Respuesta temporal de componentes pasivos a la Corriente Alterna.

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Apuntes Tema 8:

Respuesta temporal de componentes pasivos a la

Corriente Alterna.

Contenido

8 Introducción ... 2

8.1 Valor eficaz de una señal alterna ... 2

8.2 Respuesta de cada componente lineal a la C.A. ... 4

8.2.1 Respuesta de una resistencia a la C.A. ... 4

8.2.2 Respuesta de un capacitor a la C.A. ... 5

8.2.3 Respuesta de una bobina a la C.A. ... 9

8.2.4 Resumen ... 11

8.2.5 Preguntas de autoevaluación ... 11

8.2.6 Ejercicios propuestos ... 12

8.3 Respuesta de dos componentes lineales a la C.A. ... 13

8.3.1 Respuesta de un circuito serie RC a la C.A. ... 13

8.3.2 Respuesta de un circuito serie RL a la C.A. ... 15

8.4 Respuesta del circuito serie R-L-C a la C.A. ... 17

8.5 Números complejos ... 21

8.5.1 Operaciones con complejos: ... 23

8.5.2 Resumen ... 24

8.5.4 Ejercicios propuestos ... 25

8.6 Respuesta del circuito paralelo R-L-C a la C.A. ... 26

8.6.2 Ejercicios propuestos... 31

8.7 Resonancia en el circuito serie R-L-C. ... 32

8.7.1 Curva universal de resonancia. ... 40

8.7.2 Puntos de media potencia... 45

8.7.3 Aumento de la tensión en resonancia. ... 46

(2)

2 8.8.1 Aplicación de circuitos paralelo y serie como filtros. ... 51 8.9 Resumen ... 52 8.10 Bibliografía ... 54

8 Introducción

En el capítulo anterior se analizó la respuesta de los componentes a la C.C. y particularmente a la función escalón. Ahora bien, cuando los componentes pasivos se someten a corriente alterna, se pueden verificar fenómenos específicos que ella produce y que tienen gran trascendencia. Por otro lado, se debe recordar las características que poseen las C.A.: valor instantáneo, valor máximo o de pico, valor eficaz y frecuencia. Por ello, para el estudio que se inicia ahora, se deben recordar los valores instantáneos y los eficaces, ya que de allí se podrán extraer las conclusiones que permitirán conocer en forma inequívoca, otros parámetros y características importantes que se producen en los componentes pasivos.

8.1 Valor eficaz de una señal alterna

El valor eficaz de cualquier señal está dado por la fórmula:

Aplicando esta fórmula a una onda senoidal se tiene:

𝑉

_{𝑒𝑓𝑖𝑐} 2

=

1 𝑇

𝑣

2 𝑇

(3)

3 Sabiendo que:

𝑉

=

1 𝑇

𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

2 𝑇 0

𝑑𝑡

𝑉

=

𝑇 0

𝑑𝑡

𝑉

=

2 −

𝑠𝑒𝑛 2𝑤 0

2 𝑉

=

𝑉

2

2 𝑇

2 𝜋

𝑉

=

𝑉

2

2 𝑉

_{𝑒𝑓𝑖𝑐}

₌

𝑉

2

(4)

4

Se define como el valor de una corriente rigurosamente constante

(C.C.) que al circular por una determinada resistencia óhmica pura produce los mismos efectos calóricos (igual potencia disipada) que dicha corriente variable (C.A.)

Todos los instrumentos de medición ( excepto el osciloscopio ) indican el valor EFICAZ de la variable a medir.

De esto que al medir con un multímetro la tensión de línea da por resultado 220 Volts, su valor pico es 310 Volts.

8.2 Respuesta de cada componente lineal a la C.A.

8.2.1 Respuesta de una resistencia a la C.A.

Para iniciar el análisis, se aplicará primero una tensión de C.A. a una resistencia, tal como se expone en la figura.

(5)

5

La

respuesta de la resistencia a la corriente alterna, es también una

corriente, que se obtiene por Ohm, y su particularidad es que sigue fielmente las alternancias de la tensión ya que la resistencia es un elemento lineal y pasivo.

Esto último se interpreta como que la corriente está en fase con la tensión aplicada.

Por supuesto, en el dibujo la representación tanto de la tensión como de la corriente están en escalas distintas. Asimismo, para obtener estos parámetros, se deben utilizar los valores eficaces:

=

. Como notación

importante, los valores eficaces se colocarán con letras mayúsculas y los instantáneos en minúscula.

(6)

6

Cuando se aplica una C.A. a un capacitor ideal (dieléctrico sin pérdidas), la respuesta que se obtiene tiene características muy particulares, como se expondrá a continuación. La corriente instantánea circulante se establece como:

= ̂

. Por otro lado, debe recordarse que la tensión instantánea desarrollada sobre los bornes de un capacitor está dada por:

=

∫

(1) y reemplazando e integrando resulta:

Analizando el término Entonces: 𝑉𝐶 = 1 𝐶 𝐼̂ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶 = 1 𝐶 − cos 𝑤𝑡 𝑤 𝑉𝐶 = − 1 𝑤𝐶 cos 𝑤𝑡

𝑤 = 2 𝜋 𝑓

𝑤 =

2 𝜋

𝑇

=

1 𝑠𝑒𝑔

𝑤 =

2 𝜋

𝑇

1 𝑤 𝐶

𝐶 = 1 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐴𝑚𝑝 𝑠𝑒𝑔

1 𝑤 𝐶

=

1

1 𝑠𝑒𝑔 .

𝐴𝑚𝑝 . 𝑠𝑒𝑔

𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

1 𝑤 𝐶

= Ω 𝑂ℎ𝑚𝑠

𝐶 = 1 𝑉_𝐶 𝐼̂ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑉_𝐶 = 1 𝐶 𝐼̂ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝐶 = 1 𝑉 𝐼 𝑇

(7)

7

Esto indica que tiene la dimensión de una resistencia, determinando por ello entonces que es la oposición del pasaje de la C.A., y se la denomina reactancia capacitiva:

Analizando el término

2 , se ve que 2 es una constante, por lo que

la reactancia depende exclusivamente de la frecuencia y como está en el denominador, es inversamente proporcional a ella. A mayor frecuencia menor reactancia y viceversa.

Así entonces el producto: ̂ es una tensión por lo que la tensión en el capacitor queda:

En la figura se han dibujado: la corriente instantánea circulante y la tensión instantánea desarrollada en los extremos del capacitor.

𝑋

_𝐶

=

1 𝑤 𝐶

𝑉𝐶 = − 𝑉 cos 𝑤𝑡

(8)

8

Por ello, un observador recorriendo el eje desde la izquierda hacia la derecha, verá primero a la corriente (set) y después a la tensión (cost). Ello indica que la tensión en el capacitor se atrasa 90º o que la corriente se adelanta 90º.

Para interpretar más cabalmente este acontecimiento, deberá recordar la generación de C.A. a partir de vectores rotatorios el vector se corresponde con la tensión aplicada “v” instantánea y el vector ̂ se corresponde con la corriente circulante “i”, proyectados sobre el eje Y. Ambos vectores giran de acuerdo a la pulsación  o velocidad angular  =

/t generando, uno de ellos la función seno y la otra, la coseno; y se puede observar que el vector corriente va adelante de la tensión desplazado en 90º. Esto se observa mirando el diagrama desde la izquierda a la derecha.

