CUADERNILLO DE TRAZOS

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Universidad Autónoma De Querétaro

Escuela De Bachilleres

CUADERNILLO DE TRAZOS

Matemáticas III:

Geometría Euclidiana Y Trigonometría

Profesora: Ing. Dulce Gabriela Rivera Sánchez

En colaboración con Ing. Mariana Lujambio Chávez

Estudiante: ___________________________________________ Grupo: _

Querétaro, Querétaro, 24 de julio de 2017

(2)

ii

Contenido

Introducción ... iv

Conceptos intuitivos: Punto, recta y plano. ... 1

Actividad 1 ... 2

Actividad 2 ... 3

Segmentos, semirrectas y ángulos ... 4

Actividad 3 ... 4

Actividad 4 ... 5

Actividad 5 ... 6

Actividad 6 ... 7

Actividad 7 ... 8

Actividad 8 ... 9

Actividad 9 ... 10

Actividad 10... 11

Actividad 11... 12

Actividad 12... 13

Actividad 13... 14

Rectas paralelas y perpendiculares ... 15

Actividad 14... 15

Actividad 15... 16

Actividad 16... 17

Actividad 17... 18

Isometrías ... 19

Actividad 18... 19

Actividad 19... 20

Actividad 20... 21

Actividad 21... 22

Actividad 22... 23

Triángulos ... 24

Actividad 23... 24

Actividad 24... 25

Actividad 25... 27

(3)

iii

Actividad 26... 28

Actividad 27... 29

Actividad 28... 30

Actividad 29... 31

Actividad 30... 32

Actividad 31... 33

Actividad 32... 34

Áreas de polígonos ... 35

Actividad 33... 35

Actividad 34... 36

Bibliografía sugerida ... 37

(4)

iv

Introducción

Muchas circunstancias en la vida humana, aún en la edad primitiva, condujeron a numerosos descubrimientos geométricos: la noción de distancia fue, sin duda alguna, uno de los primeros conceptos geométricos descubiertos; la estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo, originalmente, a observar que la recta constituye la trayectoria mas corta de un punto a otro; incluso, por intuición, la mayoría de los animales se da cuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos llevaron al hombre a la noción de figuras geométricas simples, tales como: rectángulos, cuadrados, triángulos. Otros conceptos geométricos elementales, como las nociones de vertical, de rectas paralelas, de rectas perpendiculares, pueden haber sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas primitivas.

Dada la importancia que tiene la geometría euclidiana en la historia de la humanidad, se justifica su estudio en la actualidad. Dicho estudio no podría ser sin la habilidad del manejo y la aplicación de los conceptos básicos. El presente cuadernillo está compuesto de actividades que complementan los temas de la unidad 1; es un guía útil para el estudiante que emplea la práctica de los trazos elementales de la geometría. Se aplicarán propiedades de puntos, rectas, segmentos, ángulos, polígonos, entre otros elementos.

Se recomienda contestar con lápiz y colores de mina, tener una goma para corregir en caso de equivocarse, así como repasar el tema visto en clase que corresponde a cada unidad, o apoyarse de la bibliografía sugerida. Todos los trazos en este cuadernillo deben ser realizados con regla no graduada, lápiz HB y compás.

Las actividades son individuales o en colaboración con más compañeros según indique la profesora.

Deben ser contestadas por cuenta propia y nunca copiadas de otro cuadernillo; de no seguir esta recomendación se aplicaran las sanciones correspondientes. El aprendizaje es de quién lo trabaja.

El material que tienes en tus manos está diseñado para ti.

¡Disfrútalo!

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1

Conceptos intuitivos: Punto, recta y plano.

Según Alexander y Koeberlein (2013) una buena definición tiene las siguientes cualidades:

1. Menciona el término que se está definiendo.

2. Coloca el término dentro de un conjunto o categoría.

3. Distingue el término definido de otros términos sin proporcionar hechos innecesarios.

4. Es reversible: el concepto lleva a la definición y a partir de la definición se puede llegar al concepto.

Los términos como punto, recta y plano se clasifican como indefinidos ya que no se ajustan a ningún conjunto o categoría que se haya determinado con anterioridad(Alexander & Koeberlein, 2013). De éstos se basa la definición de todos los términos geométricos y aunque no puedan definirse se les puede dar un significado por medio de descripciones(Rich, 1991).

