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BY: Grupo CDPYE-UGR
Momentos de una variable aleatoria
Cuando la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria no es conocida, diversas caracter´ısticas de ella pueden proporcionar una descripci´on general de la misma.
pan un importante lugar los momentos, entre los que cabe destacar los diferentes tipos que definimos a continuaci´on.
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Momentos de una variable aleatoria
Cuando la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria no es conocida, diversas caracter´ısticas de ella pueden proporcionar una descripci´on general de la misma. Entre las distintas caracter´ısticas de una distribuci´on ocu- pan un importante lugar los momentos, entre los que cabe destacar los diferentes tipos que definimos a continuaci´on.
Momentos no centrados
Si X es una variable aleatoria y k ∈ N, se define el momento no centrado de orden k como mk = EXk
siempre que exista dicha esperanza.
pan un importante lugar los momentos, entre los que cabe destacar los diferentes tipos que definimos a continuaci´on.
Momentos no centrados
Si X es una variable aleatoria y k ∈ N, se define el momento no centrado de orden k como mk = EXk
siempre que exista dicha esperanza.
En particular, si existe, m1 = E[X], y los restantes momentos se calculan teniendo en cuenta la definici´on de esperanza de una funci´on de una variable aleatoria.
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Momentos de una variable aleatoria
Cuando la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria no es conocida, diversas caracter´ısticas de ella pueden proporcionar una descripci´on general de la misma. Entre las distintas caracter´ısticas de una distribuci´on ocu- pan un importante lugar los momentos, entre los que cabe destacar los diferentes tipos que definimos a continuaci´on.
Momentos no centrados
Si X es una variable aleatoria y k ∈ N, se define el momento no centrado de orden k como mk = EXk
siempre que exista dicha esperanza.
En particular, si existe, m1 = E[X], y los restantes momentos se calculan teniendo en cuenta la definici´on de esperanza de una funci´on de una variable aleatoria. As´ı, si existe el momento no centrado de orden k, est´a dado por
mk =
X
x∈EX
xkP (X = x) si X es discreta
Z
R
xkfX(x)dx si X es continua.
pan un importante lugar los momentos, entre los que cabe destacar los diferentes tipos que definimos a continuaci´on.
Momentos no centrados
Si X es una variable aleatoria y k ∈ N, se define el momento no centrado de orden k como mk = EXk
siempre que exista dicha esperanza.
En particular, si existe, m1 = E[X], y los restantes momentos se calculan teniendo en cuenta la definici´on de esperanza de una funci´on de una variable aleatoria. As´ı, si existe el momento no centrado de orden k, est´a dado por
mk =
X
x∈EX
xkP (X = x) si X es discreta
Z
R
xkfX(x)dx si X es continua.
Momentos centrados en media
Si X es una variable aleatoria tal que ∃E[X], y k ∈ N, se define el momento centrado de orden k como µk = E(X − E[X])k
siempre que exista dicha esperanza.
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Nota: En general, si c ∈ R, se define el momento centrado en c de orden k como E(X − c)k, y los momentos centrados en media suelen denominarse simplemente momentos centrados.
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Nota: En general, si c ∈ R, se define el momento centrado en c de orden k como E(X − c)k, y los momentos centrados en media suelen denominarse simplemente momentos centrados.
Los momentos centrados se calculan, como los no centrados, teniendo en cuenta la definici´on de esperanza de una funci´on de una variable aleatoria:
µk=
X
x∈EX
(x − E[X])kP (X = x) si X es discreta
Z
R
(x − E[X])kfX(x)dx si X es continua.
µk=
X
x∈EX
(x − E[X])kP (X = x) si X es discreta
Z
R
(x − E[X])kfX(x)dx si X es continua.
Adem´as de µ1 que, por lalinealidad de la esperanza, vale siempre cero, entre los momentos centrados de una variable aleatoria cabe destacar el de orden 2, denominado varianza de la variable,
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Nota: En general, si c ∈ R, se define el momento centrado en c de orden k como E(X − c)k, y los momentos centrados en media suelen denominarse simplemente momentos centrados.
