ANÁLISIS PROBABILÍSTICO DE LA ESTABILIDAD DE
MUROS DE CONTENCIÓN
Jaime Rodríguez Urquiza
Universidad de La Serena, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles
Luis Lemus Mondaca Geotecnia Ambiental Ltda.
RESUMEN
En este trabajo se presenta una metodología probabilística para el análisis de la estabilidad externa de muros de contención mediante el método de Simulación de Monte Carlo (SMC). El objetivo es determinar en términos cuantitativos la fiabilidad del diseño, a través del concepto de probabilidad de falla del sistema. El modelo computacional fue desarrollado en rutinas de Visual Basic 6.0. Como ejemplo de aplicación se desarrolla el análisis de estabilidad de un muro de contención tipo Cantilever.
1. INTRODUCCIÓN. Para un ingeniero tener herramientas para cuantificar la incertidumbre de los modelos que desarrolla resulta de mucha utilidad, debido a que esto le permitiría seleccionar, en base a su experiencia o en base a la normativa vigente, los diversos factores de seguridad que utilizará en su proyecto. Dentro de los problemas de ingeniería más desarrollados, tanto por los ingenieros geotécnicos como estructurales, se encuentra el análisis y diseño de estructuras de contención, en los cuales la mayor dificultad radica en determinar la estabilidad que el muro presenta a una posible falla (Centeno, 2002).
Para determinar la estabilidad de un muro de contención es necesario determinar los factores de seguridad al deslizamiento y al volcamiento de la estructura, para los casos estáticos y sísmicos. Dichos factores están relacionados con la geometría del muro de contención, las cargas, los empujes estáticos y sísmicos solicitantes, las propiedades mecánicas de los suelos, etc.; pero estos factores de seguridad no permiten cuantificar el efecto de la incertidumbre ( o variabilidad) de las variables utilizadas en los resultados del análisis y el diseño final.
Un ejemplo muy importante de lo anterior se refiere a, los parámetros propios del suelo. Los suelos son muy variables en sus propiedades y pocas veces son homogéneos en estado natural. Una de las principales fuentes de heterogeneidad es la variabilidad inherente espacial de los suelos, esta variación de las propiedades desde un punto a otro en el espacio se debe a las diferentes condiciones de depositación y a los diferentes estados tensionales debido al historial de cargas (Elkateb y Chalaturnyk 2003).
En este trabajo se presenta una metodología para el análisis de muros de contención tomando en cuenta la variabilidad inherente de los parámetros de resistencia al corte, utilizando el modelo de Mohr – Coulomb como ley constitutiva de los suelos, asumiendo además que solo el ángulo de fricción interna del suelo de relleno se comporta como una variable estocástica, ya que de acuerdo a un análisis de sensibilidad de la estabilidad es la variable más influyente en el análisis.
2. METODOLOGÍA DE ANÁLISIS Y MODELO MATEMÁTICO. Para el análisis de la estabilidad de un muro de contención, se asume un comportamiento de equilibrio límite, en el cual se genera un mecanismo de falla en el suelo o en la misma estructura. Para evitar este tipo de falla en el diseño se estudia el estado inmediatamente anterior a la falla y no el colapso total del muro. Se asume además que el muro de contención clasifica como una estructura rígida según su
interacción suelo - estructura, donde no se presentan deformaciones considerables ante las solicitaciones del suelo retenido. También se realiza el análisis en una condición de talud estable, que supone que el suelo es homogéneo y se genera una presión del suelo de acuerdo a las teorías de Rankine y Coulomb, en donde las presiones del suelo (estáticas) se asumen con una distribución en forma triangular. Para el análisis sísmico del muro de contención se realiza el cálculo de empujes utilizando los métodos de Coulomb y Mononobe – Okabe , para los casos estáticos y sísmicos respectivamente.
El modelo probabilístico requiere de amplias bases de datos asociadas a los parámetros de resistencia de los suelos. En el ejemplo de este trabajo se asume que el material de relleno detrás del muro estará conformado por uno del tipo arena limosa y por lo tanto, al asumir que el ángulo de fricción interna del suelo de relleno () se comporta como una variable estocástica, entonces se incorporan bases de datos disponibles de arenas limosas (Calderón, 2004), en las cuales las distribuciones de probabilidad que poseen un mejor ajuste al comportamiento de la variable son las distribuciones Normal y Lognormal, distribuciones bi-paramétricas que quedan definidas mediante la media y la varianza (o desviación estándar).
A continuación se resumen los valores de las medias, desviaciones estándar y coeficientes de variación para los ajustes de probabilidad asociadas al ángulo de fricción de interna para grados de compactación del 80%, 90% y 95% referidos al ensayo Proctor modificado.
