Problemas de fenómenos ondulatorios

Problemas de fenómenos ondulatorios

1.- Se tienen dos superficies planas y reflectante que forman un ángulo de 90º. Si llega un rayo de luz a una de ellas con un ángulo de 25º, calcula el ángulo cuando se haya reflejado en la segunda.

Este ejercicio se puede resolver geométricamente y aplicando la ley de Snell de la reflexión:

El ángulo de incidenciay el ángulo de reflexión son iguales.

iˆ= rˆ

El ángulo del rayo reflejado por la 2ª superficie será de 65º.

2.- Una onda que se propaga por una cuerda viene descrita por la ecuación, en unidades del SI: y = 0'05 · sen (10·t - 2·x)

Si la cuerda está fija por un extremo a la pared, escriba la ecuación de la onda reflejada.

Sabemos que la onda reflejada está desfasada π radianes (180º) y que se propaga en sentido contrario a la onda incidente.

y = 0'05 · sen (10t + 2x + π)

Como sen (α + π ) = - sen α, la ecuación de la onda reflejada quedará: y = - 0'05 · sen (10t + 2x)

3.- a) Un rayo de luz que se propaga por el aire llega a la superficie de separación con el agua formando un ángulo de 30º. Calcula el ángulo de refracción y la velocidad en el agua.

b) Si la frecuencia de la luz es 4'45·1014 Hz, calcula la longitud de onda en el aire y en el

agua. Datos: nagua = 1'3, c = 3·108 ms-1

a) Según la expresión de Snell: nincidente · senˆi = nrefractado · senrˆ senrˆ= refractado incidente n n · sen = iˆ 3 ' 1 1 sen 30º = 0'385 ⇒rˆ= 22'64º

La velocidad en el agua se puede calcular con: υ c n = ⇒ agua agua n c = υ = 3 ' 1 10 3_⋅ 8 = 2'3·108 m/s

b) La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ =λ⋅f , si la velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda.

La longitud de onda en el aire: f υ λ = = 8₁₄ 10 45 ' 4 10 3 ⋅ ⋅ = 6'74·10-7 m = 674 nm La longitud de onda en el agua:

f υ λ = = ₁₄ 8 10 45 ' 4 10 3 ' 2 ⋅ ⋅ = 5'1 ·10-7 m = 510 nm

4.- Calcula el ángulo límite para un rayo de luz que pasa del vidrio al aire y explica qué

ocurrirá cuando el ángulo de incidencia sea de 45º y 40º. Dato: nvidrio = 1'5

El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia, , para el cual el ángulo de refracción es de 90º. Lˆ Lˆ= arcosen incidente refractado n n = arcosen 5 ' 1 1 = arcosen 0'6667 = 41'8º

Si el ángulo de incidencia es de 45º, se producirá reflexión, porque es mayor que el ángulo límite. Si el ángulo es 40º, el rayo se refractará porque su valor es menor que el ángulo límite.

5.- Una onda electromagnética que en el vacío tiene una longitud de onda de 550 nm penetra en un medio de índice de refracción 1'5. Calcula en este medio: a) Su velocidad. b) Su longitud de onda. a) n c = υ = 5 ' 1 10 3_⋅ 8 = 2·108 m/s b) λ c f = = ₇ 8 10 5 ' 5 10 3 − ⋅ ⋅ = 5'45 ·1014 Hz f υ λ = = 8₁₄ 10 45 ' 5 10 2 ⋅ ⋅ = 3'67 ·10-7 _{m = 367 nm}

6.- La velocidad de una onda en un determinado medio es 1'0 m/s y su longitud de onda, 50

cm. Alcanza otro medio con un ángulo de incidencia de 30º, siendo la longitud de onda

ahora de 12'5 cm. Calcula: a) La frecuencia de la onda. b) El ángulo de refracción. c) el

índice de refracción del segundo medio respecto del primero.

