Escuela Normal “José María Torres”
Espacio Curricular: Matemática Año: 5°
Divisiones: 1° y 3°
Profesoras: Andrea Martínez
Contenidos:
Elementos de la parábola.
Cálculo del vértice y raíces de la parábola.
Obtención de la ecuación del eje de simetría de la parábola.
Coordenadas de la ordenada al origen de la función cuadrática.
Antes de comenzar con el nuevo contenido de esta clase, recordaremos lo visto y trabajado previamente.
Para graficar la función sin tabla de valores necesitamos saber 5 datos importantes:
1. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA 2. EJE DE SIMETRÍA
3. ORDENADA AL ORIGEN
4. PUNTO SIMÉTRICO DE LA ORDENADA AL ORIGEN.
5. RAÍCES DE LA PARÁBOLA
A lo largo de esta explicación siempre consideramos la expresión completa de la función cuadrática:
y = f(x)= ax
2+ bx + c
O en su forma comprimida:
y = ax
2+ bx + c
En la explicación, defino en términos generales, pero luego te mostraré como aplicarlo a un ejemplo concreto.
La función ejemplo será:
y = x
2-2x -3
Siempre vamos a identificar el valor de los coeficientes antes de comenzar de la siguiente forma:
a= 1(positivo) b= -2 c= -3
1. VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola estará en V (1; -4)
Una vez calculado lo ubico en el sistema de ejes cartesianos
2. EJE DE SIMETRÍA
La ecuación de la recta del eje de simetría será
x= x v
En nuestro ejemplo será
x= 1
significa que haremos una recta vertical en el valor 1 de x.Ubicamos el vértice en el sistema de ejes cartesianos:
3. ORDENADA AL ORIGEN
y = f( 0 )= a .(0)
2+ b. 0 + c= c
la ordenada al origen entonces es (0; c)
En nuestro ejemplo c= -3, entonces la ordenada al origen es
(0;-3)
Agreguemos este tercer dato a nuestro sistema de ejes cartesianos:
Hasta aquí tenemos dos puntos y el eje de simetría. Ahora marcaremos el próximo elemento punto simétrico y luego las raíces para darle la forma lo más aproximada posible a nuestra parábola.
4. PUNTO SIMÉTRICO DE LA ORDENADA AL ORIGEN.
Solo consiste en contar las unidades que hay desde la Ordenada al origen al eje de simetría y y trazar un punto a la misma altura y distancia al eje de simetría.
En este caso es de 1 unidad
5. RAÍCES DE LA PARÁBOLA
Las raíces de la parábola, gráficamente son la/s intersección/es con el eje x. Como la intersección en x ocurre cuando el valor de la coordenada y es igual a 0, encontramos las raíces igualando la expresión a 0.
La expresión de la función cuadrática, al igualarla a cero, pasó a ser una ecuación cuadrática.Resumiendo, podemos ver que no es sencillo despejar x directamente, razón por la cual vamos a hacer uso de una fórmula que recibe el nombre de Formula Resolvente:
Aquí podemos observar la razón por la cual en las actividades previas analizábamos cuando las raíces no eran reales, para que haya puntos de corte en el eje x, el “contenido” de la radicación no debe ser negativo.
También observamos que delante del símbolo radical hay doble signo, efectivamente, en una ecuación al despejar y calcular una raíz de índice par obtendremos dos resultados de signos opuestos.
Es así que tendremos un resultado usando el signo positivo delante de la raíz al que llamaremos x1(equis sub uno) y otro resultado usando el signo negativo de nombre x2(equis sub dos).
Ahora usaremos el ejemplo numérico, donde ya habíamos identificado los coeficientes de la función:
a= 1(positivo) b= -2 c= -3
Reemplazamos en la fórmula resolvente los valores de a, b, c:
𝑥
1,2= −𝑏 ± √𝑏
2− 4. 𝑎. 𝑐 2. 𝑎
𝑥
1,2= 2 ± √(−2)
2− 4.1. (−3) 2.1
𝑥
1,2= 2 ± √4 + 12 2
𝑥
1,2= 2 ± √16 2 𝑥
1,2= 2 ± 4
2
Aquí es donde separamos las soluciones en dos:
𝑥
1= 2 + 4 2 = 6
2 = 3 𝑥
2= 2 − 4
2 = −2
2 = −1
Ya obtuve los valores de las raíces por cálculo matemático, los puntos de corte del eje x serán entonces (3; 0) y (-1; 0)
Los voy a marcar en el sistema de ejes cartesianos:
Logramos obtener 5 puntos y el eje de simetría, podemos ver claramente la forma que tomaría la parábola.
Ahora trazamos la curva que pasa por todos esos puntos, teniendo en cuenta que a ambos lados del eje de simetría, la gráfica debe ser lo más simétrica posible:
Finalmente hemos logrado trazar la gráfica de la función cuadrática realizando el cálculo de los elementos principales de la misma.
A continuación realizaremos actividades para reforzar la identificación de los coeficientes, eje de simetría, ordenada al origen, punto simétrico, así como también de cálculo del vértice y raíces de parábolas.
Actividades
1) Calcula con la fórmula resolvente las raíces, si es posible(el radicando nunca debe ser negativo), de las siguientes funciones:
2) Realiza los cálculos de los elementos de la función cuadrática, marca cada elemento en un sistema de ejes cartesianos, obtén la gráfica y completa los recuadros:
a) B) 𝑦 = 2𝑥2− 8𝑥 − 10
Las raíces reales(x1 y x2) son:
Las raíces reales(x1 y x2) son:
Las raíces reales(x1 y x2) son:
Ordenada al origen Raíces
Imagen
Ordenada al origen Raíces
Imagen
3)
Problema
:Un nadador desciende al fondo del mar siguiendo la trayectoria que representa el gráfico de la función y = 2x
2+ x –6. Tomando como unidad el metro, responde:
a) ¿A qué distancia del lugar de entrada emerge?
b) ¿Cuál es la profundidad máxima que alcanza?
Nivel del mar =eje x
