LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

• Definición de ecuación de segundo grado.

• Ecuaciones incompletas pura y binomia y resolución de estas.

• Ecuación completa general y particular y resolución de estas por formula.

• Resolución de una ecuación de segundo grado por factorización.

• Resolución por factorización de ecuaciones de grado mayor a dos.

La ecuación de segundo grado:

Es toda ecuación donde el mayor exponente al cual se encuentra elevada la incógnita es 2, siendo su forma más general:

ax² + bx + c = 0 con a,b,c  IR y a  0

Si bien a  0; los números "b" o "c" pueden tomar el valor cero, dando origen a las llamadas ecuaciones incompletas de segundo grado; las que son:

i) Si b = 0 ; la ecuación ax² + bx + c = 0 queda ahora de la forma ax² + c = 0 obteniéndose la ecuación Incompleta pura.

ii) Si c = 0 ; la ecuación ax² + bx + c = 0 queda ahora de la forma ax² + bx = 0 obteniéndose la ecuación Incompleta binomia.

Resolución de una ecuación incompleta de segundo grado:

i) Incompleta Pura: Se debe despejar x² para luego extraer raíz cuadrada, obteniéndose las soluciones.

Ejemplos:

(a) 5x² - 45 = 0 (b) x(2x - 3) = 32 - 3x 5x² = 45

455 x² = x² = 9

2 9

x =  x = 3

2x² - 3x = 32 - 3x 2x² = 32 :2

x² = 16 2 16

x =  x = 4

ii) Binomia:

Se debe factorizar la ecuación para luego igualar a cero cada uno de los factores , obteniéndose las soluciones.

Ejemplos:

(a) 3x² - 2x = 0 (b) (3 - 2x)² = (3 - x)(3 + x) x(3x - 2) = 0

3x - 2 = 0 x = 2

3

 x = 0 

9 - 12x + 4x² = 9 - x² 4x² + x² - 12x = 0

5x² - 12x = 0 x(5x - 12) = 0

5x - 12 = 0 x = 12

5

 x = 0 

Nota: El cero es siempre solución de una ecuación incompleta binomia.

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones incompletas:

(a) 5x² - 12 = 3x² - 20 5x² - 3x² = -20 + 12

2x² = -8 -82 x² =

x² = -4 2 4

x =  − x = 2i

(b) 3x – 1 = 5x + 2 x - 2

(3x - 1)(x - 2) = 5x + 2 3x² - 6x - x + 2 = 5x + 2

3x² - 7x + 2 = 5x + 2 3x² - 7x - 5x = 0

3x² - 12x = 0 3x(x - 4) = 0

x - 4 = 0 x = 0

3

 3x = 0 

x = 0

x = 4

(c) x2 4 40 2

x

2 x

2 x

2 x

= − +

+ −

− +

(x + 2)(x - 2)

·(x + 2)(x - 2)

(x + 2) (x - 2) 1

(x + 2)² + (x - 2)² = 40

x² + 4x + 4 + x² - 4x + 4 = 40 2x² + 8 = 40

2x² = 40 - 8 2x² = 32

322 x² = x² = 16

2 16 x = 

x = 4

(d) 3 7 3

x 3 3

x

4 =

− −

+ ·3(x + 3)(x - 3)

3(x - 3) 3(x + 3) (x + 3)(x - 3)

12(x - 3) - 9(x + 3) = 7(x + 3)(x - 3) 12x - 36 - 9x - 27 = 7(x² - 9)

3x - 63 = 7x² - 63 -7x² + 3x = 0 ·-1

7x² - 3x = 0 x(7x - 3) = 0

7x - 3 = 0 x = 3

7

 x = 0 

Ecuaciones completas de segundo grado:

Estas son dos:

i) Completa general: Si es de la forma ax² + bx + c = 0 con a,b,c  0; y el a  1.

Ejemplos: 3x² + 5x - 2 = 0 ; 7x² - 2x + 1 = 0 ; etc.

ii) Completa particular: Si es de la forma x² + bx + c = 0 con a = 1 siendo b,c  0.

