DESARROLLO CONCEPTUAL DE LOS M´ ETODOS ITERATIVOS EN LA RESOLUCI ´ ON DE

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DID ´ACTICA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

TESIS DOCTORAL

DESARROLLO CONCEPTUAL DE LOS M´ ETODOS ITERATIVOS EN LA RESOLUCI ´ ON DE

ECUACIONES NO LINEALES: UN ENFOQUE DID ´ ACTICO

Flor Monserrat Rodr´ıguez V´ asquez Director: Dr. Modesto Sierra V´ azquez

Salamanca 2010

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UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ---

FACULTAD DE EDUCACIÓN

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DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA Y

DIDÁCTICA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

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Dr. Modesto Sierra Vázquez, Profesor Titular de Universidad del Departamento de Didáctica de la Matemática y Didáctica de las Ciencias Experimentales de la Universidad de Salamanca

HACE CONSTAR:

Que la presente Memoria titulada “Desarrollo conceptual de los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones no lineales: un enfoque didáctico” ha sido realizada bajo mi dirección por Flor Monserrat Rodríguez Vásquez y constituye su Tesis para optar al Grado de Doctor.

Y para que conste y tenga los efectos oportunos ante el Departamento de Didáctica de la Matemática y Didáctica de las Ciencias Experimentales de la Universidad de Salamanca, firmo el presente documento.

Salamanca, a de de 2010

Fdo.: Dr. Modesto Sierra Vázquez

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Xochiquetzal y Yolox´ ochitl

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Con el apoyo del programa ALβAN, programa de becas de alto nivel de la Unión Europea para América Latina, No. de identificación E03D21720MX.

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Agradezco a mi tutor y asesor, Dr. Modesto Sierra Vázquez, por su in- valuable dedicación, apoyo y paciencia durante el desarrollo de esta investi- gación. Asimismo, por haber depositado su confianza en mi como estudiante.

Tambi´en quiero agradecer a la Dra. Mar´ıa Teresa Gonz´alez Astudillo, por sus indicaciones y consejos que ayudaron a enriquecer mi trabajo de tesis.

Del mismo modo, agradezco a mi asesor de tesis de maestr´ıa, Dr. Ricardo Cantoral Uriza, por sus consejos, opiniones y reflexiones acerca de esta investigaci´on, as´ı como por su apoyo incondicional en el transcurso de la misma.

Les doy las gracias a mi turma de generación, Isabel, Ademir, Jesús, Pe- dro Luis, Ana Elisa, Martha, Mar´ıa José, Jeannette, Manolo, Ana, Domingo y Juan por brindarme su amistad incondicionalmente.

Agradezco a mi familia por ser la fuente de mi existir. En especial a mi mamá Luisa† y a mi papá Luis. Y claro, a mis otras mamás que tanto adoro.

Tambi´en quiero agradecer a cuatro personas muy especiales, pues sin su ayuda me hubiera sido muy dif´ıcil la estancia en Salamanca, la querida Tita, como le llaman mis hijas, mi t´ıa Sharai, Ale e Iv´an.

Asimismo gratifico a mis colegas de trabajo por su apoyo e impulso acad´emico para concluir la tesis.

Finalmente pero no menos importante, le doy gracias a mi esposo, Jes´us Romero Valencia, por su amor, su comprensi´on y su impulso para seguir con

´animo y terminar esta investigaci´on.

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Este trabajo de investigación, centra su atención en la problemática didác- tica de los saberes, al considerarlos como objetos constituidos sin precedente histórico. En particular nos enfocamos en el desarrollo histórico epistemológi- co de un saber matemático espec´ıfico, a saber, los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones no lineales.

Como referentes teóricos, principalmente enmarcamos a la investigación en la perspectiva histórica epistemológica como l´ınea de investigación, y en la transposición didáctica. En consecuencia, hemos recurrido al análisis de libros antiguos y contemporáneos que nos han permitido mirar una perspectiva de la evolución del saber matemático antes mencionado.

Para el desarrollo del trabajo, nos basamos para las consideraciones me- todológicas esencialmente en Ruiz Berrio (1976), y en cuanto a estructura, nos fue de gran importancia la tesis doctoral González (2002) y los trabajos de Sierra, M., González, M.T. y López, C. (1999; 2003). Del primer trabajo, retomamos las etapas del método histórico en la investigación históri- ca: heur´ıstica, la cr´ıtica, la hermenéutica y la exposición. Del segundo, retomamos el modelo de análisis de libros históricos que permite caracterizar la información, estructura y (en nuestro caso) el tratamiento de los métodos iterativos. Y del tercer y cuarto trabajo, extrajimos la valiosa metodolog´ıa para el análisis de libros modernos.

Fundamentalmente nuestro interés es mostrar el tratamiento de dichos métodos, a partir del estudio de su desarrollo conceptual, con el objetivo de profundizar sobre su epistemolog´ıa y de esta forma tener una visión más amplia de su introducción en la enseñanza, tanto teórica como metodológica.

VII

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This research work focuses its attention on the didactic problems of knowledge, when they are considered as objects formed without historical prece- dent. In particular we focus on the historical epistemological development of a specific mathematical knowledge, namely, the recursive methods in the resolution of non-linear equations.

As theoretical referents, we mainly base our research on the historical epistemological perspective line of research, and on didactic transposition.

Accordingly, we have resorted to the analysis of old and current books, which have allowed us to look at the perspective of the evolution of mathematical knowledge mentioned above.

For the development of the work, we based our methodological conside- rations essentially on Ruiz Berrio (1976), and in terms of structure, it was of great importance to us the doctoral thesis González (2002) and Sierra, M., González, M.T. y López, C. (1999; 2003) researches. From the first work, we retook the stages of the historical method in the historical research: heuris- tic, criticism, the hermeneutics and exposure. From the second, we retook the analysis model of textbooks to characterize the information, structure and (in our case) the treatment of the iterative method. And from the third and fourth work, we extracted the valuable methodology for the analysis of modern books.

Our main interest is to show the treatment of such methods, from the study of conceptual development, with the aim to further its epistemology, and in this way, to have a broader vision of its introduction in education, both theoretical and methodological.

IX

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A ALβAN III

Agradecimientos V

Resumen VII

Abstract IX

Introducci´on XIX

1. Marco te´orico 1

1.1. La Investigación Histórica en Didáctica de la Matemática . . . 2

1.1.1. Corrientes en la investigación histórico-epistemológica . 3 1.1.2. La didáctica a partir de la historia y el análisis de textos 7 1.2. La transposición didáctica . . . 12

1.3. Pensamiento Matem´atico Avanzado (PMA) . . . 16

1.4. La visualización en educación matemática . . . 18

1.5. Utilización de recursos tecnológicos en la educación matemática 22 1.6. La noción de métodos iterativos . . . 25

1.6.1. Preliminares históricos de los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones . . . 25

1.6.2. M´etodos iterativos para resolver ecuaciones de una variable . . . 31

2. Dise˜no de la investigaci´on 45 2.1. Antecedentes . . . 47

2.1.1. Investigaciones en nuestro campo acerca de los m´etodos iterativos . . . 48

2.2. El problema de investigaci´on . . . 84

2.2.1. Objetivos de la investigaci´on . . . 84

2.2.2. Hip´otesis de la investigaci´on . . . 85

2.3. Metodolog´ıa . . . 87 XI

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2.3.1. Metodolog´ıa para el an´alisis de libros hist´oricos y libros

de ense˜nanza contempor´anea . . . 97

3. Libros hist´oricos 105 3.1. De an´alysi per æquationes numero terminorum infinitas . . . 107

3.1.1. El autor . . . 107

3.1.2. El De Analysi . . . 110

3.2. Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés . . . 140

3.2.1. El autor . . . 140

3.2.2. Sur la Résolution des équations numériques. . . 143

3.2.3. NOTA V. Sobre el m´etodo de aproximaci´on dado por Newton. . . 167

3.3. The theory of equations . . . 174

3.3.1. Los autores . . . 174

3.3.2. The theory of equations . . . 175

3.3.3. M´etodo de aproximaci´on de Newton . . . 178

3.3.4. Método de Horner para resolver ecuaciones numéricas . 180 3.3.5. Método de aproximación de Lagrange . . . 190

3.4. Conclusiones . . . 192

4. Libros de texto. Ecuaciones no lineales de una variable en la enseñanza contemporánea 195 4.1. De la inclusión de la enseñanza de la matemática en el nivel superior (1934) y de los programas de estudio en matemáticas 198 4.1.1. Perspectiva histórica de la educación superior en México198 4.1.2. Los programas de estudio . . . 203

4.2. An´alisis de libros de texto. Resoluci´on de ecuaciones no lineales de una variable . . . 214

4.3. Conclusiones . . . 307

5. Conclusiones 317 5.1. Alcances de la investigaci´on . . . 318

5.2. Limitaciones del trabajo . . . 328

5.3. Campos abiertos a futuras investigaciones . . . 329

Referencias Bibliogr´aficas 331

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Anexo A

Isacc Newton. De Analysi Per quationes numero terminorum infini- tas. pp. 2-22.

