Transformada de Fourier y su interpretación como la Función Característica de una distribución de probabilidad.

La Transformada de Fourier y su interpretaci´ on como la funci´ on caracter´ıstica de una distribuci´ on de probabilidad ^*

Josu´ e Manik Nava Sede˜ no Mar´ıa Clara Fittipaldi

Material digital por:

Ariadna Margarita Vargas Bautista y Abraham Mart´ınez L´ opez

1. Introducci´ on

1.1. Historia

La historia del An´alisis de Fourier comienza con D’ Alembert [3] en 1747 y su discusi´on sobre las oscilaciones de una cuerda de viol´ın, idea en la que tambi´en trabajaron Euler [5], D. Bernoulli [1, 2] y Lagrange [12, 13]. ¹

Las contribuciones de Joseph Fourier empezaron en 1807, con sus estudios del problema de flujo de calor presentado en la Academie des Sciences in 1811 y publicado (en parte) como la celebrada Theorie analytique de la chaleur [9]. En ella, Fourier ensay´o una prueba de que cualquier funci´on suave por pedazos puede expandirse en una suma trigonom´etrica. Un poco m´as tarde, dicha afirmaci´on fue probada por Dirichlet [4] y Riemann [16, 17] hizo aportes significativos al estudio de dicho problema. Hubo que esperar a comienzos del siglo XX para que la nueva integral de Lebesgue [14] trajera consigo el marco

*Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE102121 “Recursos para el aprendizaje de la Transformada de Fourier y su interpretaci´on como la Funci´on Caracter´ıstica de una distribuci´on de probabilidad”.

1pueden encontrar una introducci´on sobre las ecuaciones de onda estudiadas por D’ Alembert y una peque˜na simulaci´on aqu´ı

1

adecuado para el estudio de las series de Fourier. Los resultados principales de este per´ıodo son el teorema de Riesz-Fischer [18, 8] y el teorema de Plancherel [15] para integrales de Fourier.

Durante el siglo XX, las series e integrales de Fourier, junto con la Teor´ıa del An´alisis Complejo, han dado origen a poderosas herramientas, y actualmente las ideas de Fourier son usadas en muchas ramas de la matem´atica, estad´ıstica y f´ısica. Algunas aplicaciones cl´asicas son la desigualdad isoperim´etrica [11], la formula de sumaci´on de Poisson [10], el principio de incertidumbre de Heisenberg, etc.

La Teor´ıa de la Medida desarrollada por Lebesgue tambi´en trajo consigo la formalizaci´on de la Teor´ıa de la Probabilidad. Una parte importante de esta teor´ıa est´a dedicada al estudio de las variables aleatorias, que son funciones finitas y medibles. La probabilidad que el valor de una variable aleatoria pertenezca a cierto conjunto est´a determinada por una funci´on puntual llamada la funci´on de distribuci´on en el caso continuo, y funci´on de probabilidad puntual en el caso discreto. Las funciones caracter´ısticas, que corresponden a las transformadas de Fourier de las funciones de distribuci´on de probabilidad, brindan un acercamiento eficiente a los problemas que involucran el estudio de funciones de distribuci´on. En parti- cular, A. Lyapunov (1904) introdujo el m´etodo de las funciones caracter´ısticas (basado en las integrales de Fourier) para la demostraci´on del Teorema Central del L´ımite que hoy lleva su nombre.

El Teorema Central del L´ımite es uno de los principales resultados en la Teor´ıa de Probabilidad. La primera versi´on de este teorema fue postulado por Abraham de Moivre (1733), que utiliz´o la distribuci´on normal para aproximar la distribuci´on del n´umero de caras que resultan de lanzar muchas veces una moneda justa. Este resultado fue rescatado mucho tiempo despu´es por Pierre-Simon Laplace en su trabajo Th´eorie analytique des probabilit´es (1812), pero fue reci´en a principios del siglo XX cuando Aleksandr Lyapunov lo formul´o en t´erminos generales y lo prob´o formalmente. La versi´on definitiva de este teorema fue obtenida posteriormente por J. W. Lindeberg (1920).

La descomposici´on de una funci´on utilizando an´alisis de Fourier es de gran importancia en sus distintas

´

areas de aplicaci´on, pero calcular esta descomposici´on directamente de la definici´on es usualmente muy complicado y lento, por lo que fue necesario el desarrollo de algoritmos r´apidos para el c´alculo de la Transformada de Fourier discretizada. Este desarrollo tuvo sus or´ıgenes en el trabajo de Carl Friedrich Gauss (1805) en interpolaci´on de ´orbitas de asteroides a partir de observaciones celestes. Entre 1805 y 1965 se publicaron algunas versiones de este algoritmo, conocido como Transformada R´apida de Fourier (FFT por sus siglas en ingl´es), como por ejemplo el algoritmo de interacci´on de F. Yates (1932) o la versi´on de G. C. Danielson y C. Lanczos (1942) para cristalograf´ıa de rayos X. En 1965, James Cooley and John Tukey publicaron una versi´on m´as general de FFT. La idea inicial de este algoritmo era analizar el comportamiento de sensores destinados a detectar actividad nuclear, pero muy pronto se reconoci´o su aplicabilidad a problemas m´as generales. En particular, la transformada r´apida de Fourier es uno de los algoritmos indispensables en el procesamiento de se˜nales digitales.

En este material se explicar´an los fundamentos de la transformada de Fourier desde la introducci´on

de la variable compleja, vital para su definici´on, y se ahondar´a espec´ıficamente en su aplicaci´on como la funci´on caracter´ıstica, donde la usaremos para probar los teoremas m´as fundamentales de la teor´ıa de probabilidad.

2. Variable Compleja

Los n´umeros complejos surgieron como una extensi´on de los n´umeros reales que permite encontrar ra´ıces de cualquier ecuaci´on polinomial. Espec´ıficamente, la falta de definici´on de la ra´ız cuadrada de un n´umero negativo en los n´umeros reales representa un problema. En los n´umeros complejos se resuelve este dilema dejando indicada dicha ra´ız.

Por ejemplo, sea z = a +√

−b² con a, b ∈ R. Si definimos la unidad imaginaria como

i :=√

−1. (1)

Entonces podemos expresar al n´umero z como z = a +p

−b²= a +p

(−1) (b²) = a +√

−1√

b²= a +√

−1b = a + ib.

Al primer t´ermino de la derecha se le conoce como parte real, mientras que al sumando que est´a multi- plicado por la unidad imaginaria se le conoce como parte imaginaria, y se denotan como

Re(z) = a, Im(z) = b, donde ambas partes son n´umeros reales.

Como dijimos antes, la definici´on de la unidad imaginaria permite encontrar soluciones a ecuaciones polin´omicas, como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Encuentra las tres ra´ıces de z³ = 1. ¿Qu´e puedes decir acerca de las soluciones para la ecuaci´on z = −1^α, cuando α ∈ R \ Q?

Soluci´on. Supongamos que las ra´ıces son tres n´umeros complejos de la forma z = a + ib, que deben cumplir

z³= (a + ib)³= 1.

Podemos expandir esta expresi´on como un binomio al cubo de la siguiente manera:

a³+ 3a²(ib) + 3a(ib)²+ (ib)³= 1.

Para expandir los poderes de i usamos la Eq. 1. Vemos que i²=√

−1²= −1, i³=√

−1³= −1 √

−1
= −1i = −i.

Sustituyendo estos valores en la ecuaci´on anterior, tenemos a³+ i3a²b − 3ab²− ib³= 1.

Ahora, juntamos todos los t´erminos multiplicados por i y todos los t´erminos donde i est´a ausente a³− 3ab²
+ i 3a²b − b³
= 1.

El n´umero que est´a en el lado derecho de la igualdad es real, mientras que el n´umero en el lado izquierdo es complejo. Podemos escribir el t´ermino de la izquierda como un n´umero complejo con parte imaginaria cero, y tenemos la ecuaci´on

a³− 3ab²
+ i 3a²b − b³
= 1 + i0.

Por definici´on, a y b son la parte real e imaginaria de las ra´ıces que buscamos, por lo que los t´erminos a³− 3ab²
y 3a²b − b³
tambi´en son n´umeros reales. Entonces, la ´unica manera de que se d´e la igualdad es que las respectivas partes reales e imaginarias sean iguales. Esto nos define un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas

a³− 3ab²
= 1, 3a²b − b³
= 0.

De la segunda ecuaci´on podemos factorizar una b, lo que nos da b 3a²− b²
= 0.

Hay dos opciones para que se cumpla esta igualdad, b = 0 o 3a²− b²= 0. Si b = 0 entonces, sustituyendo en la primera ecuaci´on obtenemos a³= 1 y, dado que a es un n´umero real, entonces a = 1. Por lo tanto, la primera ra´ız es la trivial z1 = 1 + 0i = 1, la ´unica ra´ız puramente real que ya conocemos. Si b 6= 0, entonces 3a²− b² = 0, as´ı que b² = 3a². Vemos que en la primera ecuaci´on aparece b², por lo que no conviene simplificar m´as por ahora. Sustituimos b²en la primera ecuaci´on y obtenemos

a³− 9a³= −8a³= 1, =⇒ a = ³ r

−1 8 = −1

2. Sustituyendo el valor de a en la segunda ecuaci´on obtenemos que

b²=3

4 =⇒ b = ±

√3 2 . Por lo tanto las dos ra´ıces restantes son

z2= −1 2 + i

√ 3

2 , y z3= −1 2− i

√ 3 2 .

Sin embargo, en el caso que tuvi´eramos z = −1^α, con α irracional, el binomio (a + ib)^1/αtendr´ıa una expansi´on infinita y no podr´ıamos calcular la expresi´on de z usando este m´etodo.

Como vimos en el ejemplo anterior, tratar de encontrar las ra´ıces y potencias de un n´umero complejo puede volverse muy complicado, en especial si la potencia es un n´umero irracional. Tambi´en podr´ıamos pensar en el caso en que la potencia misma fuera un n´umero complejo. Con las herramientas con las que contamos hasta ahora, no es evidente como atacar estos problemas.

Para encontrar una soluci´on, tratemos de visualizar las ra´ıces que encontramos en el ejemplo anterior.

Tenemos una ra´ız real y dos ra´ıces complejas. Las tres pueden verse como una combinaci´on de dos n´umeros reales, que corresponden a sus partes reales e imaginarias. ¿C´omo podemos visualizar objetos matem´aticos descritos por dos n´umeros reales? Podr´ıamos verlos como puntos en un plano cartesiano. Arbitrariamente, al eje horizontal lo llamaremos el eje real, que nos indicar´a el valor de la parte real del n´umero, y el eje vertical ser´a el eje imaginario, que nos dar´a informaci´on acerca de la parte imaginaria. Entonces, a la primera ra´ız, z₁= 1, la representamos por el punto (1, 0). A la segunda ra´ız, z₂= −1/2 + i√

3/2 por el punto −1/2,√

3/2
y a la tercera z2= −1/2 − i√

3/2 por −1/2, −√ 3/2
.

Figura 1: Ra´ıces de la ecuaci´on z = √³

1 en el plano complejo. Los puntos y los vectores representan las tres ra´ıces en el plano complejo. Las flechas en los segmentos de arco indican los ´angulos que forman las ra´ıces z₁ y z₂ con el eje real, adem´as de los m´ultiplos 2θ y 3θ.

Como vemos en la Fig. 1, las ra´ıces son las esquinas de un tri´angulo equil´atero. Adem´as, si multipli- camos por tres el ´angulo que forman respecto al eje real, terminamos con el vector (1, 0), que representa el n´umero del cual calculamos sus ra´ıces c´ubicas. La ra´ız z₁forma un ´angulo θ₁= 0 con el eje imaginario, por lo que 3θ1 = 0 tambi´en cumple con esta relaci´on entre la potencia y los m´ultiplos del ´angulo. ´Esto nos dice que necesitamos una representaci´on polar de nuestros n´umeros en el plano complejo, es decir en t´erminos de una distancia al origen (radio) y un ´angulo. En otras palabras, si tenemos un n´umero complejo z = a+ib y lo representamos en el plano por el vector (a, b), entonces el cuadrado de su distancia

al origen est´a dado por

r²= a²+ b².

Cuando hablamos de n´umeros complejos, a la distancia al origen la llamamos m´odulo y la denotamos por r = |z|, puesto que el m´odulo generaliza la idea del valor absoluto. Esto es especialmente obvio en los n´umeros reales: si un n´umero real positivo y uno negativo tienen el mismo m´odulo, tambi´en tienen el mismo valor absoluto. Por otro lado, al ´angulo del vector (a, b) se le llama argumento, y a veces se le representa por θ = arg(z). Por trigonometr´ıa, las partes real e imaginaria estar´ıan dadas por Re(z) = |z| cos θ y Im(z) = |z| sin θ. De esta forma, podr´ıamos representar un n´umero complejo por

z = r (cos θ + i sin θ) ,

que es s´olo una reescritura de la representaci´on cartesiana, pero no nos ayuda a resolver el problema de potencias irracionales o complejas presentado anteriormente.

Afortunadamente, el problema se puede resolver de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un n´umero puramente imaginario, es decir, con parte real cero. Tal n´umero lo podemos escribir como z = iθ, θ ∈ R. Adem´as, vamos a suponer que queremos evaluar la funci´on exponencial en ese n´umero imaginario.