Los momentos centrados se calculan, como los no centrados, teniendo en cuenta la definici´on de esperanza de una funci´on de una variable aleatoria:
µk=
X
x∈EX
(x − E[X])kP (X = x) si X es discreta
Z
R
(x − E[X])kfX(x)dx si X es continua.
Adem´as de µ1 que, por lalinealidad de la esperanza, vale siempre cero, entre los momentos centrados de una variable aleatoria cabe destacar el de orden 2, denominado varianza de la variable,
σX2 ≡ V ar[X] = E(X − E[X])2 .
µk=
X
x∈EX
(x − E[X])kP (X = x) si X es discreta
Z
R
(x − E[X])kfX(x)dx si X es continua.
Adem´as de µ1 que, por lalinealidad de la esperanza, vale siempre cero, entre los momentos centrados de una variable aleatoria cabe destacar el de orden 2, denominado varianza de la variable,
σX2 ≡ V ar[X] = E(X − E[X])2 .
La varianza de una variable, si existe, es el valor medio de las dispersiones cuadr´aticas de los valores de la variable respecto de su media. Por este motivo, tanto la varianza como su ra´ız cuadrada, σX, que se denomina desviaci´on t´ıpica, se usan, como se ver´a posteriormente, como medidas de la dispersi´on de la variable.
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Nota: En general, si c ∈ R, se define el momento centrado en c de orden k como E(X − c)k, y los momentos centrados en media suelen denominarse simplemente momentos centrados.
Los momentos centrados se calculan, como los no centrados, teniendo en cuenta la definici´on de esperanza de una funci´on de una variable aleatoria:
µk=
X
x∈EX
(x − E[X])kP (X = x) si X es discreta
Z
R
(x − E[X])kfX(x)dx si X es continua.
Adem´as de µ1 que, por lalinealidad de la esperanza, vale siempre cero, entre los momentos centrados de una variable aleatoria cabe destacar el de orden 2, denominado varianza de la variable,
σX2 ≡ V ar[X] = E(X − E[X])2 .
La varianza de una variable, si existe, es el valor medio de las dispersiones cuadr´aticas de los valores de la variable respecto de su media. Por este motivo, tanto la varianza como su ra´ız cuadrada, σX, que se denomina desviaci´on t´ıpica, se usan, como se ver´a posteriormente, como medidas de la dispersi´on de la variable.
Momentos absolutos
Si X es una variable aleatoria y α ∈ R+, se define el momento absoluto de orden α de X como E [|X|α], siempre que exista dicha esperanza,
E [|X|α] =
X
x∈EX
|x|αP (X = x) si X es discreta
Z
R
|x|αfX(x)dx si X es continua.
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Ya que, por definici´on, los momentos de una variable aleatoria son esperanzas de funciones de la variable, su existencia est´a sujeta a la convergencia absoluta de la serie o la integral que los define; esto es:
∃EXk
⇔ ∃E|X|k , ∀k ∈ N.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
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Ya que, por definici´on, los momentos de una variable aleatoria son esperanzas de funciones de la variable, su existencia est´a sujeta a la convergencia absoluta de la serie o la integral que los define; esto es:
∃EXk
⇔ ∃E|X|k , ∀k ∈ N.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
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Ya que, por definici´on, los momentos de una variable aleatoria son esperanzas de funciones de la variable, su existencia est´a sujeta a la convergencia absoluta de la serie o la integral que los define; esto es:
∃EXk
⇔ ∃E|X|k , ∀k ∈ N.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
Demostraci´on:
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
Demostraci´on:
• Si X es discreta y toma valores en EX:
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Ya que, por definici´on, los momentos de una variable aleatoria son esperanzas de funciones de la variable, su existencia est´a sujeta a la convergencia absoluta de la serie o la integral que los define; esto es:
∃EXk
⇔ ∃E|X|k , ∀k ∈ N.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
Demostraci´on:
• Si X es discreta y toma valores en EX:
∃E|X|β
⇔ X
x∈EX
|x|βP (X = x) < +∞.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
Demostraci´on:
• Si X es discreta y toma valores en EX:
∃E|X|β
⇔ X
x∈EX
|x|βP (X = x) < +∞.