Datos: ν = 1 m/s, λ1 = 50 cm = 0'5 m, = 30º, iˆ λ2 = 12'5 cm = 0'125 m

a) La frecuencia solo depende del foco emisor por lo que será la misma n los dos medios: λ υ = f = 5 ' 0 1 = 2 Hz

b) La velocidad de la onda en el segundo medio: ν2 = λ2 · f = 0'125 · 2 = 0'25 m/s Aplicando la ley de Snell para la refracción:

2 1 rˆ sen iˆ sen υ υ = ⇒ senrˆ= 1 2 υ υ · sen = iˆ 1 25 ' 0 · sen 30º = 0'125⇒ rˆ= 7'2º c) n2,1 = 2 1 υ υ = 25 ' 0 1 = 4

7.- Una onda de naturaleza eléctrica viene descrita por la ecuación, en unidades del SI:

E = 0'5 · sen (3·1010 t – 175 x). Calcula: a) Su longitud de onda y su frecuencia temporal. b)

El índice de refracción del medio en el que se propaga la onda respecto del vacío donde se desplaza a 3·108 ms-1.

Datos: E = 0'5 · sen (3·1010 t – 175 x)

a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general: k = 175 rad/m, ω = 3·1010 rad/s

como: k = λ π 2 _{⇒ λ} = k 2π = 175 2π = 0'036 m como: T 2π ω= = 2 π f ⇒ f = π ω 2 = 2π 10 3_⋅ 10 = 4'77·109 Hz

b) La velocidad e propagación en el medio: υ =λ⋅f = 0'036 · 4'77·109 =1'72·108 m/s

Por lo que el índice de refracción respecto al vacío será: υ c n = = ₈ 8 10 72 ' 1 18 3 ⋅ ⋅ =1'74

8.- Un rayo luminoso incide sobre una superficie plana de separación aire-líquido. Cuando el ángulo de incidencia es de 45º, el de refracción vale 30º. ¿Qué ángulo de refracción se produciría si el haz incidiera con un ángulo de 60º?

Según la expresión de Snell: naire · sen = niˆ líquido · senrˆ

nlíquido = rˆ sen iˆ sen n_aire⋅ = º 30 sen º 45 sen 1⋅ = 1'41

Para un ángulo incidente de 60º: senrˆ=

refractado incidente n n · seniˆ= 41 ' 1 º 60 sen 1⋅ = 0'6142 ⇒rˆ= 37'89º

9.- Una partícula de tierra está incrustada bajo la superficie de una plancha de hielo (n =

1'309). Su profundidad aparente ¿es mayor o menor que la profundidad real? Justifica la

respuesta.

De acuerdo con la ley de Snell, al pasar el rayo de luz del hielo al aire el aire, que tiene menor índice de refracción, el ángulo de refracción será mayor que el de incidencia. Como al ojo llegan los rayos refractados, el cerebro interpreta que proceden rectilíneamente no de la posición real, sino de la aparente que está menor profundidad.

10.- Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1'5 y de 1 cm de espesor, situada en el vacío, incide un rayo luminoso formando un ángulo de 30º con la normal a la cara. Calcule:

a) El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina Efectúe la construcción geométrica correspondiente.

b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.

Dato: nvacío = 1

a) Se aplica primero la ley de Snell al paso del vacío al vidrio: nincidente · sen = niˆ refractado · senrˆ

senrˆ1= refractado incidente n n · seniˆ1= 5 ' 1 º 30 sen 1⋅ = 0'3333 ⇒rˆ= 19'5º

En la figura se puede observar que los ángulos rˆ1 e iˆ2 son iguales, por tanto: iˆ2 = 19'5º

senrˆ2= refractado incidente n n · seniˆ2= 1 º 5 ' 19 sen 5 ' 1 ⋅ = 0'4999 ⇒rˆ= 29'99º =30º

El rayo que emerge de la lámina tiene el mismo ángulo que el ángulo de incidencia inicial, pero está desplazado una distancia d.

b) La distancia que recorre el rayo en la lámina es AB, el espesor de la lámina; BC = 0'01 m

cos iˆ2 = AB BC _⇒ AB = 2 iˆ cos BC = º 5 ' 19 cos 01 ' 0 = 0'0106 m

11.- Explica por qué se puede oír a una persona hablando detrás de una esquina pero no se la puede ver.

