variable aleatoria. Distribuci ´on de probabilidad

Variable aleatoria X : E → R formalizaci ´on matem ´atica - cuantificar los resultados asociados al experimento aleatorio.

tipos: discreta y continua - aleatoria⇒probabilidades

• Distribuci ´on de probabilidad de una v.a. discreta funci ´on de masa p(x) = p(X = x)

funci ´on de distribuci ´on F (x) = p(X ≤ x) = X

xi≤x

p(x_i) propiedades representaci ´on

Ejercicio: la probabilidad de desarrollar una enfermedad es 0.7. Si seleccionamos 3 animales, describir la variable

X = n^ode animales enfermos en el grupo

• Distribuci ´on de probabilidad de una v.a. continua funci ´on densidad de probabilidad f (x) ¡6= p(x)!

funci ´on de distribuci ´on F (x) = p(X ≤ x) = ´area propiedades representaci ´on

Caracter´ısticas que “resumen” la distribuci ´on de probabilidad media E(X) = µ varianza E [(X − E(X))²] = σ² ejemplo momentos E (X^r) centrales E [(X − E(X))^r]

variable aleatoria estandarizada Y = X − µ σ

4. Variables aleatorias bidimensionales

(X, Y )par de variables aleatorias: discretas, continuas - distribuci ´on de probabilidad conjunta

- distribuci ´on de probabilidad marginales

p_X(x) =X

y

p(x, y) f_X(x) = Z _∞

−∞

f (x, y)dy F_X(x)

(p_X(x) f_X(x)

concepto de independencia estad´ıstica

X eY independientes⇔dist(X, Y )= (distX)·(distY) Caracter´ısticas: medias y momentos

- caracter´ısticas marginales

E(X) = X E(Y ) = Y E(X − X)² = σ²_X E(Y − Y )² = σ_Y² . . .

- caracter´ısticas conjuntas

Cov(X, Y ) = E£

(X − X)(Y − Y )¤

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y )

σ_Xσ_Y − 1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1

X eY independientes ⇒ Cov(X, Y ) = 0 ⇒ ρ(X, Y ) = 0

: