TALLER: Problemas de olimpiadas matem´ aticas y su aporte al pensamiento matem´ atico en la
educaci´ on b´ asica
John Cuya Jorge Tipe Emilio Gonzaga
Lima, 13 de febrero de 2014
VII COLOQUIO INTERNACIONAL sobre ense˜ nanza de las
matem´ aticas
Sesi´ on 2 - Problema 1.a
En una sala hay una fila de 5 sillas puestas una al lado de la otra.
Cuando Renato entr´ o a la sala vio que algunas personas estaban
sentadas en las sillas de tal forma que si ´ el se sienta en cualquier
silla desocupada, entonces estar´ a al lado de alguna de esas
personas. Como m´ aximo, ¿cu´ antas sillas desocupadas hab´ıa antes
de que llegue Renato?
Sesi´ on 2 - Problema 1.a - Soluci´ on
Si las dos sillas de la izquierda estuvieran desocupadas la condici´ on no se va a cumplir si Renato se sienta en la silla que est´ a m´ as a la izquierda, luego, al menos una de ellas est´ a ocupada. Haciendo lo mismo en el lado derecho, tendremos al menos 2 sillas ocupadas en total, lo que equivale a decir que hay como m´ aximo 3 sillas
desocupadas. Un ejemplo es:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.a - Soluci´ on
Si las dos sillas de la izquierda estuvieran desocupadas la condici´ on no se va a cumplir si Renato se sienta en la silla que est´ a m´ as a la izquierda, luego, al menos una de ellas est´ a ocupada.
Haciendo lo mismo en el lado derecho, tendremos al menos 2 sillas ocupadas en total, lo que equivale a decir que hay como m´ aximo 3 sillas
desocupadas. Un ejemplo es:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.a - Soluci´ on
Si las dos sillas de la izquierda estuvieran desocupadas la condici´ on no se va a cumplir si Renato se sienta en la silla que est´ a m´ as a la izquierda, luego, al menos una de ellas est´ a ocupada. Haciendo lo mismo en el lado derecho, tendremos al menos 2 sillas ocupadas en total, lo que equivale a decir que hay como m´ aximo 3 sillas
desocupadas.
Un ejemplo es:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.a - Soluci´ on
Si las dos sillas de la izquierda estuvieran desocupadas la condici´ on no se va a cumplir si Renato se sienta en la silla que est´ a m´ as a la izquierda, luego, al menos una de ellas est´ a ocupada. Haciendo lo mismo en el lado derecho, tendremos al menos 2 sillas ocupadas en total, lo que equivale a decir que hay como m´ aximo 3 sillas
desocupadas. Un ejemplo es:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.b
En una sala hay una fila de 6 sillas puestas una al lado de la otra.
Cuando Renato entr´ o a la sala vio que algunas personas estaban
sentadas en las sillas de tal forma que si ´ el se sienta en cualquier
silla desocupada, entonces estar´ a al lado de alguna de esas
personas. Como m´ aximo, ¿cu´ antas sillas desocupadas hab´ıa antes
de que llegue Renato?
Sesi´ on 2 - Problema 1.b - Soluci´ on
Usando el mismo razonamiento que el problema anterior, tenemos al menos dos sillas ocupadas y en consecuencia habr´ıa 4 sillas desocupadas como m´ aximo. El ejemplo ser´ıa:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.b - Soluci´ on
Usando el mismo razonamiento que el problema anterior, tenemos al menos dos sillas ocupadas y en consecuencia habr´ıa 4 sillas desocupadas como m´ aximo.
El ejemplo ser´ıa:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.b - Soluci´ on
Usando el mismo razonamiento que el problema anterior, tenemos al menos dos sillas ocupadas y en consecuencia habr´ıa 4 sillas desocupadas como m´ aximo. El ejemplo ser´ıa:
× ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.c
En una sala hay una fila de 7 sillas puestas una al lado de la otra.
Cuando Renato entr´ o a la sala vio que algunas personas estaban
sentadas en las sillas de tal forma que si ´ el se sienta en cualquier
silla desocupada, entonces estar´ a al lado de alguna de esas
personas. Como m´ aximo, ¿cu´ antas sillas desocupadas hab´ıa antes
de que llegue Renato?
