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Carl Friedrich Gauss *

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Academic year: 2022

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(1)

SECCI ´ ON 12

Teorema de Gauss

12.1 Introducci´ on

En la presente sesi´on se revisa un teorema clave del c´alculo vectorial, el teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Este teorema establece una relaci´on entre una integral de superficie sobre una superficie cerrada y una integral triple sobre el s´olido delimitado por esta superficie.

Carl Friedrich Gauss*

* Matem´atico alem´an, 1777-1855. Gauss trabaj´o en una amplia variedad de campos tanto de la matem´atica como de la f´ısica incluyendo la teor´ıa de n´umeros, an´alisis, geometr´ıa diferencial, geodesia, magnetismo, astronom´ıa y ´optica.

Su trabajo ha tenido una gran influencia en diversas ´areas.

(2)

Prof. Claudio del Pino O.

12.2 Primera forma vectorial del Teorema de Green

Recordemos que si P (x, y) y Q(x, y) son campos escalares C1 en un dominio D de R2 y C la curva simple, cerrada y orientada en sentido positivo que conforma la frontera de la regi´on D, entonces el teorema de Green establece que:

I

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Z Z

D

 ∂Q dx −∂P

dy



dxdy (12.1)

Sea C dada por su ecuaci´on vectorial:

C : −→r (t) = x(t)bi + y(t) bj, a ≤ t ≤ b entonces el vector tangente unitario a C, viene dado

→T (t) = x0(t)

||−→r0(t)||bi + y0(t)

||−→r0(t)||bj de donde el vector normal unitario exterior es

→n (t) = y0(t)

||−→r 0(t)||bi − x0(t)

||−→r0(t)||bj

Luego, haciendo −→

F (x, y) = P (x, y)bı + Q(x, y)b, se tiene I

C

→F · −→n ds = Z b

a

(−→

F · −→n )(t)||−→r0(t)||dt

= Z b

a

 P (x(t), y(t))y0(t)

||−→r0(t)|| −Q(x(t), y(t))x0(t)

||−→r 0(t)||



||−→r0(t)||dt

= Z b

a

P (x(t), y(t))y0(t)dt − R(x(t), y(t))x0(t)dt

= Z

C

P dy − Qdx = Z Z D

 ∂P

∂x + ∂Q

∂y



dxdy = Z Z D

∇ ·−→ F dxdy

As´ı entonces, la primera forma vectorial del Teorema de Green, que recibe el nombre de Teorema de Gauss (o de la divergencia) en el plano, es:

(3)

I

C

→F · −→n ds = Z Z

D

∇ ·−→

F dA (12.2)

que establece que la integral de l´ınea de la componente normal de −→

F a lo largo de C es igual a la integral doble de la divergencia de −→

F sobre la regi´on D encerrada por la curva C.

Nota 12.1. El teorema de Gauss en el plano tiene una extensi´on natural al espacio R3, conocido con el nombre de Teorema de Gauss:

12.3 Teorema de Gauss

Sea E una regi´on s´olida simple* en R3 y sea S la superficie cerrada correspondiente a la frontera de E con orientaci´on positiva„. Sea −→

F = (P, Q, R) un campo vectorial con componentes C1 sobre una regi´on que contiene a E, entonces

Z Z S

→F · d−→ S =

Z Z Z E

div(−→

F ) dV (12.3)

o bien,

Z Z S

→F · −→n dS = Z Z Z

E

 ∂P

∂x + ∂Q

∂y +∂R

∂z



dV (12.4)

Ejemplo 12.1. Comprobar el teorema de Gauss para−→

F (x, y, z) = ybi + xbj + zbk y E la regi´on s´olida encerrada por el paraboloide z = 1 − x2− y2 y el plano z = 0.

Desarrollo: En la actividad 6 del tema sobre integrales de superficies se verific´o que Z Z

S

→F · d−→ S = π

2 (12.5)

Ahora bien,

Z Z Z E

div(−→

F ) dV = Z Z Z

E

dV = 4 Z π/2

0

Z 1 0

Z 1−r2 0

rdzdrdθ = π

2. (12.6)

Luego (12.5) y (12.6) comprueban (12.3) para el campo vectorial y s´olido de este ejemplo.

* Aqu´ı E corresponde a uno de los tipos considerados en el c´alculo de las integrales triples.

„ Orientaci´on positiva corresponde a trabajar con el vector normal unitario exterior.

(4)

Prof. Claudio del Pino O.

12.4 Actividades

1) Verificar el teorema de Gauss para −→

F (x, y, z) = (2x − z)bi + x2ybj − xz2bk tomada sobre la superficie S correspondiente al siguiente cubo de lado 1:

Respuesta.

Z Z DEF G

→F · d−→ S =1.5,

Z Z ABCO

→F · d−→ S =0.5,

Z Z ABEF

→F · d−→ S =1/3,

Z Z OGDC

→F · d−→ S =0

Z Z BCDE

→F · d−→

S = −0.5, Z Z AF GO

→F · d−→ S =0,

Z Z S

→F · dS =11/6, Z Z Z

V

div(−→

F )dV =11/6.

2) Verificar el teorema de Gauss para −→

F (x, y, z) = x2bı + xyb + z bk y S la superficie acotada por el paraboloide z = 4 − x2− y2 y el plano XY .

Respuesta.

Z Z Z V

div(−→

F )dV = 8π.

Z Z S1

→F · d−→ S = 8π,

Z Z S2

→F · d−→ S = 0.

Donde S1 es la parte de la superficie en el paraboloide y S2 la parte de la superficie en el plano XY .

(5)

3) Comprobar que Z Z

S

→r ·ndS = 3vol(V ), donde S es una superficie cerrada encerrando unb

s´olido V y −→r = x−→ i + y−→

j + z−→ k . 4) Calcular el flujo del campo vectorial −→

F (x, y, z) = 3xy2bı + xezb + z3bk a trav´es de la superficie acotada por el cilindro y2+ z2 = 1 y los planos x = −1 y x = 2.

Respuesta. 2 .

5) Calcular el flujo del campo vectorial−→

F (x, y, z) = (x3+ y sin z)bı + (y3+ z sin x)b + 3z bk a trav´es de la superficie acotada por z = p4 − x2− y2, z = p1 − x2− y2 y el plano z = 0.

Respuesta. 194π5 .

6) Usar el teorema de la divergencia para calcular R R

S(2x + 2y + z2)dS, donde S es la esfera unitaria centrada en el origen.

Hint: En este caso −→

F · −→n = 2x + 2y + z2 y como para la esfera −→n = √xbı+yb+z bk

x2+y2+z2 = xbı + yb + z bk, se tiene que −→

F = 2bı + 2b + z bk. Respuesta. 3 7) Sea E un s´olido con frontera S. Comprobar que

a) Z Z

S

→a ·bn dS = 0, donde −→a es un vector constante.

b) vol(E) = 13 Z Z

S

→F · d−→

S , donde −→

F (x, y, z) = xbı + yb + z bk.

c) Z Z

S

rot(−→ F ) · d−→

S = 0

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