𝒘𝒕

𝑖 = 𝐼̂ 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝑣 = − 𝑉 cos 𝑤𝑡

90°

𝑽

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9

8.2.3 Respuesta de una bobina a la C.A.

Cuando se aplica una C.A. a una inductancia ideal (sin resistencia), la respuesta que se obtiene al igual que en el capacitor, tiene características muy particulares, como se expondrá a continuación. La corriente instantánea circulante se establece como:

= ̂

. Por otro lado, se debe recordar que la caída de tensión en la inductancia es:

=

; y reemplazando por la corriente instantánea circulante y derivando queda:

= ̂ cos

. Al igual que en la capacidad, analizando el término

y realizando su análisis dimensional, se encuentra que:

Por lo que tiene la dimensión de resistencia; y como es la oposición a la C.A. se denomina reactancia inductiva:

=

. Por ello entonces, en la expresión

= ̂ cos

se obtiene que:

̂ =

que es una tensión por lo que:

= cos

.

𝑤 = 2 𝜋 𝑓

𝑤 =

2 𝜋

𝑇

=

1 𝑠𝑒𝑔

𝑤 =

2 𝜋

𝑇

𝐿 = 𝑉_𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑖 𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝐿 = 𝑉𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑖 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔 𝐴𝑚𝑝 𝑤𝐿 = 1 𝑠𝑒𝑔 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑠𝑒𝑔 𝐴𝑚𝑝 𝑤𝐿 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐴𝑚𝑝 = Ω

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10

En la figura se han dibujado: la corriente instantánea circulante y la tensión instantánea desarrollada en los extremos del capacitor.

Por ello, un observador recorriendo el eje desde la izquierda hacia la derecha, verá primero a la tensión (cost) y después a la corriente (set). Ello indica que la tensión en el capacitor se adelanta 90º o que la corriente se atrasa 90º.

El diagrama temporal es el siguiente:

𝒘𝒕

𝑣 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡

𝑖 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

90°

𝑰

(11)

11

Debe notarse desmenuzando el término = 2 que 2 es una constante y por ello la reactancia depende exclusivamente de la frecuencia y varía en forma directa de tal forma que a mayor frecuencia mayor reactancia y viceversa. Realizando el diagrama temporal se obtiene:

8.2.4 Resumen

La utilización de corriente alterna armónica en los circuitos, abre un nuevo panorama de aplicación de la Ley de Ohm. Es así que aparecen fenómenos asociados a componentes pasivos tales como capacitores e inductancias. La oposición a la corriente alterna de estos componentes, se denomina reactancia capacitiva:

=

₂ y reactancia inductiva:

= 2

,

respectivamente. En el primer caso, la reactancia se disminuye con la frecuencia y su respuesta es una hipérbola, mientras que la reactancia inductiva se incrementa con la frecuencia, pero en forma lineal.

8.2.5 Preguntas de autoevaluación

1) ¿Qué sucede entre la corriente y tensión en una resistencia? ¿Cómo están ambas variables?

2) ¿Qué sucede entre la corriente y tensión en una bobina? ¿Cómo están ambas variables?

3) ¿Qué sucede entre la corriente y tensión en un capacitor? ¿Cómo están ambas variables?

X

L

(12)

12

4) ¿Cómo se denomina la oposición que presenta la bobina a la C.A.? ¿Cómo varía con la frecuencia?

5) ¿Cómo se denomina la oposición que presenta un capacitor a la C.A.? ¿Cómo varía con la frecuencia?

6) ¿Una señal de C.C. tiene oposición en una bobina? ¿Por qué?

7) ¿Una señal de C.C. tiene oposición en un capacitor? ¿Por qué?

8.2.6 Ejercicios propuestos

1) Determine la respuesta de la tensión VL2 y VC2 en función de la

frecuencia en forma general, de los circuitos que se exponen. La tensión de entrada es Vg.

2) Construya el diagrama de la reactancia capacitiva e inductiva con respecto a la frecuencia desde cero hasta 1 KHz. para los siguientes valores: C= 1μF y L=1mhy.

3) Determine en forma genérica el capacitor equivalente de dos unidades

conectadas en serie, C1 y C2 y el equivalente de ellos conectados en

paralelo. Para ello, parta de la expresión:

=

8.3 Respuesta de dos componentes lineales a la C.A.

8.3.1 Respuesta de un circuito serie RC a la C.A.

En la figura se puede observar un circuito compuesto por una resistencia y un capacitor en serie, alimentado por una fuente de tensión de C.A.

La corriente instantánea circulante será:

= ̂ sen

y aplicando Kirchoff:

𝑖 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

𝑉

_𝑅

𝑉

𝐶

𝑅

𝐸

𝐸 = 𝑉

𝑅

+ 𝑉

𝐶

= 𝑖 . 𝑅 +

1 𝐶

𝑖 𝑑𝑡

𝐸 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡 . 𝑅 +

1 𝐶

𝐼̂ sen 𝑤𝑡 𝑑𝑡

𝐸 = 𝐼̂ 𝑅 sen 𝑤𝑡 +

𝐼̂

𝐶

−

cos 𝑤𝑡

𝑤

𝐸 = 𝑉

sen 𝑤𝑡 − 𝑉

𝑅

cos 𝑤𝑡

𝐶

𝑳

𝟐

𝑳

_𝟏

_𝑳

_{𝒆𝒒𝒖𝒗}

(14)

14

En la siguiente figura se pueden observar los valores instantáneos: de la corriente circulante; la caída de tensión en R (en fase condicha corriente) y la caída en el capacitor C y la tensión aplicada E, la cual está desfasada con la corriente el valor .

El diagrama vectorial, en el cual la corriente es común a ambos componentes, se expone en la próxima figura.

La magnitud con la cual se dibujan los vectores debe hacerse de acuerdo a una escala adoptada, realizado siempre con los valores eficaces. Por otro lado, puede verse que el vector VR está en fase con la corriente, lo que es lógico ya que R es un elemento lineal y constante;

V

C es el vector tensión sobre los bornes del capacitor y está dibujado atrasado en 90º. Finalmente

𝜑

𝑡

𝑣

_𝐶

= − 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡

𝑖 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

𝑣

𝑅

= 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝑣 , 𝑖

𝐸

𝜑

𝐼

𝑉

_𝑅

𝐸

𝑉

_𝐶

𝒘𝒕

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15

de la suma vectorial se obtiene la caída total de tensión igual a la tensión aplicada y desfasada un ángulo con la corriente circulante. Ello está indicando, de acuerdo a los módulos de

V

C y de VR

,

que la tensión E se obtiene por la suma vectorial de ellos y su módulo:

= √

2

₊

2

_.

El ángulo es el mismo de las tensiones y para obtenerlo se aplica un razonamiento similar. Finalmente, la conclusión de esta combinación es que la corriente se adelanta respecto a la tensión aplicada, y este desfasaje dependerá de los valores de R y de XC. Por ejemplo, si el capacitor es ideal

y R es cero, el desfasaje sería de 90º y en el caso que R sea infinito, el ángulo sería 0º.