Derek Thomas Whiteside. The mathematical papers of Isaac New- ton. Tomo I. pp. 78-83/476-481/489-491.

Isacc Newton. Excerta ex epistolis D. Newton I. Ad methodum fluxio- num, et serierum infinitarun spectantibus. pp. 24-33.

Anexo B

Joseph Louis Lagrange. Oeuvres de Lagrange. Tomo VIII. pp. 19- 60/159-175.

Anexo C

Willian Snow Burnside y Arthur Willian Panton. Theory of equations. pp. 64-67/231-234 .

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Anexo D

La tecnolog´ıa y los procesos de aproximaci´on a ra´ıces de ecuaciones no lineales.

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2.1. Fuentes secundarias . . . 91

2.2. Libros Hist´oricos . . . 95

2.3. Libros de texto contempor´aneo . . . 97

2.4. Categor´ıas para el an´alisis de libros hist´oricos. . . 100

2.5. Categor´ıas para el an´alisis de libros de texto. . . 102

3.1. Ficha de referencia de la obra. El De Analysi . . . 110

3.2. Resoluci´on numeral de las ecuaciones afectadas. . . 121

3.3. Resoluci´on numeral: y³+ a²y − 2a³+ axy − x³ = 0 . . . 127

3.4. Pol´ıgono de Newton, forma general. . . 129

3.5. Pol´ıgono de Newton, ejemplo 1. . . 129

3.6. Pol´ıgono de Newton, ejemplo 2. . . 131

3.7. Pol´ıgono de Newton, ejemplo 2(1) . . . 131

3.8. Pol´ıgono de Newton, ejemplo 2(2) . . . 132

3.9. Desarrollo de la Funci´on Exponencial. . . 136

3.10. Ficha de referencia de la obra. Traité de la résolution des équa- tions numériques de tous les degrés . . . 143

3.11. Ficha de referencia de la obra. The theory of equations . . . . 175

3.12. Aplicaci´on del Teorema de Fourier-Budan a (3.17) . . . 182

3.13. Aplicaci´on del Teorema de Sturm a (3.18) . . . 184

3.14. Aplicaci´on del Teorema de Sturm a (3.18) . . . 185

3.15. Reducci´on de (3.19) por 40 . . . 186

3.16. Reducci´on de (3.20) por 3 . . . 186

3.17. Reducci´on de (3.21) por 0.5 . . . 187

3.18. Reducci´on de (3.22) por 6 . . . 188

3.19. Reducci´on de (3.23) por 0.2 . . . 188

3.20. Reducciones para la ecuaci´on (3.22) . . . 189

3.21. Disminuci´on de la ecuaci´on (3.24) por 2 . . . 191

4.1. Cursos . . . 198 XV

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4.3. Clasificación de textos utilizados en la enseñanza de los méto-

dos num´ericos. . . 213

4.4. Ficha de referencia. Libro A. . . 215

4.5. Ficha de referencia. Libro B. . . 216

4.6. Ficha de referencia. Libro C. . . 217

4.7. Resumen de los esquemas para encontrar ra´ıces. . . 222

4.8. M´etodo de bisecci´on para e^x− 2 = 0. . . 226

4.9. Algoritmo de bisecci´on para f (x) = x³+ 4x²− 10 = 0 . . . 228

4.10. Representaci´on num´erica del algoritmo de Punto Fijo. . . 251

4.11. Aplicación del método del punto fijo a f (x) = cosx, con p0 = ^π₄ 278 4.12. Aplicación del método de Newton a f (x) = cosx − x, con p⁰ = ^π₄278 4.13. Aplicación del método de la secante a x = cosx, con p0 = 0,5 y p1 = ^π₄ . . . 278

4.14. Aplicación del método de la falsa posición a x = cosx, con p0 = 0,5 y p1 = ^π₄ . . . 288

4.15. Comparación numérica para la función f (x) = x − 0,2sinx − 0,5289 5.1. Caracter´ısticas de cada método . . . 326

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1.1. M´etodo de punto fijo. . . 33

1.2. M´etodo de bisecci´on. . . 35

1.3. M´etodo de la secante. . . 36

1.4. M´etodo de la falsa posici´on. . . 39

1.5. M´etodo de la falsa posici´on modificada. . . 39

1.6. M´etodo de M¨uller. . . 41

1.7. M´etodo de Newton. . . 42

2.1. Ejemplo: f (x) = x²− 3x − 4 . . . 64

2.2. Representaci´on gr´afica de a2, a3· · · . . . 66

2.3. Representaci´on gr´afica de la existencia del punto fijo . . . 68

2.4. Representaci´on gr´afica de la unicidad del punto fijo . . . 69

2.5. Representación gráfica de la iteración de una función lineal . . 74

2.6. Representación gráfica del punto fijo de una función en trozos 75 2.7. Proceso cobweb de la función f (x) = cosx . . . 82

2.8. Proceso cobweb de la funci´on f (x) = (x + 7)/3 . . . 82

4.1. Representación gráfica del método de bisección. Libro B. . . . 225

4.2. Representación gráfica del método de bisección. Libro C. . . . 226

4.3. N´umero impar de ra´ıces en un intervalo dado. . . 229

4.4. Funci´on que toca al eje x en un punto. . . 230

4.5. Funci´on con una singularidad. . . 230

4.6. Iteraci´on de Punto Fijo. Libro A. . . 239

4.7. Representaci´on gr´afica del punto fijo. Libro C. . . 242

4.8. Unicidad de punto fijo para g(x) = (x²− 1)/3 . . . 243

4.9. Representación gráfica de la técnica iterativa de punto fijo. Libro C. . . 243

4.10. Convergencia del m´etodo de sustituci´on sucesiva. Libro B. . . 248

4.11. M´etodo de Newton. Libro B. . . 259

4.12. Representación gráfica del método de Newton. Libro C. . . 260

4.13. Ejemplo. M´etodo de Newton. Libro B. . . 264 XVII

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4.14. M´etodo de la secante. Libro B. . . 274

4.15. Representación gráfica del método de la secante. . . 277

4.16. Representación gráfica del método de la falsa posición. Libro A.284 4.17. Representación gráfica del método de la falsa posición modifi- cado. Libro A. . . 285

4.18. Diferencia entre el m´etodo de la secante y el de la falsa posici´on. Libro C. . . 286

4.19. M´etodo de la falsa posici´on. Libro B. . . 290

4.20. M´etodo de la falsa posici´on modificada. Libro B. . . 291

4.21. Representación gráfica del método de Müller. Libro A. . . 301

4.22. Representación gráfica del método de Müller. Libro C. . . 302

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La Matemática es una disciplina del conocimiento que plantea una gran cantidad de problemas al momento de ser enseñada, las problemáticas derivadas de su enseñanza son sistemáticamente estudiadas en el campo de la Didáctica de la Matemática o Matemática Educativa. La enseñanza de la matemática cubre todos los niveles educativos y una gran variedad de especialidades, puesto que fundamenta muchas de las herramientas que los escolares ocuparán en sus estudios superiores e incluso en las actividades de su mismo entorno aunque, muchas veces, de manera impl´ıcita.

