Análisis Matemático
José María Martínez Mediano 1
FUNCIONES DE DOS VARIABLES PLANOS TANGENTES, TAYLOR…
Planos tangentes
1. (I12) La ecuación del plano tangente a la superficie f x y ( , ) = ( x
2+ y e )
2xen P(0, –1) es:
a) 2 x − + = y z 0 b) x + y + z + 2 = 0 c) x + y - z = 0 Solución:
Si el punto de la superficie z = f ( x , y ) se denota ( x
0, y
0, z
0) , la ecuación del plano tangente en ese punto es z − = z
0f
x( x
0, y
0)( · x − x
0) + f
y( x y
0,
0)( · y − y
0) .
0
0
(0, 1) ( 1) 1
z = f − = − e = − .
( )
(
2)
2( , ) 2 2
xf
xx y = x + x + y e → f
x(0, 1) − = − 2 ( , )
2xf
yx y = e → f
y(0, 1) − = 1 La ecuación del plano pedido es:
1 2( 0) 1( 1) 2 0
z + = − x − + y + ⇒ x − + = y z La respuesta es a)
2. (J07) La ecuación del plano tangente a la superficie dada por f ( x , y ) = x
2+ y
2, en el punto (3, 4, 5) es:
a) − + 3 x 4 y + − 5 z 32 = 0 . b) 2 x − 4 y + − = 5 z 12 0 . c) 3 x + 4 y − 5 z = 0 Solución:
2
2
2) 2 , (
y x y x
x f
x= + → en (3, 4) → 6/10 = 3/5
2
2
2) 2 , (
y x y y
x f
y= + → en (3, 4) → 8/10 = 4/5 Ec. del plano tangente:
) 4 5 ( ) 4 3 5 (
5 = 3 − + −
− x y
z ⇔ 3 x + 4 y − 5 z = 0
La respuesta es c)
3. (J08) La ecuación del plano tangente a la superficie determinada por la función
2 2 2
)
2,
( x y e x y
f =
x −y+ − , en el punto (1, 1, 1), es:
a) 4 x − 4 y + z = 1 . b) x − y − z = − 1 c) Ninguna de las anteriores.
Solución:
x xe
f
x= 2
x2−y2+ 2 , [en (1, 1)] → 4 y
ye
f
y= − 2
x2−y2− 2 , [en (1, 1)] → −4
La ecuación del plano tangente es: z − 1 = 4 ( x − 1 ) − 4 ( y − 1 ) ⇔ 4 x − 4 y − z = − 1
La respuesta es c)
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4. (S08) La ecuación del plano tangente a la superficie determinada por la función
2 2
( , )
f x y = x − y , en el punto (5, 4, 3), es:
a) z − = 3 2( x − − − 5) ( y 4) . b) 5 x + 4 y + 3 z = 32 c) 5 x − 4 y − 3 z = 0 Solución:
2 2
1 2
x
2
f x
x y
= − , [en (5, 4)] → 5/3
2
2
y
x f
yy
−
= − , [en (5, 4)] → − 4 /3
El plano tangente es: ( 4 )
3 ) 4 5 3 (
3 = 5 − − −
− x y
z ⇔ 5 x − 4 y − 3 z = 0
La respuesta es c)
5. (S09) La ecuación del plano tangente a la superficie
1 ) 3
,
(
2+
= + x
y y x
x
f en el punto (0, 1, 1) es:
a) x + y + z = 2 b) 3 x + y − z = 0 c) Ninguna de las anteriores
Solución:
2 2 2
) 1 (
2 )·
3 ( ) 1 ( ) 3 ,
( +
+
−
= +
x
x y x y x
x
f
x→ en (0, 1) → 3
1 ) 1
,
( =
2+
y x x
f
y→ en (0, 1) → 1
Ec. del plano: z − 1 = 3 ( x − 0 ) + 1 ·( y − 1 ) ⇔ 3 x + y − z = 0 La respuesta es b)
6 . (J13) La ecuación del plano tangente a la superficie
) 1 ,
(
2+
= + y x y x x
f en P(–2, –4) es:
a) x − 2 y + 9 z = 0 b) 7 x − 2 y + z + 8 = 0
c) x − 2 y + 9 z = 1 Solución:
2 2
2 2
2 2
) 1 (
1 )
1 (
) 2 ( 1
+ +
+ +
= − +
+
− +
= +
y x
y x y
x
x x y
f
xx ;
2 2) 1
( + +
= −
y x
f
yx ⇒ ∇f(–2, –44) = (–7, 2).
f(–2, –4) = –2.
