CI 3621 Conceptos Básicos Grafos pdf

Texto completo

(1)Algebra Matricial y Teoría de Grafos Unidad 3: Nociones de teoría de grafos. Luis M. Torres Escuela Politécnica del Litoral Quito, Enero 2008. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.1.

(2) Contenido Motivación Conceptos básicos Representaciones computacionales Problema del sendero euleriano Problema del árbol generador de peso mínimo Problemas de caminos más cortos. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.2.


(4) Todo empezó en Königsberg.... Kaliningrado (2005) exclave ruso en el mar báltico.... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.3.

(5) Todo empezó en Königsberg.... Kaliningrado (2005) exclave ruso en el mar báltico... Königsberg (∼ 1750) ... puerto del antiguo imperio prusiano. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.3.

(6) ...con un problema de puentes El Pregel atraviesa la ciudad formando dos islas. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.4.

(7) ...con un problema de puentes El Pregel atraviesa la ciudad formando dos islas Problema: Cruzar cada uno de los siete puentes exactamente una vez. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.4.

(8) Leonhard Euler 1707, Bâle 1783, St. Petersburgo trabajos en análisis consolidación de las matemáticas puras (1736) teoría de grafos. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.5.

(9) Volviendo a los puentes.... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.6.

(10) Volviendo a los puentes... Cuatro orillas.... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.6.

(11) Volviendo a los puentes... Cuatro orillas... ... unidas por siete puentes .... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.6.

(12) Volviendo a los puentes... Cuatro orillas... ... unidas por siete puentes ... Idea: Olvidar la ciudad, retener la estructura!. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.6.

(13) Matemáticas discretas Problemas: Caminos eulerianos Caminos más cortos Arboles generadores Flujos máximos Programación lineal y entera .... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.7.

(14) Matemáticas discretas Problemas:. Aplicaciones:. Caminos eulerianos. Logística. Caminos más cortos. Transporte. Arboles generadores. Telecomunicaciones. Flujos máximos. Redes de distribución. Programación lineal y entera. Secuenciamiento genético. .... .... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.7.

(15) El problema del ADAC. pedidos, unidades, contratistas.... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.8.

(16) El problema del ADAC. Central de despacho. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.8.

(17) El problema del ADAC. Plan de rutas. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.8.

(18) El problema del ADAC. Objetivo: Diseñar un algoritmo de optimización para el enrutamiento de las unidades. Plan de rutas. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.8.

(19) Formulando el IP Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio.. û1 e1 u2. e2. û2. e3 u1. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.9.

(20) Formulando el IP Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T1. û1 e1 u2. e2 e3. u1. û2. 1. r1. 0. r2. 1. r3. 1. u1. 0. u2. cT1 xT1. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.9.

(21) Formulando el IP Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio.. û1 e1 u2. e2 e3. u1. û2. T1. T2. 1. 0. r1. 0. 1. r2. 1. 1. r3. 1. 0. u1. 0. 1. u2. cT1. cT2. xT1. xT2. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.9.

(22) Formulando el IP Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio.. û1 e1 u2. e2 e3. u1. û2. T1. T2. T3. T4. 1. 0. 0. 1. r1. 0. 1. 0. 0. r2. 1. 1. 0. 0. r3. 1. 0. 1. 0. u1. 0. 1. 0. 0. u2. cT1. cT2. cT3. cT4. xT1. xT2. xT3. xT4. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.9.

(23) Formulando el IP Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T1. T2. T3. T4. .... 1. 0. 0. 1. .... r1. 0. 1. 0. 0. .... r2. 1. 1. 0. 0. .... r3. 1. 0. 1. 0. .... u1. 0. 1. 0. 0. .... u2. cT. cT1. cT2. cT3. cT4. . . . cTN. xT. xT1. xT2. xT3. xT4. . . . xTN. û1 e1 u2. e2. û2 A. e3 u1. TN. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.9.

(24) Formulando el IP Idea: Definir una variable binaria por cada ruta de servicio. T1. T3 T T4 min c x 1 0 0 1 û1 Formular un enorme. Problema de 0 eParticionamiento 1 û2 A 1 (IP):e2. u2. T2. 0. 1. 0. 0. .... r2. 0. .... r3. Ax = 1. x ∈ {0, 1}N .... u1. 0. 0. .... u2. cT2. cT3. cT4. . . . cTN. xT2. xT3. xT4. . . . xTN. 0. 1. 0. 1. cT. cT1. xT. xT1. u1. r1. 0. 1. e3. TN. .... s.t.. 1. .... Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.9.

(25) Y los puentes?. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.10.


(27) Conceptos básicos Definición: Un grafo es un par ordenado G = (V, E) donde: V es un conjunto finito E es un multiconjunto de la forma E ⊆ {{i, j} : i ∈ V, j ∈ V }. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.12.

(28) Conceptos básicos Definición: Un grafo es un par ordenado G = (V, E) donde: V es un conjunto finito E es un multiconjunto de la forma E ⊆ {{i, j} : i ∈ V, j ∈ V }. Ejemplo: 1. V = {1, 2, 3, 4, 5}. 3 5. 2. E = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 4} , {3, 4} , {3, 5} , {4, 5}}. 4. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.12.

