Funci´
on Caracter´ıstica
Memo Garro
Resumen
En este art´ıculo presentamos el concepto de funci´on caracter´ıstica, como una herramienta ´util para determinar distribuciones y momentos de variables aleatorias, o funciones de ellas. Introducimos una definici´on inicial y presentamos los ejem-plos m´as representativos. Despu´es analizaremos las principales propiedades de la funci´on caracter´ıstica (existencia, unicidad, continuidad). Finalmente presentamos los teoremas de inversi´on y una generalizaci´on para el caso de vectores aleatorios.
1
Funci´
on caracter´ıstica de una v.a.
X
Definici´on 1.1. Sea X una v.a. y FX su funci´on de distribuci´on. La funci´on caracter´ıstica
de X es la funci´on ϕX :R→C dada por
ϕX(t) =E[e itX
] =
Z ∞
−∞
eitxdFX(x),
para todo t∈R.
Dado que eitx= costx+isentx (seg´un la f´ormula de D’Moivre), entonces
ϕX(t) =E[costX] +iE[sentX],
para todo t∈R.
Cuando X es una v.a. absolutamente continua y fX es su funci´on de densidad, entonces
la funci´on caracter´ıstica de X tiene la forma
ϕX(t) =
Z ∞
−∞
eitxfX(x)dx;
y cuando X es una v.a. discreta entonces
ϕX(t) =
∞
X
j=1
Ejemplos.
1. SiXtiene distribuci´on Bernoulli con par´ametroρ, entoncespX(k) =ρk(1−ρ)1
−kI
{0,1}(k). Luego, la funci´on caracter´ıstica de X est´a dada por
ϕX(t) =
1
X
k=0
ρk(1−ρ)1−keitk
= 1−ρ+ρeit
= 1−ρ(1−eit).
2. Sea X una v.a. con distribuci´on binomial con par´ametros ρ y n. Entonces
pX(k) =
n k
ρk(1−ρ)n−kI{0,1,...,n}(k). Luego, la funci´on caracter´ıstica deX est´a dada por
ϕX(t) = n
X
k=0
n k
ρk(1−ρ)n−keitk
=
n
X
k=0
n k
(ρeit)k(1−ρ)n−k
= [1−ρ(1−eit)]n.
3. Supongamos ahora que X tiene distribuci´on Poisson con par´ametro λ, entonces
pX(k) =
e−λλk
k! I{0,1,...}(k). Luego, la funci´on caracter´ıstica de X est´a dada por
ϕX(t) =
∞
X
k=0
e−λλk
k! e
itk
= e−λ
∞
X
k=0
(λeit)k
k!
= e−λeλeit
= e−λ(1−eit).
4. Si X tiene distribuci´on
FX(x) =
0 si x < M,
1 si x≥M,
para alguna constante real M, entonces
ϕX(t) =
Z ∞
−∞
eitxdFX(x)
= lim
n→∞
Z M+n
M−n
eitxdFX(x)
=
Z M+1
M−1
eitxdFX(x)
5. Cuando X tiene distribuci´on uniforme sobre (a, b) con a, b ∈ R, entonces
fX(x) =
1
b−aI(a,b)(x). Luego la funci´on caracter´ıstica de X es
ϕX(t) =
1
b−a Z b
a
eitxdx
= e
itb−eita
it(b−a).
6. Si X tiene distribuci´on exponencial con par´ametroλ, entoncesfX(x) = λe
−λxI
(0,∞)(x).
Luego,
ϕX(t) =
Z ∞
0
λe−λxeitxdx
= λ Z ∞
0
e−(λ−it)xdx
= λ
λ−it.
7. Si X tiene distribuci´on normal con par´ametros µy σ2 entonces
ϕX(t) =
Z ∞
−∞
eitx
1
√
2πσ2e
−(x−µ)2/2σ2
dx
=
Z ∞
−∞
1
√
2πσ2e
−(x2−2x(µ−itσ2)+µ2)/2σ2
dx
= e(−µ2+(µ−itσ2)2)/2σ2 Z ∞
−∞
1
√
2πσ2e
−[x−(µ−itσ2)]2/2σ2
| {z }
N(µ−itσ2,σ2)
dx
= eitµ−12t 2σ2
.