Desafortunadamente existen múltiples dificultades que conllevan a un aprendizaje no favorable preocupando a los distintos actores educativos, lo que conduce a una amplia investigación para conocer los factores que podr´ıan ocasionar tales dificultades. En la disciplina Matemática Educativa algunos investigadores han reportado que esas dificultades provienen del proceso de conceptualización de los estudiantes, otras de su mal manejo por parte del profesor, otras por la epistemolog´ıa misma del concepto, etc. Ejemplos par- ticulares de temáticas son: el concepto de l´ımite, el concepto de derivada, el concepto de infinito, el concepto de logaritmo, por mencionar algunos dentro de la literatura del Cálculo.

Actualmente, se está dando a conocer una de las ramas de investigación en Didáctica de la Matemática que permite el acceso de forma distinta a las problemáticas en este ámbito, a saber la Investigación Histórica, l´ınea de investigación en la que se enmarca esta tesis.

Al seno de esta l´ınea de investigación, nos damos la tarea de indagar sobre el tópico de los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones no lineales de una variable, temática que se plantea para resolver algunos problemas que no tienen una solución exacta, y que son base de los sistemas numéricos. En este sentido, optamos por realizar un análisis de libros para mirar la evolu- ción que ha sufrido nuestro objeto de estudio.

XIX

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El desarrollo de la investigaci´on la hemos plasmado en cinco cap´ıtulos, los cuales son:

Cap´ıtulo 1. Marco te´orico.

Cap´ıtulo 2. Dise˜no de la investigaci´on.

Cap´ıtulo 3. Libros hist´oricos.

Cap´ıtulo 4. Libros de texto. Ecuaciones no lineales de una variable en la ense˜nanza contempor´anea.

Cap´ıtulo 5. Conclusiones.

En el primer cap´ıtulo, mostramos las bases teóricas que fundamentan la investigación realizada. Como eje de nuestro trabajo, reportamos a la Investi- gación Histórica en Didáctica de la Matemática, posteriormente identificamos el enfoque de la transposición didáctica, como una teor´ıa que plantea el es- quema de transformación de los saberes, desde el contexto de su génesis hasta el contexto de su enseñanza en el aula.

Reportamos los diferentes enfoques que se tiene de Pensamiento Mate- mático Avanzado, ya que uno de los aspectos que le atañen, es el estudio histórico epistemológico de los contenidos matemáticos, lo cual ligado al pun- to anterior, implica estudiar la transposición didáctica del saber matemático al saber escolar.

Como parte de los referentes teóricos, también nos apoyamos en la visuali- zación como un medio propicio en los procesos de construcción de conocimien- to y, finalmente, recurrimos a la tecnolog´ıa como herramienta fundamental para el tratamiento de los métodos iterativos para ecuaciones no lineales.

Asimismo, como inicio del estudio hist´orico se hace necesario reportar los antecedentes de dichos m´etodos.

En el segundo cap´ıtulo, documentamos los antecentes de investigaciones al respecto de los métodos iterativos, en nuestro campo disciplinar, planteamos el problema, los objetivos y las hipótesis de investigación. Además describimos los elementos metodológicos que usamos para el desarrollo de la investi- gación.

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Con base en la metodolog´ıa descrita en el cap´ıtulo dos para realizar una investigación de corte histórico, en el cap´ıtulo tres reportamos el análisis de libros denominados históricos, acuñando la definición de fuentes históricas dada por Bernheim (citado en Topolsky (2007) y González (2002)) para el que son los “resultados de la actividad humana que por su destino o su propia existencia u otras circunstancias, son particularmente adecuados para informar sobre los hechos históricos y para comprobarlos”.

El cap´ıtulo cuarto, esta dedicado al estudio de los métodos iterativos en los libros de texto de la enseñanza contemporánea. Schubring (1987) señala que los libros de texto son base teórica y práctica de los agentes didácticos (estudiante-saber-profesor). En este sentido, el estudio de dichos textos nos permite conocer su estructura didáctica. El análisis de estos textos se en- focó en señalar los diferentes tratamientos (geométrico, gráfico y numérico) en los que se presentan los métodos iterativos.

Finalmente en el cap´ıtulo cinco, mostramos las conclusiones de la in- vestigación, tanto generales como desde las perspectivas de conocimiento, epistemológico y didáctico.

Al final de los cap´ıtulos se incluyen las referencias bibliogr´aficas que han influido directamente en el trabajo, entre ellas, tesis, libros, y art´ıculos que han sido estudiados.

Asimismo incluimos la sección de Anexos en el disco DVD adjunto, en ellos se muestran las reproducciones de los apartados de los libros históricos que fueron analizados; y una breve sección dedicada a la tecnolog´ıa que actualmente puede ser usada en el tratamiento de los métodos iterativos ya sea desde su forma operativa o desde su implementación en la enseñanza.

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Marco te´ orico

Introducci´on

En este cap´ıtulo, mostramos los referentes teóricos que sustentan esta in- vestigación. Es decir, mostraremos las bases teóricas que soportan el tipo de problema a investigar, y al mismo tiempo damos sentido a la investigación misma.

Hemos dividido el cap´ıtulo en seis apartados, que involucran los diferentes

´ambitos con los que se relaciona esta investigaci´on.

En el primer apartado explicamos la relación del trabajo con la Investi- gación Histórica en Didáctica de la Matemática. En este sentido, mostramos diferentes corrientes que abarcan dicha l´ınea de investigación. Fundamental- mente nos basamos en los trabajos de Sierra y González¹ y Goméz², quienes, en nuestra opinión, son algunos de los investigadores más destacados en esta

´area.

Posteriormente, describimos a la transposición didáctica como un enfoque teórico que plantea la transición de un conocimiento en su forma original hasta un conocimiento en su forma tangible en el aula. Dicha teor´ıa, fomenta que los libros merecen un estudio más objetivo, en consecuencia, justificamos parte del análisis de libros y retomamos las ideas de Gónzalez (2002), en cuanto a considerar a la transposición didáctica desde el punto de vista de la historia de la educación matemática, es decir, estudiaremos la evolución de un determinado concepto a lo largo del tiempo.

1Departamento de Did´actica de la Matem´atica y de las Ciencias Experimentales. Uni- versidad de Salamanca.

2Departamento de Did´actica de la Matem´atica. Universidad de Valencia.

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En este sentido, el PMA, también forma parte de este cap´ıtulo, puesto que comprende al análisis histórico epistemológico, bajo la perspectiva de estudiar la evolución de los contenidos matemáticos.

En el siguiente apartado, reportamos a la visualización en educación ma- temática, como un medio que permite la coordinación de diferentes factores para la adquisición de conocimientos. En esta dirección, mostramos algunas de las investigaciones más recientes que plantean a la visualización como un aspecto presente en la enseñanza de algunos tópicos matemáticos.

En el quinto apartado, enfatizamos el papel que tiene la tecnolog´ıa en la enseñanza de la matemática, asumimos que ésta, si se trabaja de manera adecuada, podr´ıa ayudar en la adquisión de los conceptos matemáticos.

Finalmente, en el apartado seis, reportamos los antecedentes históricos de los métodos iterativos en la resolución de ecuaciones, con la finalidad de enmarcarnos en parte del estudio epistemológico de dicho contenido.

1.1. La Investigaci´ on Hist´ orica en Did´ actica de la Matem´ atica

Hoy d´ıa dentro de la actividad de la investigación en Didáctica de la Mate- mática, vemos reflejado con gran auge que la l´ınea de Investigación Histórica crece de manera considerable. Los diversos art´ıculos, libros y demás publica- ciones en esta dirección tienen una fuerte influencia en el ámbito educativo.

En palabras de Gom´ez (2003):

“... como la mayor parte de la investigación en Didáctica, su objetivo final es el de esclarecer problemas educativos, abordándolos de una manera cient´ıfica. En otras palabras, desde esta perspectiva se busca encontrar fundamentos para sustentar hipótesis que ayuden a resolver los problemas observados en las matemáticas en situación escolar, en este caso, a la luz que arroja la historia de las ideas.”