Concepto Descripción Ejemplos de representación Notación matemática Punto

La marca más pequeña que pueda trazarse. Se considera que carece de dimensiones, pero posee ubicación.

Los puntos se nombran con letras en mayúsculas.

Recta

Se considera que está formada por una sucesión infinita de puntos que se extienden en dos direcciones sin formar ángulos

entre sí. Es un objeto

unidimensional, no posee

espesor, ni principio ni un fin, por lo que no es posible medir su longitud.

Las rectas se nombran por dos puntos que pertenezcan a ella. Para una recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵 puede utilizarse 𝐴𝐵⃡ o simplemente recta AB.

Plano

Se extiende infinitamente en cuatro direcciones, de manera

uniforme. Es un objeto

bidimensional, no posee espesor y no es posible medir su longitud ni su anchura.

Los planos generalmente se nombran con una letra mayúscula, pero no es raro verlos denotados por una

letra griega. También

pueden ser nombrados con tres puntos contenidos en él. Así, el plano del ejemplo puede llamarse: plano 𝛼 o plano ABC.

Cuadro 1. Algunos términos indefinidos de la geometría euclidiana.

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2

Actividad 1

Traza una recta que pase por el punto: Traza una recta que pase por los puntos:

Observa los trazos de tus compañeros y responde:

1. ¿Todos trazaron las rectas de la misma manera que tú? _____________________________________

_____________________________________________________________________________________

2. Redacta una regla respecto al primer trazo: _______________________________________________

_____________________________________________________________________________________

3. Redacta una regla respecto al segundo trazo: _____________________________________________

_____________________________________________________________________________________

(7)

3

Actividad 2

Dados los puntos A, B , C y D, traza una recta que pase por cada uno de ellos de tal forma que se unan en un punto cualquiera llamado E (remárcalo)

Describe el procedimiento:

Compara la actividad con tus compañeros y contesta:

¿Todos encontraron el mismo punto E? _________ ¿Por qué?

¿Todos siguieron el mismo procedimiento?___________ ¿Por qué?

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4

Segmentos, semirrectas y ángulos

Actividad 3

Investiga los conceptos y completa el cuadro con lo que se pide. (Toma en cuenta las cualidades de una buena definición).

Concepto Definición Ejemplos de representación Notación matemática Segmento

Semirrecta

Ángulo

Punto medio

Vértice

Mediatriz

Bisectriz

Cuadro 2 Definiciones para segmentos, semirrectas y ángulos

(9)

5

Actividad 4

Copia el segmento

Copia el segmento tal que uno de los extremos sea el punto marcado.

Copia el segmento sobre la recta indicada

Descompón la figura y copia cada uno de sus segmentos de manera separada.

(10)

6

Actividad 5

Traza el punto medio del segmento y tres puntos distintos que equidisten de los puntos 𝐴 y 𝐵.

Traza todos los puntos medios de la figura y une los que sean adyacentes.

Divide el segmento en tres partes iguales. Prolonga la línea que contiene al segmento 𝐸𝐹̅̅̅̅ y traza un segmento 𝐹𝐺̅̅̅̅ tal que: ^𝐸𝐹^̅̅̅̅_𝐹𝐺 =¹

3 .

Divide el segmento en una razón 2 a 5

(11)

7

Actividad 6

¿C pertenece a la mediatriz de 𝐴𝐵 ̅̅̅̅?

Construye un segmento de longitud 4𝐶𝐷 ̅̅̅̅ −

¹₂

𝐴𝐵 ̅̅̅̅. Resáltalo con un color.

Construye un segmento de longitud

²₃

𝐸𝐹 ̅̅̅̅ + 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ −

¹

2

𝐶𝐷 ̅̅̅̅. Resáltalo con un color.

Construye un segmento de longitud 5𝐼𝐽 ̅ +

²

3

𝐺𝐻 ̅̅̅̅.

(12)

8

Actividad 7

Dados los segmentos, calcula lo que se pide. Resalta el segmento resultante con un color.

(13)

9

Actividad 8

Encuentra segmentos de la misma longitud en las siguientes figuras, nombra cada uno de ellos. Todos los segmentos tienen al menos uno igual.

(14)

10

Actividad 9

Encuentra los ángulos siguientes, escribiendo su nombre dados los puntos en la figura.

Ángulos adyacentes

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos rectos

Ángulos agudos

Ángulos obtusos

(15)

11

Actividad 10

Copia el ángulo 𝛼.