8. Si X se distribuye gamma con par´ametros λ y α, entonces
ϕX(t) =
Z ∞
−∞
eitxfX(x)dx
=
Z ∞
0
eitx
λ
Γ(α)(λx)
α−1e−λx
dx
=
Z ∞
0
λ
Γ(α) (λx)
α−1e−(λ−it)xdx
= λ
α
(λ−it)α
Z ∞
0
λ−it
Γ(α) [(λ−it)x]
α−1e−(λ−it)x
| {z }
Γ(λ−it,α)
dx
=
λ λ−it
2
Propiedades de
ϕ
XEn primer lugar, anotamos el hecho m´as importante sobre la funci´onϕX.
Teorema 2.1. La funci´on caracter´ıstica de una v.a. X siempre existe.
Demostraci´on. En efecto, para todo par de n´umeros realest y x, tenemos
|eitx|=|costx+isentx|= 1,
seg´un la f´ormula de D’Moivre. Entonces E[|eitX|] = 1, por tantoE[eitX] =ϕX(t) existe para
todo n´umero real t.
Ahora anotamos las propiedades m´as inmediatas de ϕX.
Teorema 2.2. Si ϕX es la funci´on caracter´ıstica de la v.a., entonces
i) ϕX(0) = 1,
ii) |ϕX(t)| ≤1, y
iii) ϕX(−t) =ϕX(t).
Demostraci´on.
i) ϕX(0) =E[ei0t] =E[1] = 1.
ii) Sit es un n´umero real, entonces
|ϕX(t)| ≤
Z ∞
−∞
|eitx|dFX(x) =
Z ∞
−∞
dFX(x) = 1.
iii) Es inmediato de la definici´on de ϕX.
Este resultado tambi´en prueba que si una funci´on caracter´ıstica es constante en toda la recta real, entonces dicha constante solo puede ser igual a uno.
Teorema 2.3. Si E[|X|]<∞, entonces ϕX es uniformemente continua.
Demostraci´on. Sea >0, y sean t1,t2 dos n´umeros reales tales que
|t2−t1|E[|X|]< .
Tenemos que
|eit1x−eit2x|=|eit1x||ei(t2−t1)x−1|=|ei(t2−t1)x−1|,
y seg´un la f´ormula de D’Moivre,
|ei(t2−t1)x−1| = 2
sen(t2−t1)x 2
De tal manera que
|ϕX(t1)−ϕX(t2)| ≤
Z ∞
−∞
|eit1x−eit2x|dFX(x)
≤ |t2−t1|
Z ∞
−∞
|x|dFX(x)
= |t2−t1|E[|X|]
< ,
de donde se sigue queϕX es uniformemente continua.
Este resultado es v´alido a´un si suprimimos la hip´otesis de integrabilidad de X. Pero por el momento este resultado ser´a suficiente.
La funci´on caracter´ıstica al igual que las funciones generadoras, guarda una relaci´on muy estrecha con los momentos de una v.a. X. Pero el uso de ϕX posee la gran ventaja de que
esta funci´on siempre existe, independientemente de la v.a. de la que se trate, a diferencia de las funciones generadoras, donde no podemos asegurar su existencia de antemano si no es bajo ciertas condiciones.
Teorema 2.4. Si E[|X|n]<∞, para alg´un n´umero natural n, entonces
i) ϕ(k)
X (la derivada de orden k de ϕX) existe y es continua, para toda k = 1, ..., n.
ii) ϕ(k)
X (0) =ikE[Xk], para toda k= 1, ..., n.
Demostraci´on. Sit∈R y h6= 0, entonces
ϕX(t+h)−ϕX(t)
h =
Z ∞
−∞
eitxe
ihx−1
h dFX(x),
y dado que
lim
h→0
eihx−1
h = limh→0ixe
ihx =ix,
se tiene entonces que
ϕ(1)X (t) = lim n→0
ϕX(t+h)−ϕX(t)
h =i
Z ∞
−∞
xeitxdFX(x),
valuando en t= 0 obtenemos,
ϕ(1)X (0) =i
Z ∞
−∞
xdFX(x) = iE[X].
De igual forma tenemos el cociente
ϕ(1)X (t+h)−ϕ
(1)
X (t)
h =i
Z ∞
−∞
xeitxe
ihx−1
de donde
ϕ(2)X (t) = lim n→0
ϕ(1)X (t+h)−ϕ
(1)
X (t)
h
= i2 Z ∞
−∞
x2eitxdFX(x),
y cuando t= 0, entonces
ϕ(2)X (0) =i
2
Z ∞
−∞
x2dFX(x) = i
2
E[X2].