En principio, no sabemos como funciona la exponencial para n´umeros complejos. Lo que s´ı sabemos es elevar n´umeros complejos a potencias racionales. Por lo tanto, expresamos a la exponencial por su serie de Taylor alrededor de cero

e^z= 1 + z +1 2z²+1

6z³+ 1

24z⁴+ 1

120z⁵+ · · · A continuaci´on, sustituimos nuestro n´umero imaginario donde aparezca z

e^iθ= 1 + iθ +1

2(iθ)²+1

6(iθ)³+ 1

24(iθ)⁴+ 1

120(iθ)⁵+ · · ·

Usando la Eq. 1 podemos calcular las potencias i²= −1, i³= −i, i⁴= 1, i⁵= i, etc´etera. Sustituyendo estas potencias en la serie obtenemos

e^iθ= 1 + iθ −1 2θ²− i1

6θ³+ 1

24θ⁴+ i 1

120θ⁵+ · · · =

 1 −1

2θ²+ 1

24θ⁴+ · · ·

 + i

 θ − 1

6θ³+ 1

120θ⁵+ · · ·

 , agrupando los t´erminos reales y todos los imaginarios. Las series correspondientes a las partes real e imaginaria ya las conocemos, ya que son las series de Taylor

cos θ = 1 − 1 2θ²+ 1

24θ⁴+ · · · y sin θ = θ −1

6θ³+ 1

120θ⁵+ · · · . Sustituyendo estas expresiones en la serie de la exponencial obtenemos la f´ormula de Euler

e^iθ= cos θ + i sin θ. (2)

Vemos que esta expresi´on de la exponencial corresponde exactamente a la parte angular descrita anteriormente, por lo que podemos cualquier numero complejo (a, b) puede reescribirse como

z = re^iθ. (3)

Esta representaci´on es la representaci´on polar de un n´umero complejo, donde r es el m´odulo y θ es el argumento, y nos permite definir de forma intuitiva e inequ´ıvoca las siguientes operaciones:

Multiplicaci´on compleja. Sean z1 = r1e^iθ1 y z2 = r2e^iθ2 dos n´umeros complejos. Entonces, su multiplicaci´on es

z₁z₂= r₁r₂e^i(θ1+θ2), es decir, sus m´odulos se multiplican y sus argumentos se suman.

Potenciaci´on real. Sea z = re^iθ un numero complejo y α un n´umero real. Entonces z^α= r^αe^iαθ,

es decir, su m´odulo se eleva a la potencia y el argumento se multiplica por la potencia.

Vale la pena notar que , si α ∈ N, que el m´odulo aumenta si r > 1 y disminuye si r < 1. Adem´as, el m´odulo del n´umero potenciado se recorre α veces en direcci´on contraria a las manecillas del reloj si θ > 0 y α veces en direcci´on de las manecillas si θ < 0. Por esta raz´on, las ra´ıces de cualquier n´umero complejo formar´an un pol´ıgono de α v´ertices en el plano complejo.

Potenciaci´on compleja. Sean z1= re^iθ y z2= a + ib. Entonces z₁^z2= r^ae^−θb
r^ibe^iaθ = r₂e^iθ2,

donde r₂= r^ae^−bθ y θ₂= aθ + b ln r, despu´es de aplicar algunas operaciones algebraicas.

Conjugaci´on. Dado z = re^ib, definimos su conjugado como ¯z = re^i(−b), y se cumple que z ¯z = r².

El material digital de apoyo Numeros complejos.ipynb y Exponencial compleja.ipynb contiene ejemplos y demostraciones visuales de los conceptos introducidos en esta secci´on. Para su uso es nece- sario contar con la distribuci´on Anaconda de Python y la aplicaci´on Jupyter Notebook, disponible para Windows, MacOS y Linux; o en su defecto puede ser importado y ejecutado en cualquier navegador web mediante Google Colaboratory.

3. Transformada de Fourier

Supongamos que tenemos un punto p ∈ R³. Como ya sabemos, este punto puede ser representado por la tupla p = (p1, p2, p3) en la base can´onica, es decir que corresponden a los coeficientes de la combinaci´on lineal p = p1e1+ p2e2+ p3e3, donde e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) y e3 = (0, 0, 1) son los vectores cartesianos can´onicos. Los vectores cartesianos can´onicos forman una base ortonormal, lo cual quiere decir que cumplen con tres propiedades fundamentales:

1. Cualquier punto en R³puede ser expresado como combinaci´on lineal de estos vectores.

2. Son ortogonales entre ellos, i.e. e_i· e_j= 0, i 6= j.

3. Tienen norma 1, i.e. e_i· e_i= 1 ∀i ∈ {1, 2, 3}.

La primera propiedad se sigue de la segunda, ya que ´esta implica que los tres vectores son linealmente independientes, y de ´algebra sabemos que n vectores linealmente independientes generan cualquier punto en Rⁿ. Es trivial ver que los vectores cartesianos can´onicos cumplen con estas tres propiedades.

Ahora pensemos, por ejemplo, en un punto espec´ıfico y una base ortonormal diferente a la can´onica.

Arbitrariamente elegimos el punto p = (1, 0, −1), y como nuestra base elegimos los vectores v₁= 1

√3(1, 1, 1) , v₂= r2

3

 1, −1

2, −1 2



, v₁= r2

3 0,

√3 2 , −

√3 2

! .

Podemos probar que estos vectores cumplen con las propiedades 1 y 2 antes mencionadas, simplemente calculando el producto interno de todas las combinaciones de los tres. Como se mencion´o anteriormente, la primera propiedad es consecuencia de la segunda. Por lo tanto, este conjunto de vectores es ortonormal.² Dado que el conjunto de vectores vi es una base de R³, podemos escribir al punto p como una combinaci´on lineal de los tres vectores de la base, p = ˆp₁v₁+ ˆp₂v₂+ ˆp₃v₃. Dado que la base es ortonormal, podemos encontrar los coeficientes ˆp_iproyectando a p sobre cada vector de la base v_i, usando el producto interior, tal que ˆp_i= p · v_i, es decir

ˆ pi=

3

X

m=1

pmvim, (4)

donde v_im es la entrada m-´esima del vector v_i. Usando la Eq. 4 con nuestro punto y base ortonormal, obtenemos los siguientes coeficientes

ˆ

p1= 1 · 1

√3 + 0 · 1

√3 − 1 · 1

√3 = 0, pˆ2= 1 · r2

3+ 0 · − r2

3 1 2

!

− 1 · − r2

3 1 2

!

= q3

2, ˆ

p₃= 1 · 0 r2

3 + 0 · r2

3

√3

2 − 1 · − r2

3

√3 2

!

=

√ 2 2 .

Ya que tenemos estos coeficientes, construyamos un nuevo vector cuyas entradas correspondan a los coeficientes que acabamos de calcular, es decir ˆp = (ˆp1, ˆp2, ˆp3) , el cual, en este ejemplo, estar´ıa dado por p =ˆ 

0, q3

2,

√2 2



. Podemos pensar que generamos un nuevo punto (ˆp) en R³ a partir de otro punto en R³ (p) y una operaci´on que involucra a una base ortonormal (vi).

Es trivial, pero ´util, recordar que tambi´en podemos generar al punto original p a partir del nuevo punto ˆp, ya que ´este es el vector de coeficientes de la combinaci´on lineal de la base. Por lo tanto, p puede expresarse como p = ˆp₁v₁+ ˆp₂v₂+ ˆp₃v₃o, componente a componente, como

p_i=

3

X

m=1

ˆ

p_mv_mi. (5)

2Este conjunto de vectores puede parecer arbitrario, pero m´as adelante veremos que pueden ser elegidos de una forma particular.

