(CONVOCATORIA 2012) (Proyecto ID2012/120)

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INFORME FINAL DEL PROYECTO DE

INNOVACI ´

ON DOCENTE

(CONVOCATORIA 2012)

(Proyecto ID2012/120)

ELABORACI ´

ON Y USO DE

PRESENTACIO-NES DIN ´

AMICAS CON MATHEMATICA

Datos identificativos del proyecto

Miembros del equipo investigador

Senosiain Aramendia, Mar´ıa Jes´us (directora del proyecto) Maldonado Cordero, Mercedes

Tocino Grac´ıa, ´Angel Andr´es

Convocatoria

2012

Plazo de ejecuci´

on

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Financiaci´

on conseguida

100 euros

1. Resumen del proyecto

Descripción del proyecto En asignaturas de los grados en Matemáticas, F´ısica, Ingenier´ıa Informática o Qu´ımica relativas al Análisis Matemático (Ecuaciones Diferenciales, Cálculo, Análisis Armónico, etc.) aparecen con frecuencia problemas dinámicos. La explicación, tanto del problema como de su solución, puede verse facilitada mediante la presentación gráfica de su evo-lución. En este proyecto se plantea utilizar el programa de lenguaje simbólico Mathematica para la elaboración de las mencionadas presentaciones. Algunos ejemplos son:

Representaci´on de curvas generadas de modo din´amico.

Comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales al variar las condiciones iniciales, los coeficientes, etc.

Desarrollos en serie de Fourier.

Metodolog´ıa de trabajo (recursos a emplear)

Se seleccionará un grupo de problemas representativos dentro de cada asignatura, que, por su carácter dinámico, sean ejemplos susceptibles de ser tratados. Para cada uno de ellos se desarrollará un programa, basado en las herramientas que proporciona Mathematica, para obtener una presentación que ilustre de modo visual su evolución. Dichas presentaciones se han uti-lizado en clase (principalmente las relativas a ecuaciones diferenciales y a desarrollos en serie de Fourier), lo que ha llevado a que los alumnos capten de una forma visual lo que sobre el papel les parece algo muy teórico y sin aplicaciones directas. En el caso de la representación de curvas, cuya ecuación viene dada en paramétricas o polares, se les ha proporcionado a los alumnos para que puedan usarlas en aplicaciones geométricas del cálculo integral; esto es debido a que la representación de curvas en paramétricas y en polares no está contemplada en los temarios aunque luego la usan en otros campos.

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Calendario de actuaciones

Se han ido haciendo las representaciones dinámicas cuando los campos a estudio han ido apareciendo en las diversas asignaturas. Por ejemplo las representaciones de curvas se les ha proporcionado a los alumnos de An´ ali-sis Matemático II del Grado en Matemáticas. A los alumnos del grado en Ingenier´ıa Informática se les ha enseñado la evolución de las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales y lo que significan los desarrollos de Fou-rier de ciertas señales y su representación oscilatoria. A continuación se in-cluyen capturas en .pdf de algunos de los trabajos realizados y las p´ agi-nas de la plataforma Studium donde se han incluido algunos de los re-sultados. (por ejemplo:https://moodle.usal.es/course/view.php?id=12391 y https://moodle.usal.es/course/view.php?id=3560).

Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Un problema de valores iniciales

x00(t) +c x0(t) +r x= 0, x(0) = 0, x0(0) = 1 2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales

x0(t) = −1,1 −0,9

−1,4 0,3

!

3. Ley de Newton del enfriamiento

T0(t) = −r(T(t)−H) 4. Desintegraci´on radiactiva

y0(x) = −r y(x)

5. Ecuaci´on diferencial de segundo orden con valores iniciales no homog´enea y00(x) +c y0(x) +r y(x) = cos(mx), y(0) =α, y0(0) =β

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r c 2 4 6 8 10 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Figura 1: Un problema de valores iniciales.

-4 -2 2 4

-4

-2 2 4

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C@1D r H 0 2 4 6 8 10 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Figura 3: Ley de Newton del enfriamiento.