La razón es que el sonido tiene una longitud de onda mucho mayor que la de la luz. Cuando las ondas sonoras llegan a la esquina se difractan, de forma que los puntos del frente de onda que no están tapados por el obstáculo se comportan como centros emisores de nuevas ondas que se propagan en todas direcciones (no solo en línea recta), por eso podemos oír a la persona.

La luz es una onda electromagnética y su longitud de onda, que es del orden de 10-7 _{m, es} demasiado pequeña para difractarse en la esquina. Para que se dé el fenómeno de difracción el tamaño del obstáculo tiene que ser comparable al de la longitud de onda de la onda considerada. Por tanto, al no difractarse, la luz sigue propagándose en línea recta, por eso no podemos ver a la persona que está detrás de la esquina.

12.- Un camión de bomberos se desplaza por la carretera a una velocidad de 144 km/h, mientras hace sonar su sirena con una frecuencia de 1000 Hz. Calcula la frecuencia con que un peatón situado al lado de la carretera recibirá el sonido, en el caso de que: a) el

camión se aleja del peatón. b) el camión se aproxima el peatón. Dato: νsonido = 340 m/s

Dato: vfoco sonoro = 144 km/h = 40 m/s, f = 1000 Hz, νsonido = 340 m/s

a) La sirena está acercándose al peatón que está fijo, la frecuencia que aprecia el peatón: fA = F v f − ⋅ υ υ = 1000 40 340 340 − = 1133'3 Hz

b) La sirena está alejándose del peatón que está fijo, la frecuencia que aprecia el peatón: fB = F v f + ⋅ υ υ = 1000 40 340 340 + = 894'74 Hz

13.- La bocina de un automóvil estacionado emite un sonido cuya frecuencia es de 420 Hz. Calcula la frecuencia que percibe un ciclista que se mueve hacia el coche a una velocidad de 30 km/h. Dato : νsonido = 340 m/s

Datos: vciclista = 30 km/h = 8'3 m/s, f = 420 Hz, νsonido = 340 m/s

f' = υ υ v ) ( f + ₀ = 340 ) 3 ' 8 340 ( 420⋅ + = 430'25 Hz

14.- Una ambulancia que se desplaza por una carretera a 72 km/h lleva encendida la sirena, que emite un sonido de 420 Hz de frecuencia. Calcula la frecuencia que percibirá el conductor de un automóvil que transita por la misma carretera con una velocidad de 50

km/h según se acerque a la ambulancia o se aleje de ella. Dato: νsonido = 340 m/s

Datos: vF = 72 km/h = 20 m/s, f = 420 Hz, vR = 50 km/h = 14 m/s, νsonido = 340 m/s

Al acercarse el automóvil y la ambulancia, se toma el signo positivo en el numerador y negativo, en el denominador. F R R v ) v ( f f − + = υ υ = 20 340 ) 14 340 ( 420 f_R − + ⋅ = = 465 Hz

La frecuencia aumenta y el sonido se hace más agudo.

Al alejarse el automóvil y la ambulancia, se toma el signo negativo en el numerador y positivo en el denominador. F R R v ) v ( f f + − = υ υ = 20 340 ) 14 340 ( 420 f_R + − ⋅ = = 380 Hz

15.- Dos ondas y1 = 0'3 cos (200t - 0'05x1) e y2 = 0'3 cos (200t - 0'05x2) se propagan por el mismo medio. Si las ondas se anulan en un punto distante 10 m del centro emisor de la primera onda, calcula el valor más pequeño de la distancia a la que se puede encontrar el segundo foco. Datos: y1 =0'3 cos (200t - 0'05x1), y2 = 0'3 cos (200t - 0'05x2), x1 = 10 m

La condición de interferencia destructiva (ondas que se anulan) es: x2 – x1 = (2n + 1) · 2 λ k = 0'05 = λ π 2 _⇒ 05 ' 0 2π λ= = 126 m

Utilizando este valor en la condición de interferencia destructiva, y sustituimos n por 0 con

objeto de encontrar el punto más cercano, se puede averiguar la posición del segundo foco: x2 – 10 = (2·0 + 1) ·