%GC(PM) Distribución Normal Distribución Lognormal (°) (°) cv (%) (°) cv (%) 80 31,30 3,42 10,91 31,12 1,11 3,57 90 34,35 4,22 12,29 34,19 1,13 3,30 95 36,96 4,22 11,42 36,71 1,12 3,05
Tabla 1. Resumen de distribuciones de ajuste para las bases de datos arenas limosas. GC: Grado de compactación con respecto a la DMCS del Ensayo Proctor Modificado.
Para llevar a cabo el análisis probabilístico de la estabilidad del muro de contención, el enfoque propuesto corresponde a la Simulación de Monte Carlo (SMC), aunque costoso computacionalmente, es una forma adecuada para capturar los efectos de la variabilidad inherente de los parámetros de resistencia de los suelos (Popescu et al, 1998). La simulación se lleva a cabo mediante el “Software de diseño y análisis de muros de contención mediante simulación de Monte Carlo v.2” (González y Lemus 2010), con rutinas en lenguaje de Visual Basic 6.0. Las variables de salida del modelo corresponden a los factores de seguridad estático y sísmico al deslizamiento y al volcamiento, éstas podrán cuantificar la estabilidad del muro en términos de fiabilidad, además se podrá verificar la probabilidad de falla del sistema, asociada a las distribuciones de probabilidad de los factores de seguridad resultantes.
La simulación se basa en la generación de números pseudoaleatorios, estos se obtienen a través de un algoritmo congruencial (García et al, 2006) o la rutina Randomize incluida en Visual Basic 6.0. Es posible generar un máximo de 30.000 corridas. Las variables aleatorias se obtienen a través del método de Box-Müller (Box y Müller 1958), que se describe en la ecuación (5), que se utiliza para generar variables aleatorias estándar normales.
El análisis genera un vector “X” de dimensión “n”,
n X X X X
X 1, 2, 3,...., , el cual representa un set de
variables aleatorias. Para una corrida, cada variable aleatoria normal estándar permite calcular los factores de seguridad: FSEDi , FSEVi , FSSDi y FSSVi . Finalmente, se realiza un análisis
de equilibrio física se debe verificar que la media de cada factor de seguridad debe ser mayor a la unidad (FSi >1). La inestabilidad del sistema se asocia al concepto de probabilidad de falla (PF),
que se calcula utilizando la distribución de probabilidad normal estándar. )
1
(
P FSi
PF (1) Para determinar la fiabilidad del muro (Fm) se utiliza la siguiente definición:
PF
Fm 1 (2) Para resumir el proceso de simulación, se puede describir en los siguientes pasos:
1. Generación de números pseudoaleatorios de distribución Uniforme: Se obtienen números pseudoaleatorios a través de un algoritmo congruencial, que consiste en generar números provenientes de una distribución Uniforme entre 0 y 1 mediante la siguiente fórmula recursiva.
a x b
m xi1 i mod (3) m x U i i (4)El procedimiento para generar la corriente de números pseudoaleatorios es el siguiente: a). Se escoge un “número semilla” cualquiera, preferentemente menor que 1000. b). Se elige el módulo “m” representando por un número primo grande.
c). Se selecciona un coeficiente “
a
” que termine en 01, 21, 41, 61 u 81. d). Se escoge un término independiente “b” que termine en 1, 3, 5, 7 ó 9.e). Para el primer número pseudoaleatorios, correspondiente a x0 se calcula x0 número
semilla y
a
x
i
b
.f). Se calcula el valor de
axib
modm, donde Amod(B) es el residuo de la divisiónentre A y B.
g). Se divide el valor encontrado en el paso 6 entre el módulo “m” obteniendo el primer número pseudoaleatorios comprendido entre 0 y 1.
h). Se utiliza el valor de
a
x
i
b
mod
m
obtenido en el paso 6 como valorx
i y se procede a calcular el segundo número repitiendo los pasos e y g.i). Se repite el procedimiento según el número de corridas “n”, para obtener los números aleatorios que se necesiten en la simulación.
2. Generación de números pseudoaleatorios de distribución Normal Estándar y Log normal con el Método de Box-Müller:
2 1 1 2 1 1 2 1 ln 2 2 cos 1 ln 2 U sen U Y U U X(5)
2 1 1 Y X NN (6) Donde:
: Media de la distribución de la base de datos.
: Desviación estándar de la distribución de la base de datos.NN
y
Y
X
1,
1 : Variables aleatorias con distribución Normal (0,1) o Lognormal con media igual a e0.5
y varianza igual a (e-1)e. 2
1
,U
U
: Números pseudoaleatorios independientes de distribución Uniforme (0,1).3. Obtención de las variables de salida y su análisis estadístico: A partir de los números con distribución Normal y Log normal del paso 2 se obtienen números aleatorios Normales y Log normales con la media y la varianza deseadas los cuales son sometidos a análisis estadísticos que permiten confirmar las hipótesis distribucionales, entre otras propiedades.