(29) Conceptos básicos Definición: Un grafo es un par ordenado G = (V, E) donde: V es un conjunto finito Los elementos de V se llaman nodos de G, E es un multiconjunto de la forma los elementos de E son las aristas de G. E ⊆ {{i, j} : i ∈ V, j ∈ V }. Designaremos en adelante: n := |V |. Ejemplo: 1. V = {1, 2, 3, 4, 5}. 3 5. 2. m := |E|. E = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 4} , {3, 4} , {3, 5} , {4, 5}}. 4. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.12.

(30) Conceptos básicos una arista e ∈ E es incidente a un nodo i ∈ V si i ∈ e. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.13.

(31) Conceptos básicos una arista e ∈ E es incidente a un nodo i ∈ V si i ∈ e dos nodos i, j ∈ V son adyacentes si {i, j} ∈ E. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.13.

(32) Conceptos básicos una arista e ∈ E es incidente a un nodo i ∈ V si i ∈ e dos nodos i, j ∈ V son adyacentes si {i, j} ∈ E el conjunto de nodos adyacentes a un cierto nodo i ∈ V es la vecindad por nodos de i: NV (i) := {j ∈ V : ij ∈ E}. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.13.

(33) Conceptos básicos una arista e ∈ E es incidente a un nodo i ∈ V si i ∈ e dos nodos i, j ∈ V son adyacentes si {i, j} ∈ E el conjunto de nodos adyacentes a un cierto nodo i ∈ V es la vecindad por nodos de i: NV (i) := {j ∈ V : ij ∈ E}. el conjunto de aristas incidentes a un cierto nodo i ∈ V es la vecindad por aristas de i: NE (i) := {ij ∈ E}. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.13.

(34) Conceptos básicos el grado por nodos de un nodo i es la cardinalidad de su vecindad por nodos (; cantidad de nodos adyacentes): dV (i) := |NV (i)|. el grado por aristas de un nodo i es la cardinalidad de su vecindad por aristas (; cantidad de aristas incidentes): dE (i) := |NE (i)|. Usaremos en adelante el término grado para referirnos al grado por aristas: d(i) := dE (i). Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.14.

(35) Conceptos básicos Cadenas y senderos Una cadena P es una sucesión de aristas donde dos aristas consecutivas tienen siempre un nodo en común ; trayectoria sobre el grafo P := h{i0 , i1 } , {i1 , i2 } , . . . , {ik−1 , ik }i. Una cadena que no repite aristas se llama sendero Un sendero es elemental si no repite nodos Un sendero es cerrado si termina donde empezó (i0 = ik ). Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.15.

(36) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := hi. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(37) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(38) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(39) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(40) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(41) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {1, 3}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(42) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {1, 3}, {1, 2}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(43) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Una cadena en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {1, 3}, {1, 2}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.16.

(44) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := hi. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(45) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := h{1, 3}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(46) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(47) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(48) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(49) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {2, 3}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(50) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {2, 3}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.17.

(51) Conceptos básicos Ejemplo: 3. 1. 5 2. 4. Un sendero elemental en G: P := hi. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.18.

(52) Conceptos básicos Ejemplo: 3. 1. 5 2. 4. Un sendero elemental en G: P := h{1, 3}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.18.

(53) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero elemental en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.18.

(54) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero elemental en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.18.

(55) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero elemental en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {2, 4}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.18.

(56) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero elemental en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {2, 4}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.18.

(57) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := hi. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(58) Conceptos básicos Ejemplo: 3. 1. 5 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(59) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(60) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(61) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(62) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {2, 3}, i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(63) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {2, 3}, {1, 2}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(64) Conceptos básicos Ejemplo: 1. 3 5. 2. 4. Un sendero cerrado en G: P := h{1, 3}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4}, {2, 3}, {1, 2}i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.19.

(65) Conceptos básicos Cadenas orientadas y caminos Una cadena orientada P es una sucesión de arcos donde el extremo final de cada arco es el extremo inicial de su sucesor P := h(i0 , i1 ), (i1 , i2 ), . . . , (ik−1 , ik )i. Una cadena orientada que no repite arcos se llama camino Un camino es elemental si no repite nodos Un camino es cerrado si termina donde empezó (i0 = ik ). Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.20.


(67) Representación computacional Matriz de adyacencia: Dado un grafo G = (V, E), definimos su matriz de adyacencia M (G) ∈ MV ×V por medio de: mij :=. (. 1, 0,. si i y j con nodos adyacentes caso contrario. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.22.

(68) Representación computacional Matriz de adyacencia: Dado un grafo G = (V, E), definimos su matriz de adyacencia M (G) ∈ MV ×V por medio de: mij :=. (. 1, 0,. si i y j con nodos adyacentes caso contrario. Ejemplo: 1. . 3 5. 2. 4.    M (G) =    . 0 1 1 0 0. 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 1. 0 1 1 0 1. 0 0 1 1 0.        . Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.22.