Podemos notar que las Eqs. 4 y 5 son id´enticas salvo por la permutaci´on de los ´ındices de v, por lo que podemos concluir que la obtenci´on de ˆp a partir de p y su operaci´on inversa (la obtenci´on de p a partir de ˆp) son iguales.

Podr´ıamos visualizar al punto p, a al conjunto de vectores ortonormales y al vector ˆp como puntos en Rⁿ, pero lo visualizaremos de otra manera para mayor claridad. Pensemos que cada vector en R³ corresponde a funciones f : {1, 2, 3} ⊂ N 7→ R. Es decir, a cada elemento del conjunto discreto {1, 2, 3} le asignamos el valor de cada una de sus entradas. En este sentido, podr´ıamos pensar en que cada vector es un mapeo del ´ındice de sus entradas al valor de sus entradas. Entonces podemos visualizar cada vector como un conjunto de puntos en R², donde el eje horizontal corresponde al ´ındice de las entradas y el eje vertical corresponde al valor de la entrada respectiva, como en la figura 2.

1 2 3

Indice

-1.0 -0.5 0.5 1.0 Valor

(a) (p1, p2, p3) = (1, 0, −1).

1 2 3

Indice

-0.5 0.5 Valor

(b) Base ortonormal vi.

1 2 3

Indice 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Valor

(c) (ˆp1, ˆp2, ˆp3) = (0, q3

2,

√ 2 2 ).

Figura 2: Visualizaci´on de p, ˆp como mapeos de los ´ındices de sus entradas al valor de cada entrada. Las l´ıneas son usadas como referencia visual. En (b), los s´ımbolos azules corresponden a v1, los rojos a v2, y los verdes a v3.

Por supuesto, no hay nada que restinja el procedimiento de generaci´on de ˆp y viceversa a R³. Podemos aplicar el mismo m´etodo para cualquier dimensi´on. Veamos, por ejemplo, un caso an´alogo en R⁵. Tomemos a p = (1, 1, 0, −1, −1), por ejemplo. En este caso, la base ortonormal adecuada para nuestros intereses es

significativamente m´as complicada que en R³

v1= ^√1

5(1, 1, 1, 1, 1), v2= q2

5

 0,

q

5 8+

√5 8 ,

q

5 8−

√5 8 , −

q

5 8−

√5 8 , −

q

5 8+

√5 8

 , v₃= ¹₄

q2 5

4, −1 +√

5, −1 −√

5, 1 −√

5, −1 +√ 5

, v₄= ¹₄ q2

5

4, −1 −√

5, −1 +√

5, −1 +√

5, −1 −√ 5

, v5=

q2 5

 0,

q

5 8−

√5 8 , −

q

5 8+

√5 8 ,

q

5 8+

√5 8 , −

q

5 8−

√5 8

 .

Podemos probar que esta es una base ortonormal de la misma forma que lo probamos para R³. De igual forma, para encontrar a ˆp podemos usar una expresi´on an´aloga a la Eq. 4, ˆpi=P5

m=1pmvim, y obtener ˆ

p = 0, s5

4 + 11 4√ 5,

p3 +√ 5

2 ,

p3 −√ 5 2 ,1

2 s

5 − 11

√5

! .

Si quisieramos visualizar todos estos puntos como funciones de {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ N en R como hicimos anteriormente (figura 3), podr´ıamos identificar algunas ligeras semejanzas con el ejemplo en R³ (Fig. 2).

1 2 3 4 5

Indice

-1.0 -0.5 0.5 1.0 Valor

(a) (p1, p2, p3, p4, p5) = (1, 1, 0, −1, −1).

1 2 3 4 5

Indice

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 Valor

(b) Base ortonormal vien R⁵.

1 2 3 4 5

Indice 0.5

1.0 1.5 Valor

(c) (ˆp1, ˆp2, ˆp3, ˆp4, ˆp5).

Figura 3: Visualizaci´on de p, ˆp en R⁵como mapeos de los ´ındices de sus entradas al valor de cada entrada.

Las l´ıneas son usadas como referencia visual.

Por simplicidad, elegimos al punto p ∈ R⁵ como una extensi´on del mismo en R³, el cual tiene la primera mitad de sus entradas iguales a uno, la segunda mitad igual a menos uno, y el punto medio igual a cero. Esto se asemeja a una versi´on discreta de la funci´on de Heaviside (funci´on escal´on). El primer vector de la base, v₁, es una constante con respecto al ´ındice de sus entradas. Los siguientes vectores de la base parecen tener un comportamiento oscilante respecto al ´ındice, pues los valores suben y bajan

conforme incrementa el ´ındice. A´un m´as, en R⁵, los vectores v₂y v₃parecen oscilar m´as lentamente que v4y v5. Finalmente, el vector ˆp claramente sigue la misma tendencia tanto en R³como en R⁵: su primera entrada es cero, la segunda alcanza su valor m´aximo, y las siguientes decaen hacia cero lentamente con el ´ındice.

200 400 600 800 1000

Indice

-1.0 -0.5 0.5 1.0 Valor

(a) Punto p.

200 400 600 800 1000

Indice

-0.04 -0.02 0.02 0.04 Valor

(b) Base ortonormal vi.

100 200 300 400 500

Indice 0.05

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Valor

(c) Vector ˆp.

Figura 4: Visualizaci´on de p, ˆp y de la base ortonormal vi como mapeos de los ´ındices de sus entradas al valor de cada entrada. En (b), los s´ımbolos azules corresponden a v1, los rojos a v2, los verdes a v3, los negros a v4 y los naranjas a v5.

Podemos aumentar la dimensi´on n del espacio Rⁿ arbitrariamente para observar la tendencia m´as claramente. En la figura 4 repetimos el mismo procedimiento para R¹⁰⁰⁰. Ahora podemos ver claramente lo que est´a sucediendo en todos los ejemplos que hemos visto. El punto p es claramente la funci´on de Heaviside centrada en la parte media de los ´ındices. Cada vector de la base ortonormal es un seno o un coseno con diferente frecuencia. El primer vector, que es una constante, puede considerarse como un coseno de frecuencia cero, i.e. cos (0n) = 1 para todo n ∈ N. M´as sorprendente a´un, el vector ˆp que construimos como una lista de los coeficientes de la combinaci´on lineal de p en t´erminos de la base ortonormal, no es una colecci´on aleatoria de n´umeros, sino una funci´on que decrece a cero como una hip´erbola (con algunos coeficientes iguales a cero).

Como se puede ver en la Fig. 5, la bases que elegimos para los ejemplos en R³ y R⁵ tambi´en son versiones discretas de senos y cosenos. El hecho de que podamos representar cualquier punto en Rⁿ como una suma de n senos y cosenos, quiere decir que podemos construir cualquier funci´on de N en R como una suma de senos y cosenos de diferente frecuencia. En general, la forma de encontrar la base ortonormal a

trav´es de senos y cosenos es usando las funciones sin ^2πk_N n
y cos ^2πk_N n
, donde k ∈ 1, 2, . . . , ^N₂ y n la dimensi´on del espacio.