Luego, procediendo inductivamente, obtenemos el resultado deseado.
De esta forma es inmediato el siguiente corolario.
Corolario 2.1. Si E[|X|n]<∞, para todo n´umero natural n, entonces
i) ϕ(Xn) (la derivada de orden n de ϕX) existe y es continua, para toda n∈N.
ii) ϕ(Xn)(0) =i n
E[Xn], para toda n∈N.
Ejemplo 2.1. Si X tiene distribuci´on exponencial con par´ametro λ, entonces
ϕX(t) =
λ
λ−it, ϕ
0
X(t) =
iλ
(λ−it)2 y ϕ
00
X(t) = −
2λ
(λ−it)3,
luego
E[X] = 1
iϕ
0
X(0) =
1
λ y E[X
2] = 1
i2ϕ
00
X(0) =
2
λ2,
con lo cual
Var[X] =
2
λ2 −
1
λ2 =
1
λ
Teorema 2.5. Si X y Y son v.a.’s independientes, entonces ϕX+Y =ϕXϕY.
Teorema 2.6. Si Xn converge en distribuci´on a X, entonces ϕXn converge (puntualmente)
a ϕX.
3
Expansi´
on de la funci´
on
ϕ
XEn esta secci´on encontraremos una forma alternativa para expresar la funci´on caracter´ıtica de una v.a. X en una serie infinita.
Teorema 3.1. Sea X una v.a. tal que E[e|tX|] < ∞, para toda t ∈
R, entonces X tiene momentos de todos los ´ordenes y
ϕX(t) =
∞
X
k=0
(it)k
k! E[X
k
Formulaci´on alternativa.
Sea X una v.a. tal que E[e|t0X|] < ∞, para alguna t
0 6= 0, entonces entonces X tiene
momentos de todos los ´ordenes y
ϕX(t0) =
∞
X
k=0
(it0)k
k! E[X
k
].
Demostraci´on. Paran ∈N,
n
X
k=0
|t|k
k! E[|X|
k] =
E
" n X
k=0
|t|k
k! |X|
k
#
≤ E
" ∞ X
k=0
|t|k
k! |X|
k
#
= E[e|tX|],
lo cual implica, en primer lugar, que E[|X|n] <∞, para todo n ∈
N, y por otra parte que ∞
X
k=0
|t|k
k! E[|X|
k]<∞. Ahora, dado que
eitX −
n
X
k=0
(itX)k
k!
≤min
|
tX|n+1
(n+ 1)!,
2|tX|n
n!
,
entonces
ϕX(t)− n
X
k=0
(it)k
k! E[X
k]
≤min
| t|n+1
(n+ 1)!E[|X|
n+1],2|t|n
n! E[|X|
n]
.
Pero sin → ∞ entonces |t|
n
n! E[|X|
n]→0. Luego,
ϕX(t) =
∞
X
k=0
(it)k
k! E[X
k
].
4
Teoremas de Inversi´
on
En esta secci´on daremos la raz´on que justifica el uso de la palabra caracter´ıstica para referirnos a la funci´on ϕX. En efecto, una propiedad fundamental de la funci´on
Primer Teorema de Inversi´on (F´ormula de Inversi´on de L`evy). Sea X una v.a. con funci´on de distribuci´on FX y funci´on caracter´ıstica ϕX, y sean a yb dos n´umeros reales tales
que a≤b. Entonces
1
2[FX(b) +FX(b
−
)]− 1
2[FX(a) +FX(a
−
)] = lim
θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it ϕX(t)dt,
donde FX(y−) = lim
x→y−FX(x), para y =a, b.
Demostraci´on. Sea θ > 0. El resultado es obvio cuandoa=b. Supongamos que a < b. Por definici´on y por el teorema de Fubini tenemos
1 2π
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it ϕX(t)dt =
1 2π Z θ −θ Z ∞ −∞
e−ita−e−itb
it e
itxdF
X(x)dt
= Z ∞ −∞ 1 2π Z θ −θ
e−ita−e−itb
it e
itxdt dF X(x).