2 126 _⇒

x2 = 63 + 10 = 73 m

16.- Se produce la interferencia de las siguientes ondas armónicas coherentes:

y1 = 0'5 · sen (100 · t -2 · x1) ; y2 = 0'5 · sen (100 · t – 2 · x2) (en unidades del SI). Determina: a) La función de onda resultante. b) El valor de la amplitud resultante en un punto que dista 5 m y 7 m de los dos focos emisores.

a) La función de onda resultante se obtiene sumando:

y = y1 + y2 = 0'5 · sen (100 · t - 2 · x1) + 0'5 · sen (100 · t – 2 · x2)

Como: sen a + sen b =

2 b a cos 2 b a sen 2⋅ + ⋅ − y = 0'5 · 2 · 2 ) x 2 t 100 ( ) x 2 t 100 ( cos 2 ) x 2 t 100 ( ) x 2 t 100 ( sen − 1 + − 2 _⋅ − 1 − − 2 y = 1 · 2 ) x x ( 2 cos 2 ) x x ( 2 t 200 sen − 2+ 1 _⋅ 2− 1

La función de onda resultante: y = cos(x₂−x₁)⋅sen(100t−(x₂−x₁)) Donde la amplitud resultante: Ar = cos (x2 – x1)

b) Ar = cos (x2 – x1) ⇒ Ar = cos (7 – 5) = -0'42 m

17.- Por una cuerda tensa, se transmiten simultáneamente dos ondas transversales de ecuaciones en el SI: y1 = 0'04 · sen (10·x – 600·t) y y2 = 0'04 · sen (10·x + 600·t)

Escribe la ecuación de la perturbación que aparece en la cuerda.

Cuando dos ondas concurren en un punto la perturbación resultante es suma de las dos perturbaciones: y = y1 + y2 = 0'04 · sen (10·x – 600·t) + 0'04 · sen (10·x + 600·t)

Como: sen a + sen b =

2 b a cos 2 b a sen 2⋅ + ⋅ − y = 0'04 · 2 · 2 ) t 600 x 10 ( ) t 600 x 10 ( cos 2 ) t 600 x 10 ( ) t 600 x 10 ( sen − + + ⋅ − − + y = 0'08 · 2 t 1200 cos 2 x 20

sen ⋅ − = 0'08 · sen 10 x · cos (-600t)

Como cos (-a) = cos a, la función de onda resultante: y = 0'08 · sen 10 x · cos 600t

18.- En una cuerda tensa se ha generado una onda estacionaria cuya ecuación en unidades del SI, es: y = 0'02 · cos (10 · π · x) · sen (40 · π · t). Determina la amplitud, la frecuencia y la longitud de onda de las ondas que por superposición originaron esa onda estacionaria.

Comparando con la ecuación general de una estacionaria: y = 2 · A · cos (ωt) · sen (kx) ó y = 2 · A · sen (ωt) · cos (kx) 2 · A = 0'02 ⇒ A = 0'01 m k = 10 · π = λ π 2 _⇒ π π λ ⋅ = 10 2 = 0'2 m ω = 40 · π = 2 π f ⇒ f = π π 2 40⋅ = 20 Hz

19.- a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0'4 m de longitud, sujeta por los dos extremos. Calcule la frecuencia fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de

propagación de la onda en la cuerda es de 352 m s- 1. b) Explique por qué, si se acorta la

longitud de una cuerda en una guitarra, el sonido resulta más agudo.

Datos: L = 0'4 m, v = 352 m·s-1

a) Cuando una cuerda se sujeta por los dos extremos, dichos extremos son nodos. Si la amplitud resultante de las ondas estacionarias generadas en la misma tiene la forma: Ar = 2·A·sen (kx)

La condición de nodo es: x = n · 2 λ _⇒ n x 2 = λ

Aplicando la condición de nodo a uno de los extremos, hacemos x = L = 0'4 m

n 4 ' 0 2⋅ = λ = n 8 ' 0

El modo fundamental de vibración tiene lugar cuando n = 1 ⇒ λ = 0'8 m.