8.3.2 Respuesta de un circuito serie RL a la C.A.

En la figura se puede observar un circuito compuesto por una inductancia y una resistencia en serie. De nuevo se especifica que la corriente circulante es:

= ̂

= ̂ sen

y aplicando Kirchoff:

𝑖 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

𝑉

𝑅

𝑉

𝐿

𝑅

𝐸

𝐸 = 𝑉

_𝑅

+ 𝑉

_𝐿

= 𝑖 . 𝑅 + 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝐸 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡 . 𝑅 + 𝐿

𝑑 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

𝑑𝑡

𝐸 = 𝐼̂ 𝑅 sen 𝑤𝑡 + 𝐿 𝐼̂ cos 𝑤𝑡 . 𝑤

(16)

16

Lo que se puede ver en el diagrama temporal que se muestra en la siguiente figura.

Nótese que la tensión adelanta respecto a la corriente circulante. Además, también de acuerdo a los valores de R y de XL se obtendrá el ángulo

de

desfasaje entre la tensión aplicada y la corriente circulante. Ahora se construirá el diagrama vectorial, que es con quien realmente se trabaja en la resolución de estos circuitos. Por ello y siendo la corriente la misma para ambos componentes, se utilizará a ella como eje común. Adoptando escalas para las tensiones, corriente, resistencia e impedancias, trabajando con los valores eficaces, se construye el diagrama.

𝐸 = 𝑉

sen 𝑤𝑡 + 𝑉

_𝑅

cos 𝑤𝑡

_𝐿

𝑣

_𝐿

= 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡

𝑖 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

𝜑

𝑣

_𝑅

= 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝑡

𝑣 , 𝑖

𝐸

𝐼

𝑉

𝑅

𝐸

𝑉

_𝐿

𝜑

𝒘𝒕

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17

En fase con la corriente circulante está la caída de tensión en la resistencia, VR y adelantada 90° se dibuja la caída en L, VL. Sumando ambos vectores

se determina la tensión aplicada E. De esta suma se obtiene entre la tensión y la corriente.

= √

2

₊

2

Finalmente, la conclusión de esta combinación es que la corriente se atrasa respecto a la tensión aplicada, y este desfasaje dependerá de los valores de R y de XL. Por ejemplo, si el capacitor es ideal y R es cero, el desfasaje sería

de 90º y en el caso que R sea infinito, el ángulo sería 0º.

8.4 Respuesta del circuito serie R-L-C a la C.A.

La figura muestra una combinación R-L-C en serie. Ya se conoce como actúa cada componente.

= ̂ sen

Por ello, se aplica Kirchoff y se obtiene la suma vectorial de los valores instantáneos: Reemplazando queda:

𝐸 = 𝑉

𝑅

+ 𝑉

𝐿

+ 𝑉

𝐶

= 𝑖 . 𝑅 + 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+

1 𝐶

𝑖 𝑑𝑡

(18)

18

Graficando los tres valores de tensión en función del tiempo

Retomando la igualdad antes vista

Se puede expresar como :

𝐸 = 𝐼̂ sen 𝑤𝑡 . 𝑅 + 𝐿

𝑑 𝐼̂ sen 𝑤𝑡

𝑑𝑡

+

1 𝐶

𝐼̂ sen 𝑤𝑡 𝑑𝑡

𝐸 = 𝐼̂ 𝑅 sen 𝑤𝑡 + 𝐿 𝐼̂ cos 𝑤𝑡 . 𝑤

+

𝐼̂

𝐶

−

cos 𝑤𝑡

𝑤

𝒗

_𝑪

𝒗

_𝑹

𝒗

_𝑳

𝐸 = 𝐼̂ 𝑅 sen 𝑤𝑡 + 𝐿 𝐼̂ cos 𝑤𝑡 . 𝑤 +

𝐼̂

𝐶

−

cos 𝑤𝑡

𝑤

𝐸 = 𝐼̂ 𝑅 sen 𝑤𝑡 + 𝑤 𝐿 −

1 𝑤 𝐶

cos 𝑤𝑡

(19)

19

en la cual el término: se denomina reactancia total del circuito.

Se interpreta así: si es mayor que , es positivo, el circuito es predominantemente inductivo, corriente en atraso y si es mayor que , es negativo, el circuito es capacitivo, corriente en adelanto. También puede suceder que = , = 0 este caso caso especial se denomina resonancia y va a ser objetivo de un estudio posterior. Otra posibilidad es que el valor de R sea mucho mayor que el de X , en cuyo caso el circuito es fundamentalmente resistivo.

Lo descripto, resultará más explícito, mediante el diagrama vectorial de las tensiones en el que el circuito es inductivo. Recuerde que se trabaja con valores eficaces y se debe adoptar una escala. Por otro lado, en la figura se ha realizado un diagrama de tensiones.

Dividiendo cada vector en una cantidad fija el diagrama no varía llegando a lo que se conoce como TRIANGULO DE IMPEDANCIAS. A cada vector se lo divide en el valor de la corriente con lo cual queda:

𝑤 𝐿 −

1 𝑤 𝐶

_𝐿

𝐸

𝑉

_𝐿

−

𝑉

_𝐶



𝑉_𝐶 𝐼

𝑉_𝑅 𝐼

𝑉_𝐿 𝐼

𝐸

𝐼



𝑋

_𝐶

𝑅

𝑋

_𝐿

𝑍

𝑋

_𝐿

−

𝑋

_𝐶

(20)

20

Aplicando Pitágoras y trigonometría en este triángulo se llega a :

Con un ejemplo se terminará de interpretar estos circuitos.

Encontrar la impedancia, módulo y argumento y construir el diagrama vectorial.

En primer lugar se deben encontrar los valores de XL y de XC así:

El valor de la impedancia será:

el valor del argumento es:

𝑍 = √ 𝑅

2

_{+ 𝑋}

𝐿

− 𝑋

𝐶

2

𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔

−

𝑋

𝐿

− 𝑋

𝐶

𝑅

𝑋

_𝐿

= 2 𝜋 𝑓 𝐿 = 2 𝜋 500 𝐻𝑧 1,6 𝑚𝐻𝑦 = 5 Ω

𝑋

_𝐶

=

1 2 𝜋 𝑓 𝐶

=

1 2 𝜋 500 𝐻𝑧 31,8 𝜇𝐹

= 10 Ω

𝑍 = √ 𝑅

− 𝑋

𝐶

𝑅

𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔

−

5 − 10

5 = 45°

𝑅 = 5 Ω 𝐿 = 1,6 𝑚𝐻𝑦 𝐶 = 318 𝜇𝐹 𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 𝑉 𝐶 𝑰 𝑓 = 500 𝐻𝑧

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21

El diagrama vectorial se realiza utilizando la corriente como base común, ya que es la misma para el circuito serie.

Se puede observar en este ejemplo, que el circuito es capacitivo y por consiguiente la corriente está adelantada con respecto a la tensión. El ángulo de adelanto es de 45º. Si se construye el diagrama de tensiones debe adoptarse una escala adecuada. En este caso, el ángulo de desfasaje también será de 45º. Debe advertirse que de acuerdo al ángulo que puede ser negativo o positivo estará mostrando por consiguiente, si la corriente adelanta o atrasa respecto a la tensión. Esto último estará de acuerdo a los valores relativos de la resistencia, inductancia y capacidad.

8.5 Números complejos

Los circuitos vistos, también se pueden estudiar mediante variable compleja. Esta es una herramienta matemática que para circuitos complicados permite su resolución en forma quizás más sencilla. Se trabaja con vectores en el plano complejo.

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22

En la figura se pueden observar dos vectores: y ₂ con sus componentes y y ₂ y ₂

que están en en el plano complejo. Aparecen

así los denominados números imaginarios. Estos últimos responden a que la raíz cuadrada de -1 no tiene solución en el plano real y por ello se define al resultado de dicha raíz como

− 1 =

. La unidad en el eje imaginario se designa como .