Sesi´ on 2 - Problema 1.c - Soluci´ on
Enumeremos las sillas de izquierda a derecha con los n´ umeros del 1 al 7. Entre las sillas 1 y 2, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 3, 4, 5, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 6 y 7, al menos una est´ a ocupada. En total, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia hay 4 sillas desocupadas como m´ aximo. Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.c - Soluci´ on
Enumeremos las sillas de izquierda a derecha con los n´ umeros del 1 al 7. Entre las sillas 1 y 2, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 3, 4, 5, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 6 y 7, al menos una est´ a ocupada.
En total, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia hay 4 sillas desocupadas como m´ aximo. Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.c - Soluci´ on
Enumeremos las sillas de izquierda a derecha con los n´ umeros del 1 al 7. Entre las sillas 1 y 2, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 3, 4, 5, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 6 y 7, al menos una est´ a ocupada. En total, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia hay 4 sillas desocupadas como m´ aximo.
Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.c - Soluci´ on
Enumeremos las sillas de izquierda a derecha con los n´ umeros del 1 al 7. Entre las sillas 1 y 2, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 3, 4, 5, al menos una est´ a ocupada. Entre las sillas 6 y 7, al menos una est´ a ocupada. En total, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia hay 4 sillas desocupadas como m´ aximo. Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.d
En una sala hay una fila de 8 sillas puestas una al lado de la otra.
Cuando Renato entr´ o a la sala vio que algunas personas estaban
sentadas en las sillas de tal forma que si ´ el se sienta en cualquier
silla desocupada, entonces estar´ a al lado de alguna de esas
personas. Como m´ aximo, ¿cu´ antas sillas desocupadas hab´ıa antes
de que llegue Renato?
Sesi´ on 2 - Problema 1.d - Soluci´ on
Por un argumento similar al problema anterior, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia, hay como m´ aximo 5 casillas desocupadas. Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.d - Soluci´ on
Por un argumento similar al problema anterior, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia, hay como m´ aximo 5 casillas desocupadas.
Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1.d - Soluci´ on
Por un argumento similar al problema anterior, tenemos al menos 3 sillas ocupadas y en consecuencia, hay como m´ aximo 5 casillas desocupadas. Un ejemplo es:
× × ×
Sesi´ on 2 - Problema 1
En una sala hay una fila de 30 sillas puestas una al lado de la otra.
Cuando Renato entr´ o a la sala vio que algunas personas estaban sentadas en las sillas de tal forma que si ´ el se sienta en cualquier silla desocupada, entonces estar´ a al lado de alguna de esas personas.
a. Hallar el n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas a fin de que se cumpla la condici´ on que Renato vio antes de sentarse.
b. Como m´ aximo, ¿cu´ antas sillas desocupadas hab´ıa antes de que llegue Renato?
c. Generalicen el problema y resu´ elvanlo.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
a. El n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas es 2. Ya que si hubiera 3 consecutivas, Renato se sentar´ıa en la del medio y ya no se cumplir´ıa la condici´ on del problema. b. Enumeramos las sillas con los n´ umeros del 1 al 30. Entre las
sillas 1, 2 y 3, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. Entre las sillas 4, 5 y 6, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas; y as´ı sucesivamente hasta llegar al final: entre las sillas 28, 29 y 30 hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. En total, hay como m´ aximo 2 × 10 = 20 sillas desocupadas. Para conseguir el ejemplo, tenemos que hacer que en cada grupo de 3 sillas consecutivas est´ e ocupada la silla del centro. Es decir, que las sillas ocupadas sean:
2, 5, 8, 11, . . . , 29.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
a. El n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas es 2. Ya que si hubiera 3 consecutivas, Renato se sentar´ıa en la del medio y ya no se cumplir´ıa la condici´ on del problema.
b. Enumeramos las sillas con los n´ umeros del 1 al 30. Entre las sillas 1, 2 y 3, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. Entre las sillas 4, 5 y 6, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas; y as´ı sucesivamente hasta llegar al final: entre las sillas 28, 29 y 30 hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. En total, hay como m´ aximo 2 × 10 = 20 sillas desocupadas. Para conseguir el ejemplo, tenemos que hacer que en cada grupo de 3 sillas consecutivas est´ e ocupada la silla del centro. Es decir, que las sillas ocupadas sean:
2, 5, 8, 11, . . . , 29.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
a. El n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas es 2. Ya que si hubiera 3 consecutivas, Renato se sentar´ıa en la del medio y ya no se cumplir´ıa la condici´ on del problema.
b. Enumeramos las sillas con los n´ umeros del 1 al 30. Entre las sillas 1, 2 y 3, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas.