Ejemplos: x² - 5x - 6 = 0 ; x² + 6x - 16 = 0 ; etc.

Para resolver toda ecuación de segundo grado completa, es decir del tipo ax² + bx + c = 0 ; aplicaremos la siguiente formula:

a 2

ac 2 4

b

x = − b  −

Demostración: La ecuación ax² + bx + c = 0 se debe multiplicar por 4a, para luego sumar b² en ambas partes de la igualdad, resultando un trinomio de cuadrado perfecto el que se factoriza, para luego extraer raíz cuadrada y despejar x; así:

ax² + bx + c = 0 ·4a

4a²x² + 4abx + 4ac = 0 + b² 4a²x² + 4abx + 4ac + b² = b² 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

(2ax + b)² = b² - 4ac ac 2 4

2 b ) b ax

2

( + =  −

ac 2 4

b b

ax

2 + =  −

ac 2 4

b b

ax

2 = −  −

a 2

ac 2 4

b

x = − b  −

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones completas:

(a) 3x² - 7x + 2 = 0 (b) x² - 2x - 15 = 0

3 2

2 3 2 4

) 7 ( )

7 x (







−

−



−

= −

6

24 49

x = 7  −

6

25 x = 7 

6 5 x = 7 

6 2 12 6

5 1 7

x = + = =

a=3 b=-7 c=2

3 1 6

2 6

5 2 7

x = − = =

a=1 b=-2 c=-15

1 2

15 1

2 4 ) 2 ( )

2 x (



−





−

−



−

= −

2

60 4

x = 2  +

2 64 x = 2 

2 8 x = 2 

2 5 10 2

8 1 2

x = + = = 2 3

6 2

8 2 2

x = − = − = −

(c) (x+4)² = 2x(5x-1)-7(x-2)

x² + 8x + 16 = 10x² - 2x - 7x + 14

x² + 8x + 16 - 10x² + 2x + 7x - 14 = 0 -9x² + 17x + 2 = 0 ·-1

9x² - 17x - 2 = 0 ^{a= 9}b=-17 c=-2

9 2

2 9

2 4 ) 17 (

) 17 x (



−





−

−



−

= −

18

72 289

x = 17  +

18

361 x = 17 

18 19 x = 17 

18 2 36 18

19 1 17

x = + = =

9 1 18

2 18

19 2 17

x = − = − = −

6 13 x

1 x

1 x

x + + =

(d) + ·6x(x + 1)

6x 6(x + 1) x(x + 1)

6x² + 6(x + 1)² = 13x(x + 1)

6x² + 6(x² + 2x + 1) = 13x(x + 1) 6x² + 6x² + 12x + 6 = 13x² + 13x 12x² + 12x + 6 - 13x² - 13x = 0

-x² - x + 6 = 0 ·-1 x² + x - 6 = 0 ^{a= 1b= 1}

c=-6

1 2

6 1

2 4 1 x 1



−





−



= −

2

24 1

x = −1 +

2

25 x = −1

2 5 x = −1

2 2 4 2

5 1 1

x = − + = = 2 3

6 2

5 2 1

x = − − = − = −

(e) bdx² + adx + ac = -bcx bdx² + adx + bcx + ac = 0 bdx² + (ad + bc)x + ac = 0

a b c

x = 2bd

ac bd

2 4 ) bc ad

( )

bc ad

( +  + −  

−

bd 2

abcd 2 4

2c b abcd

2 2 2d a bc

x − ad −  + + −

=

bd 2

c2 b2 abcd

2 2 2d a bc

x − ad −  − +

=

bd 2

)2 bc ad

( bc

x − ad −  −

=

bd 2

) bc ad

( bc

x − ad −  −

=

bd 2

) bc ad

( bc 1 ad

x = − − + −

bd 2

) bc ad

( bc 2 ad

x = − − − −

+ ad - bc - ad + bc

− =

= 2bd bc 2

− =

= 2bd ad 2

d

− c

b

− a

(f) 2n x n

x x n

n x

2 =

− +

− ·2n(x + n)