2 3

Indice

-0.5 0.5 Valor

(a) Base en R³.

2 3 4 5

Indice

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 Valor

(b) Base en R⁵.

Figura 5: Visualizaci´on de p, ˆp y de la base ortonormal vi como mapeos de los ´ındices de sus entradas al valor de cada entrada, con su respectivo seno o coseno no discretizado (continuo).

Por lo tanto, para obtener una funci´on ˆp : N 7→ R a partir de otra funci´on p : N 7→ R, podemos usar la forma generalizada de la Eq. 4 y los cosenos y senos discretizados para obtener las ecuaciones

ˆ p₀= 1

√ N

N

X

m=1

p_m,

ˆ p2k=

r2 N

N

X

m=1

pmcos 2πk

N m

 ,

ˆ p2k+1=

r2 N

N

X

m=1

pmsin 2πk

N m

 .

Podemos condensar estas tres ecuaciones en una sola usando la f´ormula de Euler (Eq. 2). De esta forma, podemos representar a todos los coeficientes como cantidades complejas mediante la suma

ˆ pk =

r2 N

N

X

m=1

pmexp

 im2πk

N



. (7)

A la Eq. 7 se le conoce como la transformada discreta de Fourier. En nuestro ejemplo, p = 1 − 2Θ ⁿ⁺¹₂
, con Θ(n) la funci´on de Heaviside. De forma exacta, se puede encontrar que su transformada de Fourier es ˆp ∝ n⁻¹, lo cual concuerda con la forma hiperb´olica que encontramos en varias dimensiones.

Las funciones y sus transformadas tienen una relaci´on uno a uno. Esto es una consecuencia de que, como sabemos de ´algebra lineal, cualquier punto puede expresarse como una combinaci´on lineal ´unica de vectores de una base. Esto hace posible la definici´on de una operaci´on inversa a la transformada.

Como se vio en la Eq. 5, la operaci´on inversa es igual a la directa. En t´erminos de la f´ormula de Euler, la transformada discreta inversa de Fourier, la operaci´on necesaria para recuperar la funci´on original a partir de su transformada, se define como

pm= r2

N

N

X

m=1

ˆ pkexp



−im2πk N



, (8)

la cual s´olo difiere de la transformada directa por un signo en el exponente de la exponencial, necesario para preservar el signo de la funci´on original, dada la propiedad de conjugaci´on de los n´umeros complejos.

La transformada discreta de Fourier y su inversa s´olo son aplicables a funciones discretas (con dominio en un subconjunto de los naturales), pues interpretamos a dichas funciones como puntos en Rⁿ, donde la dimensi´on del espacio, n, es un n´umero natural. Sin embargo, esta idea puede extenderse para funciones de R en R, escalando el espacio entre los elementos del dominio por una constante ε y tomando el l´ımite ε → 0. De esta forma, encontramos la tranformada continua de Fourier, o simplemente, la transformada de Fourier, y la transformada inversa de Fourier, dadas por

f (t) =ˆ Z ∞

−∞

f (x)e^itxdx, y f (x) = 1 2π

Z ∞

−∞

f (t)eˆ ^−itxdt, (9)

donde las funciones f : R 7→ R y ˆf : R 7→ C son continuas.³

La transformada de Fourier es en general una funci´on compleja, excepto en el caso que la funci´on original es sim´etrica respecto a cero, es decir, si f (x) = f (−x) , donde ser´a puramente real. A continuaci´on mostramos la implicaci´on s´olo en un sentido.

Teorema 1. Sea f : R 7→ R una funci´on sim´etrica, tal que f (x) = f (−x). Entonces su transformada de Fourier es una funci´on puramente real, ˆf : R 7→ R y est´a dada por

f (t) = 2ˆ Z ∞

0

f (x) cos(tx)dx. (10)

Demostraci´on. Por definici´on, la transformada de Fourier es ˆf (t) =R∞

−∞f (x)e^itxdx. Separemos la integral para partes positivas y negativas

f (t) =ˆ Z 0

−∞

f (x)e^itxdx + Z ∞

0

f (x)e^itxdx.

Haciendo el cambio de variable ξ = −x, dξ = −dx en la primer integral y cambiando los l´ımites de integraci´on de forma adecuada, obtenemos

f (t) = −ˆ Z 0

∞

f (−ξ)e^−itξdξ + Z ∞

0

f (x)e^itxdx

= Z ∞

0

f (ξ)e^−itξdξ + Z ∞

0

f (x)e^itxdx,

donde usamos la simetr´ıa de la funci´on f . Como las variables de integraci´on son mudas, podemos llamar x a ξ y obtenemos

f (t) =ˆ Z ∞

0

f (x)e^−itxdx + Z ∞

0

f (x)e^itxdx

= Z ∞

0

f (x) e^itx+ e^−itx
dx,

3Pueden ver una descomposici´on en series de Fourier interesante aqu´ı.

donde pudimos juntar ambas integrales en una sola por la linealidad de la integraci´on y por tener ambas integrales los mismos l´ımites de integraci´on. Por ´ultimo, sustituimos la ecuaci´on de Euler, usamos que la paridad de la funci´on coseno (cos(x) = cos(−x)) y la imparidad de la funci´on seno (sin(x) = − sin(−x)).

f (t) =ˆ Z ∞

0

f (x) e^itx+ e^−itx
dx

= Z ∞

0

f (x) [cos (tx) + i sin (tx) + cos (−tx) + i sin (−tx)] dx

= Z ∞

0

f (x) [cos (tx) + i sin (tx) + cos (tx) − i sin (tx)] dx

= Z ∞

0

f (x) [2 cos (tx)] dx = 2 Z ∞

0

f (x) cos (tx) dx.

La transformada de Fourier tiene una propiedad que puede resultar ´util, sobre todo en ciertas apli- caciones como en probabilidad. Esta propiedad permite simplificar la operaci´on de la convoluci´on, que involucra a dos funciones reales, f (x) y g(x), y se define como

{f ∗ g} (x) :=

Z ∞

−∞

f (u)g(x − u)du, (11)

la cual puede pensarse como una medida de semejanza entre f (x) y g(x).

El siguiente teorema, que presentaremos sin demostraci´on, nos permite simplificar el c´alculo de esta operaci´on mediante las transformadas de Fourier de las funciones involucradas en la convoluci´on.

Teorema 2. Sean f, g : R 7→ R dos funciones reales, con transformadas de Fourier ˆf , ˆg : R 7→ C.

Denotemos a la convoluci´on de f (x) y g(x) por H(x) := {f ∗ g} (x). Entonces la transformada de Fourier de la convoluci´on est´a dada por

H(t) = ˆˆ f (t)ˆg(t). (12)

El teorema anterior nos permite calcular la convoluci´on de dos funciones encontrando primero las transformadas de Fourier de las funciones originales, multiplic´andolas, y posteriormente, aplicando la transformada inversa al resultado.