Asumiendo entonces que el paso al l´ımite puede intercambiarse con el operador integral, tenemos lim θ→∞ 1 2π Z θ −θ
e−ita−e−itb
it ϕX(t)dt= Z ∞ −∞ 1 2π lim θ→∞ Z θ −θ
e−ita−e−itb
it e
itxdt
dFX(x).
Ahora bien,
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it e
itxdt =
Z θ
−θ
ei(x−a)t
it dt−
Z θ
−θ
ei(x−b)t
it dt
= 2
Z θ(x−a)
0
sent
t dt−2
Z θ(x−b)
0
sent t dt,
de donde se sigue que
1 2πθlim→∞
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it e itx dt=
1 six∈(a, b),
1
2 six=a ´o x=b, 0 six /∈[a, b],
o en t´erminos de funciones indicadoras,
1 2πθlim→∞
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it e
itxdt =I
(a, b)(x) +
1
2I{a, b}(x). As´ı entonces lim θ→∞ 1 2π Z θ −θ
e−ita−e−itb
it ϕX(t)dt = Z ∞
−∞
[I(a, b)(x) +
1
2I{a, b}(x)]dFX(x)
= FX(b
−
)−FX(a) +
1
2[FX(a)−FX(a
−
)] + 1
2[FX(b)−FX(b
−
)]
= 1
2[FX(b) +FX(b
−)]− 1
2[FX(a) +FX(a
Corolario 4.1. Si a y b (a < b) son puntos de continuidad de la distribuci´on FX , entonces
FX(b)−FX(a) = lim θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it ϕX(t)dt.
Demostraci´on. Sia y b son puntos de continuidad deFX, entonces
FX(b) = FX(b
−
) y FX(a) = FX(a
−
),
por ello, la igualdad deseada se sigue de la f´ormula del teorema anterior.
De forma similar puede probarse el teorema siguiente.
Teorema 4.1. Si FX es la funci´on de distribuci´on de X y ϕX es su funci´on caracter´ıstica,
entonces
i) FX(b) +FX(b
−
) = 1− lim
θ→∞
1
π Z θ
−θ
e−itb
it ϕX(t)dt, para todo b∈R.
ii) En particular, si b es un punto de continuidad de FX, entonces
FX(b) =
1 2
1− lim
θ→∞
1
π Z θ
−θ
e−itb
it ϕX(t)dt
.
Como podemos observar, estas f´ormulas de inversi´on nos ayudan en problemas en donde, conociendo la funci´onϕX, deseamos encontrar la distribuci´on de la v.a. X, la cual podr´ıamos
desconocer. En muchas ocasiones, de no ser posible encontrar la fuci´on FX (es decir, la
distribuci´on deX), ya sea por la dificultad de los c´alculos integrales que implican las f´ormulas de inversi´on anteriores, s´ı podemos saber algunas de sus caracter´ısticas, como por ejemplo continuidad y diferenciabilidad.
Ejemplo 4.1. Supongamos que X tiene funci´on caracter´ıstica
ϕX(t) =e
−t2
2, t∈R.
¿A qu´e distribuci´on pertence esta funci´on caracter´ıstica? A continuaci´on lo averiguamos. Si θ >0 y b∈R tenemos
Z θ
−θ
e−itb
it ϕX(t)dt = Z θ
−θ
e−t
2
2 costb
it dt−i
Z θ
−θ
e−t
2 2sentb
it dt
= −2
Z θ
0
e−t
2
2sentb
t dt.
Luego,
lim
θ→∞
1
π Z θ
−θ
e−itb
it ϕX(t)dt=−
2
π Z ∞
0
e−t
2
2sentb
t dt
=−2
π ·
√
π
√
2
Z b
0
e−t
2
2 dt (ver ap´endice ??)
=− √
2
√
π Z b
0
e−t
Elegimos h >0tal que b−h es punto de continuidad deFX. De esta forma, seg´un en ´ultimo
teorema, tenemos que
FX(b−h) =
1 2 +
1
√
2π Z b−h
0
e−t
2
2 dt,
si h→0 se sigue que
FX(b
−
) = 1 2+
1
√
2π Z b
0
e−t
2
2 dt.
Ahora, si b+h es punto de continuidad de FX, entonces de forma an´aloga
FX(b
+) = 1
2+ 1
√
2π Z b
0
e−t
2
2 dt.