ManipulateAPlotAK1ã-r t_,₈_{t, 0, 10}_<E_,₈_K1,_-_{4, 4}_<_,₈_{r, 0, 10}_<E

K1 r 2 4 6 8 10 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

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r c m Α Β 2 4 6 8 10 -0.5 0.5

Figura 5: Ecuaci´on diferencial de segundo orden con valores iniciales no ho-mog´enea.

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q1 q2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

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Desarrollos de Fourier

Desarrollo de Fourier de la funci´on

f(x) = ( 1 −π 2 < x < π 2 −1 π₂ < x < 3₂π ManipulateB FourierSeriesBPiecewiseB::1, -Π 2 <x< Π 2> ,:-1, Π 2 <x<3 Π 2>>F , x, nF,8n, 1, 10, 1<F n 1 4 + I3 2 -ä 2Mã -äx Π + I3 2+ ä 2Mã äx Π + ä ã-2äx 2Π -ä ã2äx 2Π -I1 2+ ä 6Mã -3äx Π -I1 2 -ä 6Mã 3äx Π n -2 -1 1 2 3 4 5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

f(x) = |x|, −π < x < π n Π 2 -4 Cos@xD Π -4 Cos@3 xD 9Π n -3 -2 -1 1 2 3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

f(x) = x, −π < x < π

Desarrollo de Fourier en senos de la funci´on

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Manipulate@FourierSeries@x, x, nD,8n, 1, 10, 1<D n ä ã-äx- ä ãäx -1 2 ä ã-2äx+ 1 2 ä ã2äx+ 1 3 ä ã-3äx -1 3 ä ã3äx n -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 Manipulate@FourierSinSeries@x, x, nD,8n, 1, 10, 1<D n -2-Sin@xD+ 1 2 Sin@2 xD -1 3 Sin@3 xD+ 1 4 Sin@4 xD n -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2

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Representaci´

on de curvas

Mostramos la construcci´on de la cicloide que se genera al girar una cir-cunferencia sobre una recta sin resbalar.

Clear@A, B, F, t, uD;

G0 :=ParametricPlot@8Sin@tD, 1+Cos@tD<,8t, 0, 2 Pi<,

AspectRatio-> Automatic, Axes->8True, False<, DisplayFunction->IdentityD; F0 :=Show@G0, PlotRange->88-1.5, 6.5<,8-0.2, 2.3<<, Ticks->NoneD;

B0 :=Graphics@8Circle@80, 1<, 1D,

[email protected], Point@80, 0<D<

<D; Show@8F0, B0<, DisplayFunction->$DisplayFunctionD;

u@n_D:=n*Pi3; S@n_D:=8u@nD, 1<;

G@n_D:=ParametricPlot@8t-Sin@tD, 1-Cos@tD<,8t, 0, u@nD<, Axes->8True, False<, PlotStyle->[email protected]<, PlotRange->88-0.5, 8.5<,8-0.2, 2.3<<,

Ticks->None , AspectRatio-> Automatic, DisplayFunction->IdentityD; B@n_D:=Graphics@8Circle@S@nD, 1D,

Circle@S@nD, 0.2,8H3 Pi2L-u@nD, 3 Pi2<D, Line@8S@nD,8u@nD, 0<<D,

Line@8S@nD,8u@nD-Sin@u@nDD, 1-Cos@u@nDD<<D

<D;

Do@Print@Show@8G@nD, B@nD<, DisplayFunction->$DisplayFunctionDD,8n, 1, 6<D H :=Graphics@Circle@S@7D, 0.3,8H3 Pi2L-u@7D+2 Pi, 3 Pi2<DD;

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Resultados observados sobre la docencia

Facilitar la planificaci´on docente ya que permite a los alumnos visuali-zar los resultados de sus c´alculos.

Aumentar el interés del alumno por la asignatura, ya que ve aplicaciones prácticas en su campo de interés.

Debido a que vivimos en un mundo en el que la mayor´ıa de la informa-ción se recibe de forma visual, los alumnos son más receptivos a este tipo de trabajo y por tanto mejoran su interés y sus ganas de aprender.

Futuro

En el pr´oximo curso se les pedir´a a los alumnos que ellos representen, usando Mathematica alpha (que es software libre), las soluciones de los pro-blemas que hagan en clase y as´ı puedan interpretar los resultados y ver aplicaciones de estos problemas en su campo de estudio..

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