El material digital de apoyo Bases ortonormales.ipynb contiene ejemplos y demostraciones visuales de los conceptos introducidos en esta secci´on. Para su uso es necesario contar con la distribuci´on Anaconda de Python y la aplicaci´on Jupyter Notebook, disponible para Windows, MacOS y Linux; o en su defecto puede ser importado y ejecutado en cualquier navegador web mediante Google Colaboratory.

4. Variables Aleatorias

El concepto principal de la Teor´ıa de la Probabilidad es la frecuencia de resultados asociado un cierto experimento, realizado m´ultiples veces de forma independiente. Esta frecuencia de resultados est´a dada

por el cociente

cantidad de veces que obtengo cierto resultado cantidad de veces que realizo el experimento .

Podemos abstraer este concepto y sus propiedades, de manera tal que dado un experimento con un conjunto de posibles resultados Ω, y una familia de eventos F ⊆ P(Ω), definimos una probabilidad como una funci´on P : F → [0, 1] que satisface

(A1) P (A) ∈ [0, 1] ∀A ∈ F , (A2) P (Ω) = 1,

(A3) Si A1, A2, . . . son mutuamente excluyentes, entonces P

_∞ S

i=1

Ai



=

∞

P

i=1

P (Ai).

De esta definici´on (axiom´atica) se deducen varias propiedades y teoremas ´utiles. En este sentido es importante la noci´on de independencia de eventos. Decimos que dos eventos A, B son independientes si

P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Por otro lado, para poder usar herramientas matem´aticas familiares, se definen funciones que describen los eventos del espacio de probabilidad original (Ω, F , P ) como subconjuntos en R, manteniendo las relaciones entre ´estos. As´ı, llamamos variable aleatoria a una funci´on de la forma X : Ω → R tal que

X⁻¹(B) ∈ F ∀B ∈ B,

donde B corresponde a la sigma-´algebra de Borel en R. Podemos entonces estudiar PX(B) = P (X⁻¹(B)), ∀B ∈ B,

que denotaremos simplemente como P (X ∈ B).

En el caso en el que un experimento aleatorio tiene una cantidad numerable de posibles resultados, decimos que la variable aleatoria asociada X es discreta, y la probabilidad asociada puede caracterizarse por una funci´on de probabilidad puntual, es decir una funci´on p_X: R^d → [0, 1] dada por

p_X(x) := P (X = x) , x ∈ R.

Entonces para A ∈ B, tenemos que P (X ∈ A) = P

x∈A

p_X(x), y en particular P (X ∈ R) = P

x∈R

p_X(x) = 1.

Por otro lado, decimos que una variable aleatoria X es continua (o absolutamente continua) si existe una funci´on f : R → R⁺0 llamada funci´on de densidad, conR

Rf (x)dx = 1, tal que P (X ∈ B) =

Z

B

f (x)dx, B ∈ B.

En ambos casos, basta con conocer la probabilidad acumulada hasta un punto, informaci´on que codifica la funci´on de distribuci´on acumulada (FDA) F_X : R → [0, 1], definida como

F_X(z) := P_X((−∞, z]) = P (X ≤ z).

Dada X una variable aleatoria, estamos interesados en el promedio ( “ponderado”por las probabilidades) de los valores que ´esta toma. Definimos entonces que la esperanza (o media) de X est´a dada por

E[X] :=





 P

x∈R

xpX(x) si X es discreta R+∞

−∞ xf_X(x)dx si X es continua

siempre que estas sumas est´en bien definidas. Geom´etricamente, la media de una variable corresponde al centro de gravedad del ´area bajo la curva de su funci´on de densidad. Recordemos que si g : R → R es una funci´on medible (es decir, para todo B ∈ B se cumple que g⁻¹(B) ∈ B), entonces g(X) es tambi´en una variable aleatoria y podemos calcular su esperanza usando la siguiente caracterizaci´on

E [g(X)] =





 P

x∈R

g(x)pX(x) si X es discreta R+∞

−∞ g(x)fX(x)dx si X es continua .

La esperanza matem´atica tiene varias propiedades, siendo la principal la linealidad. Ademas se cumple el siguiente resultado.

Lema 1 (Desigualdad de Jensen). Dada X una v.a. y ϕ una funci´on convexa, entonces ϕ (E[X]) ≤ E [ϕ(X)] .

Ahora, ¿c´omo medimos cu´an dispersos est´an los valores que toma una variable con respecto a su media? Para eso definimos la varianza, dada por

V ar(X) := Eh

(X − E[X])²i

= EX² − E[X]², d´onde la segunda igualdad se obtiene usando la linealidad de la esperanza.

Para trabajar con distintas caracter´ısticas a medir relacionadas con un mismo experimento, se define tambi´en una funci´on X = (X1, ..., Xd) : Ω → R^dconocida como vector aleatorio, en la que cada coordena- da Xies una variable aleatoria, . An´alogamente al caso unidimensional, en el caso discreto la probabilidad asociada a X est´a caracterizada por la funci´on de probabilidad conjunta puntual pX : R^d→ [0, 1], tal que

P (X ∈ A) = X ...X

(x₁,...,x_d)∈A

pX((x1, ..., xd)), A ∈ B^d;

y en el caso continuo trabajaremos con la funci´on de densidad conjunta f : R^d → R⁺0 que satisface P (X ∈ B) =

Z

B

f (x)dx, B ∈ B^d.

En cualquier caso, decimos que las variables aleatorias X, Y son independientes entre s´ı , denotando X ⊥⊥ Y , cuando

P (X ∈ B₁, Y ∈ B₂) = P (X ∈ B₁) P (Y ∈ B₂) ∀B₁, B₂∈ B,

en el mismo sentido que la independencia de eventos definida anteriormente. Si dos variables son inde- pendientes, se cumple que

E[XY ] = E[X]E[Y ].

5. Funci´ on Caracter´ıstica

As´ı como estamos interesados en ciertos valores constantes “observables” de una distribuci´on de probabilidad, como son la varianza o la esperanza, podemos tambi´en estudiar ciertas funciones reales que nos ayudan a estudiar (y caracterizar) distribuciones de probabilidad. Asi, dada una variable aleatoria X : Ω → R, la funci´on caracter´ıstica de X es una funci´on ϕX: R → C, dada por

ϕ_X(t) = Ee^itX = E [cos(tX)] + iE [sin(tX)] ∀t ∈ R.

Si X es una v.a. discreta, la funci´on caracter´ıstica es la transformada de Fourier discreta de la funci´on de probabilidad puntual pX

ϕX(t) = X

k∈R_X

e^itkpX(k);

y si X es una v.a. continua entonces

ϕX(t) = Z ∞

−∞

e^itxf (x)dx

corresponde a la Transformada de Fourier de la funci´on de densidad f , y en ambos casos es una funci´on continua. Tenemos las siguientes propiedades.

Proposici´on 2.