Luego FX es continua en toda la recta real. Entonces, para todo x∈R,
FX(x) =
1 2
1− lim
θ→∞
1
π Z θ
−θ
e−itx
it ϕX(t)dt
= 1 2 +
1
√
2π Z x
0
e−12t 2
dt
= √1
2π Z x
−∞
e−12t 2
dt,
luego, seg´un el teorema fundamental del c´alculo,
fX(x) = F
0
X(x) =
1
√
2πe
−1 2x
2
,
por tanto X tiene distribuci´on normal est´andar.
Segundo Teorema de Inversi´on (F´ormula de inversi´on de Fourier). Sea X una v.a. con
funci´on de distribuci´on FX y funci´on caracter´ıstica ϕX. Si
Z ∞
−∞
|ϕX(t)|dt <∞, entonces X
es absolutamente continua y la funci´on de densidad est´a dada por
FX0(x) = fX(x) = lim θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−itxϕX(t)dt, x∈R.
Demostraci´on. Primero probaremos que FX es continua. Sea h >0 y xn´umeros reales tales
quex+h y x−hson puntos de continuidad de FX. Seg´un el corolario del Primer Teorema
de Inversi´on, tenemos
FX(x+h)−FX(x−h) = lim θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−it(x−h)−e−it(x+h)
it ϕX(t)dt,
pero, por otra parte,
e−it(x−h)−e−it(x+h)
it =e
−itxeith−e
−ith
it ,
eith−e−ith = senth+icosth−sen (−th)−icos(−th) = 2senth,
por tanto
e−it(x−h)−e−it(x+h)
it = 2
senth it e
−itx
.
De donde se sigue que
FX(x+h)−FX(x−h) = lim θ→∞
1
π Z θ
−θ
senth it e
−itx
ϕX(t)dt
|FX(x+h)−FX(x−h)| ≤ lim θ→∞
1
π Z θ
−θ
senth t
dt,
entonces, sih→ ∞, FX(x
−) = F
X(x
+). Por tanto F
X es continua.
Ahora, sean a y b dos n´uemeros reales. Seg´un el Primer Teorema de Inversi´on se tiene
FX(b)−FX(a)
b−a = limθ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−ita−e−itb
it(b−a) ϕX(t)dt, por tanto,
lim
b→a
FX(b)−FX(a)
b−a = θlim→∞
1 2π
Z θ
−θ
−1
it ·
d e−itx
dx
x=a
ϕX(t)dt
= lim
θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−itaϕX(t)dt,
es decir
FX0(x) =fX(x) = lim θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−itxϕX(t)dt, x∈R.
Ejemplo 4.2. Supongamos que X tiene funci´on caracter´ıstica ϕX(t) = e
−|t|. ¿Cu´al es la
distribuci´on de X? ¿Existe fX? Ahora lo sabremos.
En primer lugar,
Z ∞
−∞
|ϕX(t)|dt = 2
Z ∞
0
e−tdt= 2,
entonces, seg´un el Segundo Teorema de Inversi´on, X es absolutamente continua y
fX(x) =
1 2π
Z ∞
−∞
e−itxe−|t|dt
= 1 2π
Z ∞
0
e−t−ixdt+
Z 0
−∞
et−ixtdt
= 1 2π
Z ∞
0
e−t(eitx+e−itx)dt
= 1
π Z ∞
0
e−tcostx dt
= 1
π(1 +x2).
El resultado expuesto a continuaci´on, expresa la gran utilidad de las funciones carac-ter´ısticas. Este teorema, basado en la informaci´on que proporciona ambos teoremas de inversi´on, dice que la funci´on ϕX determina en forma ´unica la distribuci´on de FX.
Teorema 4.2. Sea X e Y dos variables aleatorias y FX, FY las respectivas funciones de
distribuci´on. Si ϕX(t) =ϕY(t), para toda t ∈R, entoncesFX ≡FY.
Demostraci´on. Sea x un n´umero real. Podemos encontrar una sucesi´on{xn}n∈N de puntos
de continuidad tanto de FX como de FY, tal que converge por la derecha al punto x. As´ı
entonces, por continuidad de las funciones de distribuci´on,
lim
n→∞FX(xn) =FX(x) y nlim→∞FY(xn) =FY(x).
