Pr´actica 1 - L´ogica e Inducci´on Anexo Ejercicio 25- e)

Ejercicio 25-e) a

dado; (∀i > 1) : a

= (−1)

a

C´alculo de algunos t´erminos a₁ =a₁

a₂ = (−1)²a₁=a₁ a3 = (−1)³a2=−a₁ a4 = (−1)⁴a3=−a₁ a5 = (−1)⁵a4=a1

a₆ = (−1)⁶a₅=a₁ a₇ = (−1)⁷a₆=−a₁ a8 = (−1)⁸a7=−a₁

Pregunta

¿Cada cuatro t´erminos de la sucesi´on los valoresa1,a1,−a₁,−a₁ siempre se repitir´an?

Ejercicio 25-e) a

dado; (∀i > 1) : a

= (−1)

a

Otra forma de escribir los t´erminos a₁ = (−1) (−a₁)

a₂ = (−1)²a₁ = (−1)²⁺¹(−a₁) a3 = (−1)³a2 = (−1)³⁺²⁺¹(−a1) a4 = (−1)⁴a3 = (−1)^4+3+2+1(−a1)

Ejercicio 25-e) a

dado; (∀i > 1) : a

= (−1)

a

Otra forma de escribir los t´erminos a₁ = (−1) (−a₁)

a₂ = (−1)²a₁ = (−1)²⁺¹(−a₁) a3 = (−1)³a2 = (−1)³⁺²⁺¹(−a1) a4 = (−1)⁴a3 = (−1)^4+3+2+1(−a1)

Lo primero que queremos probar es que el t´ermino general es de la siguiente forma:

(∀i ∈ N) : ai = (−1)^{Pir =1r}(−a₁) = (−1)^{i (i +1)2} (−a₁)

P (i ) : (∀i ≥ 1) : ai = (−1)

i (i +1)

2 (−a1)

i) P (1) : a1 = a1 = (−1)¹(−a1) = (−1)^1·22 (−a1) es verdadera ii) Supongamos que P (i ), la Hip´otesis Inductiva, es verdadera y

probemos la verdad de P (i + 1) P (i + 1) : ai +1= (−1)^{i +1}ai =

|{z}

HI

(−1)^{i +1}(−1)

i (i +1)

2 (−ai) =

(−1)^{(i +1)+i (i +1)2} (−a_i) = (−1)^{(i +1)}(¹⁺2ⁱ) (−a_i) = (−1)^{(i +1)(i +2)2} (−a_i) =(−1)(i +1)((i +1)+1)

2 (−a_i).

Luego, P (n + 1) es verdadera

iii) Por i) y ii) concluimos que (∀i ≥ 1) : ai = (−1)

i (i +1) 2 (−a1)

Ejercicio 25-e) a

dado; (∀i > 1) : a

= (−1)

a

(∀i ≥ 1) : a_i = (−1)^{i (i +1)2} (−a₁)

Una vez probado la f´ormula para el t´ermino general podemos calcular los elementos de la sucesi´on para los ´ındices 4k − 3, 4k − 2, 4k − 1 y 4k con k ∈ N

a4k−3= (−1)

(4k−3)(4k−2)

2 (−a1) = (−1)(4k−3)(2k−1)

(−a1) = a1

a_4k−2= (−1)(4k−2)(4k−1)

2 (−a₁) = (−1)(2k−1)(4k−1)(−a₁) = a₁ a4k−1= (−1)

(4k−1)4k

2 (−a1) = (−1)^(4k−1)2k(−a1) = −a1

a_4k = (−1)

4k(4k+1)

2 (−a1) = (−1)^2k(4k+1)(−a1) = −a1

De esta forma hemos probado que a1 = a5 = a9= · · · = a1

a₂ = a₆ = a₁₀= · · · = a₁ a₃ = a₇ = a₁₁= · · · = −a₁ a₄ = a₈ = a₁₂= · · · = −a₁

Por tanto, tomando t´erminos de a 4 se tiene:

n

X

i =1

ai = 0 + 0 + 0 + · · · + 0 + 0 +











a₁ a₁+ a₁ a1+ a1− a₁ a₁+ a₁− a₁− a₁

Ejercicio 25-e) a

dado; (∀i > 1) : a

= (−1)

a

C´alculo de la suma de los primeros n t´erminos

n

X

i =1

a_i =







0 si n es par y m´ultiplo de 4 2a₁ si n es par y no es m´ultiplo de 4

a₁ si n es impar