Espacios m´ etricos totalmente acotados

Espacios m´ etricos totalmente acotados

Objetivos. Estudiar varias descripciones equivalentes de espacios totalmente acotados.

Prerrequisitos. Espacio m´etrico.

1 Definici´on (la distancia de un punto a un conjunto, repaso). Sean X un espacio m´etrico, A ⊆ X, x ∈ X.

d(x, A) := ´ınf

a∈Ad(x, a).

2 Definici´on (ε-red). Sean X un espacio m´etrico, A ⊆ X, ε > 0. Se dice que A es una ε-red en X si para cada x en X se cumple la desigualdad d(x, A) < ε.

La palabra “red” es sobrecargada en matem´aticas, por eso en lo que sigue nosotros evi- tamos el t´ermino “ε-red”; sin embargo, muchos autores lo utilizan.

3 Definici´on (espacio m´etrico totalmente acotado). Sea X un espacio m´etrico. Se dice que X es totalmente acotado si para cada ε > 0 existe un subconjunto finito A del espacio X tal que d(x, A) < ε para cada x en X.

4 Lema (dos descripciones equivalentes de la ε-vecindad de un conjunto). Sean X un espacio m´etrico, A ⊆ X, ε > 0. Entonces

{x ∈ X : d(x, A) < ε} = [

a∈A

B(a, ε).

Demostraci´on. Sea x ∈ X. Aplicamos una propiedad del ´ınfimo y la definici´on de la bola abierta:

d(x, A) < ε ⇐⇒ ´ınf

a∈Ad(x, a) < ε ⇐⇒ ∃a ∈ A d(x, a) < ε

⇐⇒ ∃a ∈ A x ∈ B(a, ε) ⇐⇒ x ∈ [

a∈A

B(a, ε).

5 Definici´on (el di´ametro de un conjunto, repaso). Sea X un espacio m´etrico y sea A ⊆ X.

diam(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

6 Ejemplo (el di´ametro de una bola abierta, repaso). Sean X un espacio m´etrico, a ∈ X, r > 0. Entonces diam(B(a, r)) ≤ 2r.

7 Proposici´on (criterio elemental de espacio totalmente acotado). Sea X un espacio m´etrico. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) para cada ε > 0 existe un subconjunto finito A del espacio X tal que d(x, A) < ε para cada x en X;

(b) para cada ε > 0 existe un subconjunto finito A del espacio X tal que X = [

a∈A

B(a, ε);

(c) para cada ε > 0 existe una colecci´on finita C de subconjuntos de X tal que ∪C = X y para cada V en C se cumple la desigualdad diam(V ) < ε.

Demostraci´on. Debido al Lema 4, las condiciones (a) y (b) son equivalentes.

Supongamos (b) y demostremos (c). Sea A un conjunto finito tal que X = S

a∈AB(a, ε/3).

Pongamos

C := {B(a, ε/3) : a ∈ A}.

Entonces C es finito y ∪C = X. Adem´as, si V ∈ C, entonces existe a en A tal que V = B(a, ε/3), luego diam(A) = diam(B(a, ε/3)) ≤ 2ε/3.

Supongamos (c) y demostremos (b). Sea ε > 0. Usando la condici´on (c) encontramos una colecci´on finita C de subconjuntos de X tal que ∪C = X y para cada V en C se cumple la desigualdad diam(V ) < ε. Pongamos

C⁰ := C \ {0}.

Entonces ∪C⁰ = ∪C = X. En cada elemento V de la colecci´on C⁰ elegimos un punto a y formamos de estos puntos elegidos el conjunto A. Entonces A es finito. M´as a´un, si V ∈ C y a ∈ V , entonces para cada b en V se cumple d(a, b) ≤ diam(V ) < ε, as´ı que b ∈ B(a, ε).

Esto significa que V ⊆ B(a, ε). De aqu´ı se sigue que X = ∪C⁰ = [

V ∈C⁰

V ⊆ [

a∈A

B(a, ε) ⊆ X,

es decir, S

a∈AB(a, ε) = X.

8 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico totalmente acotado. Entonces X es acotado.

Demostraci´on. Para ε = 1 encontramos un subconjunto finito A de X tal que para cada x en X se cumple d(x, A) < 1. Pongamos

L := m´ax

a,b∈Ad(a, b).

Entonces diam(X) ≤ L + 2. En efecto, dados x, y en X, encontramos a, b en A tales que d(x, a) < 1, d(y, b) < 1, y obtenemos

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ L + 2.

9 Definici´on (subconjunto totalmente acotado de un espacio m´etrico). Sea X un espacio m´etrico y sea Y ⊆ X. Se dice que Y es totalmente acotado si Y considerado como subespacio m´etrico de X es totalmente acotado.

10 Proposici´on. Sea Y ⊆ R. Entonces Y es totalmente acotado si, y solo si, Y es acotado.

Demostraci´on. Supongamos que Y es acotado. Entonces existe L > 0 tal que A ⊆ [−L, L].