Según el grupo de investigación en Historia de la Educación Matemática (HEM) de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM), esta l´ınea de investigación nace con el giro teórico que sufrió la

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investigación didáctica en los años 70, al constatarse que: “no deber´ıamos comenzar desde una teor´ıa del aprendizaje general y neutral respecto del contenido, y derivar de ella una teor´ıa del aprendizaje matemático. . ., [más bien deber´ıamos] empezar [desde] procesos de aprendizaje espec´ıficos de un contenido” (Bauersfeld y Skowronek, 1976, cit. Gómez, 2003. p. 79).

Bajo este enfoque, surgieron l´ıneas de investigación que incorporaron e- lementos de la epistemolog´ıa genética y de la historia de los conceptos ma- temáticos a fin de poder identificar las principales dificultades y obstáculos didácticos de la construcción de un determinado concepto (Rojano, 1994, p.

46). La evolución ha sido hacia lo que actualmente denominamos el análisis histórico-epistemológico en la investigación didáctica. Este tipo de investi- gación es un tipo de análisis que toma elementos de la génesis histórica y de la epistemolog´ıa, a través de la historia de las ideas, para el provecho de la didáctica de las matemáticas. (Filloy, 1999, cit. Gómez, 2003. p. 79)

Ahora bien, al realizar un estudio desde la perspectiva de la génesis histórica, se pone de manifiesto que para un mismo concepto matemático se han ido sucediendo una diversidad de puntos de vista sobre el mismo, que en su momento, fueron considerados como correctos y posteriormente fueron rechazados o revisados. Asimismo, la epistemolog´ıa auxilia en el estableci- miento de la configuración de los elementos constitutivos de la significación de un determinado concepto, analizando los diferentes sentidos con los que ha podido aparecer y su adaptación a la resolución de los distintos problemas.

Con base en lo anterior, tomamos conciencia de que este tipo de investi- gación se está haciendo cada vez más presente en investigaciones en relación al medio educativo.

1.1.1. Corrientes en la investigaci´ on hist´ orico-episte- mol´ ogica

La perspectiva hist´orica en la ense˜nanza

El estudio histórico conceptual en el ámbito educativo podr´ıa incrementar a profundidad su entendimiento teórico y práctico, es decir, en sus aspectos y aplicaciones experimentales. Pajus (2000) señala la importancia de que el contenido cultural de las matemáticas podr´ıa no sólo reducirse a sus aspectos técnicos. En espec´ıfico, los textos y referencias históricas, permiten la

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interacción entre problemas matemáticos y la construcción de conceptos, y conllevan al eje central del cuestionamiento cient´ıfico en el desarrollo teórico de la matemática. Además, ello prueba que las ciencias, y la matemática en particular, están en continua evolución.

En nuestro caso, podr´ımos pensar que la asignatura métodos numéricos podr´ıa suministrar tal propiedad, ya que al ser una materia “práctica” los estudiantes podr´ıan interesarse en su devenir. Como bien sabemos, a través de la historia podemos conocer el marco general en el que se desarrolló algún conocimiento, este es nuestro caso, y nuestro fin es indagar en la evolución de un concepto.

Otra investigación que se apoya en la historia de la matemática, es la de Man-Keung (2000), quien refiere cuatro categor´ıas o niveles de su uso en el salón de clase, las cuales son:

1. Por an´ecdotas;

2. para ampliar el medio;

3. por contenido;

4. para perfeccionar las ideas matem´aticas.

Su conclusión es que usando la historia de las matemáticas en el salón de clase no necesariamente hace que los estudiantes tengan altos niveles de califi- cación en la materia, pero eso puede hacer que el aprendizaje en matemáticas sea una experiencia animada y significativa. Además menciona que cuidar la evolución en los aspectos de la matemática puede hacer a un profesor más pa- ciente, menos dogmático, más humano, menos meticuloso, y que esto podr´ıa reflejarse en que el profesor fuera más reflexivo, más ansioso por aprender y enseñar con un compromiso más intelectual.

Por otra parte Swetz (2000) hace hincapié en que el contenido histórico nos puede informar sobre el desarrollo del conocimiento matemático y sus procedimientos, la utilidad de las matemáticas, y los tipos de problemas que fueron importantes para sus precursores. Por lo que señala que haciendo un reconocimiento y análisis didáctico con tendencia en material histórico, se pueden tener varias direcciones como:

a) La organizaci´on de material; el orden secuencial de t´opicos y problemas espec´ıficos.

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b) El uso de instrucciones discursivas y t´ecnicas de motivaci´on contenidas dentro del discurso.

c) El uso de recursos visuales; diagramas, ilustraciones y colores, para ayudar en la comprensi´on de conceptos por parte del estudiante.

d) El empleo de t´acticas de ayuda para clarificar un concepto matem´atico.

Y finalmente, aunque no menos importante para nuestros propósitos, menciona que los libros antiguos de matemáticas, reflejan un decidido y secuencial orden de tópicos y problemas permitiendo al estudiante construir su propio edificio de entendimiento.

Este acercamiento a la investigación histórico epistemológica, está orien- tado a la importación al aula de episodios históricos o problemas del pasado para que los estudiantes los discutan o resuelvan. Esta corriente busca enseñar matemáticas desde una perspectiva histórica y su mayor impacto ha sido en un sector del profesorado. Algunas investigaciones que se enmarcan en esta corriente son: Maz (1999); Meavilla (2000); Ortega (2000); Sierra, et al.

(1999); González, et al. (2004); Sierra (1997); Sierra, et al. (2002); Castañeda, (2006); Castañeda y Cantoral (2001).

Cabe mencionar que en este ámbito, uno de los trabajos más importantes consiste en el estudio y recuperación de textos clásicos originales. En este sentido, algunas aportaciones pioneras se originaron en el grupo Inter- IREMs de Historia de las Matemáticas; los trabajos firmados por Dhombres (1978, 1992); el número monográfico de la revista For the learning of mathematics (vol. 11. n 2. Junio, 1991); e incluso, la publicación del NCTM, Historical topics for the mathematical Classrom (1969).

Otro de los aspectos dentro de esta corriente, es el tratamiento de la historia de las matemáticas por el profesorado, ya que se ha hecho buen uso de la investigación histórica en la formación de profesores. Algunas investigaciones al respecto son: Furinghetti (1997, 2005); Bagni (2000); Dennis y Confrey (2000).

El enfoque de los obst´aculos epistemol´ogicos

Otro acercamiento a la investigación histórico-epistemológica, es el que intenta determinar concepciones y obstáculos ligados al desarrollo de una no- ción matemática, como una herramienta útil para el análisis didáctico de las

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concepciones y obstáculos que se pueden presentar en los alumnos. Este a- cercamiento permite diseñar modelos didácticos de situaciones que tengan en cuenta todas las condiciones pertinentes para la construcción de los saberes, tomando en consideración que hay diferencias entre el desarrollo histórico de un concepto y su aprendizaje escolar. Esta corriente fue inicialmente tra- bajada por el área francófona: Brousseau (1981, 1983); Glaeser (1981); El Bouazzaoui (1988); Sierpinska (1985, 1989, 1992), y de aqu´ı se ha dado pie para otras investigaciones, entre ellas la de Farfán (1993).

Brousseau (1983, p. 173) define a los obstáculos epistemológicos como aquellos identificados en la génesis histórica de un concepto, son obstáculos que tienen su origen en la propia constitución del conocimiento y se les puede encontrar en la propia historia del concepto.

El enfoque del modelo te´orico-local

Goméz (2003) menciona que este tercer acercamiento utiliza el análisis histórico epistemológico para hacer un análisis de problemas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y después poner a prueba los hallazgos teóri- cos en los Sistemas Educativos, de tal forma que después de esta experimenta- ción y con base en resultados prácticos, se tenga una visión de la problemática de la historia de las ideas que corresponda a los resultados didácticos. En este enfoque, el análisis histórico se utiliza en la componente formal del modelo, para la que es prioritario el conocimiento de las matemáticas actuales, y en su uso actual, que se completa con una fenomenolog´ıa histórica. En esta corriente merecen destacarse los trabajos realizados por Rojano (1985), Puig (1994, 1998), Gómez (1995).

Desde esta perspectiva se han logrado resultados conocidos en el campo del ´algebra elemental.