Con esta sencilla explicación ahora se podrán representar vectores en el plano complejo.

Con estos conceptos y trabajando con este tipo de representación se puede escribir por ejemplo para el caso del diagrama vectorial de una combinación serie:

Las operaciones con números complejos son las siguientes de interés para la aplicación en circuitos de C.A.

𝐼𝑚𝑎𝑔

𝑅𝑒𝑎𝑙

𝑍

₂

𝑎

2

𝑏

₂

𝛼

𝛽

𝑍

= 𝑎

+ 𝑗 𝑏

𝑍

2

= 𝑎

2

+ 𝑗 𝑏

2 𝑅 𝑗 𝑋𝐿 − 𝑗 𝑋𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋

_𝐿

− 𝑋

_𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋

_𝐿

− 𝑗 𝑋

_𝐶

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23

8.5.1 Operaciones con complejos:

 Suma: la suma de dos números complejos tiene como resultado una componente real igual a las sumas de las componentes reales y una componente imaginaria igual a la suma de las componentes imaginarias.

 Resta: para restar cámbiense los signos de las componentes del sustraendo y efectúese una suma.

 Multiplicación: El producto de un número real por un número imaginario es un imaginario. El producto de dos números imaginarios es real y negativo.

 División: Para dividir dos números complejos, se los debe primero multiplicar y dividir por el conjugado del denominador que se obtiene cambiándole solamente el signo a la parte imaginaria.

Veamos un ejemplo:

¿ 𝑍

_𝑒𝑞

?

10 Ω 5 Ω 20 Ω − 𝑗 10 Ω 𝑗 8 Ω

𝑍

∗

𝑍

∗

₌

5 + 𝑗 8 20 − 𝑗 10

25 − 𝑗 2

=

180 + 𝑗 110

25 − 𝑗 12

= 166.68 + 𝑗 84.4

𝑍

_𝑒𝑞

= 10 + 𝑗 0 + 166.68 + 𝑗 84.4

𝑍

𝑒𝑞

= 176.88 + 𝑗 84.4

𝑍

_𝑒𝑞

= 195.98 25.51°

(24)

24

8.5.2 Resumen

Cabe destacar que la resistencia que ofrece la combinación tanto en serie como en paralelo e incluyendo resistencias, se denomina Impedancia Z, siendo su unidad el ohm (Ω).

El comportamiento de los elementos reactivos, cuando se aplica C.A. a un circuito con ellos, produce un desplazamiento de fase de la corriente circulante con respecto a la tensión.

El capacitor ideal, adelanta la corriente 90º respecto a la tensión y la inductancia ideal, atrasa la corriente 90º respecto de la tensión. Con respecto a la resistencia, su tratamiento es igual que para corriente continua, pero asociada a los elementos mencionados anteriormente, produce que los adelantos o atrasos sean menores a 90º.

La resolución de los problemas de C.A. pueden realizarse utilizando diagramas

vectoriales o álgebra compleja. Se debe tener en cuenta por ello, que las sumas de elementos reactivos es geométrica y no aritmética. Así entonces, el módulo de la impedancia se puede obtener por Pitágoras:

8.5.3 Preguntas de autoevaluación

8) ¿Cómo se denomina la oposición que presenta un circuito R-L-C al paso de C.A.?

9) ¿Si un circuito es predominantemente inductivo como está la corriente respecto a la tensión?

10) ¿Si un circuito es predominantemente capacitivo como está la tensión respecto a la corriente?

𝑍 = √ 𝑅

2

_{+ 𝑋}

(25)

25

11) Si los efectos inductivos y capacitivos se anulan ¿cuál es el ángulo entre la tensión y la corriente?

8.5.4 Ejercicios propuestos

5) Se desea determinar la impedancia, la corriente, caídas de tensión en cada componente, ángulo de fase y además construya el diagrama vectorial del circuito que se expone en la figura siguiente:

6) Se desea hallar el valor de la corriente y el ángulo de desfasaje que se produce en el siguiente circuito.

𝑅 = 200 Ω 𝐿 = 10 𝜇𝐻𝑦 𝐶 = 100 𝜌𝐹 𝐸 = 20 𝑉 ; 𝑓 = 1 𝐾𝐻𝑧 𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 𝑉_𝐶 𝑰 𝑅 = 150 Ω 𝐿 = 2 𝐻𝑦 𝐶 = 0,01 𝜌𝐹 𝐸 = 220 𝑉 ; 𝑓 = 50 𝐻𝑧 𝑉 𝑅 𝑉 𝐿 𝑉_𝐶 𝑰

(26)

26

7) Una bobina de 0,7 H de autoinducción, un condensador de 10 μF y una resistencia de 100 Ω se conectan en serie y a una fuente de tensión de 115 voltios a 60 Hz. Calcular la reactancia, intensidad máxima y eficaz, impedancia compleja, ángulo de fase y caídas de tensión en cada elemento.

8) Un circuito serie RLC está constituido por una resistencia de 100Ω, una autoinducción de 30 mH y un condensador de 250 μF. Se aplica al circuito una tensión de 220 V a 50 Hz. Calcular la intensidad, tensión en cada componente, y dibujar los diagramas de tensión e intensidad y el triángulo de impedancias.

9) El valor de la impedancia de un circuito es Z = 8 + 12 j para una frecuencia de 50 Hz. Calcular:

a) El módulo y el ángulo de desfase de esa impedancia.

b) El coeficiente de autoinducción.

c) Suponiendo que se le aplica una diferencia de potencial de 50 V, calcular la corriente total y la caída de tensión en cada elemento.

10) Calcular la corriente que circula por una impedancia de valor Z = 4 – j cuando se conecta a un generador de 100 V a 50 Hz.

8.6 Respuesta del circuito paralelo R-L-C a la C.A.

El estudio y análisis de los circuitos con componentes pasivos conectados en paralelo, se pueden atacar de dos formas diferentes: primero; aplicando los mismos conceptos que se aplican como impedancias, y segundo, trabajando con las recíprocas de la impedancia, reactancia y resistencia: admitancia, susceptancia y conductancia.

(27)

27

La figura muestra una combinación R-L-C en paralelo. Ya se conoce como actúa cada componente.