Entre las sillas 4, 5 y 6, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas; y as´ı sucesivamente hasta llegar al final: entre las sillas 28, 29 y 30 hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. En total, hay como m´ aximo 2 × 10 = 20 sillas desocupadas. Para conseguir el ejemplo, tenemos que hacer que en cada grupo de 3 sillas consecutivas est´ e ocupada la silla del centro. Es decir, que las sillas ocupadas sean:
2, 5, 8, 11, . . . , 29.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
a. El n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas es 2. Ya que si hubiera 3 consecutivas, Renato se sentar´ıa en la del medio y ya no se cumplir´ıa la condici´ on del problema.
b. Enumeramos las sillas con los n´ umeros del 1 al 30. Entre las sillas 1, 2 y 3, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. Entre las sillas 4, 5 y 6, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas; y as´ı sucesivamente hasta llegar al final: entre las sillas 28, 29 y 30 hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas.
En total, hay como m´ aximo 2 × 10 = 20 sillas desocupadas. Para conseguir el ejemplo, tenemos que hacer que en cada grupo de 3 sillas consecutivas est´ e ocupada la silla del centro. Es decir, que las sillas ocupadas sean:
2, 5, 8, 11, . . . , 29.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
a. El n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas es 2. Ya que si hubiera 3 consecutivas, Renato se sentar´ıa en la del medio y ya no se cumplir´ıa la condici´ on del problema.
b. Enumeramos las sillas con los n´ umeros del 1 al 30. Entre las sillas 1, 2 y 3, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. Entre las sillas 4, 5 y 6, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas; y as´ı sucesivamente hasta llegar al final: entre las sillas 28, 29 y 30 hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. En total, hay como m´ aximo 2 × 10 = 20 sillas desocupadas.
Para conseguir el ejemplo, tenemos que hacer que en cada grupo de 3 sillas consecutivas est´ e ocupada la silla del centro. Es decir, que las sillas ocupadas sean:
2, 5, 8, 11, . . . , 29.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
a. El n´ umero m´ aximo de sillas consecutivas desocupadas es 2. Ya que si hubiera 3 consecutivas, Renato se sentar´ıa en la del medio y ya no se cumplir´ıa la condici´ on del problema.
b. Enumeramos las sillas con los n´ umeros del 1 al 30. Entre las sillas 1, 2 y 3, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. Entre las sillas 4, 5 y 6, hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas; y as´ı sucesivamente hasta llegar al final: entre las sillas 28, 29 y 30 hay como m´ aximo 2 sillas desocupadas. En total, hay como m´ aximo 2 × 10 = 20 sillas desocupadas. Para conseguir el ejemplo, tenemos que hacer que en cada grupo de 3 sillas consecutivas est´ e ocupada la silla del centro. Es decir, que las sillas ocupadas sean:
2, 5, 8, 11, . . . , 29.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n. Usamos el mismo argumento que usamos antes: dividir en grupos de 3. Luego, el n´ umero de sillas ocupadas es al menos n, y el n´ umero de sillas
desocupadas es como m´ aximo 3n − n = 2n. Para el ejemplo,
en cada grupo hacemos que la silla del centro est´ e ocupada.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n.
Usamos el mismo argumento que usamos antes: dividir en grupos de 3. Luego, el n´ umero de sillas ocupadas es al menos n, y el n´ umero de sillas
desocupadas es como m´ aximo 3n − n = 2n. Para el ejemplo,
en cada grupo hacemos que la silla del centro est´ e ocupada.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n. Usamos el mismo argumento que usamos antes: dividir en grupos de 3. Luego, el n´ umero de sillas ocupadas es al menos n, y el n´ umero de sillas
desocupadas es como m´ aximo 3n − n = 2n. Para el ejemplo,
en cada grupo hacemos que la silla del centro est´ e ocupada.
