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CINEMÁTICA

La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La

velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido

(desde la posición x1 hasta la posición x2) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1)

siendo:

e: el espacio recorrido y t: el tiempo transcurrido.

La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria.

Aceleración: Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s ², gráficamente se representa con un vector.

a = v/t

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t v = constante a = 0

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrida el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será e = ½.a.t ²

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t ²). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

a ≠ 0 = constante v = variable

1) Acelerado: a > 0

xf = xo + vo.t + ½.a.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² + 2.a.Δx

2) Retardado: a < 0

xf = xo + vo.t - ½.a.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo - a.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² - 2.a.Δx

Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la

superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

y = vo t + ½.g.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo + g.t (Ecuación de velocidad)

En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial. a = g vo = 0 yf = ½.g.t ² (Ecuación de posición) vf = g.t (Ecuación de velocidad) vf ² = 2.a.Δy

MOVIMIENTO PARABOLICO

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

 Un MRU horizontal de velocidad vx constante.

 Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.

Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

DISPARO DE PROYECTILES

Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

x=v0·cosθ·t

y=v0·senθ·t-gt2/2

Alcance: El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º.

Altura máxima: La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º

Tiempo de vuelo: Es el tiempo total que el móvil permanece en movimiento. Para hallarlo

tenemos en cuenta que y=0 cuando el cuerpo llega al suelo.

0=v

t−

1

2

g t

_;0=v

−

1

2

>

¿

t=

2 v

g

Sustituyendo el valor de

v

=v

sin

∝

t=

2 v

sin

∝

g

LANZAMIENTO HORIZONTAL

En este tipo de lanzamiento la velocidad inicial, vo, no tiene componente vertical. El origen del sistema de referencia lo tomaremos en el suelo debajo del lugar de lanzamiento

Las ecuaciones de movimiento son: (θ=0º)

x=v0·t vx=v0 constante

y=h-gt2_{/2 v} y= -g.t

EJEMPLOS

1. ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h? Datos:

v = 72 km/h

2. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?. Datos:

v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s

a) El desplazamiento es: x = v.t

Para cada lapso de tiempo:

x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 cm

x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm

El desplazamiento total es:

Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm Xt = 14160 cm = 141,6 m b) Como el tiempo total es:

tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s

Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos:

Δv = xt/tt Δv = 141,6 m/16 s Δ v = 8,85 m/s

3. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular:

a) Aceleración.

b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?. Datos:

Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t vf = a.t a = vf/t a = (588 m/s)/(30 s) a = 19,6 m/s ² b) De la ecuación (2): x = v0.t + a.t ²/2 x = a.t ²/2 x = (19,6 m/s ²).(30 s) ²/2 x = 8820 m

4. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular:

a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los frenos?. b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.

Datos: t = 25 s x = 400 m vf = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t 0 = v0 + a.t a = -v0/t (3) Reemplazando (3) en (2): x = v0.t + a.t ²/2 x = v0.t + (-v0/t).t ²/2 x = v0.t - v0.t/2 x = v0.t/2 v0 = 2.x/t v0 = (2.400 m)/(25 s) v0 = 32 m/s b) De la ecuación (3): a = (-32 m/s)/(25 s) a = -1,28 m/s ²

5. ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h ²?

Datos:

Aplicando:

vf = v0 + a.t vf = a.t t =vf/a

t = (60 km/h)/(20 km/h ²) t = 3 h

Ejemplos propuestos de caída libre

1. Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s. a. ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.

b. ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?. Respuesta: a) 43 b) 50 m/s

2. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular:

a. A qué altura estaría esa terraza.

b. Con qué velocidad llegaría la piedra al piso. Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s

3. De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo?. Respuesta: 80 m

4. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, cuánto demora en llegar al suelo?.

Respuesta: 19,8 s

5. A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:

a. ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?. b. ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.

c. ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B ?. Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s