Todos los elementos están al mismo potencial. Por ello el valor común es:

= cos

Por ello, se aplica Kirchoff y se obtiene la suma vectorial de los valores instantáneos de cada corriente

Al término se lo conoce como CONDUCTANCIA , se designa con la letra G

Al término se lo conoce como SUCEPTANCIA INDUCTIVA , se designa con la letra

𝐼 = 𝐼

_𝑅

+ 𝐼

_𝐿

+ 𝐼

_𝐶

1 𝑅

𝑉

_𝐿

= 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑖

𝐿

=

1 𝐿

𝑣

𝐿

𝑑𝑡 =

1 𝐿

𝑉

cos 𝑤𝑡 𝑑𝑡 =

𝑖

_𝐿

=

𝑉

𝐿

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝑤

=

1 𝑤 𝐿

𝑉

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

1 𝑤 𝐿

𝑖

_𝐿

= 𝐵

_𝐿

. 𝑉

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝐼

𝑅

=

𝑒

𝑅

=

𝑉

𝑅

cos 𝑤𝑡

𝐼

𝑅

=

1 𝑅

𝑉

cos 𝑤𝑡

𝐼

𝑅

= 𝐺 . 𝑉

cos 𝑤𝑡

(28)

28

Al término se lo conoce como SUCEPTANCIA CAPACTIVA , se designa con la letra

Con esto último se puede escribir:

= 𝐶 𝑉

− sen 𝑤𝑡 𝑤 = − 𝑤 𝐶 𝑉

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝑖

_𝐶

= − 𝐵

_𝐶

. 𝑉

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝐼 = 𝐼

𝑅

+ 𝐼

𝐿

+ 𝐼

𝐶

𝐼 = 𝐺 . 𝑉

cos 𝑤𝑡 + 𝐵

𝐿

. 𝑉

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 − 𝐵

𝐶

. 𝑉

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

𝐼

𝑉

𝜑

𝐼

_𝐶

-

𝐼

_𝐿

𝐼 = √

𝐼

_𝑅 2

+ 𝐼

_𝐶

−

𝐼

_𝐿

2

(29)

29

Dividiendo en el diagrama fasorial por el vector común a loa tres componentes

Ejemplo: Encuentre el valor de la corriente por el circuito.

𝐼

_𝐿

𝑉

𝐼

_𝐶

𝑉

𝐼

_𝑅

𝑉

𝐼

𝑉

𝜑

𝐵

_𝐿

𝐵

_𝐶

𝐺

𝑌

𝜑

𝑌 = √ 𝐺

2

_{+ 𝐵}

𝐶

− 𝐵

𝐿

2

𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔

−

𝐵

𝐶

− 𝐵

𝐿

𝑅

𝑉 = 220 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑓 = 50 𝐻𝑧 𝑅 = 10 Ω 𝐿 = 10 𝑚𝐻𝑦 𝐶 = 160 𝜇𝐹 𝑅 = 10 Ω 𝐺 = 0,1 𝑚ℎ𝑜 𝑋𝐿 = 2 𝜋 𝑓 𝐿 = 6,28 Ω 𝐵𝐿 = 0,16 𝑚ℎ𝑜 𝑋_𝐶 = 1 2 𝜋 𝑓 𝐶 = 19,9 Ω 𝐵𝐶 = 0,05 𝑚ℎ𝑜

(30)

30

El valor eficaz de la corriente por el circuito está dado por:

Como Se aprecia el circuito es predominantemente inductivo y la tensión adelanta respecto a la corriente del circuito.

8.6.1 Preguntas de autoevaluación

12) ¿Cómo se denomina la recíproca de la resistencia?

13) ¿Cómo se denomina la recíproca de la reactancia inductiva?

14) ¿Cómo se denomina la recíproca de la reactancia capacitiva?

15) ¿Cómo se denomina la recíproca de la impedancia?

16) ¿Cómo se calcula el módulo y el ángulo de desfasaje en un circuito paralelo?

𝑌 = √ 𝐺

2

_{+ 𝐵}

𝐶

− 𝐵

𝐿

𝐿

𝑅

𝜑 = 𝑡𝑎𝑛𝑔

−

0,05 − 0,16

0,1

𝜑 = −47,7°

𝐼 = 𝑌 . 𝑉 = 0,15 𝑚ℎ𝑜 . 220 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐼 = 𝑌 . 𝑉 = 33 𝐴𝑚𝑝

𝜑

𝑉

𝐼

(31)

31

17) ¿Cómo es la admitancia en un circuito en donde se anulan los efectos inductivos y capacitivos?

8.6.2 Ejercicios propuestos

11) Determine, en el circuito paralelo de la figura, los valores de BL , BC , la

admitancia Y, la corriente total circulante y el ángulo de desfasaje entre esta última y la tensión aplicada.

12) Encuentre el valor de la corriente por el circuito

13) Calcular la impedancia total y la corriente por cada rama del circuito de la figura: 𝑉 = 100 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑓 = 500 𝐻𝑧 𝑅 = 15 Ω 𝐿 = 0.01 𝐻𝑦 𝐶 = 10 𝜇𝐹 𝑉 = 220 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑓 = 50 𝐻𝑧 𝑅 = 100 Ω 𝐿 = 50 𝑚𝐻𝑦 𝐶 = 200 𝜇𝐹

(32)

32

20) En el circuito de la figura, se desea calcular:

a) Impedancia equivalente.

b) Intensidad total y por cada rama.

c) Caídas de tensión.

8.7 Resonancia en el circuito serie R-L-C.

La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el que existen elementos reactivos (bobinas y condensadores) cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule, en caso de estar ambos en serie, o se haga infinita si

están en paralelo.

El estudio de los circuitos serie en corriente alterna, en función de la frecuencia, presenta características que deben ser

𝑽

𝑹

𝑽

𝑳

𝑽

𝑪

𝑹

𝑳

𝑪

𝑬

𝑰

4 Ω

8 Ω

6 Ω

100 V , 50 Hz

L = 1 Hy

R = 500

Ω

C = 3,183

μF

100 V 45°

50 Hz

(33)

33

analizadas muy cuidadosamente para su mejor comprensión y posterior aplicaciones.

En la figura se expone el circuito y su expresión compleja.

En la fórmula, el valor de la resistencia puede incluir: la propia de la inductancia (resistencia del alambre con que está construida), las pérdidas del capacitor y finalmente otras que posea el circuito. Analizando la expresión y el diagrama vectorial, es lógico suponer que la parte imaginaria podrá en alguna condición, valer cero.

Este es el caso para el cual: XL=XC. Debe observarse que ambas reactancias

dependen exclusivamente de la frecuencia ya que L y C son constantes.

Por ello, para un determinado valor de la frecuencia al que se denomina fo, se producirá la igualdad aludida y se encuentra que ambas reactancias son iguales; se anulan y el circuito se hace resistivo puro para fo. La primera consecuencia que se observa es que la impedancia se hace igual a la

resistencia y es el menor valor que adquiere. La corriente circulante

entonces se hace máxima y por ello se la denomina también:

RESONANCIA DE CORRIENTE.

Se demostrará posteriormente, que las tensiones desarrolladas en ambos componentes reactivos quedan también en oposición y sus valores pueden tomar valores muy altos (mayores a la tensión del generador), lo que los hace peligrosos para las mismas reactancias y para el operador. La frecuencia a la cual se produce la resonancia se obtiene de:

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋

𝐿

− 𝑋

𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑤 𝐿 −

1 𝑤 𝐶

(34)

34

𝑿 = 𝑿

_𝑳

− 𝑿

_𝑪 En la IMPEDANCIA a frecuencias menores y mayores a la frecuencia de resonancia, los que intervienen activamente son los componentes reactivos. A frecuencias mayores, interviene predominantemente la reactancia inductiva ya que la misma es directamente proporcional a la

frecuencia; y a frecuencias menores, la capacitiva, ya que ella es

inversamente proporcional a la misma.

El estudio detallado de esta situación se puede realizar desarrollando un diagrama de las componentes que intervienen en la impedancia, en función de la frecuencia.

Para ello se recordará nuevamente la impedancia en forma compleja

Para la realización de este diagrama, se utilizará el plano complejo para las componentes imaginarias (reactancias) y el plano real para la frecuencia y resistencia. Así entonces de Z:

De la expresión anterior se hace la gráfica:

= =

(constante), luego resulta una recta paralela al eje de frecuencias.

=

dado que

=

, luego

= .