4. Cálculo de la probabilidad de falla y fiabilidad del muro de contención.
Cabe destacar que el número máximo de corridas que acepta el programa es de 30.000 repeticiones, el cual supera con holgura el número óptimo de corridas para la simulación, que se encuentra dentro del orden de 4.000 a 10.000 corridas, según un análisis de estabilidad de la variable a simular (González y Lemus, 2010).
3. PRESENTACIÓN Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS. Como ejemplo de aplicación se realiza el estudio de la estabilidad de un muro de contención tipo Cantilever (Figura N°1) con suelo de relleno arena limosa. Se aplica la simulación de Monte Carlo utilizando el software desarrollado.
Figura N°1. Ejemplo de muro de contención Cantilever con suelo de relleno arena limosa.
Consideraciones en el modelo simulado
La Simulación se realiza considerando solamente el ángulo de fricción como variable estocástica (variable simulada) y los demás parámetros se mantienen invariantes. Se analizan 3 casos para diferentes grados de compactación (80%, 90% y 95%), para las distribuciones Normal y
Suelo de Relleno: Arena Limosa
t = 2,0 [t/m3]
c = 0,0 [t/m2]
= Parámetro Simulado Zona Sísmica III B = 0º i = 0º cs = 0,5 A0 /g Suelo de Apoyo: = 35º t = 2,0 [t/m3] c = 0,0 [t/m2]
Lognormal. El número óptimo de corridas será de 10.000 repeticiones (número óptimo de corridas para la estabilización de la variable de salida). Para la zonificación sísmica se utiliza la última versión y modificaciones de la Norma Chilena NCh 433 “Diseño sísmico de edificios”.
A continuación se muestra los resultados obtenidos:
1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 75 80 85 90 95 100 Grado de Compactación (%)
Empuje estático Empuje sísmico
E m p u je s L a te r a le s [T o n /m l]
Figura 2. Variación de empujes laterales según %GC.
Figura 3. Variación de los factores de seguridad estáticossegún %GC.
Figura 4. Variación factores de seguridad sísmicos según %GC.
Se puede apreciar en las figuras 3 y 4, que para el caso sísmico al deslizamiento se tiene un mayor riesgo de falla al estar más cercano al valor 1,0, no así en los factores FSED, FSEV y
FSSV. Además, para un análisis determinista se puede ver la influencia del grado de
compactación en los factores de seguridad.
En el ejemplo de aplicación se puede apreciar la influencia de la variabilidad del ángulo de fricción interna en el FSSD, el cual, si bien es mayor a 1,0, éste posee una desviación estándar entre 0,067 y 0,10, generando una probabilidad de falla de un 5,35% y un 10,40% para las distribuciones Normal y Lognormal respectivamente. El Manual de Carreteras, (Dirección de Vialidad, 2008) define un diseño adecuado cuando el FSSD>1,10. Dada esta situación, se optimiza el diseño y la estabilidad del muro, aumentando el grado de compactación del suelo de relleno hasta un 95% DMCS, obteniendo una probabilidad de falla de 0,09% y 0,29% para las distribuciones Normal y Lognormal respectivamente, luego se calcula la fiabilidad del muro con la ecuación (2), obteniéndose una fiabilidad de un 99,91% y un 99,71% para las distribuciones Normal y Lognormal.
En la figura 12 se puede distinguir la variación que se genera en la fiabilidad del muro, debido al mejoramiento del suelo de relleno desde un 80%GC a un 95%GC, en este último caso, se reduce considerablemente el riesgo de falla al deslizamiento producto de que la fiabilidad es muy cercana un 100%. A continuación se muestran los histogramas para los factores de seguridad estimados. Junto a estos histogramas se incluye la curva de la distribución ajustada.
0,81 0,89 0,97 1,05 1,13 1,21 1,29 1,37 FSSD 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Fre cuenc ia = 1,108 = 0,067 _____ Distrib. Normal
Figura 5. Histograma de FSSD utilizando distribución Normal con suelo de relleno GC 80%.
0,81 0,92 1,02 1,12 1,23 1,33 1,43 FSSD 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Fre cuenc ia = 1,107 = 0,085 - - - - Distrib. Log Normal
Figura 6. Histograma de FSSD utilizando distribución Lognormal con suelo de relleno GC 80%.
0,87 0,97 1,06 1,16 1,25 1,35 1,44 FSSD 0 200 400 600 800 1000 1200 Fre cuenc ia = 1,196 = 0,085 Distrib. Normal
0,81 0,90 0,99 1,08 1,18 1,27 1,36 1,45 1,54 FSSD 0 200 400 600 800 1000 F re cu en ci a = 1,198 = 0,100 - - - - Distrib. Lognormal
Figura 8. Histograma de FSSD utilizando distribución Lognormal con suelo de relleno GC 90%.