2(x + n) 2n (x + n)

2(x + n)(2x - n) - 2nx = x(x + n)

2(2x² - nx + 2nx - n²) - 2nx = x² + nx

4x² - 2nx + 4nx - 2n² - 2nx - x² - nx = 0 3x² - nx - 2n² = 0

3x² - nx - 2n² = 0

a= 3 b=-n c=-2n²

3 2

n2 2 3

2 4 ) n ( )

n x (



−





−

−



−

= −

6 n 5 x = n 

6 n n 6 6

n 5 1 n

x = + = =

3 n 2 6

n 4 6

n 5 2 n

x = − = − = − 6

n2 2 24

n

x = n  +

6

n2 25 x = n 

Resolución de una ecuación por factorización:

Se debe ordenar la ecuación, dándole la forma ax² + bx + c = 0 ; para luego factorizar esta y determinar que valores de x anulan cada factor, los que se obtienen igualando cada factor a cero ; valores que serán las soluciones de la ecuación.

Ejercicios:

Al resolver por factorización las siguientes ecuaciones:

(a) x² - 11x - 26 = 0 (b) x² + 9x - 70 = 0 (x - 13)(x + 2) = 0

+ = -11

· = -26 -13 ; +2

+ = +9

· = -70 +14 ; -5

x - 13 = 0  x + 2 = 0 x = 13 x = -2

(x + 14)(x - 5) = 0

x + 14 = 0  x - 5 = 0 x = -14 x = 5

(c) 2x² + 3x - 2 = 0 (d) 3x² + 5x - 2 = 0

2x² + 3x - 2 ·2 2·2x² + 2 ·3x - 2 ·2

(2x)² + 3(2x) - 4 (2x + 4)(2x - 1)

+ = 3

· = -4 +4 ; -1

2

) 1 x

2 )(

2 x

(

2 + −

(x + 2)(2x - 1)

3x² + 5x - 2 ·3 3·3x² + 3 ·5x - 3 ·2

(3x)² + 5(3x) - 6 (3x + 6)(3x - 1)

+ = 5

· = -6 +6 ; -1

3

) 1 x

3 )(

2 x

(

3 + −

(x + 2)(3x - 1) (x + 2)(2x - 1) = 0

x + 2 = 0  2x - 1 = 0 x = -2 x = 12

(x + 2)(3x - 1) = 0

x + 2 = 0  3x - 1 = 0 x = -2 x = 13

Por medio de la factorización, se pueden obtener las soluciones de ecuaciones de grado mayor a dos:

Ejercicios: Resolver por factorización:

(a) x³ - 15x² + 56x = 0 (b) 3x³ + x² - 12x - 4 = 0 x(x² - 15x + 56) = 0

x(x - 7)(x - 8) = 0

Igualando a cero cada factor:

x = 0 x-7 = 0 x-8 = 0 x = 7 x = 8

 

x²(3x + 1) - 4(3x + 1) = 0 (3x + 1)(x² - 4) = 0

(3x + 1)(x + 2)(x - 2) = 0

Igualando a cero cada factor:

3x+1=0  x+2=0 x-2=0 x = -1

3 x = -2 x = 2 Ejercitación:

1) Las soluciones de la ecuación 8x² – 2x – 1 = 0 son:

8x² - 2x - 1 = 0

8 2

1 8

2 4 ) 2 ( )

2 x (



−





−

−



−

= −

16

32 4

x 2  +

=

16 36 x = 2 

16 6 x = 2 

2 1 16

8 16

6 1 2

x = + = =

a=8 b=-2 c=-1

4 1 16

4 16

6 2 2

x −

− =

− =

=

A) Dos n^os enteros

B) Un nº entero y otro racional C) Dos n^os racionales

D) Un nº racional y otro irracional E) Dos números irracionales.