El an´alisis de los libros de texto

Desde este enfoque, el investigador en didáctica de las matemáticas tiene en los libros de texto históricos una fuente privilegiada de información. El investigador puede buscar en ellos información sobre las relaciones del desarrollo de los contenidos de enseñanza con el desarrollo cient´ıfico y social, sus antecedentes y su proyección en el futuro, o, puede indagar para determinar la importancia de las mentalidades nacionales espec´ıficas y de las filosof´ıas y epistemolog´ıas en el progreso de un concepto.

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Asimismo puede buscar información sobre el desarrollo curricular y pe- dagógico: los contenidos seleccionados para la enseñanza; los aspectos con- ceptuales, actividades, problemas y ejercicios que se enfatizan; sus secuen- ciaciones, y en definitiva, sus acercamientos metodológicos.

Algunos de los trabajos principales en esta dirección, intentan caracterizar aspectos de la evolución de la enseñanza de una determinada temática, a través del análisis de manuales históricos, al mismo tiempo de indagar si es factible su incorporación a los libros de texto actuales. Algunos de los trabajos realizados en esta dirección son: Bruno y Martinón (2000); Maz (2000);

Sierra, González y López (1999, 2003); González (2002); Gómez (2001).

El enfoque de la reproducci´on en los estudiantes de las etapas en la historia

Bajo este enfoque, se considera que el desarrollo de una noción matemática atraviesa etapas bien definidas, y que los estudiantes también atraviesan en su proceso de aprendizaje por estas etapas. En esta corriente, son elementos decisivos de la investigación, la determinación y caracterización de las etapas as´ı como los mecanismos que explican la transición de una a otra. Algunas investigaciones en esta dirección son: Waldegg y Moreno (1991); Waldegg (1997).

El enfoque socio cultural

Este enfoque se basa en la idea de que el conocimiento est´a profundamente arraigado y conformado por su contexto socio cultural. Algunas investigaciones en esta direcci´on son las de: Radford (1996); Cantoral (1990);

Farf´an (1993)

1.1.2. La did´ actica a partir de la historia y el an´ alisis de textos

Freudenthal (1981) considera tres preguntas fundamentales, que nos permiten reflexionar sobre el papel de la historia de las matem´aticas:

¿Debe un profesor de matem´aticas saber algo sobre la historia de ellas?

¿Cu´al puede ser el uso de la historia de las matem´aticas?

¿Qu´e saben los matem´aticos sobre la historia de su ciencia?

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Al respecto, en el trabajo de Maz (1999) encontramos un acercamiento a posibles respuestas, mostrando una compilación de lo que significa la historia de la matemática en el salón de clase. En primer lugar, menciona que el proceso de enseñanza-aprendizaje contiene terminolog´ıa que muchas veces el profesor no puede explicar al alumno con las palabras concisas que se re- quieren, y probablemente el alumno no sea capaz de descodificar lo que el profesor le quiere decir, de tal forma que el profesor debe buscar estrategias y recursos que le permitan expresar de manera comprensible lo que desea enseñar. En consecuencia menciona que la historia de las matemáticas es un buen recurso para ello.

Sin embargo, como menciona Sierra (1997) la implementación de la historia de las matemáticas en clase, debe estar en un nivel didáctico y no como objeto mismo de la enseñanza, esto es, como un elemento motivador, que permita a los estudiantes conseguir una mejor comprensión y entendimien- to de las matemáticas, pero teniendo claro que esto no las hará más “fáciles”.

Aún as´ı, el uso de la historia de las matemáticas en la enseñanza, ha motivado en los últimos tiempos un inusitado interés, lo cual se ve reflejado en el incremento de art´ıculos e investigaciones hacia este aspecto.

En la misma dirección Furinghetti y Somaglia (1997) nos indican que el trabajo con la historia de las matemáticas en el aula, permite mostrar su origen multicultural y la naturaleza interdisciplinaria de las matemáticas, y de qué manera es relevante en aspectos de la vida humana tales como el arte, la música, la arquitectura, la econom´ıa, etc.

Otro aspecto mencionado en Maz (1999), es que la utilización de la historia de las matemáticas permite mostrar que los conocimientos matemáticos no siempre han llevado un desarrollo lineal y rápido, sino que estos se han producido por medio de estancamientos, o retrocesos en muchos casos.

En s´ıntesis, Fauvel (1991) menciona algunas de las razones por las cuales usar la historia de la matem´atica en la ense˜nanza:

1. ayuda e incrementa la motivaci´on para el aprendizaje;

2. muestra el aspecto humano de las matem´aticas;

3. cambia en los alumnos la percepci´on de las matem´aticas;

4. ayuda al desarrollo de un acercamiento multicultural;

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5. provee la posibilidad de un trabajo interdisciplinario con otros maestros;

6. el desarrollo histórico ayuda a ordenar la presentación de los tópicos en el curr´ıculo;

7. indica como los conceptos fueron desarroll´andose, ayudando esto a su comprensi´on.

Cabe mencionar que nosotros vertiremos el sentido de la investigación, en mirar sobre la evolución que han sufrido los métodos iterativos para encontrar soluciones de ecuaciones no lineales, a partir de un análisis de libros históricos y de libros contemporáneos, en los cuales algún apartado esté dedicado a este tópico matemático.

Continuando con la reflexión de la historia de la matemática en la enseñan- za, Heffer (2004) menciona que la historia conceptual de las matemáticas proporciona un amplio material para la ensenãnza y conduce a una com- prensión mejor de las matemáticas y de nuestro conocimiento mismo. El ejemplo que muestra está motivado por la relevancia epistemológica de la historia de las matemáticas y su objetivo es probar que la historia de las matemáticas está llena de oportunidades para ilustrar la pluralidad de méto- dos y las dinámicas de los conceptos en matemáticas. También menciona que integrar hilos del desarrollo de conceptos de matemáticas en el salón de clase contribuye a la atención filosófica del estudiante.

El trabajo de Heffer muestra cómo a través de la historia de 3000 años se puede aprender algún concepto, en particular, él trabaja con el álgebra simbólica y a partir de este trabajo su conclusión es que, en algunos puntos de la historia hubo un cambio dramático sobre el camino, en que los problemas aritméticos fueron resueltos. Observa que para la segunda mitad del siglo XVI, los problemas algebraicos resueltos llegaron a ser la manipulación sistemática de ecuaciones simbólicas y que el concepto de una ecuación, como la entendemos hoy d´ıa, no existe antes de ese tiempo.

Dennis y Confrey (2000) mencionan que una investigación histórica in- variablemente va más allá de su descripción original. Ellos reportan que rea- lizaron algunas entrevistas, apoyados en la historia, que les llevó a formular propuestas alternativas para el desarrollo curricular e instruccional.

Asimismo obtuvieron nuevas perspectivas para la formación del profesor, pues consideran que a través de la exploración de un ejemplo histórico, se

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puede ayudar al profesor a profundizar tanto su conocimiento del contenido, como la perspectiva sobre el mismo. Y lo más importante para ellos fue que, su trabajo histórico los llevó a reconceptualizar las creencias sobre la episte- molog´ıa de las matemáticas.³

Argumentan que lo c´ıclico en la frase “Nuestro trabajo histórico afecta nuestra perspectiva epistemológica, y ésta influye en la manera en la que nos involucramos e interpretamos la historia” (p. 6.), no es una debilidad sino una necesidad. Y al igual que Sierra, et al. (2002), destacan que el trabajo histórico sirve para informarnos sobre el presente, pues muchas de nuestras suposiciones actuales salen a la luz del trabajo histórico. De tal forma que utilizando los textos originales (cuando sea posible) y localizando el trabajo dentro de un contexto socio-cultural e histórico y asumiendo una historia pluralista, podemos intentar entenderla desde la perspectiva de sus creadores.

En el sentido de Confrey (1992) veremos la historia de las matemáticas como la coordinación y contraste entre diversas formas de representación, por ejemplo, qué formas de representación fueron más influyentes para un matemático, por un periodo de tiempo y cómo el matemático se mov´ıa a lo largo de estas representaciones para crear, modificar y extender la actividad matemática. En este caso, los autores conducen la investigación histórica considerando cuidadosamente cómo el uso de la geometr´ıa y la razón ilumi- nan el desarrollo del pensamiento matemático, buscando evitar enmascarar distinciones en una descripción algebraica genérica.