Pero, tenemos que
FX(xn) = lim
a→−∞[FX(xn)−FX(a)] (a punto de continuidad deFX y deFY)
= lim
a→−∞
lim
θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−ita−e−itxn
it ϕX(t)dt
= lim
a→−∞
lim
θ→∞
1 2π
Z θ
−θ
e−ita−e−itxn
it ϕY(t)dt
= lim
a→−∞[FY(xn)−FY(a)]
=FY(xn),
luego FX(x) = FY(x).
De esta manera, si por ejemplo ϕX = e
−λ(1−eit)
con toda certeza decimos que X tiene distribuci´on Poisson con par´ametro λ; o si ϕX = e
itµ−(1/2)t2σ2
, entonces sabremos con toda seguridad que X tiene distribuci´on normal con par´ametros µy σ2.
5
Funci´
on caracter´ıstica de un vector aleatorio
Ahora generalizamos el concepto de funci´on caracter´ıstica a vectores de dimensi´on n. Si
X = (X1, ..., Xn) es un vector aleatorio y t = (t1, ..., tn) ∈ Rn, entonces recordemos que el
producto t0Xes en realidad
n
X
k=1
tkXk. Es f´acil observar tambi´en que |et
0X | ≤1.
Definici´on 5.1. Sea X un vector aleatorio de dimensi´on n. La funci´on ϕX :Rn →C dada
por
ϕX(t) =E[eit
0X
] =E[eiPnk=1tkXk],
para todo t∈Rn, es la funci´on caracter´ıstica de X.
Esta generalizaci´on hereda las propiedades m´as elementales.
i) ϕX(t) existe para todo t∈Rn, y es una funci´on continua y acotada.
ii) |ϕX(t)| ≤1, t∈Rn, y ϕX(0) = 1.
iii) ϕX(t) = ϕX(−t)
La propiedad generadora de momentos de la funci´on caracter´ıstica queda generalizada ahora el siguiente resultado.
Teorema 5.2. Sea X un vector aleatorio tal que E[|Xk|m] <∞, k = 1,2, ..., n, para alg´un
n´umero natural m. Entonces ϕX tiene derivadas parciales continuas de todos los ´ordenes
menores o iguales a m, adem´as, para todo t∈Rn,
∂m
∂tk11 ∂tk22 · · ·∂tkn n
ϕX(t) =imE[eit
0X
X1k1X2k2· · ·Xnkn],
para cualesquiera n´umeros naturales k1, k2,..., kn tales que n
X
j=1
kj =m. En particular
∂m
∂tk11 ∂tk22 · · ·∂tkn n
ϕX(0) = imE[X1k1X
k2
2 · · ·X
kn n ]
Demostraci´on. Sean e1, e2,..., en los vectores de la base can´onica de Rn y h6= 0. Entonces,
ϕX(t+hej)−ϕX(t)
h =E
eit0X+ihXj−eit0X h
=E
eihXj−1
h e
it0X
.
Ahora bien, segun la f´ormula (??)
eihXj−1
h e
it0X
= 1
|h||e
ihXj −1| ≤ |X j|,
de donde se sigue queE
eihXj −1
h e
it0X
<∞. Entonces, seg´un el teorema de convergencia
dominada,
∂ ∂tj
ϕX(t) = lim
h→0
ϕX(t+hej)−ϕX(t) h
=E
eit0Xlim
h→0
eihXj−1
h
=iE[eit0XXj].
Por otra parte,
∂
∂tjϕX(t+hek)− ∂
∂tjϕX(t)
h =iE
eit0XXj
eihXk −1
h
y de la misma manera
eit0XXj
eihXk −1
h
≤ |XjXk|. Entonces
∂2
∂tk∂tj
ϕX(t) =i2E[eit
0X
XjXk].
Este procedimiento prueba nuestro teorema.
Finalmente, el Primer Teorema de Inversi´on encuentra su generalizaci´on en el siguiente teorema.
F´ormula de Inversi´on Generalizada. Sea X un vector aletorio de dimensi´on n y sea
R=
n
Y
k=1
(ak, bk] un rect´angulo enRn. Supongamos queP[X∈∂R] = 0 (∂R es el conjunto de
puntos frontera del rect´angulo R). Entonces
P[X∈R] = lim
θ→∞
1 2π
nZ θ
−θ
Z θ
−θ
· · ·
Z θ
−θ n
Y
k=1
e−itkak −e−itkbk
itk
ϕX(t1, t2, ..., tn)dt1dt2. . . dtn.