Copia el ángulo ∠𝑋𝑌𝑍

Descompón la figura, copia los

ángulos y trázalos por separado.

(16)

12

Actividad 11

Copia el ángulo y traza su bisectriz

Copia el ángulo y divídelo a razón 1 a 3.

Copia el ángulo y divídelo en tres

partes iguales.

(17)

13

Actividad 12

Realiza los pasos cuidadosamente:

1. Traza las bisectrices de los 5 ángulos.

2. Obtén el punto medio M del segmento 𝑂𝐵̅̅̅̅.

3. Abre el compás desde O hasta M, con ésta medida traza suavemente una circunferencia con centro en O.

4. Marca todos los puntos de intersección de la circunferencia OM con las bisectrices.

5. Une los puntos 𝐵, 𝐵^′, 𝐵^′′, 𝐵^′′′𝑦 𝐵′′′′ con los puntos medios adyacentes.

(18)

14

Actividad 13

Dados los siguientes ángulos, encuentra el ángulo resultante, resáltalo con un color y llámalo como se indique.

a) ∠GHI − 2∠ABC

b)

¹₂

∠𝐷𝐸𝐹 +

¹

4

∠𝐺𝐻𝐼

c)

¹₂

(3∠ABC) =

(19)

15

Rectas paralelas y perpendiculares

Actividad 14

Investiga los conceptos y completa el cuadro.

Concepto Definición Ejemplos de representación Notación matemática

Recta paralela

Recta

perpendicular

Rectas oblicuas

Paralelogramo

Teorema de Varignon

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16

Actividad 15

Construye una recta perpendicular que pase

por el punto I. Construye una recta perpendicular que pase por el punto E.

3. Construye una recta perpendicular que corte al segmento en una quinta parte.

Traza una recta perpendicular al lado 𝐵𝐶̅̅̅̅ que pase por el punto vértice 𝐴.

(21)

17

Actividad 16

Traza tres rectas paralelas a la recta 𝑃𝑄

^⃡

.

Traza una recta paralela a la recta 𝐴𝐵

^⃡

que pase por el punto 𝑃.

Traza una recta paralela al lado 𝐴𝐵

^̅̅̅̅

del triángulo que pase por C.

(22)

18

Actividad 17

Verifica a través de trazos, que en cada uno de los cuadriláteros, se cumple el teorema de Varignon.

(23)

19

Isometrías

Actividad 18

¿Qué es una isometría? ___________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

Investiga de qué se trata cada una de las isometrías y completa el cuadro:

Tipo de isometría Descripción Ejemplo

Traslación

Rotación

Simetría central

Simetría axial

(24)

20

Actividad 19

Traslada el cuadrilátero hacia el punto 𝐶′.

Traslada el triángulo hacia el punto 𝐴′.

(25)

21

Actividad 20

Rota las figuras tal que el lado 𝐸𝐷 ̅̅̅̅ quede sobre la recta segmentada.

(26)

22

Actividad 21

Traza la figura simétrica respecto al centro 𝐸.

(27)

23

Actividad 22

Traza la figura simétrica respecto a la recta mostrada.

(28)

24

Triángulos

Actividad 23

Elabora un mapa mental que incluya: definición de triángulo, puntos notables, rectas notables,

alturas, medianas, mediatrices, bisectrices, ortocentro, baricentro, incentro, circuncentro y recta de

Euler.

(29)

25

Actividad 24

1. Construye un triángulo cuyos lados tienen las medidas de los segmentos dados.

2. Construye un triángulo tal que el ángulo G se encuentre entre los lados a y b.

3. Construye un triángulo tal que el lado 𝑎

2

se encuentre entre los ángulos 𝐴

2

y B.

(30)

26

4. Compara tus trazos con los de tus compañeros y responde:

a. ¿Es posible trazar triángulos diferentes con las condiciones dadas? _________________

¿Por qué crees que sucede esto? _______________________________________________

____________________________________________________________________________

b. ¿Cuántos elementos geométricos (ángulos o segmentos) se han proporcionado en cada caso? ____ ¿Crees que si solamente se conocen dos elementos se pueden trazar

triángulos únicos y congruentes entre sí? ¿Por qué? _____________________

____________________________________________________________________________

5. Redacta una regla para todos los triángulos que sean congruentes por la primer condición dada: _____

__________________________________________________________________________________________

6. Redacta una regla para todos los triángulos que sean congruentes por la segunda condición dada: _____

__________________________________________________________________________________________

7. Redacta una regla para todos los triángulos que sean congruentes por la segunda condición dada: _____

__________________________________________________________________________________________

(31)

27

Actividad 25

Dibuje un triángulo cuyos lados tengan las longitudes siguientes:

Describe el procedimiento utilizado:

Copia el triángulo de arriba y traza la bisectriz de uno de

cada uno de sus lados. Describe el procedimiento

utilizado.

