Bases ortonormales en un espacio de dimensi´ on finita con producto interno

Bases ortonormales en un espacio de dimensi´ on finita con producto interno

Objetivos. Estudiar algunas propiedades de bases ortonormales en un espacio de dimen- si´on finita con producto interno.

Requisitos. Producto interno y sus propiedades b´asicas, base de un espacio vectorial.

En esta secci´on suponemos que V es un espacio vectorial complejo y que h·, ·i es un producto interno en V . Usamos el acuerdo que h·, ·i es lineal con respecto al segundo argumento:

∀u, v, w ∈ V hu, v + wi = hu, vi + hu, wi;

∀u, v ∈ V ∀α ∈ C hu, αvi = αhu, vi;

∀u, v ∈ V hv, ui = hu, vi;

∀u ∈ V \ {0} hu, ui > 0.

1. Producto interno es lineal conjugado con respecto al primer argumento.

Demuestre las f´ormulas:

∀u, v, w ∈ V hu + v, wi = hu, wi + hv, wi;

∀u, v ∈ V ∀α ∈ C hαu, vi = αhu, vi;

2. Combinaciones lineales en los argumentos del producto interno (repaso).

Sean a1, . . . , ap, b1, . . . , bq ∈ V y sean λ1, . . . , λp, µ1, . . . , µq ∈ C. Desarrolle el siguiente producto interno:

* _p X

j=1

λjaj,

q

X

k=1

µkbk

+

=

3. Definici´on (sistema ortonormal de vectores).

Un sistema de vectores a₁, . . . , a_m ∈ V se llama ortonormal si

∀j, k ∈ {1, . . . , m} ha_j, a_ki = δ_j,k.

Bases ortonormales, p´agina 1 de 2

4. Los coeficientes de una combinaci´on lineal de vectores de un sistema orto- normal se expresan a trav´es del producto interno.

Sea a₁, . . . , a_m un sistema ortonormal de vectores en V y sea b la combinaci´on lineal de los vectores a1, . . . , am con algunos coeficientes λ1, . . . , λm ∈ C:

b =

m

X

j=1

λ_ja_j.

Demuestre que

∀k ∈ {1, . . . , m} λ_j = ha_j, bi.

5. Teorema: todo sistema ortonormal de vectores es linealmente independiente.

Sea a₁, . . . , a_m un sistema ortonormal de vectores en V . Demuestre que a₁, . . . , a_m son linealmente independientes.

6. Corolario.

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensi´on n con un producto interno y sea a₁, . . . , a_n un sistema ortonormal de vectores en V . Entonces a₁, . . . , a_n es una base de V .

Bases ortonormales

7. Coordenadas de un vector con respecto a una base ortonormal.

Sea a₁, . . . , a_n una base ortonormal de V y sea v ∈ V . Demuestre que v =

n

X

j=1

ha_j, vi a_j.

8. C´alculo del producto interno a trav´es de coordenadas con respecto a una base ortonormal.

Sea a₁, . . . , a_n una base ortonormal de V y sean v, w ∈ V . Demuestre que hv, wi =

n

X

j=1

ha_j, vi ha_j, wi.

9. Igualdad de Parseval.

Sea a₁, . . . , a_n una base ortonormal de V y sea v ∈ V . Demuestre que kvk² =

n

X

j=1

ha_j, vi 

2.

Bases ortonormales, p´agina 2 de 2