0,95 1,04 1,14 1,23 1,33 1,43 1,52 FSSD 0 100 200 300 400 500 600 700 800 F re cu en ci a = 1,269 = 0,085 _____ Distrib. Normal
Figura 9. Histograma de FSSD utilizando distribución Normal con suelo de relleno GC 95%.
0,86 0,98 1,10 1,22 1,35 1,47 1,59 FSSD 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Fre cuenc ia = 1,270 = 0,098 - - - - Distrib. Lognormal
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 75 80 85 90 95 100 Grado de Compactación (%) P ro b . d e fa ll a Distrib. Normal Distrib. Lognormal
Figura 11. Probabilidad de falla al deslizamiento caso sísmico dado el %GC.
88,0% 90,0% 92,0% 94,0% 96,0% 98,0% 100,0% 75 80 85 90 95 100 Grado de Compactación (%) Distrib. Normal Distrib. Lognormal F ia b il id a d d el m u ro
Figura 12. Fiabilidad del muro dado el %GC.
4. CONCLUSIONES. La variabilidad de los parámetros inherentes del suelo, en este caso en particular, el ángulo de fricción interna, influye directamente en el cálculo de los empujes de suelos estáticos y sísmicos, y en la misma medida en la estabilidad del muro de contención, por lo que se supone que también influirían en los esfuerzos internos de los elementos estructurales del muro. Para un análisis determinista, en el ejemplo de aplicación desarrollado se puede agregar que a medida que el grado de compactación del relleno aumenta, los empujes estáticos y sísmicos disminuyen; para tramos de compactación de 80% a 90% y de 90% a 95%, la reducción de los empujes es de un 13% para el caso estático y de un 7,5% para el caso sísmico, respectivamente. Se pudo cuantificar la fiabilidad a la estabilidad del diseño del muro para los 3 casos estudiados, en donde se aprecia que con un aumento del grado de compactación hasta un 95% se logra reducir, para este caso, el riesgo de falla por deslizamiento debido a la acción sísmica. Si no se logra mejorar la fiabilidad del muro hasta un 100%, se debe optimizar el diseño geométrico del muro y se recomienda realizarlo mediante algún software de análisis de muros de contención, con el fin de disminuir el tiempo de cálculo.
Las distribuciones de ajuste definidas para los factores de seguridad indican que la distribución Lognormal presenta una mayor variabilidad que la distribución normal, según los valores de desviación estándar obtenidos. Los valores medios de ambas distribuciones se acercan bastantes entre sí.
Se recomienda para trabajos futuros, en esta misma línea de investigación, incluir además otros parámetros como variables estocásticas (cohesión, densidad natural del relleno y parámetros geotécnicos del suelo de fundación), ya que nos permitiría acercarnos a un comportamiento más representativo del sistema, esto asociado a diseños más confiables en esta materia.
5. AGRADECIMIENTOS. Los autores agradecen el apoyo brindado en la realización de esta investigación al Departamento de Ingeniería en Obras Civiles y a la Universidad de La Serena, La Serena, Chile.
6. REFERENCIAS
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Calderón, R. (2004). Determinación de Parámetros de Resistencia al Corte en Arenas Limosas y Propuesta de Implementación de Equipo de Compresión Triaxial, Memoria de Título, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile. Centeno, R.R. (2002). Simulación de Monte Carlo y su aplicación a la Ingeniería Geotécnica, VXII Seminario Venezolano de Geotecnia, Caracas, Venezuela.
Dirección de Vialidad: Manual de Carreteras (2008) - Volumen Nº3: Instrucciones y Criterios de Diseño, Versión digital Consolidada, Marzo 2008. Chile.
Elkateb T., Chalaturnyk R.K. (2003). An overview of soil heterogeneity: quantification and implications on geotechnical fields problems. Canadian Geotechnical Journal 40, p. 1-15.
García, E., García, H., Cárdenas, L. (2006). Simulación y análisis de sistemas con Promodel, 1° edición. Pearson Educación Prentice Hall, México.
González, J., Lemus, L. (2010). Actualización del software de diseño y análisis de muros de contención mediante simulación de Monte Carlo, Memoria de Título, Departamento de Ingeniería en obras civiles, Universidad de La Serena. La Serena. Chile.
INN-Chile, Instituto Nacional de Normalización (1996). Norma Chilena NCh 433 Of. 96 “Diseño sísmico de edificios”. Chile.
Popescu, R., Prevost, J.H., Deodatis, G. (1998). Spatial variability of soil properties: two case studies. Geotechnical earthquake engineering and soil dynamics, Geotechnical special publication n° 75, ASCE, Seattle. p. 568-579.