Copia el ángulo más grande y divídelo en tres partes iguales. Describe el procedimiento utilizado

(32)

28

Actividad 26

Traza todas alturas de los triángulos y marca el ortocentro.

(33)

29

Actividad 27

Traza todas las mediatrices del triángulo y la circunferencia correspondiente.

(34)

30

Actividad 28

Traza todas las bisectrices del triángulo y la circunferencia correspondiente.

(35)

31

Actividad 29

Traza todas las medianas de los triángulos y marca el baricentro, luego, divide cada una de las medianas en tres partes iguales y responde lo que se pide.

a. ¿A qué razón divide el baricentro a las medianas? ______________________________________

b. Ocurrirá esto en cualquier tipo de triángulo? ___________________________________________

c. ¿Cómo podrías comprobarlo? ________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

(36)

32

Actividad 30

Traza la recta de Euler en los triángulos.

(37)

33

Actividad 31

1. Construye la circunferencia de los 9 puntos en el siguiente triángulo.

a) Traza con líneas segmentadas todas las alturas.

 Marca y nombra D, E, F a los pies de las alturas.

 Marca y nombra H al ortocentro.

b) Traza suavemente los segmentos de Euler.

c) Marca los puntos de Euler y llámalos J, K y L

d) Traza los puntos medios de los segmentos 𝐴𝐵 ̅̅̅̅, 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅𝑦 𝐶𝐴 ̅̅̅̅, llámalos P, Q y R.

e) Construye un triángulo auxiliar uniendo tres de los puntos que marcaste y obtén el circuncentro O.

f) Construye y resalta la circunferencia que pasa por los 9 puntos y tiene de centro O.

(38)

34

Actividad 32

Construye el triángulo de Napoleón en el siguiente triángulo

(39)

35

Áreas de polígonos

Actividad 33

Realiza el procedimiento de la cuadratura del triángulo por pasos.

Describe tu procedimiento.

Primer paso: dibuja los puntos auxiliares necesarios para el trazo

Segundo paso: copia el triángulo y traza las rectas necesarias.

Tercer paso: copia el triángulo y el rectángulo. Sombrea áreas equivalentes.

(40)

36

Actividad 34

Dados los siguientes segmentos, dibuja el triángulo y utiliza la cuadratura del triángulo para

encontrar el rectángulo con área equivalente. Sombrea áreas equivalentes del mismo color.

(41)

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Bibliografía sugerida

Alexander, D. C., & Koeberlein, geralyn M. (2013). Geometría. (A. Vega Orozco & T. Eliosa García, Eds.) (5th ed.). México, D.F.: Cengage Learning Latinoamérica.

Burril, G. (2003). Geometría integración, aplicación y conexiones. México: Editorial Mc Graw Hill.

Clemens, S., O’Daffer, P., & Cooney, T. (1998). Geometría con aplicaciones y solución de problemas (Cuarta).

Addison Wesley Longman.

CONAMAT. (2009). Geometria y Trigonometria (Primera Ed). México: Prentice Hall.

Cuellar, J. A. (2006). Matemáticas II para Bachilleratp. México: McGraw Hill.

Fuenlabrada, S. (2004). Geometría y trigonometría. México: McGraw Hill.

Guzmán, A. (2004). Geometría y trigonometría. México: Publicaciones cultural.

Rich, B. (1991). Geometría (2nd ed.). México: McGraw-Hill Interamericana De México, S.A. de C.V.

Ruiz, J. (2005). Geometría y Trigonometría. México: Editorial Publicaciones Culturales.

(CONAMAT, 2009)

(Clemens, O’Daffer, & Cooney, 1998) (Burril, 2003)

(Guzmán, 2004) (Fuenlabrada, 2004) (Cuellar, 2006) (Ruiz, 2005)

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