Para probar la convergencia de esta serie la descomponemos en dos,
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Ya que, por definici´on, los momentos de una variable aleatoria son esperanzas de funciones de la variable, su existencia est´a sujeta a la convergencia absoluta de la serie o la integral que los define; esto es:
∃EXk
⇔ ∃E|X|k , ∀k ∈ N.
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
Demostraci´on:
• Si X es discreta y toma valores en EX:
∃E|X|β
⇔ X
x∈EX
|x|βP (X = x) < +∞.
Para probar la convergencia de esta serie la descomponemos en dos, X
x∈EX
|x|βP (X = x) = X
x∈EX/|x|≤1
|x|βP (X = x) + X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x),
∃E(X − E[X])k
⇔ ∃E|X − E[X]|k , ∀k ∈ N.
En el siguiente teorema se prueba que la existencia del momento de un determinado orden implica la existencia de todos los de orden inferior.
Teorema
Si X es una variable aleatoria arbitraria,
∃E [|X|α] , α ∈ R+ ⇒ ∃E|X|β , ∀β ∈ R+ / β ≤ α.
Demostraci´on:
• Si X es discreta y toma valores en EX:
∃E|X|β
⇔ X
x∈EX
|x|βP (X = x) < +∞.
Para probar la convergencia de esta serie la descomponemos en dos, X
x∈EX
|x|βP (X = x) = X
x∈EX/|x|≤1
|x|βP (X = x) + X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x),
y acotamos cada una de ellas por una serie convergente como se indica a continuaci´on:
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X
x∈EX/|x|≤1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|≤1
P (X = x) = P (|X| ≤ 1) ≤ 1.
↑
|x|β≤1
X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|>1
|x|αP (X = x) ≤ X
x∈EX
|x|αP (X = x) = E [|X|α] < +∞.
↑ ↑
β≤α, |x|>1 ⇒ |x|β≤|x|α |x|αP (X=x)≥0
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X
x∈EX/|x|≤1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|≤1
P (X = x) = P (|X| ≤ 1) ≤ 1.
↑
|x|β≤1
X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|>1
|x|αP (X = x) ≤ X
x∈EX
|x|αP (X = x) = E [|X|α] < +∞.
↑ ↑
β≤α, |x|>1 ⇒ |x|β≤|x|α |x|αP (X=x)≥0
As´ı, puesto que las dos series son convergentes, la suma lo es y queda probada la existencia de E|X|β .
X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|>1
|x|αP (X = x) ≤ X
x∈EX
|x|αP (X = x) = E [|X|α] < +∞.
↑ ↑
β≤α, |x|>1 ⇒ |x|β≤|x|α |x|αP (X=x)≥0
As´ı, puesto que las dos series son convergentes, la suma lo es y queda probada la existencia de E|X|β .
• Si X es de tipo continuo, con funci´on de densidad fX, un razonamiento similar nos conduce a Z
R
|x|βfX(x)dx = Z
|x|≤1
|x|βfX(x)dx + Z
|x|>1
|x|βfX(x)dx ≤ Z
|x|≤1
fX(x)dx + Z
|x|>1
|x|αfX(x)dx ≤
≤ P (X ≤ 1) + E [|X|α] < +∞,
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X
x∈EX/|x|≤1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|≤1
P (X = x) = P (|X| ≤ 1) ≤ 1.
↑
|x|β≤1
X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|>1
|x|αP (X = x) ≤ X
x∈EX
|x|αP (X = x) = E [|X|α] < +∞.