Conocida la longitud de onda del modo fundamental, la frecuencia se puede determinar:

f = λ υ = 8 ' 0 352 = 440 Hz

b) La frecuencia en función de la longitud de la cuerda viene dada por: f = λ υ = L 2 n⋅υ Para n = 1 ⇒ f = L 2 υ (frecuencia fundamental)

La longitud de la cuerda está en el denominador, por lo que, si la longitud disminuye, la frecuencia aumenta. En el caso del sonido, el tono es la cualidad que está relacionada con la frecuencia, los tonos agudos corresponden a frecuencias más altas, que es lo que ocurre cuando la cuerda se acorta.

20.- En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación: y = 0'02 sen (4πx) cos(200πt) (S.I.)

Indicar el tipo de onda de que se trata y calcular razonadamente la longitud mínima de la cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en una cuerda más larga?

Datos: y = 0'02 sen (4πx) cos(200πt)

Se trata de una onda estacionaria unidimensional, transversal y armónica, resultado de la superposición de dos ondas iguales en amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que se propagan en sentidos opuestos, una en sentido positivo del eje OX y la otra en sentido negativo. Según se indica esta onda está “confinada” entre dos extremos, es decir, como mínimo puede vibrar formando dos nodos (los extremos) y un vientre. Este modo de vibración es el fundamental y en él los nodos se encuentran, según se ha dicho, en x = 0 y x = L, donde L es la longitud de la cuerda.

Comparando con la ecuación general: k = λ π 2 = 4π ⇒ π π λ 4 2 = = 0'5 m Los nodos de esta onda cumplen la siguiente condición: sen (kx) = 0 ⇒

λ π 2 x = n π (donde n = 0,1,2,3,... ) Si se hace x = L y se despeja: 4 L = n ⇒ L = 2 nλ

El valor mínimo de L será cuando n = 1 ⇒ L = 2 λ

= 0'25 m, que es precisamente el doble de la longitud mínima de la cuerda.

Si la cuerda fuera más larga, la expresión obtenida para su longitud: L = 2 nλ

, indica que la longitud de la cuerda es directamente proporcional a la longitud de la onda estacionaria generada.

En el modo fundamental de vibración (n =1), si la longitud de la cuerda cambia entonces la longitud de la onda estacionaria cambia y, por tanto, no se trata de la misma onda.

21.- Por una cuerda tensa fija por sus dos extremos y longitud 50 m, se propaga transversalmente una vibración de 100 Hz de frecuencia. Si se forma una onda estacionaria con tres vientres, determina: a) La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. b) El valor de otra frecuencia inferior que también origine una onda estacionaria

en la cuerda. Datos: L = 50 m, f = 100 Hz

En una cuerda con los extremos fijos, una onda estacionaria de tres vientres corresponde a la vibración del tercer armónico, para el que se cumple que:

L = 2 nλ = 2 3⋅λ = 50 m ⇒ λ = 33'33 m

Como la onda se propaga con velocidad constante será: ν = λ · f = 33’33 · 100 = 3333 m/s b) Una frecuencia menor corresponde, por ejemplo, al segundo armónico, para el cual: L = 2 nλ = 2 2λ = 50 m.

Puesto que la onda se propaga con la misma velocidad: f = λ υ _⇒ f = 50 3333 = 66'7 Hz

22.- La cuerda Mi de un violín vibra a 659'26 Hz en el modo fundamental. La cuerda tiene una longitud de 32 cm: a) Obtén el período de la nota Mi y a velocidad de las ondas en la cuerda. b) ¿En qué posición (refiérela a cualquiera de los dos extremos) se debe presionar

la cuerda para producir la nota Fa, de 698'46 Hz de frecuencia? c) Si se produce con el

violín un sonido de 10-4 W de potencia, calcula la distancia a la que habría que situase para

escucharlo con una intensidad de 50 dB. Dato: I0 = 10-12 W/m2

a) L = 2 nλ _⇒ n L 2 = λ = 1 32 ' 0 2⋅ = 0'64 m T = f 1 = 26 ' 659 1 = 1’52·10-3 s 1 1⋅f =λ υ = 0'64 · 659'26 = 421'93 m/s b) f = L 2 n⋅υ ⇒ L = f 2 nυ = 46 ' 698 2 93 ' 421 1 ⋅ ⋅ = 0'302 m = 30'2 cm