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 1.
Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 1. Separamos las dos primeras y las dos ´ ultimas, y las 3n − 3 sillas restantes las agrupamos de 3 en 3. De esta forma el n´ umero de grupos es 1 + (n − 1) + 1 = n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo
(3n + 1) − (n + 1) = 2n. Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 1. Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 1. Separamos las dos primeras y las dos ´ ultimas, y las 3n − 3 sillas restantes las agrupamos de 3 en 3.
De esta forma el n´ umero de grupos es 1 + (n − 1) + 1 = n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo
(3n + 1) − (n + 1) = 2n. Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 1. Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 1. Separamos las dos primeras y las dos ´ ultimas, y las 3n − 3 sillas restantes las agrupamos de 3 en 3. De esta forma el n´ umero de grupos es 1 + (n − 1) + 1 = n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo
(3n + 1) − (n + 1) = 2n.
Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 1. Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 1. Separamos las dos primeras y las dos ´ ultimas, y las 3n − 3 sillas restantes las agrupamos de 3 en 3. De esta forma el n´ umero de grupos es 1 + (n − 1) + 1 = n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo
(3n + 1) − (n + 1) = 2n. Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 2.
Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 2. Separamos las dos primeras y las 3n sillas restantes las agrupamos de 3 en 3. De esta forma el n´ umero de grupos es n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo (3n + 2) − (n + 1) = 2n + 1. Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 2. Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 2. Separamos las dos primeras y las 3n sillas restantes las agrupamos de 3 en 3.
De esta forma el n´ umero de grupos es n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo (3n + 2) − (n + 1) = 2n + 1. Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 2. Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 2. Separamos las dos primeras y las 3n sillas restantes las agrupamos de 3 en 3. De esta forma el n´ umero de grupos es n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo (3n + 2) − (n + 1) = 2n + 1.
Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 1 - Soluci´ on
Generalizaci´ on:
• Si el n´ umero de sillas es 3n + 2. Enumeramos las sillas del 1 al 3n + 2. Separamos las dos primeras y las 3n sillas restantes las agrupamos de 3 en 3. De esta forma el n´ umero de grupos es n + 1, y en cada grupo debe haber al menos una silla ocupada, luego, el n´ umero de sillas desocupadas es como m´ aximo (3n + 2) − (n + 1) = 2n + 1. Para el ejemplo, hacemos que las siguientes sillas est´ en ocupadas:
1, 4, 7, . . . , 3n + 1
Sesi´ on 2 - Problema 2.a y 2.b
Se tiene muchas piezas de la siguiente forma:
Cada pieza est´ a formada por dos segmentos perpendiculares, cada uno de longitud 1 y, adem´ as, cada pieza se puede rotar. A partir de ahora las llamaremos piezas L. Un tablero de m × n es un
rect´ angulo de dimensiones m y n que ha sido dividido en m · n
cuadraditos de lado 1.
a. Usando solamente las piezas L muestre c´ omo se puede formar un tablero de 2 × 2 de tal forma que no haya dos segmentos de longitud 1 que se superpongan.
b. Haga lo mismo para los tableros de 3 × 3 y 4 × 4.
c. ¿Es cierto que se puede hacer lo mismo para cualquier tablero
de n x n?
Sesi´ on 2 - Problema 2.a y 2.b - Soluci´ on
Para el tablero de 2 × 2:
Sesi´ on 2 - Problema 2.a y 2.b - Soluci´ on
En el caso de un tablero de n × n, consideramos la diagonal que va del v´ ertice superior izquierdo al v´ ertice inferior derecho. Para cada v´ ertice que est´ a debajo de esa diagonal lo unimos con el v´ ertice superior y con el v´ ertice que est´ a a la derecha:
De esta forma, todos los segmentos debajo de la diagonal est´ an
cubiertos, y hacemos lo mismo para los segmentos que est´ an por
encima de la diagonal.