1. |ϕX(t)| ≤ 1⁴. 2. ϕX(0) = 1.

3. X1, X2, · · · , Xn vs. as. independientes, entonces

ϕ_Pⁿ

i=1

X_i(t) =

n

Y

i=1

ϕX_i(t) ∀t ∈ R.

4. Dado a, b ∈ R, ϕaX+b(t) = e^itbϕ_X(at).

Demostraci´on.

1. Tenemos que |ϕX(t)| = |E[e^itX]| ≤ E|e^itX| = E[q

cos²(tX) + sin²(tX)] = 1, por el Lema 1, al ser el m´odulo una funci´on convexa.

2. ϕX(0) = E[cos(0X)] + iE[sin(0X)] = 1.

4Esta cota nos permite deducir que la funci´on caracter´ıstica est´a definida para todo t ∈ R, sin importar la distribuci´on de X.

3. Probaremos el caso n = 2. Dadas X, Y variables aleatorias independientes, sabemos que f (X) ⊥⊥ g(Y ) para cualquier par de funciones medibles reales f, g. Entonces

ϕX+Y(t) = Ee^itXe^itY = E [(cos(tX) + i sin(tX))(cos(tY ) + i sin(tY ))]

= E [cos(tX) cos(tY )] + iE [cos(tX) sin(tY )] + iE [sin(tX) cos(tY )] − E [sin(tX) sin(tY )]

= E [cos(tX)] E [cos(tY )] + iE [cos(tX)] E [sin(tY )] + iE [sin(tX)] E [cos(tY )]

− E [sin(tX)] E [sin(tY )] = E [(cos(tX) + i sin(tX))] E [(cos(tY ) + i sin(tY ))]

= Ee^itX E e^itY = ϕX(t)ϕY(t).

4. ϕ_aX+b(t) = Ee^itaXe^itb = e^itbE[e^i(at)X] = e^itbϕ_X(at).

De manera an´aloga a lo discutido anteriormente, se tiene el siguiente resultado, que permite reconstruir la funci´on de distribuci´on acumulada a partir de la funci´on caracter´ıstica.

Teorema 3 (F´ormula de Inversi´on). Dados x, y ∈ R dos puntos de continuidad de la FDA F^X, con x < y, tenemos que

P (x < X ≤ y) = FX(y) − FX(x) = 1 2π l´ım

T →∞

T

Z

−T

e^−itx− e^−ity

it ϕX(t)dt.

En particular, si X es discreta con RX ⊆ N, entonces P (X = k) = 1

2π Z π

−π

e^−itkϕX(t)dt ∀k ∈ N.

Usando la F´ormula de Inversi´on, podemos probar la siguiente proposici´on, que establece que la funci´on caracter´ıstica determina la distribuci´on.

Proposici´on 4. Dadas X, Y vs. as. tal que ϕX(t) = ϕY(t) ∀t ∈ R, entonces X = Y .^D Demostraci´on. Por Teorema 3, tenemos que para cada z ∈ R,

Fx(z) = l´ım

y_n↓z l´ım

x_n↓−∞ l´ım

T →∞

1 2π

Z T

−T

e^−itxn− e^−ityn

it ϕX(t)dt

= l´ım

y_n↓z l´ım

x_n↓−∞ l´ım

T →∞

1 2π

Z T

−T

e^−itxn− e^−ityn

it ϕ_Y(t)dt

= FY(z),

donde {yn}_n∈Nes una sucesi´on decreciente de puntos de continuidad de FX que converge a z y {xn}_n∈N es una sucesi´on decreciente de puntos de continuidad que va a −∞ (siempre existen pues una FDA tiene a lo m´as una cantidad numerable de puntos de discontinuidad). Entonces, como F_X(z) = F_Y(z) ∀z ∈ R, tenemos que X e Y tienen la misma distribuci´on.

Podemos estudiar la convergencia en distribuci´on de una sucesi´on de variables, definida como X_n −→ X^D ⇔ F_Xn(z) → F_X(z) ∀z ∈ R : F (z) = l´ım_z

n→zF (z_n), usando la convergencia de sus funciones caracter´ısticas.

Teorema 5 (Teorema de Continuidad de Paul L´evy). Sean {X_n}_n∈N, X variables aleatorias. Entonces Xn

−→ XD si y solo si ϕX_n(t) → ϕX(t) ∀t ∈ R,

Demostraci´on. (⇒) Supongamos que Xn

−→ X. Tenemos entonces que E [f (XD n)] → E [f (X)] para toda funci´on f continua y acotada. En particular las funciones seno y coseno son continuas y acotadas, por lo que para cada t ∈ R tenemos que

n→∞l´ım ϕX_n(t) = l´ım

n→∞E[cos(tXn)] + i l´ım

n→∞E[sin(tXn)] = E[cos(tX)] + iE[sin(tX)] = ϕX(t).

(⇐) Sean x, y ∈ R puntos de continuidad de F^X, con x ≥ y. Entonces tenemos que FX(y) − FX(x) = l´ım

T →∞

1 2π

Z T

−T

e^−itx− e^−ity

it ϕX(t)dt = l´ım

T →∞

1 2π

Z T

−T

e^−itx− e^−ity it

h

n→∞l´ım ϕX_n(t)i dt

= l´ım

n→∞

"

l´ım

T →∞

1 2π

Z T

−T

e^−itx− e^−ity

it ϕX_n(t)dt

#

= l´ım

n→∞[Fn(y) − Fn(x)] ,

y puedo intercambiar los l´ımites pues ambos existen y son finitos por convergencia y Teorema de Inversi´on. Por lo tanto, basta tomar una sucesi´on decreciente {xn}_n∈Nde puntos de continuidad de FX que se vaya a −∞ para obtener la convergencia deseada.

Proposici´on 6. Si X es una variable aleatoria tal que E [|X|ⁿ] ≤ ∞, entonces i. ϕ^(k)_X (t)

_t=0= iⁿEX^k , ∀k ∈ {1, 2, ..., n}.

ii. ϕX(t) =

n

P

k=0

E[X^k]

k! (it)^k+ o(tⁿ), con l´ım

t→0 o(tⁿ)

tⁿ = 0.

Demostraci´on. Recordemos que ϕ_X(t) = E[cos(tX)] + iE[sin(tX)], y como ambas funciones son acotadas (y sus derivadas tambi´en), tenemos que la derivada de la esperanza es la esperanza de la derivada, por lo que

ϕ⁰_X(t) 

_t=0= E[X (− sin(tX))] + iE[X (cos(tX))]

_t=0= iE[X],

siempre y cuando la esperanza sea finita. Podemos realizar esta operaci´on nuevamente mientras los momentos est´en bien definidos, y deducir as´ı las derivadas deseadas.

Para deducir el ´ıtem ii. basta aplicar el Teorema de Taylor para la exponencial compleja.

Veamos un ejemplo de c´omo calcular una funci´on caracter´ıstica y usarla para encontrar algunos de sus momentos.

Ejemplo 2. Encuentra la funci´on caracter´ıstica de una funci´on distribuida normalmente X ∼ N (µ, σ) y verifica que E [X] = µ y Var (X) = σ².