↑ ↑
β≤α, |x|>1 ⇒ |x|β≤|x|α |x|αP (X=x)≥0
As´ı, puesto que las dos series son convergentes, la suma lo es y queda probada la existencia de E|X|β .
• Si X es de tipo continuo, con funci´on de densidad fX, un razonamiento similar nos conduce a Z
R
|x|βfX(x)dx = Z
|x|≤1
|x|βfX(x)dx + Z
|x|>1
|x|βfX(x)dx ≤ Z
|x|≤1
fX(x)dx + Z
|x|>1
|x|αfX(x)dx ≤
≤ P (X ≤ 1) + E [|X|α] < +∞,
de donde se deduce la existencia de E|X|β para β ≤ α.
X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|>1
|x|αP (X = x) ≤ X
x∈EX
|x|αP (X = x) = E [|X|α] < +∞.
↑ ↑
β≤α, |x|>1 ⇒ |x|β≤|x|α |x|αP (X=x)≥0
As´ı, puesto que las dos series son convergentes, la suma lo es y queda probada la existencia de E|X|β .
• Si X es de tipo continuo, con funci´on de densidad fX, un razonamiento similar nos conduce a Z
R
|x|βfX(x)dx = Z
|x|≤1
|x|βfX(x)dx + Z
|x|>1
|x|βfX(x)dx ≤ Z
|x|≤1
fX(x)dx + Z
|x|>1
|x|αfX(x)dx ≤
≤ P (X ≤ 1) + E [|X|α] < +∞,
de donde se deduce la existencia de E|X|β para β ≤ α.
Como consecuencia de este teorema, ya que la existencia de EXk
es equivalente a la existencia de E|X|k,
∀k ∈ N, se tiene
∃mk, k ∈ N ⇒ ∃mj, j = 1, . . . , k,
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X
x∈EX/|x|≤1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|≤1
P (X = x) = P (|X| ≤ 1) ≤ 1.
↑
|x|β≤1
X
x∈EX/|x|>1
|x|βP (X = x) ≤ X
x∈EX/|x|>1
|x|αP (X = x) ≤ X
x∈EX
|x|αP (X = x) = E [|X|α] < +∞.
↑ ↑
β≤α, |x|>1 ⇒ |x|β≤|x|α |x|αP (X=x)≥0
As´ı, puesto que las dos series son convergentes, la suma lo es y queda probada la existencia de E|X|β .
• Si X es de tipo continuo, con funci´on de densidad fX, un razonamiento similar nos conduce a Z
R
|x|βfX(x)dx = Z
|x|≤1
|x|βfX(x)dx + Z
|x|>1
|x|βfX(x)dx ≤ Z
|x|≤1
fX(x)dx + Z
|x|>1
|x|αfX(x)dx ≤
≤ P (X ≤ 1) + E [|X|α] < +∞,
de donde se deduce la existencia de E|X|β para β ≤ α.
Como consecuencia de este teorema, ya que la existencia de EXk
es equivalente a la existencia de E|X|k,
∀k ∈ N, se tiene
∃mk, k ∈ N ⇒ ∃mj, j = 1, . . . , k, y de forma an´aloga, para los momentos centrados,
∃µk, k ∈ N ⇒ ∃µj, j = 1, . . . , k.
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A continuaci´on probamos que la existencia de los momentos centrados y no centrados del mismo orden son equiv- alentes, y deducimos relaciones que permiten obtener los momentos centrados en t´erminos de los no centrados, y rec´ıprocamente.
Teorema: relaci´on entre momentos centrados y no centrados
i) Si ∃mk, k ∈ N ⇒ ∃µk y µk =
k
X
j=0
(−1)j k j
mk−jmj1.
ii) Si ∃µk, k ∈ N ⇒ ∃mk y mk=
k
X
j=0
k j
µk−jmj1.
Teorema: relaci´on entre momentos centrados y no centrados
i) Si ∃mk, k ∈ N ⇒ ∃µk y µk =
k
X
j=0
(−1)j k j
mk−jmj1.
ii) Si ∃µk, k ∈ N ⇒ ∃mk y mk=
k
X
j=0
k j
µk−jmj1.