Sesi´ on 2 - Problema 2.a y 2.b - Soluci´ on
En el caso de un tablero de n × n, consideramos la diagonal que va del v´ ertice superior izquierdo al v´ ertice inferior derecho. Para cada v´ ertice que est´ a debajo de esa diagonal lo unimos con el v´ ertice superior y con el v´ ertice que est´ a a la derecha:
De esta forma, todos los segmentos debajo de la diagonal est´ an
cubiertos, y hacemos lo mismo para los segmentos que est´ an por
encima de la diagonal.
Sesi´ on 2 - Problema 2.c y 2.d
a. Usando solamente las piezas L, ¿ser´ a posible formar un tablero de 2 × 3 de tal forma que no haya dos segmentos de longitud 1 que se superpongan?
b. Usando solamente las piezas L, ¿ser´ a posible formar un tablero de 4 × 5 de tal forma que no haya dos segmentos de longitud 1 que se superpongan?
c. ¿Para qu´ e valores de n es posible construir un tablero de
2 × n, usando solamente las piezas L, de tal forma que no
haya dos segmentos de longitud 1 que se superpongan?
Sesi´ on 2 - Problema 2.c y 2.d- Soluci´ on
a. En el tablero de 2 × 3 hay 8 segmentos verticales y 9 horizontales, luego, hay 17 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
b. En el tablero de 4 × 5 hay 24 segmentos verticales y 25 horizontales, luego, hay 49 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
c. En un tablero de 2 × n el n´ umero de segmentos verticales es
2(n + 1) y el n´ umero de segmentos verticales es 3n.Como
cada pieza L consta de un segmento vertical y de uno
horizontal, entonces deber´ıa cumplirse que 2(n + 1) = 3n, de
donde n = 2. Finalmente, ya hab´ıamos visto que para el
tablero de 2 × 2 s´ı es posible la construcci´ on.
Sesi´ on 2 - Problema 2.c y 2.d- Soluci´ on
a. En el tablero de 2 × 3 hay 8 segmentos verticales y 9 horizontales, luego, hay 17 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
b. En el tablero de 4 × 5 hay 24 segmentos verticales y 25 horizontales, luego, hay 49 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
c. En un tablero de 2 × n el n´ umero de segmentos verticales es
2(n + 1) y el n´ umero de segmentos verticales es 3n.Como
cada pieza L consta de un segmento vertical y de uno
horizontal, entonces deber´ıa cumplirse que 2(n + 1) = 3n, de
donde n = 2. Finalmente, ya hab´ıamos visto que para el
tablero de 2 × 2 s´ı es posible la construcci´ on.
Sesi´ on 2 - Problema 2.c y 2.d- Soluci´ on
a. En el tablero de 2 × 3 hay 8 segmentos verticales y 9 horizontales, luego, hay 17 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
b. En el tablero de 4 × 5 hay 24 segmentos verticales y 25 horizontales, luego, hay 49 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
c. En un tablero de 2 × n el n´ umero de segmentos verticales es 2(n + 1) y el n´ umero de segmentos verticales es 3n.
Como
cada pieza L consta de un segmento vertical y de uno
horizontal, entonces deber´ıa cumplirse que 2(n + 1) = 3n, de
donde n = 2. Finalmente, ya hab´ıamos visto que para el
tablero de 2 × 2 s´ı es posible la construcci´ on.
Sesi´ on 2 - Problema 2.c y 2.d- Soluci´ on
a. En el tablero de 2 × 3 hay 8 segmentos verticales y 9 horizontales, luego, hay 17 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
b. En el tablero de 4 × 5 hay 24 segmentos verticales y 25 horizontales, luego, hay 49 segmentos en total. Esto implica que la construcci´ on no es posible, porque el n´ umero de segmentos debe ser par.
c. En un tablero de 2 × n el n´ umero de segmentos verticales es
2(n + 1) y el n´ umero de segmentos verticales es 3n.Como
cada pieza L consta de un segmento vertical y de uno
horizontal, entonces deber´ıa cumplirse que 2(n + 1) = 3n, de
donde n = 2. Finalmente, ya hab´ıamos visto que para el
tablero de 2 × 2 s´ı es posible la construcci´ on.
Sesi´ on 2 - Problema 2
1
¿Qu´ e tableros m × n se pueden formar usando solamente las piezas L de tal forma que no haya dos segmentos de longitud 1 que se superpongan?
2