En la misma dirección, Bagni (2000) nos dice que varios investigadores han mostrado que el uso de la historia de las matemáticas puede influenciar sobre el profesor en la manera de presentar algún tópico matemático para beneficiar a los estudiantes. Y por consiguiente, el papel de la historia de las matemáticas en la enseñanza es leg´ıtimamente considerada una parte de la investigación en educación matemática.

De hecho él plantea que se deber´ıa considerar el uso educacional de la historia de la matemática en diferentes niveles. Por ejemplo, de acuerdo a la con- cepción de la educación matemática como transferencia del pensamiento, el principal propósito de la investigación en educación es mejorar la enseñanza.

As´ı que la presentación de tópicos matemáticos usando referencias históricas es consistente con esta aproximación. De hecho, la eficacia de la introduc- ción de la historia podr´ıa juzgarse con respecto al aprendizaje de los alumnos.

3Las cursivas son de nosotros.

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La caracter´ıstica principal de la investigación de Bagni, es su enfoque sobre procesos de transferencia de pensamiento para mejorar su calidad, con lo que se deducen algunas reacciones, especialmente aquellas que son plausibles de las mentes de los estudiantes. En consecuencia propone un ejemplo dentro de la esfera histórica, de tal forma que los estudiantes aprendan en esta esfera, pero de modo que lo alcanzado no sea confinado al ámbito histórico sino que sea necesario estudiar la evolución de diferentes esferas.

Sin embargo, considera que un l´ımite de la eficacia de la educación ma- temática como transferencia de pensamiento, puede darse cuando se opere solamente sobre la enseñanza, puesto que se cuestiona sobre si esta evolución influirá en los estudiantes. Entonces examina el comportamiento de los estudiantes para responder a un experimento comparativo de enseñanza realizado con dos muestras de estudiantes de nivel secundaria. Con la primera muestra se cotizan las reglas ”básicas de Bombelli, y con la segunda una tabla de Cayley. Y lo que se desea es descubrir si las cuatro caracter´ısticas usadas en la definición de grupo (cerradura, asociatividad, identidad e inverso) son adquiridas por los estudiantes.

A partir de su estudio exploratorio, concluye que la consideración de ejemplos relevantes de la historia de las matemáticas realmente ayuda en la introducción de tópicos importantes.

Cabe mencionar dos referencias a Dubinsky, E. et al. (1997) hechas en Bagni:

“... History is certainly a part of our methodology, but we are influenced not only by the record of who proved what and when, but also with the mechanisms by which mathematical progress was made.”

“...there is a close connection between historical and individual development at the level of cognitive mechanism”

Concluye también que la principal limitación de la noción de educación matemática como transferencia del pensamiento se encuentra en la incer- tidumbre acerca de efectos reales (acerca del aprendizaje) de la selección de maestros. De aqu´ı que es muy importante y necesario controlar el proceso de investigación educativa por verificación experimental: esto puede afectar

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profundamente la delineación de la investigación y darle importancia, particularmente en el estatus epistemológico.

Esencialmente se puede observar de estas investigaciones, su profundo in- terés por considerar los precedentes históricos de los saberes matemáticos, como una fuente consolidada de conocimientos, que puede y debe ser parte, de la culturización en el aula, no sólo por los profesores y estudiantes sino también por el sistema educativo actual. En consecuencia, ello nos lleva a reflexionar, que la enseñanza de las matemáticas debe robustecerse con dichos precedentes como parte constitutiva de los conocimientos, ya sea en el sentido cultural o en el sentido de la construcción social de conocimientos matemáticos.

1.2. La transposici´ on did´ actica

Dedicamos esta sección al proceso por el que un saber sabio o saber cient´ıfico se convierte en un saber objeto de enseñanza, o dicho de otra manera al proceso por el cual ciertos contenidos seleccionados como aquellos que se deben enseñar en un tiempo y lugar dados, son transformados en contenidos enseñables: La transpoción didáctica. Esta terminolog´ıa fue acuñada por Chevallard (1985) y es definida como la transformación del saber cient´ıfi- co o saber sabio en un saber posible de ser enseñado.

Objeto de Saber Objeto a Enseñar Objeto de Enseñanza

A partir de la definición, se desprende la noción de existencia de un obje- to de saber que es sometido a un proceso de transformación que tiene como resultado la existencia de un objeto de enseñanza. Para tal transformación es necesario operar un doble proceso de descontextualización y recontex- tualización, que transforma el contenido inicial en un contenido con fines pedagógicos.

La transposición didáctica puede tener dos interpretaciones diametral- mente opuestas. La primera de ellas más cercana y fiel a los preceptos po- sitivistas del creador del concepto, y la segunda inserta en el enfoque socio- constructivista, el que a su vez abre una mirada distinta ante las conse- cuencias que acarrea situar la transposición didáctica en este enfoque episte-

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mol´ogico.

Desde la primera interpretación, el objeto de saber en lugar de ser trans- puesto didácticamente, es trasladado didácticamente desde el espacio de su identificación-conocimiento (actividad inherente al cient´ıfico) hasta el espacio pedagógico de su enseñanza (actividad inherente al docente), ya que al existir en la realidad ubicada allá afuera, el objeto de saber es trasladado desde la disciplina que lo conoce hasta la disciplina que lo enseña, y por ende, no es afectable en un proceso de transformación, por lo tanto, el objeto del docente debe ser idéntico al objeto del cient´ıfico, de no ser as´ı, lo que enseña uno no corresponde a lo que conoce el otro. Desde esta perspectiva los mecanismos que posibilitan la transposición didáctica no existen, pues no hay transformación, como lo señala Chevallard, y el rol de la didáctica se restringe sólo al desarrollo de técnicas que le permitan al docente facilitar la tarea de aprendizaje de este objeto a sus alumnos.

Desde la visión socio constructivista de la ciencia (Candela, 1999), la realidad es un espacio construido socialmente por quienes interactúan en ella, las caracter´ısticas de dicha construcción tiene directa vinculación con la dimen- sión cultural que perfila a los sujetos interactuantes y socio - constructores de su realidad, por ende el conocimiento constitutivo de esta construcción social se corresponde con la dimensión cultural de la que emerge. El acto epistemológico se encuentra permeado por la experiencia cultural del sujeto conocedor haciendo que el objeto de su conocimiento “herede” en su emer- gencia de objeto conocido el sustrato experiencial del sujeto.

Esta perspectiva abre la posibilidad de reinterpretar la transposición didáctica de una forma distinta, dado que la socio-construcción del conocimiento del objeto de saber reconocido intersubjetivamente en el ámbito cient´ıfico, permite la transposición de éste a través de su socio-construcción en el ámbito pedagógico, estableciéndose en la interacción profesor alumno una nueva pretensión de validez intersubjetiva que sea coherente con la ya establecida en el ámbito de su origen (D´ıaz, 2003).

La transformación que es llevada a cabo en el proceso de transposi- ción didáctica, podemos interpretarla como el cambio que sufre el objeto de saber al ser reconstruido en el aula tanto por el profesor (quien domina los conocimientos de su disciplina) y sus alumnos. El objeto de enseñanza que resulta, ya no es exactamente el mismo del cual se origina, pero mantiene las cualidades que lo distinguen como tal y que permiten su validación por aquellos sujetos del ámbito educativo que lo reconstruyen.

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En consecuencia, la labor de la didáctica necesariamente debe distinguir dos aspectos: las caracter´ısticas culturales de la disciplina desde donde se o- rigina un objeto de saber; y las caracter´ısticas de la cultura escolar en donde se efectuará la transposición didáctica de dicho objeto de saber en objeto de enseñanza.

Ahora bien, pasar del conocimiento cient´ıfico a los procesos de aprendizaje, requiere que la didáctica busque los mecanismos por medio de los cuales se facilite la socio-construcción del objeto de saber que se pretende transformar en objeto de enseñanza en la relación profesor-alumno, es decir, en palabras de D´ıaz, se debe facilitar la transposición didáctica desde el ámbito cient´ıfico entendido como el espacio de realidad socio-histórico-cultural de interacciones entre investigadores en el que emerge el objeto de saber, hasta el ámbito educativo comprendido como el espacio de realidad socio-histórico- cultural de interacciones entre el docente y sus alumnos en el que el objeto de saber se reconstruye como objeto de enseñanza.

