MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 12

MATE 3171

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 12

Rectas

Objetivo es determinar la ecuación de una recta en el plano, las cuales dependen de su inclinación.

Pendiente de una recta

El concepto de pendiente está relacionado con la distancia que se mueve hacia la derecha (cambio en x)y la cantidad que aumenta o disminuye verticalmente (cambio en y ).

La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos A(x1, y1) y B(x₂, y₂)es:

m= cambio en y

cambio en x = ^{y2 y1} x2 x1

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Ejemplos

1.10.1 Halle la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:

1 A( 2, 3) y B(4, 2)

m= ^{2 3}

4 ( 2) = ⁵ 6 2 A(4, 3) y B(7, 3)

m= ³ ( 3)

7 4 = ⁶

3 =2 3 A(3, 3)y B(3, 2) 4 A( 3, 3) y B( 3, 3)

m= ^{3 3}

3 ( 3) = ⁶

0 no está de…nida

Recta Horizontal:

Una recta es horizontal si su pendiente m=0 y si el intercepto con el eje Y es (0, b), su ecuación es y =b.

Recta Vertical:

Una recta vertical no tiene una pendiente, sin embargo si el intercepto con el eje X es (a, 0), su ecuación es x =a

.

Ejemplos

1.10.2 Halle la ecuación de las rectas horizontal y vertical que pasan por el punto con coordenadas ( 2, 3)

Vertical: x = 2 Horizontal: y =3

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Ecuación de una recta

1 Punto-pendiente: la ecuación de una recta que pasa por el punto (x₁, y₁)y tiene pendiente m es: y y₁ =m(x x₁)

2 Intercepto eje Y - pendiente: la ecuación de una recta que intersepta al eje Y en (0, b)y tiene pendiente m es: y =mx+b

3 La ecuación general de una recta: la grá…ca de toda ecuación lineal Ax+By +C =0 (A, B 6=⁰)es una recta. Equivalentemente, toda recta es la grá…ca de una ecuación lineal.

Si se despeja para y se tiene:

y = ^A_Bx ^C_B, es del caso 2 con: m = ^A_B y b= ^C_B

Ejemplos

1.10.3 Resuelva los siguientes ejercicios:

1 Halle la ecuación de la recta cuya grá…ca se muestra

Se halla la pendiente: m= ^{5 1}_{8 2} = ⁴₆ = ²₃ Se aplica el caso 1: y y1 =m(x x1) con: (x₁, y₁) = (2, 1), entonces:

y 1= ²₃(x 2))^y = ²₃x ¹₃

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2 Halle la ecuación de la recta que pasa por ( 2, 5)y tiene pendiente 3

Se aplica el caso 1: y y₁ =m(x x₁)y sustituyendo:

y 5= 3(x ( 2)))^y = 3x 1

3 Halle la ecuación de la recta que intercepta al eje Y en(0, 3)y tiene pendiente ²₅

Se aplica el caso 2: y =mx+b y sustituyendo:

y = ²₅x+ ( 3))^y = ²₅x 3

4 Determine la pendiente, el intercepto con el eje Y y luego trace su grá…ca de 3x 2y =12

DEspejando para y : 2y =3x 12)^y = ³₂x 6 y Pendiente: m= ³₂, intercepto con el eje Y: b= 6

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

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Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas no verticales son paralelas si tienen la

Dos rectas con pendientes m1

y m2 son perpendiculares si y solo si m₁m₂ = 1,

Ejemplos

1.10.4

1 Halle la ecuación de una recta que pasa por ( 1, 3)y es paralela a la recta x = 2

Si es paralela a la recta x = 2, la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 1, 3)es x = 1

2 Halle la ecuación de una recta que pasa por ¹₄,²₃ y es perpedicular a la recta 4x 8y =1

Despejando y de:4x 8y =1)^y = ¹₂x ¹₈ y su pendiente es m= ¹₂

La pendiente de la recta perpendicular es: m_?= 2

La ecuación de la recta es: y ²₃ = 2 x ¹₄ )^y = 2x+ ¹₆ 3 Halle la ecuación de una recta que pasa por (2, 2)y es paralela a la

recta que pasa por los puntos ( 1, 1)y (4, 2)

Se halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:

m= ₄^{2 1}_{( 1)} = ¹₅

La ecuación de una recta que pasa por (2, 2), es:

y ( 2) = ¹₅(x 2))^y = ¹₅x ¹²₅

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4 Trace una recta que pase por el punto ( 3, 2)con pendiente ²₅ y luego determine su ecuación

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y