, resulta una recta que pasa por el origen en el plano positivo imaginario.

𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 2 𝜋 𝑓0 𝐿 = 1 2 𝜋 𝑓0 𝐶 𝑓₀ = 1 2 𝜋 𝐿 . 𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑋

_𝐿

− 𝑋

_𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 𝑤 𝐿 −

1 𝑤 𝐶

(35)

35

Se observa que , luego la resultando una hipérbola en el plano negativo imaginario.

Finalmente, el módulo de Z es: una curva representada como una V invertida.

En el eje del plano real, se dibuja en primer lugar la resistencia en función de la frecuencia. Se supone que no varía con ella y en consecuencia da una recta paralela al eje de la frecuencia. Para la XL se grafica una recta que

pasa por el origen en el plano complejo, siendo el valor de la reactancia cero para frecuencia 0 e para frecuencia ; XC se ha graficado una

hipérbola, indicando que la reactancia capacitiva es cero para frecuencia e para frecuencia 0. Luego se realiza la suma de XL+XC , en la cual se

observa que cuando XL = XC corta al eje de la frecuencia, siendo ese valor

justamente la frecuencia de resonancia f0. Finalmente, el módulo de la

suma vectorial de la resistencia con las reactancias da el valor de Z. La misma tiene la forma de una V invertida, cuyo valor mínimo es el de la resistencia, y se ha indicado con la letra V.

Volviendo a la figura anterior, en ella se puede advertir que el vértice de la V tiene mucha información, pero que en este diagrama no se observa. Por ello es más conveniente representar el módulo de la impedancia Z , en función del logaritmo de la frecuencia. Así entonces se puede graficar el módulo de Z como una campana de Gauss simétrica cuyo valor mínimo es la resistencia del circuito.

𝑿

𝑪

=

𝟏 𝟐 𝝅 𝒇 𝑪

𝟏 𝟐 𝝅 𝑪

= 𝒌

𝑿

𝑪

=

𝒌

𝒇

𝒁 = √ 𝑹

𝟐

_{+ 𝑿}

𝑳

− 𝑿

𝑪

𝟐

(36)

36

También es relevante representar el módulo de la admitancia en función del logaritmo de la frecuencia, = que se puede observar en la próxima figura.

Esta nueva transformación permite verificar con mayor claridad la incidencia de R en el circuito. Por ello, para un valor de R cero, la admitancia se haría

𝑅 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

𝑅 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎

_{log 𝑓}

𝑍

𝑅 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

𝑅 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎

log 𝑓

𝑌

𝑓

₀

(37)

37

infinita y la campana de Gauss que ahora la representa es muy angosta; en cambio para mayores valores de R el gráfico se achata.

Una consecuencia importante y que permite observarla, es que si varía la resistencia como por ejemplo, si su valor es cero, la impedancia también es cero y la admitancia se hace infinita, mientras que ambas campanas se hacen más esbeltas.

Se puede dibujar como varía el ángulo de fase con el logaritmo de la frecuencia para cada componente reactivo. Por ello, para el capacitor el ángulo de fase para frecuencia cero, es de +90º, ya que la corriente se adelanta ese valor en el capacitor, mientras que en la inductancia, se atrasa 90º con respecto a la tensión para frecuencia infinita. En resonancia, el circuito se hace resistivo puro y el ángulo es cero. Todo esto queda representado en el siguiente diagrama.

En ella se ha dibujado la variación del ángulo de fase con la frecuencia para tres casos a saber: sin pérdida, ya que la resistencia asociada a la inductancia es muy cercana a cero; el otro extremo es de mucha pérdida para R grande y entre ellos se ha representado un valor intermedio. Su significado es el siguiente: si las resistencias asociadas al circuito son pequeñas, la variación del ángulo de fase cambia muy rápidamente, recordando que en resonancia es cero. En caso de que las resistencias

90° 𝑓₀ − 90°

log 𝑓

𝑆𝑖𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠

𝑀𝑢𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠

(38)

38

asociadas son muy grandes, la variación del ángulo de fase es muy lenta. Las pérdidas del circuito significa la potencia disipada en R. Lógicamente cuando R=0, la potencia es nula.

Otra consecuencia a tener en cuenta, es que la corriente varía en forma proporcional a la admitancia. Esto es fácilmente demostrable: el generador de C.A. es una fuente de tensión constante y de frecuencia variable, por ello la corriente que circula en el circuito es:

dado que E es constante, la corriente es una función directa de la admitancia o inversa de la impedancia. Por ello la curva dibujada de la admitancia en la figura lo es también de la corriente a menos de una constante.

Después de haber introducido las aclaraciones anteriores, se continuará ahora con el análisis del circuito serie. Así entonces, para que se manifieste en forma contundente la incidencia de la resistencia en el circuito serie (o paralelo), se introducirá un nuevo parámetro denominado: factor de mérito o “ Q0 ” del circuito.

Matemáticamente se define entonces

Se observa entonces que Q0 es un número adimensional, ya XL y R son

elementos resistivos cuya dimensión es el Ohm. Este número indica que mientras mayor sea el valor de R, el Q0 es cada vez menor. Para el caso de

R = 0 el valor de Q0 =



.

Como se puede advertir, el Q0 está ligado a la

impedancia y consecuentemente a la admitancia del circuito y por consiguiente al ancho de la campana. Otro factor a tener en cuenta, es el ancho de banda o banda pasante del circuito, quien está íntimamente relacionado con el Q0.

Este nuevo concepto es de muy importante, se introducirá en el estudio de la curva universal de resonancia para que se pueda interpretar sin ningún error las propiedades de estos circuitos de amplio uso en electrónica,

𝐼 =

𝐸

𝑍

= 𝐸 . 𝑌

𝑄

₀

=

𝑋

𝐿

𝑅

(39)

39

particularmente en comunicaciones y en innumerables aplicaciones en las cuales es necesario anular o dejar pasar determinadas frecuencias o bandas de ellas; que en realidad son filtros de frecuencia. A modo de ejemplo, en la figura siguiente se esquematiza una aplicación de un circuito serie en resonancia.

El generador E es quien produce una tensión con diferentes frecuencias, y está conectado a través de un circuito serie a la carga. Como la impedancia del circuito es mínima para cierta frecuencia (la de resonancia) definida por los componentes L y C, para ella la carga recibirá la máxima corriente limitada exclusivamente por R. Por debajo y por encima de resonancia, la impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima.

Esta configuración entonces, define un filtro selectivo para ciertas frecuencias que interesan que lleguen a la carga. Este tipo de filtros se denominan pasivos. Otra duda que ahora se manifiesta, es si es solamente selectivo a una frecuencia o a una banda de frecuencias. La relación con la resistencia del circuito permite suponer que si ella es muy pequeña, la curva de la admitancia es muy estrecha, curva a, y por ello solo pasará a la carga una pequeña gama de frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia, para las cuales la corriente tiene un valor apreciable. Fuera de esa gama, la corriente que llegará a la carga será mínima. No obstante ello, si la respuesta del circuito se ajusta a la curva b, la banda de frecuencias que llega a la carga será mayor pero con una corriente menor. Lo anterior

𝑹

𝑳

𝑪

𝑬

𝑪𝑨𝑹𝑮𝑨

log 𝑓

𝑓

₀

𝑎

𝑏

(40)

40

hace que se necesite definir algún parámetro que tenga que ver con las frecuencias seleccionadas.