El plano tangente en P es:
2 ( 7, 2)· 2 4 z x
y +
+ = − + ⇒ z + = − 2 7( x + + 2) 2( y + 4) ⇒ 7 x − 2 y + + = z 8 0
La respuesta es b)
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Polinomio de Taylor
(Recuerda. Para una variable)
7. (J10) El polinomio de Taylor de tercer grado, en el punto x = 0, de la función )
1 ln(
)
( x x
2x
f = − + es:
a)
2 33 1 2 ) 1
( x x x x
P = + + b)
2 33 3 1 )
( x x x x
P = + −
c) Ninguno de los anteriores. La solución correcta es: _________
Solución:
) 1 ln(
)
( x x
2x
f = − + →
x x x
f = − +
1 2 1 )
´( →
2) 1 ( 2 1 )
´´( x x
f = + + →
3) 1 ( ) 2
´´´( x x
f = − +
f(0) = 0, f´(0) = −1, f´´(0) = 3, f´´´(0) = −2
3 2
! 3 2
! 2 ) 3
( x x x x
P = − + − ⇒
2 33 1 2 ) 3
( x x x x
P = − + −
8. (S09) El polinomio de Taylor de grado 2, en el punto (0, 0), de f ( x , y ) = e
x+ y
2, es:
a) P ( x , y ) = x
2+ 10 y
2− 4 x − 36 y + 30 .
b) 1
2 ) 1 ,
( x y = x
2+ y
2+ x + P
c) Ninguno de los anteriores.
Solución:
El polinomio de Taylor de segundo grado para una función f ( x , y ) en el punto (a, b) es:
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )·( , ) 1
( , ) ( , ) 2
xx xy
yx yy
f a b f a b x a
P x y f a b f a b x a y b x a y b
f a b f a b y b
−
= + ∇ − − + − − −
Gradiente:
=
= y f
e f
y x x
2 ⇒ ∇ f ( 0 , 0 ) = ( 1 , 0 )
Hessiana:
=
=
xy
0
x xx
f e
f ;
=
= 2 0
yy yx
f
f ⇒
= 2 0
0 ) 1
0 , 0 ( Hf Por tanto:
( ) 1 0
( , ) 1 (1, 0)·( 1, 1) 1 · ·
0 2
2
P x y x y x y x
y
= + − − +
⇒ 1
2 ) 1 ,
( x y = x
2+ y
2+ x + P
La respuesta es b)
9. (S08) Dado el campo f x y ( , ) = 2 x
2+ e
x−2ya) (10 puntos) Halla su polinomio de Taylor de grado 2 en el punto (0, 0). Desarrolla y simplifica el resultado.
Solución:
4
x 2yf
x= x + e
−; f
y= − 2 e
x−2y⇒ ∇f(0, 0) = (1, –2) 4
x 2yf
xx= + e
−→ 5; f
xy= − 2 e
x−2y→ −2; f
yy= 4 e
x−2y→ 4 Luego:
( ) 5 2
2 21 5
( , ) 1 (1, 2)·( , ) 1 2 2 2
2 4
2 2
P x y x y x y x x y x xy y
y
−
= + − + = + − + − +
−
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10. (J10) El polinomio de Taylor de grado 2 en el punto (0, 0) de la función
( x y )
y x
f ( , ) = cos + 2 es:
a)
22 2
22 1 1 ) ,
( x y x xy y
P = − − − b)
22 2 1 1
) ,
( x y x y xy x
P = + + − −
c) Ninguna de las anteriores.
Solución:
( x y )
f
x= − sin + 2 ; f
y= − 2 sin ( x + 2 y ) ⇒ ∇f(0, 0) = (0, 0)
( x y )
f
xx= − cos + 2 → −1; f
xy= − 2 cos ( x + 2 y ) → −2; f
yy= − 4 cos ( x + 2 y ) → −4 Luego:
( ) 1 2
2 21 1
( , ) 1 (0, 0)·( , ) 1 2 2
2 4
2 2
P x y x y x y x x xy y
y
− −
= + + − − = − − − La respuesta es a)
11. (J06) ¿El polinomio de Taylor de grado 2 en el punto (0, 0) de la función 2
2) ,
( x y xe
x yf =
−es:
a) 2
1 ) 2
, (
2
+ −
= x x y
x
P b)
2 1 ) 2
, (
2
+ +
= x x y
x P c) Ninguna de las anteriores.
Solución:
2
2) ,
( x y xe
x yf =
−→ en (0, 0) → 0
2
2
2
2 ) ,
(
x y x yx
x y e xe
f =
−+
−→ 2; f
y( x , y ) = − 4 xye
x−y2→ 0
2
2
2
2 ) ,
(
x y x yxx
x y e xe
f =
−+
−→ 4 ; f
xy( x , y ) = − 4 ye
x−y2− 4 xye
x−y2→ 0
2
2 2
8 4
) ,
(
x y x yyy