2) Si (x – 4)² = -4(2x – 13) ; luego el valor de x² es:

A) 3 B) 6 C) 9 D) 36 E) 68

(x – 4)² = -4(2x – 13) x² - 8x + 16 = -8x + 52

x² = 52 - 16 x² = 36

3) Si  y  son las raíces de la ecuación x(x – 1) – 5(x – 2) = 2 ; luego ² + ² = ?

x(x – 1) – 5(x – 2) = 2 x² – x – 5x + 10 - 2 = 0

x² – 6x + 8 = 0 (x - 4)(x - 2) = 0 x - 4 = 0  x - 2 = 0

x = 4  x = 2 Sea  = 4 

Sea  = 2 

² = 4² = 16

² = 2² = 4

 ² + ² = 16 + 4 = 20 A) 6

B) 8 C) 10 D) 12 E) 20

4) Si 5 es solución de la ecuación x² – 8x + a = 0; la otra solución es:

x² – 8x + a = 0

Si 5 es solución; al hacer x = 5 se cumple la igualdad.

5² – 8·5 + a = 0 25 – 40 + a = 0

-15 + a = 0 a = 15 x² – 8x + 15 = 0

Luego la ecuación es:

(x - 3)(x - 5) = 0 x - 3 = 0  x - 5 = 0

x = 3  x = 5

La otra solución es x = 3.

A) –15 B) –5 C) -3 D) 3 E) 15

5) 3 p x

p2 2 2

x

5 − =

·3x

3 x

3(5x² - 2p²) = px 15x² - 6p² = px

15x² - px - 6p² = 0 ^{a = 15b =-p}

c =-6p²

15 2

p2 6 15

2 4 ) p ( )

p x (



−





−

−



−

= −

30

p2 2 360

p

x p  +

=

30 p2 361 x = p 

30 p 19 x = p 

3 p 2 20

p 20 30

p 19 1 p

x = + = =

5 p 3 20

p 18 30

p 19 2 p

x −

− =

− =

=

6) a2 b2 a 2 b

ax 1 b

ax 1

= − + −

+

(a+b)(a-b)

·(ax+b)(ax-b)(a+b)(a-b)

(ax-b)(a+b)(a-b) (ax-b)(a+b)(a-b) (ax-b)(ax+b) (ax + b)(a² - b²) (ax - b)(a² - b²) a²x² - b²

(ax + b)(a² - b²) + (ax - b)(a² - b²) = 2a(a²x² - b²)

a³x - ab²x + a²b - b³ + a³x - ab²x - a²b + b³ = 2a³x² - 2ab² 2a³x - 2ab²x = 2a³x² - 2ab²

-2a³x² + 2a³x - 2ab²x + 2ab² = 0 :-2a a²x² - a²x + b²x - b² = 0

a²x² + (b² - a²)x - b² = 0

a = a²

b = b² - a² c =-b²

a²x² + (b² - a²)x - b² = 0

a2 2

b2 a2

2 4 2) 2 a

b ( 2)

2 a b

x − ( −  − −   −

=

a2 2

b2 a2 4 4

2 a 2b a 4 2

2 b 2 b

x = a −  − + +

a2 2

b4 b2

a2 4 2

2 a 2 b

x a −  + +

=

a2 2

)2 b2 a2

2 ( 2 b

x a −  +

=

a2 2

2) 2 b

a 2 (

2 b

x = a −  +

a2 2

2) 2 b

a 2 (

2 b

x = a −  +

a2 2

2) 2 b

a 2 (

2 b 1 a

x = − + +

a2 2

b2 a2

b2 a2

x1 = − + +

a2 2

a2 1 2

x =

a2 2

2) 2 b

a 2 (

2 b 2 a

x = − − +

a2 2

b2 a2

b2 a2

x2 = − − −

a2 2

b2 2 2

x = −

a2 b2 x2 = − 1 1

x =

1

1

LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

• Definición de ecuación de segundo grado.

• Ecuaciones incompletas pura y binomia y resolución de estas.

• Ecuación completa general y particular y resolución de estas por formula.

• Resolución de una ecuación de segundo grado por factorización.

• Resolución por factorización de ecuaciones de grado mayor a dos.