Mostremos que Y es totalmente acotado. Sea ε > 0. Elegimos n de tal manera que L/n < ε. Definimos

A := kL

n : − n ≤ k ≤ n

 .

Entonces #A = 2n + 1 y para cada x en Y se tiene que d(x, A) < L/n < ε.

11 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico y sea Y ⊆ X. Entonces Y es totalmente acotado si, y s´olo si, para cada ε > 0 existe un subconjunto finito A del espacio X tal que d(x, A) < ε para cada x en Y .

Demostraci´on. La necesidad es obvia. Demostremos la suficiencia. Sea ε > 0. Encontra- mos en X una ε/2-red finita A para el conjunto Y , es decir, un conjunto finito A ⊆ X tal que para cada y en Y se cumple d(y, A) < ε/2. Luego para cada a en A, si d(a, Y ) < ε/2, encontramos un punto b en Y tal que d(a, b) < ε/2. Denotemos por C al conjunto de estos puntos. Obviamente #C ≤ #A. Demostremos que C es una ε-red para Y . Si x ∈ Y , entonces existe a en A tal que d(a, x) < ε/2. Luego d(a, Y ) < ε/2, y existe b en C tal que d(a, b) < ε/2. Por la desigualdad del tri´angulo, d(x, b) < ε.

12 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico totalmente acotado y sea Y ⊆ X. Entonces Y es totalmente acotado.

13 Ejercicio. Sea X un espacio m´etrico y sea Y ⊆ X tal que Y es totalmente acotado.

Demuestre que cl(Y ) es totalmente acotado.

14 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico totalmente acotado. Entonces X es separable.

Demostraci´on. Para cada p en N encontramos un subconjunto finito Ap de X tal que para cada x en X se cumple d(x, A_p) < 1/p. Pongamos

D :=

∞

[

p=1

A_p.

Entonces D es finito o numerable por ser una uni´on numerable de conjuntos finitos.

Mostremos que cl(D) = X. Sea x ∈ X. Entonces para cada q en N d(x, D) ≤ d(x, A_q) < 1

q, luego d(x, D) = 0 y x ∈ cl(D).

15 Proposici´on (criterio de espacio m´etrico no totalmente acotado). Sea X un espacio m´etrico. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) X no es totalmente acotado;

(b) existen ε > 0 y un subconjunto infinito M de X tal que

∀x ∈ M ∀y ∈ M \ {x} d(x, y) ≥ ε.

Demostraci´on. Supongamos (a) y demostremos (b). Como X no es acotado, existe ε > 0 tal que en X no hay ε-red finita. Elegimos a₁ ∈ X. Como {a₁} no es ε-red para X, existe a₂ en X tal que d(a₁, a₂) ≥ ε. En el k-´esimo paso, encontramos a_k en X tal que d(a_k, a_j) ≥ ε para cada j < k. Pongamos M := {a_k: k ∈ N}. Entonces ε y M tienen propiedades requeridas.

Supongamos (b) y demostremos (a). Sean ε y M como en la condici´on (b). Demostremos que X no es totalmente acotado. Razonando por reducci´on al absurdo supongamos que X es totalmente acotado. Entonces M es totalmente acotado. Sea A un subconjunto finito de M tal que para cada x en M se cumple d(x, A) < ε. Entonces A = M , pero esto contradice a la suposici´on que M es infinito.

16 Proposici´on (criterio de espacio m´etrico totalmente acotado en t´erminos de sucesiones de Cauchy). Sea X un espacio m´etrico. Entonces X es totalmente acotado si, y solo si, cada sucesi´on en X contiene una subsucesi´on de Cauchy.

Demostraci´on. 1. Sea X totalmente acotado y sea (x_n)_n∈N una sucesi´on en X. Encontra- mos una cubierta finita C₁ de X tal que diam(A) < 1/2 para cada A en C₁. Entre los elementos de C₁ elegimos A₁ tal que el conjunto {n ∈ N : xn∈ A₁} sea infinito. Elegimos ν(1) tal que x_ν(1) ∈ A₁. Notamos que A₁ es un espacio totalmente acotado. Repetimos este proceso. En el k-´esimo paso encontramos una cubierta finita C_k del conjunto A_k−1 tal que diam(A) < 1/2^k para cada A en C_k. Entre los elementos de C_k elegimos A_k tal que el conjunto {n ∈ N : xn ∈ A_k} sea infinito. Elegimos ν(k) tal que ν(k) > ν(k − 1) y x_ν(k) ∈ A_k. La sucesi´on (x_ν(k))_k∈N es de Cauchy. En efecto, como x_ν(k), x_ν(k+1) ∈ A_k, obtenemos d(x_ν(k), x_ν(k+1)) < 2^−k.

2. Supongamos que X no es totalmente acotado. Entonces existen ε > 0 y una sucesi´on (a_k)_k∈N en X tal que para cada j 6= k se cumple d(a_j, a_k) ≥ ε. Entonces en la sucesi´on (a_k)_k∈N no existe subsucesi´on de Cauchy.