Demostraci´on:
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A continuaci´on probamos que la existencia de los momentos centrados y no centrados del mismo orden son equiv- alentes, y deducimos relaciones que permiten obtener los momentos centrados en t´erminos de los no centrados, y rec´ıprocamente.
Teorema: relaci´on entre momentos centrados y no centrados
i) Si ∃mk, k ∈ N ⇒ ∃µk y µk =
k
X
j=0
(−1)j k j
mk−jmj1.
ii) Si ∃µk, k ∈ N ⇒ ∃mk y mk=
k
X
j=0
k j
µk−jmj1.
Demostraci´on:
i) Partimos de la expresi´on
(X − m1)k =
k
X
j=0
(−1)j k j
Xk−jmj1,
Teorema: relaci´on entre momentos centrados y no centrados
i) Si ∃mk, k ∈ N ⇒ ∃µk y µk =
k
X
j=0
(−1)j k j
mk−jmj1.
ii) Si ∃µk, k ∈ N ⇒ ∃mk y mk=
k
X
j=0
k j
µk−jmj1.
Demostraci´on:
i) Partimos de la expresi´on
(X − m1)k =
k
X
j=0
(−1)j k j
Xk−jmj1,
y ya que la existencia de mk asegura la existencia de mk−j = EXk−j , ∀j = 0, . . . , k, el segundo miembro es una combinaci´on lineal finita de funciones de X cuya esperanza existe. Entonces, la propiedad de linealidad de la esperanza conduce de forma inmediata al resultado.
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A continuaci´on probamos que la existencia de los momentos centrados y no centrados del mismo orden son equiv- alentes, y deducimos relaciones que permiten obtener los momentos centrados en t´erminos de los no centrados, y rec´ıprocamente.
Teorema: relaci´on entre momentos centrados y no centrados
i) Si ∃mk, k ∈ N ⇒ ∃µk y µk =
k
X
j=0
(−1)j k j
mk−jmj1.
ii) Si ∃µk, k ∈ N ⇒ ∃mk y mk=
k
X
j=0
k j
µk−jmj1.
Demostraci´on:
i) Partimos de la expresi´on
(X − m1)k =
k
X
j=0
(−1)j k j
Xk−jmj1,
y ya que la existencia de mk asegura la existencia de mk−j = EXk−j , ∀j = 0, . . . , k, el segundo miembro es una combinaci´on lineal finita de funciones de X cuya esperanza existe. Entonces, la propiedad de linealidad de la esperanza conduce de forma inmediata al resultado.
ii) La demostraci´on es totalmente an´aloga, partiendo ahora de la expresi´on
Xk = ((X − m1) + m1)k =
k
X
j=0
k j
(X − m1)k−jmj1,
Teorema: relaci´on entre momentos centrados y no centrados
i) Si ∃mk, k ∈ N ⇒ ∃µk y µk =
k
X
j=0
(−1)j k j
mk−jmj1.
ii) Si ∃µk, k ∈ N ⇒ ∃mk y mk=
k
X
j=0
k j
µk−jmj1.
Demostraci´on:
i) Partimos de la expresi´on
(X − m1)k =
k
X
j=0
(−1)j k j
Xk−jmj1,
y ya que la existencia de mk asegura la existencia de mk−j = EXk−j , ∀j = 0, . . . , k, el segundo miembro es una combinaci´on lineal finita de funciones de X cuya esperanza existe. Entonces, la propiedad de linealidad de la esperanza conduce de forma inmediata al resultado.
ii) La demostraci´on es totalmente an´aloga, partiendo ahora de la expresi´on
Xk = ((X − m1) + m1)k =
k
X
j=0
k j
(X − m1)k−jmj1,
y teniendo en cuenta que la existencia de µk implica la de µk−j para j = 0, . . . , k.