8.7.1 Curva universal de resonancia.

Recordando lo escrito anteriormente, respecto a la familia de curvas. ¿ Será posible desarrollar una sola gráfica que permita aplicarla a cualquier circuito, independientemente de su frecuencia de resonancia y de los valores de resistencia ?. Si, esto es posible.

Con algunas definiciones y simplificaciones, se podrá llegar a construir una única curva universal de resonancia. Además se podrán definir otros parámetros de mucha importancia. Para ello, observando nuevamente la figura

Cada uno de los gráficos responde a un determinado valor de resistencia para la misma frecuencia de resonancia.. Para obtener una sola curva que contemple cualquier frecuencia, y para cualquier valor de impedancia, será necesario independizarse de la frecuencia. Ello permitirá trabajar en forma mucho más cómoda en el diseño y aplicación de estos circuitos y además obtener otras variables importantes. Así entonces deben realizarse una serie de transformaciones matemáticas para obtener la curva universal de resonancia.

𝑅 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑅 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

𝑅 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎

log 𝑓

𝑌

𝑓

0

(41)

41

No es tema específico de esta signatura hacer el estudio minucioso de estas simplificaciones, lo que sí es importante conocer algunos de los términos que se utilizan para trabajar con la curva universal.

 Desintonía fraccional:

Esto indica el apartamiento de la frecuencia de resonancia, en más y menos (fo-f1 , fo+f1), es el efecto de desintonizar al circuito y que dividido

por la frecuencia de resonancia, permite obtener la desintonía fraccional.

Para que se entienda mejor este parámetro con un circuito resonante, recuerde la búsqueda en un receptor de radio de una estación de radiodifusión. El efecto de indagar en el dial del receptor la estación buscada, es la sintonía de la misma, lográndose ello cuando la señal recibida es perfectamente legible. La variación hacia ambos lados de la frecuencia sintonizada, es la sintonización o desintonización de la frecuencia de resonancia elegida.



Desintonía fraccional relativa:

Es el producto de dos términos adimensionales e independientes de la frecuencia.

En la curva universal en el eje de ordenadas se grafican la admitancia relativa Y/Yo ; también se grafica en dicho eje la impedancia relativa normalizada Z/Zo, dado que este mismo diagrama se utiliza en los circuitos paralelo de dos ramas.

La curva universal de resonancia es :

𝛿 =

𝑤

𝑎 = 𝑄₀ 𝛿

(42)

42

Mediante dos ejemplos prácticos quedará plasmada el uso de la misma.

Ejemplo Nº 1: Se desea saber cuántos ciclos debe desintonizarse un circuito serie para reducir la corriente a la mitad del valor de resonancia, siendo el ₀

= 125

y la frecuencia de resonancia

1 ℎ

.

Si la corriente debe reducirse a la mitad y sabiendo que la corriente es directamente proporcional a la admitancia se entra en la curva por la mitad del eje vertical y se encuentra el valor correspondiente en el eje horizontal

(43)

43

De la curva universal, se observa que la respuesta se reduce a 0,5 cuando

= 0,86

luego aplicando la expresión de desintonía en :

Además el ángulo de fase de la corriente, obtenido de la curva de desfasaje del mismo gráfico es: 60º.

𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧

𝑓

₀

=

𝑎

𝑄

₀

𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧 =

𝑎

𝑄

0

. 𝑓

0

𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧 =

0,86

125 . 1 𝑀ℎ𝑧

𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧 = 6,88 𝑀ℎ𝑧

(44)

44

Ejemplo 2: Con el mismo circuito del ejemplo anterior, se desea saber qué respuesta se obtendrá a una frecuencia de 10 KHz por debajo de resonancia.

Para resolverlo, es necesario primero encontrar el valor de “ a ”

La respuesta se reduce en un factor de 0,37.

La fase de la corriente es de 68º en atraso.

𝑎 =

𝐷𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑛í𝑎 𝐻𝑧

𝑓

₀

𝑄

0

𝑎 =

10 𝐾𝐻𝑧

(45)

45

8.7.2 Puntos de media potencia.

El valor de la potencia en resonancia depende exclusivamente de la resistencia y está dado por : ₀

=

₀ 2

Cuando se da que la admitancia se reduce al 0.707 de la admitancia en resonancia y teniendo en cuenta que la corriente es directamente proporcional a la admitancia su puede apreciar que:

Por esto en donde se cumple que la admitancia ( corriente ) se reduce al 0,707 de su valor en resonancia se denominan: puntos de media potencia, y significa que la potencia cae a la mitad de la correspondiente en resonancia.

De la curva puede encontrarse que estos valores en el eje de abscisas esta dado para ₀

. = 0,5

.

𝑃 = 0,707 𝐼

₀ 2

_{. 𝑅}

_{𝑃 = 0,707}

2

_𝐼

₀ 2

_{. 𝑅}

𝑃 = 0,5 𝐼

0 2

. 𝑅

(46)

46

Surge aquí un nuevo concepto llamado “ ancho de banda ” y es el valor de frecuencias comprendidos entre los valores de frecuencia para los cuales la admitancia ( resonancia serie ) o la impedancia ( resonancia paralelo ) se reduce al 0,707 de su valor máximo.

Este concepto está indicando que cuando la potencia transferida por el circuito serie a la carga cae en el 50% de la potencia total (100%), las frecuencias comprendidas en esa banda son las que pasan a la carga.

Observe la relación del Qo con el ancho de banda, encontrándose que a mayor Qo, el ancho de banda es menor y viceversa. La importancia del mismo se manifiesta en que para diversas aplicaciones, el circuito debe ser más selectivo (menor ancho de banda), receptores de radio y en otros casos se necesita menor selectividad, receptores de televisión.

8.7.3 Aumento de la tensión en resonancia.

Para encontrar la tensión a la que están sometidos los elementos reactivos en resonancia se parte de que la tensión según Kircfhoff se distribuye de la siguiente forma.

log 𝑓

𝑌

0

𝑓

0

0,707

𝑌

₀

𝑓

2 𝐵𝑊 = 𝑓₂ − 𝑓

(47)

47

De apartados anteriores se sebe que es una suma vectorial no algebraica. En la frecuencia de resonancia los efectos inductivos se cancelan con los capacitivos dando por resultado :

Con ello se lo puede considerar en forma algebraica

Por ley de Ohm se conoce que:

Por ley de Ohm se conoce también que:

Por definición el valor de esta dado por: con lo que se puede escribir:

Con el mismo raxzonamiento se obtiene para

Indicando que en resonancia, las tensiones desarrolladas tanto en la bobina como en el capacitor, alcanza Qo veces ta tensión del generador.

Se debe recordar que ambas tensiones son vectoriales; y esta situación presupone que tanto el capacitor como la inductancia estarán sometidos a altas tensiones con Q altos, y por ello en los circuitos diseñados para

𝐸 = 𝑉

+ 𝑉

𝑅

+ 𝑉

𝐿

𝐶

𝐸 = 𝑉

_𝑅

𝐸 = 𝑉

_𝑅

𝑉

𝑅

= 𝑅 . 𝐼

𝐼 =

𝑉

𝑅

𝑉

_𝐿

= 𝑋

_𝐿

. 𝐼

𝑉

_𝐿

= 𝑋

_𝐿

𝑉

𝑅

𝑄

0

=

𝑋

𝐿

𝑅

𝑄

₀

𝑉

_𝐿

= 𝑉

_𝑅

𝑋

𝐿

𝑅

𝑉

𝐿

= 𝐸 . 𝑄

0

𝑉

_𝐶

= 𝐸 . 𝑄

₀

(48)

48

trabajar en estas condiciones, se deben elegir cuidadosamente los componentes reactivos.

