Química Cuántica I Potenciales y efecto túnel

Química Cuántica I

Potenciales y efecto túnel

Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM

Potenciales

Dos tipos de potenciales:

Confinante Diverge asintóticamente.

x→±∞l´ım V (x) = ∞

No confinante El límite existe en al menos _{x = ∞} o x = −∞:

x→±∞l´ım V (x) = c

convención

= 0↓

Es decir, el potencial es asintótico en una o más coordenadas

Ejemplos de potenciales confinantes

Partícula en una caja de paredes infinitas

V (x) =

( 0 : x ∈ [0, a]

∞ : x < 0 o x > a

Oscilador armónico V (x) = 1

2x² , x ∈ (−∞, ∞)

0 a x

V = ∞ V = 0 V = ∞

x V

Algunos potenciales no confinantes:

−V

−V V

V V

o o Vo

V V

o

x

x

x V

r

V

r

∼ 1/r

Un potencial no confinante genérico:

x V (x)

E₁ E₂ E₃

a b

c d

Análisis clásico:

v = ±p

2[E − V (x)]/m

En los puntos de retorno la velocidad vale cero, v = 0.

a, b^: Puntos de retorno para el estado enlazado con E = E₁. c, d^: Puntos de retorno para el estado no enlazado con E = E₂. E = E₃^: La partícula se alenta y se acelera al pasar sobre la

barrera pero sin rebotar.

Los potenciales no confinantes describen mejor a los sistemas reales.

Cuando _{E > 0}, la partícula es libre (no confinada) en una porción del espacio.

E E E

1 2 3

Continuo E

Estados enlazados (ligados)

E=0

Pozo cuadrado

Considerar los estados ligados de una partícula bajo la acción del potencial confinante:

V (x) =

( −V^o : −L ≤ x ≤ L 0 : |x| > L

V(x)

−L L

x

−V O

Region II

Region III Region I

o

La función de onda satisface:

Región I: ^d2ψ

dx² − k²ψ = 0 solución: ψ_I

(1)

Región II: ^d2ψ

dx² + α²ψ = 0 solución: _ψII

(2)

Región III: ^d2ψ

dx² − k²ψ = 0 solución: ψ_III

(3)

donde

k = −√

−2mE

(4) ~

α = −p

−2m(V^o + E)

(5)

Condiciones para ψ:

ψ finito en _{x ± ∞} (cuadrático – integrable) Condiciones a la frontera:

ψ_I(−L) = ψ^II(−L)

(6)

ψ_II(L) = ψ_III(L)

(7)

ψ debe tener primeras derivadas continuas:

dψ_I dx

x=−L

= dψ_II dx

x=−L

(8)

dψ_II dx

x=L

= dψ_III dx

x=L

(9)

Solución par: Ψ_p(−x) = Ψ^p(x)

Ψ_p(x) =















ψ_I(x) =N e^kx Región I ψ_II(x) =N _{cos αL}^e−kL cos αx Región II ψ_III(x)=N e^−kx Región III donde

k = α tan(αL)

(10)

Se trata de una ecuación trascendente para E. N es la constante de normalización.

Solución impar: Ψ_i(−x) = −Ψⁱ(x)

Ψ_i(x) =















ψ_I(x) =N e^kx Región I ψ_II(x) =−N _{sen αL}^e−kL sen αx Región II ψ_III(x)=−Ne^−kx Región III donde

k = −α cot(αL)

(11)

Ésta también es una ecuación trascendente para E.

Sólo las energías E que satisfacen (10) y (11) son permitidas (cuantización).

Además:

n − 1 < b

π < n

(12)

donde

b =

√2mV_oL

~ ^.

En consecuencia, el número de estados ligados depende de m, L y V₀

x Ψ(x)

-L L

⇐ ⇒

no clásico no clásico

Estado basal

I II III

x Ψ(x)

-L L

⇐ ⇒

no clásico no clásico

Primer estado excitado

I II III

La densidad de probabilidad en las regiones

clásicamente prohibidas decae exponencialmente con la distancia al pozo:

|ψ^I(x)|² = |N|² e^2kx |ψ^III(x)|² = |N|² e^−2kx

Cuando la masa de la partícula aumenta, disminuye la probabilidad de encontrarla fuera del pozo,

pues _{κ ∼} ^√m, ecuación (4).

Barrera cuadrada

x = 0 x = L

I II III

V₀

V = 0 E

Región:

V (x) =







0, x < 0 I

V₀ > 0, 0 ≤ x ≤ L II

0, x > 0 III

La función de onda:

ψ_I(x) = A₁e^ik1x + B₁e^−ik1x ψ_II(x) = A₂e^k2x + B₂e^−k2x6= 0 ψ_III(x) = Ce^ik1x

donde:

k₁ =

r2mE

~² k₂ =

r2m(V₀ − E)

~²

Las condiciones a la frontera proporcionan información sobre las constantes.

Esquemáticamente:

Re[ψ(x)]

Tomado de:

F. S. Levin, An introduction to quantum

La probabilidad de que la partícula se refleje en la barrera es:

R = (amplitud reflejada₎²

(amplitud incidente₎^{2 =}

B₁² A²₁

La probabilidad de que la partícula se transmita por la barrera es:

T = (amplitud transmitida)²

(amplitud incidente)² = C² A²₁

Se obtiene:

T = 1

1 + _4E(V^V02

o−E)senh²(k₂L)

Nótese que:

T 6= 0 incluso cuando _{E < V0} (efecto túnel).

T → 0 cuando k₂L ≫ 1 (límite clásico).

0 1

L T(L)

Efecto túnel

Penetración de una partícula en una región clásicamente prohibida o su paso a través de una barrera de potencial

Ejemplos:

Barrera de rotación interna en una molécula

∆E

φ

2.8 kcal/mol

0 60 120 180

C₂ H

H

H C₁ H

H H C₂

H

H H

H C₁

H H

→

Cinética química

Modificación a la ecuación de Arrhenius:

k = σAe^−Ea/RT σ: Factor de tunelaje;

importante para transfe- rencia de H

Decaimiento radiactivo

r V (r) barrera de potencial

atracción

nuclear repulsión culómbica

partícula α

Una aproximación:

V

Ro r

Dimensiones nucleares a partir del experimento + modelo

Microscopía de tuneleo: Sirve para caracterizar materiales

– Consiste en la aplicación práctica del efecto túnel para el estudio de superficies

– Proporciona evidencia directa del fenómeno – Más detalles en:

Positioning Single Atoms with a Scanning Tunnelling Microscope Eigler, D. M.; Schweizer, E. K. Nature 1990, 344, 524–526

http://nobelprize.org/educational_games/physics/microscopes/scanning/index.html

Nature 344, 524–526 (1990)

Ver también:

http://www.research.ibm.com/articles/madewithatoms.shtml#fbid=YJgsHMzahtn

(Video sobre efecto túnel realizado por IBM)