McLaren (1989) (Citado en D´ıaz (2003)) menciona:

“El conocimiento, desde este punto de vista, es una construcción social que significa que el mundo que habitamos como indivi- duos, es simbólicamente construido por la mente (y el cuerpo) a través de la interacción social, y es excesivamente dependiente de la cultura, del contexto, de las costumbres y de la especificidad histórica”

Una caracter´ıstica de la interpretación histórico-cultural de la transposi- ción didáctica y su vinculación con la epistemolog´ıa, el lenguaje, el discurso matemático escolar, el ambiente mismo en el que se desarrolla, es que, ello repercute en los diseños curriculares que se hagan bajo la interpretación men- cionada, ya que los procesos de selección, organización y comunicación del conocimiento escolar a través de los cuales se encuentra respuesta al ¿qué?,

¿cómo?, ¿cuándo?, ¿para qué? y ¿para quién? enseñar, deben ser tratados a partir de una perspectiva diferente, que sea coherente con las visiones episte- mológicas del conocimiento espec´ıfico a enseñar y a aprender, con la didáctica y con la transposición que ella connota. En este sentido, D´ıaz menciona que un diseño y práctica curricular que no se ajuste a tales apreciaciones no se articulará adecuadamente al entendimiento socio constructivo y creador del acto educativo.

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Hasta el momento hemos descrito parte del v´ınculo de la epistemolog´ıa y la transposición didáctica. Ahora bien, otro factor por el que hemos dedicado este apartado a ésta última, es que para operar la problemática de la transposición didáctica de una noción se deben desarrollar tres sistemas de análisis: para la noosphera, para los libros de texto, para los trabajos y las prácticas del maestro (Tavignot, 1993).

Nuestro caso particular se enmarca en el segundo sistema de análisis, puesto que justamente tiene como base la realización de análisis de libros.

Aún más, nos interesa conocer la evolución de un cierto contenido matemático, que como ya hemos dicho, se trata de los métodos iterativos para encontrar ra´ıces de ecuaciones no lineales.

Tavignot, refiere tres momentos en el análisis del proceso de transposición didáctica, los cuales retomaremos como un referente en nuestra investigación:

Primera fase de la transposici´on did´actica y el impacto de la noosphera.

Esta fase se divide en tres momentos: El reconocimiento de los grandes ejes de la evolución de la noción en los saberes de referencia, la pre- sentación de la evolución de éstos en el saber a enseñar y el impacto de la noosphera.

La localización de los grandes ejes de la evolución de la noción en los saberes de referencia y la presentación de la evolución de éstos en el saber a enseñar toman en cuenta los trabajos existentes en didáctica de las matemáticas y los programas.

Lo que se propone es efectuar el análisis del impacto de la noosphera a partir de documentos de grupos que producen las propuestas pre- cisas de los programas, después los documentos generados del medio ambiente en el sentido del sistema de enseñanza como una asociación.

Este an´alisis permite descubrir a partir de documentos de grandes categor´ıas de representaciones de los grupos concernientes por las reformas y deducir a partir de semi-directivos de la ense˜nanza categor´ıas ligadas con representaciones del mismo grupo.

Segunda fase, los manuales escolares. Se propone realizar el análisis en dos etapas. La primera etapa se centra en los aspectos generados del manual (la organización de los cap´ıtulos, las páginas, etc.) y la segunda etapa concierne a los cap´ıtulos dedicados a la noción estudiada.

Tercera fase, las prácticas de la enseñanza. En primer lugar se hace la observación, de que en esta fase no se apoyan en la observación de la

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enseñanza en clase, puesto que observaron diferentes puntos de vista de la noción misma de estudio y el modo de transmisión prevista, con una entrevista previa y un cuestionario escrito.

Estas tres fases caracterizan el m´etodo tridimensional que permite una colec- ci´on importante de hechos.

Como podemos observar, la transposición didáctica es de alguna manera una evolución “estructurada” del contenido matemático con fines didácticos, lo que nos lleva a la hipótesis de que el proceso de transposición didáctica es un medio para un fin, a saber la reconstrucción de conocimientos.

1.3. Pensamiento Matem´ atico Avanzado

^(PMA)

En 1985, se forma un grupo de trabajo con el objetivo de estudiar la naturaleza del Pensamiento Matemático Avanzado y en particular de los procesos de enseñanza y aprendizaje de temas relacionados con el cálculo infinitesimal en el congreso del grupo Psychology of Mathematics Education (Tall, 1991).

Azcárate y Camacho (2003) mencionan que lo anterior fue consecuencia de que en esos años, la Didáctica de la Matemática tend´ıa a considar la proble- mática del aprendizaje de la matemática en términos de procesos cognitivos, y no como simple adquisición de competencias y de habilidades. Asimismo se amplió el campo de los problemas investigados a cuestiones relacionadas con el pensamiento matemático propio de los curr´ıculos de los útimos años de bachillerato y primeros cursos universitarios. Además, el desarrollo de la investigación acerca de la enseñanza y el aprendizaje de temas relacionados con el análisis matemático, incluyendo los procesos asociados de definición, prueba y demostración, enriquecieron los modelos que sirven para describir los procesos cognitivos de aprendizaje de los estudiantes.

Algunos de los modelos que se utilizan en la investigación de los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje de los conceptos matemáticos comple- jos, son distintas formas teóricas de describir la naturaleza del conocimiento de los estudiantes y de los procesos de construcción del mismo. Por ejemplo, una de tales formas considera la definición de un concepto matemático co- mo una secuencia de palabras o una definición verbal del concepto, fruto de su evolución histórica. En este sentido, se puede distinguir entre las defini- ciones formales, convenidas y aceptadas por la comunidad cient´ıfica de los matemáticos en un momento dado, las cuales se pueden encontrar escritas

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en los libros, y las definiciones personales que utilizan las personas como in- terpretación, construcción o reconstrucción de una definición formal.

Azcárate y Camacho, mencionan que una de las razones de la complejidad del conocimiento matemático superior es que, en su mayor´ıa, los conceptos del pensamiento matemático avanzado pueden jugar el papel de procesos y de objetos, según la situación planteada o el nivel de conceptualización del estudiante. En este sentido, Sfard (1991) distingue dos tipos de concepciones de un mismo concepto matemático: las operacionales, cuando se tratan las nociones matemáticas como procesos dinámicos, algoritmos y acciones; y las estructurales, cuando se consideran los conceptos matemáticos como objetos abstractos estáticos.

Otro aspecto relevante a considerar en relación al PMA, es el papel de las definiciones. Vinner (1991) citado en Azcarate y Camacho (2003), expresa un conflicto diciendo que las definiciones crean un problema muy serio en el aprendizaje de las matemáticas, que representa el conflicto entre la estructura de las matemáticas, tal como la conciben los matemáticos profesionales, y los procesos cognitivos de la adquisición de conceptos. Al respecto, Azcárate y Camacho, deducen que los autores de texto y muchos profesores dan por supuesto que se produce el aprendizaje a partir de las definiciones y que en la resolución de problemas y la realización de tareas son éstas las que se activan en la mente del estudiante y controlan el proceso.

Al respecto del PMA, en Espa˜na se intenta profundizar en el estudio de diferentes aspectos como son:

Los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje de las matem´aticas y que van adquiriendo una progresiva importancia en los cursos superiores: abstraer, analizar, categorizar, conjeturar, representar, conceptua- lizar, inducir y visualizar, definir, demostrar, formalizar, generalizar y sintetizar, procesos todos ellos que tienen una componente psicol´ogica.

El estudio histórico y epistemológico de los contenidos matemáticos, con especial referencia a los conceptos fundamentales del Análisis, lo cual implica estudiar la transposición didáctica del saber matemático al saber escolar.

El papel que juegan los ordenadores y las calculadoras gráficas y simbóli- cas en la enseñanza y aprendizaje de algunos conceptos importantes del Análisis Matemático.