8.8 Resonancia en un circuito paralelo.

Así como se produce resonancia en el circuito serie, lo mismo sucede con la configuración en paralelo. Ambos tienen similitudes importantes, pero su conducta es diferente. El paralelo posee alta impedancia en resonancia, mientras que el circuito serie, tiene baja impedancia y alta admitancia también en resonancia.

En la figura se esquematiza un circuito paralelo de tres ramas y la expresión de la admitancia es:

El diagrama vectorial de las corrientes circulantes es el que se muestra en la figura

𝑌 = 𝐺 + 𝑗 𝑤𝐶 +

1 𝑗 𝑤𝐿

= 𝐺 + 𝑗 𝑤 𝐶 −

1 𝑤 𝐿

G

L

_C

𝐵_𝐶 𝑉 = 𝐼_𝐶 − 𝐵_𝐿 𝑉 = 𝐼_𝐿 𝐺 𝑉 = 𝐼_𝐺

(49)

49

Así entonces, en resonancia las corrientes en los elementos reactivos se anulan y solamente circula corriente por la conductancia. Una consideración importante que debe hacerse es que la conductancia para este circuito muy pequeña (R grande), ya que se consideran las pérdidas del capacitor y de la inductancia como G. Ello induce a pensar que ahora los valores de las corrientes en oposición pueden alcanzar valores muy altos al contrario del serie, en el cual las tensiones en ellos pueden alcanzar magnitudes muy peligrosas.

En cuanto al Q para los circuitos resonantes paralelo es similar a la vista para los circuitos serie:

Considerando que: y se puede escribir:

El análisis del Q indica que el valor del mismo para estos circuitos de tres ramas correspondiente a bajas pérdidas, dependerá de tener un alto valor de resistencia en paralelo, pertenecientes a las pérdidas del condensador y de la inductancia colocada en paralelo con la misma. Para una mejor comprensión y utilización de estos circuitos, se esquematizará el dos ramas o tanque de amplias aplicaciones.

𝑄

0

=

𝑤

0

𝐶

𝐺

0

𝑤

₀

𝐿 =

1 𝑤

₀

𝐶

𝐺

0

=

1 𝑅

𝑄

𝐿

G

L

C

G

L

C

(50)

50

El Qo para estos circuitos es el mismo que para el serie:

Para Qo mayores a 20 se puede también utilizar la curva universal de resonancia con errores muy pequeños; pero su aplicación permite resolver todos los circuitos en los cuales interviene la configuración de dos ramas. Por ejemplo, para circuitos sintonizados de amplio uso en radiofrecuencias. Al igual que el circuito serie, la admitancia en resonancia, cuando la frecuencia es logarítmica responde a una campana de Gauss.

Estos circuitos resonantes paralelo de dos ramas, también se denominan circuitos tanque, tal como se expresó anteriormente. Este último nombre está asociado al motivo que la inductancia acumula energía de campo magnético (cinética en mecánica y la acumula la masa) y la capacidad energía de campo eléctrico (potencial en mecánica y la acumula un resorte). Son muy utilizados en los sintonizadores de los radioreceptores. En ellos el Q posee un valor que permite para obtener un ancho banda importante y puedan sintonizarse las distintas estaciones en las distintas bandas de recepción (onda larga, ondas cortas o FM). En estos circuitos se utiliza una inductancia fija para cada banda que se permutan con un condensador variable.

Las inductancias L1 y L2 conforman lo que se denomina un transformador. El

funcionamiento del circuito es el siguiente: mediante el capacitor variable C se puede elegir una frecuencia de resonancia que coincide con una de las

𝑄0 =

𝑋_𝐿 𝑅

Energía electromagnética de diferentes frecuencias correspondientes a distintas estaciones de radio y TV

A circuitos: demodulador, amplificador de audio

𝑳

𝟏

𝑳

𝟐

(51)

51

que llegan e inducen una tensión en la antena. Para ella, la impedancia es máxima y en consecuencia la tensión desarrollada para esa frecuencia en el circuito paralelo “L1-C” es máxima y para las otras que llegan es un

cortocircuito. Dicha tensión se transfiere al arrollamiento L2 en forma

magnética y la tensión aparece en este último. Cabe considerar que las señales electromagnéticas que llegan a la antena e inducen voltajes en ellas, están formadas por una señal compuesta integradas por las denominadas: portadora y moduladora. La portadora es la frecuencia que transporta a la moduladora que es la inteligencia: palabra, música, etc. La estación transmisora produce la señal compuesta en AM (amplitud modulada) o en FM (frecuencia modulada) y la transmite a través de la antena transmisora como energía electromagnética. El receptor la recibe via antena, induciéndose en ella un voltaje de C.A. y este último es seleccionado (sintonizado) mediante el circuito visto en la figura. Sintonizada la misma, se la demodula lográndose nuevamente la moduladora (palabra, etc), eliminando además la portadora. Obtenida así la inteligencia, se la amplifica y se envia al altoparlante.

8.8.1 Aplicación de circuitos paralelo y serie como filtros.

Una pregunta que salta a la vista es para que pueden ser utilizados estos circuitos, en los cuales sus características son fuertemente dependientes de la frecuencia. La respuesta se manifiesta inmediatamente, ya que mediante ellos se pueden construir circuitos selectivos a frecuencias elegidas ya sea para rechazarlas o aceptarlas. Estos últimos se denominan filtros y son ampliamente utilizados. Cuando se analizó el circuito paralelo de dos ramas se introdujo como ejemplo el sintonizador de un radioreceptor, en el cual se podían elegir distintas frecuencias o estaciones de radio.

Para entender mejor el funcionamiento de estos circuitos, se incorporan algunas aplicaciones de uso común. Por ejemplo, el circuito de la figura 8.33, utiliza la resonancia serie para seleccionar una gama de frecuencias que se desea que reciba una carga.

(52)

52

En resonancia, dicho circuito posee una impedancia muy baja (admitancia alta) y por ello para la frecuencia de resonancia elegida circulará la máxima corriente. Por debajo y por encima de resonancia (f1-f2) la impedancia aumentará y la corriente que llegará a la carga será mínima. Esta configuración entonces define un filtro selectivo a ciertas frecuencias (denominado pasabanda) que interesan. Se puede ver que es similar al paralelo de dos ramas, en el cual la impedancia es máxima y se desarrolla la máxima tensión, pero teniendo en cuenta ahora que este circuito va conectado en paralelo con la carga. Mediante otro ejemplo de aplicación en circuitos de audiofrecuencias, el concepto de filtro quedará aún más integrado.

8.9 Resumen

El uso de corriente alterna armónica en los circuitos, abre un nuevo panorama de aplicación de la Ley de Ohm. Es así que aparecen fenómenos asociados a componentes pasivos tales como capacitores e inductancias. La oposición a la corriente alterna de estos componentes, se denomina reactancia capacitiva:

=

2 e inductiva: = 2 ,

respectivamente. En el primer caso, la reactancia se decrementa con la frecuencia y su respuesta es una hipérbola, mientras que la reactancia inductiva se incrementa con la frecuencia, pero en forma lineal.