(69) Representación computacional Matriz de incidencia: Dado un grafo G = (V, E), definimos su matriz de incidencia H(G) ∈ MV ×E por medio de: hij :=. (. 1, 0,. si la arista j es incidente al nodo i caso contrario. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.23.

(70) Representación computacional Matriz de incidencia: Dado un grafo G = (V, E), definimos su matriz de incidencia H(G) ∈ MV ×E por medio de: hij :=. (. si la arista j es incidente al nodo i caso contrario. 1, 0,. Ejemplo: 1. . 3 5. 2. 4.    H(G) =    . 1 1 0 0 0. 1 0 1 0 0. 0 1 0 1 0. 0 0 1 1 0. 0 0 1 0 1. 0 0 0 1 1.        . Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.23.

(71) Representación computacional Listas de adyacencia: Dado un grafo G = (V, E), almacenamos para cada nodo i ∈ V una lista con su vecindad.. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.24.

(72) Representación computacional Listas de adyacencia: Dado un grafo G = (V, E), almacenamos para cada nodo i ∈ V una lista con su vecindad.. Ejemplo: 1. L[1] = h2, 3i. 3. L[2] = h1, 4i. 5 2. 4. L[3] = h1, 4, 5i L[4] = h2, 3, 5i L[5] = h3, 4i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.24.


(74) Dos problemas clásicos Problema del sendero euleriano: Dado un grafo G = (V, E), determinar si existe un sendero cerrado que visite todas las aristas de G.. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.26.

(75) Dos problemas clásicos Problema del sendero euleriano: Dado un grafo G = (V, E), determinar si existe un sendero cerrado que visite todas las aristas de G.. Problema del ciclo hamiltoniano: Dado un grafo G = (V, E), determinar si existe un sendero cerrado elemental que visite todos los nodos de G.. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.26.

(76) Y los puentes?. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.27.

(77) Y los puentes?. Teorema: Un grafo admite un sendero euleriano cerrado si y sólo si todos sus nodos tienen grado par.. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.27.

(78) Y los puentes?. Teorema: En contraste, el problema deladmite ciclo un Un grafo hamiltoniano es muy difícil...euleriano cerrado sendero si y sólo si todos sus nodos tienen grado par.. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.27.

(79) Construyendo un circuito euleriano Fase I: Orientación euleriana Seleccionar un nodo i con aristas incidentes sin orientar Iniciar un recorrido en i, empleando únicamente aristas sin orientar Terminar al llegar nuevamente a i Orientar las aristas del recorrido Repetir el proceso anterior mientras existan aristas sin orientar. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.28.

(80) Construyendo un circuito euleriano Fase II: Búsqueda primero en profundidad (DFS) seleccionar un nodo i ∈ V procesar(i). procesar(i). marcar los arcos entrantes a i para todo arco saliente no marcado (i, j): procesar(j ). Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.29.

(81) Construyendo un circuito euleriano Fase II: Búsqueda primero en profundidad (DFS) seleccionar un nodo i ∈ V procesar(i). El orden de procesamiento de los nodos refleja un sendero euleriano procesar(i) marcar los arcos entrantes a i para todo arco saliente no marcado (i, j): procesar(j ). Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.29.


(83) Árbol generador de peso mínimo Ciclos, circuitos y conexidad Un ciclo es un sendero elemental cerrado Un circuito es un camino elemental cerrado Un grafo se llama conexo si para cada par de vértices i, j ∈ V existe un sendero que tiene i y j por extremos Un grafo se llama fuertemente conexo si para cada par de vértices i, j ∈ V existen un camino desde i hacia j y un camino desde j hacia i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.31.

(84) Árbol generador de peso mínimo Árboles Un bosque es un grafo sin ciclos Un árbol es un grafo conexo sin ciclos Dado un grafo G = (V, E), un árbol generador para G es un subgrafo de G que es un árbol y contiene todos los nodos de V. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.32.

(85) Árbol generador de peso mínimo Problema del árbol generador de peso mínimo [Minimum Spanning Tree, MST] Dado un grafo G con pesos sobre las aristas, encontrar un árbol generador tal que la suma de los pesos de sus aristas sea mínima. b 2. -2 2. c. a -5. 0. 1 0. 4 7. d 2. e. f 1. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.33.

(86) Árbol generador de peso mínimo Algoritmo de Kruskal 1. Ordenar las aristas por sus pesos (ascendentemente) 2. T := ∅ 3. Para i := 1, . . . , m 4.. e := i-ésima arista de la lista. 5.. Añadir e a T si no forma ciclos con las demás aristas en T. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.34.


(88) Caminos más cortos Problema de caminos más cortos [Shortest Path Problem, SPP] Dados un grafo dirigido D con pesos (longitudes) sobre los arcos y un nodo de salida s ∈ V , encontrar caminos de longitud mínima desde s hacia los demás nodos. La longitud de un camino es la suma de las longitudes de los arcos que lo componen.. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.36.

(89) Caminos más cortos Ejemplo: 1. a 1. 3. 0. c. 2 2. b 2. 0. 3. 1. f. g 2. 1. e 1. 1. 2. d. h 3. 2 2. 1. 0. i. Maestría en Control de Operaciones y Gestión Logística – p.37.

(90)