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En el segundo aspecto es donde situamos el presente trabajo, puesto que nos basamos en el estudio histórico epistemológico de un contenido matemático espec´ıfico, apoyados en el análisis de libros de texto y libros de autores clásicos del análisis matemático entre otros elementos a considerar.

1.4. La visualizaci´ on en educaci´ on matem´ atica

Impl´ıcitamente la visualización ha sido desde tiempos antiguos una herramienta utilizada para generar ideas, en nuestra disciplina, asumimos que el ser humano cuenta con la capacidad de darle diferente cognotación a un mismo hecho matemático, de tal manera que esto le ayude a enriquecer su percepción al respecto de ese hecho. En este sentido, la visualización esta presente como un medio para alcanzar un fin.

En esta sección, se mostrarán algunas de las acepciones del vocablo vi- sualización, en el sentido de indagar en su momento, sobre las distintas representaciones del proceso iterativo en la resolución de ecuaciones de una variable.

“La visualización ofrece un método para ver lo oculto. Enriquece el proceso del descubrimiento cient´ıfico y fomenta penetraciones profundas e inesperadas. En muchos campos ya está revolucionan- do la manera en que los cient´ıficos hacen ciencia” (Zimmermann y Cunningham, 1990)

El vocablo visualización aparece en el diccionario con varias acepciones como las siguientes: es la acción y efecto de visualizar, es decir, es la acción de imaginar con rasgos visibles algo que no se ve; es la formación en la mente de la imagen visual de algo abstracto; es la representación con imágenes ópticas de fenómenos de otro carácter. Si visualizar es todo ello, se puede percatar la existencia de diversas formas de dar significación a lo que es la visualización.

Investigadores en educación matemática se han interesado en torno a este tópico y aunque hay diversidad de opiniones al respecto, todos ellos coinciden en que la visualización no sólo se refiere al acto de ver u observar las distintas representaciones de un cierto objeto matemático. Una clasificación que he escrito en Rodr´ıguez-Vásquez (2003) al respecto de lo qué es visualización es la siguiente:

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1. La visualizaci´on, puede ser el medio que sirve de enlace entre la intui- ci´on y el razonamiento.

Para entender el término visualización en este sentido, referimos el trabajo de Davis (1993), él expone algunos teoremas de geometr´ıa elemental y de cálculo, en los cuales se puede hacer uso de la visualización para estimular el entendimiento de los conceptos involucrados en dichos teoremas por parte de los estudiantes. El art´ıculo fue escrito para tratar de redirigir el desequilibrio que el autor observó sobre el énfasis que algunos matemáticos han incremen- tado en matemáticas sobre visualización y demostración. Él refiere que el término teorema visual puede darnos una escasa o amplia definición sobre el contenido matemático. En este último caso, el autor concluye que:

a) Los resultados del plano cartesiano y de la geometr´ıa plana parecen ser intuitivamente obvios.

b) Los teoremas del cálculo (o de las disciplinas superiores en matemáticas) tienen una base intuitivamente geométrica o visual.

c) Las gráficas (a mano o de otra forma) se despliegan de la certeza de las conclusiones de la matemática pura o aplicada que pueden ser derivadas a través de la inspección.

d) Los resultados gr´aficos de programas de computaci´on son organizados coherentemente hacia un camino de certeza.

Para ejemplificar lo dicho en b), menciona que un teorema visual podr´ıa ser: El m´aximo o m´ınimo local de una funci´on suave ocurre donde la derivada es cero.

Al respecto de d), Davis señala que los gráficos resultantes de progra- mación computacional, los cuales a través de la visión son instituidos racional- mente, inspiran hacia el entendimiento de algunas cuestiones matemáticas, por ejemplo, en cuestiones como los gráficos de un fractal, él comenta que el interés visual de esos objetos es considerado por la mayor´ıa de entes como un arte. Sin embargo, aunque los aspectos de las figuras pueden leerse fuera de ser teoremas visuales éstos no pueden concluirse a través de los dispositivos matemáticos no computacionales.

El art´ıculo finaliza con tres acontecimientos principales:

i. El robustecimiento de la componente visual en matem´aticas deber´ıa reintegrarse a la palabra teorema.

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ii. La componente visual, podr´ıa reintegrarse al estatus para los procesos de descubrimiento en la ense˜nanza.

iii. Se ver´ıa afectada seriamente a la educación matemática, en particular a los más altos niveles. Además se permitir´ıan establecimientos en la educación matemática para llegar a términos de aspectos matemáticos que son requeridos por f´ısicos, ingenieros, etcétera.

Se puede observar que Davis da cuenta de la investigación a partir de hacer un ligamento, de la intuición visual que se genera a partir del perfil de un teorema con el razonamiento matemático, lo cual refleja como visualización.

Por lo tanto argumenta que en la educación matemática podr´ıa considerase la inclusión de lo que llama teoremas visuales, los cuales son producto de la intuición visual y del razonamiento matemático.

2. La visualización como la capacidad de articulación dentro de un con- junto de representaciones de un mismo objeto para darle significación a él. Es decir, se favorece la formación de imágenes mentales.

Un estudio donde la visualización es modelada en este sentido, se ejem- plifica por Hodgson (1996). Su ejemplo muestra que la visualización podr´ıa provocar dificultades en el entendimiento matemático, sin embargo, se repor- ta que el suministro de un tratamiento pertinente al formato del contenido enseñado y tomando en cuenta el habitad en el cual se llevó a cabo la ex- perimentación se pudo lograr que los estudiantes, mediante la representación múltiple de un mismo objeto matemático, le pudieran dar la significación correcta.

También el trabajo de Zimmermann y Cunningham (1991) muestra a la visualización en esta dirección, y la refieren como en la siguiente definición:

“Mathematical visualization is the process of forming images (men- tally, or with pencil and paper, or with the aid of technology) and using such images effectively for mathematical discovery and un- derstanding”

En el mismo sentido, mencionamos una definición propuesta por Miguel de Guzmán en su libro El rincón de la pizarra:

“La visualización en matemáticas es una forma de actuar con atención expl´ıcita a las posibles representaciones concretas en cuanto desvelan las relaciones abstractas que al matemático in- teresan”

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Sobre esta clasificación, se da prioridad en la visualización a las diferentes imágenes mentales y sus conexiones, entendido esto como un proceso para obtener un entendimiento de las nociones matemáticas.

3. La visualización como la acción del individuo para conectar diferentes representaciones del objeto matemático.

En este sentido un ejemplo del tratamiento de visualización se muestra en Duval (1988), él trabajó con un sistema semiótico de representación gráfica que permite definir una regla de codificación: a un punto le corresponde una pareja de números. Sin embargo esta regla de codificación no es suficiente para cambiar de registro (gráfico, algebraico, figuras, escritura simbólica, lengua natural, etc.) Esta dificultad no radica solamente en el hecho de que uno de los registros sea la lengua natural. Pues de la misma manera surgen dificultades en la conversión entre la escritura algebraica de relaciones y su representación gráfica.

Se observa a partir de los resultados, que la conversión del registro de re- presentación algebraico al gráfico exige que se discriminen bien las unidades significantes propias de cada registro. Es decir, es necesario identificar bien en el registro gráfico las variables visuales pertinentes con sus diferentes valores y, en la escritura algebraica de una relación, las diferentes posiciones paradigmáticas que dan una significación no solamente a un objeto sino tam- bién a los s´ımbolos utilizados.

Otro ejemplo del tratamiento de visualización reflejado en Duval (1999), es el trabajo con unidades significantes en el registro de los gráficos, éstas son determinadas por ocho valores visuales correspondientes a la asociación de tres variables visuales pertinentes para el registro de los gráficos cartesianos:

el sentido de inclinación de una la recta, la posición de la intersección con el eje de las ordenadas, y su posición en relación con un reparto simétrico de los cuadrantes opuestos. Estos ocho valores cualitativos no son separables visualmente.

4. La visualizaci´on como un proceso mental que habilita para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar informaci´on visual.

Cantoral y Montiel (2001) reportan el papel que juega la visualización en la formación de conceptos y procesos matemáticos, espec´ıficamente ana- lizan las funciones reales de variable real a través de sus gráficas, y a la par