Soluci´on. Recordemos que la funci´on de densidad de una variable aleatoria normalmente distribuida est´a dada por

f (x) = 1 σ√

2πe⁻

 x−µ√ 2σ

2

.

Calculemos la funci´on caracter´ıstica por definici´on, usando el cambio de variable s = ^x−µ_σ , ds = ^dx_σ.

φX(t) = ¹

σ√ 2π

Z ∞

−∞

e⁻

 x−µ√ 2σ

2

e^itxdx = ^σ

σ√ 2π

Z ∞

−∞

e^{−12s2+it(σs+µ)}ds

=^√eitµ

2π

Z ∞

−∞

e^{−12s2+itσs}ds,

donde sacamos una de las exponenciales de la integral, ya que es una constante respecto a la variable de integraci´on s. Ahora, sumemos un cero en el exponente de la exponencial dentro de la integral, de la forma ¹₂t²σ²−¹₂t²σ²= 0 para completar un binomio cuadrado

φ_X(t) = ^√eitµ

2π

Z ∞

−∞

e^{−12s2+itσs}ds = ^√eitµ

2π

Z ∞

−∞

e^{−12(s+itσ)2−12t2σ2}ds

= ^eitµ−

1 2^{t2 σ2}

√2π

Z ∞

−∞

e⁻

1 2(s+itσ)²

ds

Para terminar con el c´alculo de la funci´on caracter´ıstica, hacemos el cambio de variable z = s + itσ, dz = ds

φX(t) = ^eitµ−

1 2^{t2 σ2}

√ 2π

Z ∞

−∞

e⁻

1 2(s+itσ)²

ds = e^itµ−

1

2(tσ)²Z ∞

−∞

√1 2πe⁻

1 2z²

dz

= e^itµ−

1

2(tσ)²Z ∞

−∞

f (z)dz = e^itµ−

1 2(tσ)²

,

donde la ´ultima integral es uno, puesto que f (z) es la densidad de probabilidad de una variable aleatoria Z ∼ N (0, 1).

Por otro lado, para calcular los momentos de la distribuci´on, empecemos por calcular la primera derivada de la funci´on caracter´ıstica

φ⁰_X(t) = iµ − σ²t
e^{itµ−12(tσ)2}, y su segunda derivada

φ⁰⁰_X(t) =h

iµ − σ²t
²

− σ²i

e^{itµ−12(tσ)2}. Evaluamos estas derivadas en t = 0 para obtener

φ⁰_X(0) = iµ, φ⁰⁰_X(0) = −µ²− σ²,

donde usamos que i²=√

−1²− 1. Usando las propiedades de la funciones caracter´ısticas vistas anterior- mente y las derivadas evaluadas en t = 0, encontramos los primeros dos momentos

E [X] = µ, EX² = µ²+ σ².

Finalmente, encontramos la varianza usando la relaci´on Var (X) = EX² − (E [X])²= σ².

Las propiedades generadoras de la ecuaci´on caracter´ıstica pueden emplearse aun cuando no est´e defi- nida en t = 0, siempre y cuando los l´ımites de la funci´on y sus derivadas existan cuando t → 0, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Encuentra la funci´on caracter´ıstica de una variable aleatoria uniforme X ∼ U (−1, 1) y calcula sus primeros dos momentos.

Soluci´on. La densidad de probabilidad de la variable aleatoria est´a dada por f (x) = ¹₂1(−1,1)(x).

Esta funci´on es evidentemente sim´etrica alrededor de cero, por lo que podemos usar el Teorema 1 para calcular su funci´on caracter´ıstica de la siguiente manera

φX(t) =2 Z ∞

0

f (x) cos (tx) dx =2 2

Z ∞ 0

1(−1,1)(x) cos (tx) dx

= Z 1

0

cos (tx) dx = sin (tx) t

x=1

x=0

=sin t

t =: sinc(t).

Podemos ver que la funci´on caracter´ıstica no est´a definida para t = 0. Sin embargo, usando la regla de l’Hˆopital, vemos que

t→0l´ımφX(t) = l´ım

t→0

sin t t = l´ım

t→0cos(t) = 1.

Ahora, calculemos la primera derivada de la funci´on caracter´ıstica φ⁰_X(t) = t cos(t) − sin(t)

t² ,

y usando ´esta, calculamos la segunda derivada

φ⁰⁰_X(t) = 2 − t²
sin (t) − 2t cos (t)

t³ .

De nuevo, las derivadas no est´an definidas en t = 0, pero podemos usar la regla de L’Hˆopital como antes, dado que, en ambos casos, tanto el numerador como el denominador tienden a cero. En el caso de la primera derivada

t→0l´ımφ⁰_X(t) = l´ım

t→0

t cos(t) − sin(t) t² = l´ım

t→0−t sin (t) 2t = l´ım

t→0−sin (t) + t cos (t)

2 = 0.

Ahora, evaluando la segunda derivada

l´ım

t→0φ⁰⁰_X(t) = l´ım

t→0

2 − t²
sin (t) − 2t cos (t) t³

= l´ım

t→0−t²cos (t) 3t² = l´ım

t→0−cos(t) 3 = −1

3.

Por lo que encontramos que, mediante las propiedades de la funci´on caracter´ıstica, los primeros dos momentos son

E [X] = 0, EX² = 1 3.

La fortaleza de la funci´on caracter´ıstica recae en estar definida para cualquier valor t, pues siempre est´a acotada, aun el caso en distribuciones mas complicadas, como por ejemplo para el caso de la distribuci´on de Cauchy.

Ejemplo 4. Sea X una variable aleatoria distribuida Cauchy con par´ametro de corrimiento x0y par´ame- tro de escala γ. Muestra que su funci´on caracter´ıstica est´a dada por

φX(t) = exp (x0it − γ|t|) .

Demostraci´on. La densidad de probabilidad de la variable aleatoria X est´a dada por

f (x) = ¹

πγ



1+x−x0

γ

2.

Calcular la funci´on caracter´ıstica a partir de la densidad de probabilidad es bastante complicado en este caso. Sin embargo, sabemos que la densidad de probabilidad y su funci´on caracter´ıstica tienen una relaci´on uno a uno, al ser esta ´ultima la transformada de Fourier de la primera. Por lo tanto podemos aplicar la transformada inversa de Fourier a la funci´on caracter´ıstica para mostrar que corresponde a una densidad de probabilidad de una variable distribuida Cauchy. Usando la definici´on de transformada inversa de Fourier, tenemos que

f (x) = _2π¹ Z ∞

−∞

φ_X(t) e^−itxdt = _2π¹ Z ∞

−∞

e^x0it−γ|t|e^−itxdt

= _2π¹ Z ∞

−∞

e^x0it−γ|t|−itxdt

= _2π¹ Z ∞

−∞

e^{−it(x−x0)−γ|t|}dt.

Recordemos que el valor absoluto se define como

|t| =







t, t ≥ 0,

−t, t < 0.