La posición en que se debe presionar es: L – L’ = 0'32 - 0'302 = ‘018 m = 1'8 cm de la clavija y a 30'2 cm del puente.

c) La intensidad sonora o sonoridad:

o I I log 10⋅ = β 50 = 10 ₁₂ 10 I

log ₋ ⇒ 5 = log I – log 10-12 _{= log I +12 ⇒ 5 -12 = log I = -7 = log I} I = 10-7 W/m I = S P = ₂ r 4 P π ⇒ r = 4 I P π = 7 4 10 4 10 − − π = 8'92 m

23.- Un tubo de longitud L = 34 cm tiene sus dos extremos abiertos a la atmósfera, donde el sonido se propaga con una velocidad v = 340 m/s. Calcula la menor frecuencia de excitación sonora para la que se formará una onda estacionaria en el interior del tubo. Representa esta onda estacionaria, indicando la posición de nodos y vientres.

b) Contesta las mismas cuestiones del apartado anterior, suponiendo ahora que el tubo tiene un extremo abierto y otro cerrado.

a) Para que se produzca una onda estacionaria en un tubo con los dos extremos abiertos se tiene que cumplir: L = n 2 λ _⇒ n L 2 = λ , siendo n = 1, 2, 3,… La frecuencia será: f = n L 2 υ

La menor frecuencia se da para n = 1: f = 1 ·

34 ' 0 2 340 ⋅ =500 Hz

b) Para que se produzca una onda estacionaria en un tubo con un extremo abierto y otro cerrado se tiene que cumplir: L = (2n + 1)

4 λ _⇒ 1 n 2 L 4 + = λ , siendo n = 0, 1, 2, 3,… La frecuencia será: f = (2n+1) L 4 υ

La menor frecuencia se da para n = 0: f = 3·

34 ' 0 4 340 ⋅ = 250 Hz

Problemas de Selectividad

1.- (Junio 2005). La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t) = 0'4sen12πxcos40πt

(S.I.). a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero.

a) La ecuación y (x,t) = 0'4 sen 12 πx cos 40 πt es la ecuación de una onda estacionaria, donde

0'4 sen 12πx es la amplitud resultante, que es diferente para cada punto del medio (para cada

valor de x). Hay puntos que vibran con la máxima amplitud posible (0'4 m) y otros que no vibran nada (aquellos para los que el sen 12πx vale 0). Esto es característico de una onda estacionaria. Comparando con la expresión general de una onda estacionaria: y (x,t) = 2·A sen kx · cos (ωt) 2 · A = 0'4 m ⇒ A = 2 4 ' 0 = 0'2 m k= 12π m-1 ω = 40π rad/s, A partir de estos valores se pueden obtener los valores pedidos: T =

ω π 2 = 20 1 40 2 ₌ π π s f = T 1 = 20 Hz λ = k 2π = 6 1 12 2 ₌ π π m ν = T λ = 201 6 1 = 6 20 = 3'33 m/s

b) Si la amplitud es cero, esos dos puntos no vibran. Dos puntos que no vibran son dos nodos. La distancia entre dos nodos, como puede apreciarse en la figura, es media l

Por tanto: d = ongitud de onda. n-n = 12 1 2 λ = 2 6 1 = 0'083 m

.- (Junio 2006) a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz con ayuda de

) Cuando un rayo de luz incide sobre un nuevo medio, parte de la energía incidente se refleja y

nincidente · seniˆ = nrefr · sen

2

un esquema. b) Un haz de luz pasa del aire al agua. Razone cómo cambian su frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.

a) Ver teoría. b

el resto pasa al nuevo medio en el que cambia su dirección según la expresión de Snell:

r actado ˆ

ndice de refracción, n: es el cociente entre la velocidad de la luz en el

Í

vacío, c, y la velocidad de la luz en cualquier otro medio, ν. υ

• Cada medio tiene un índice de refracción (n) específico, lo que supone que la velocidad de

• de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia c

n =

propagación de la luz es distinta en cada medio. Dado que el agua es más refringente que el aire (tiene mayor índice de refracción), la velocidad de la luz en el agua será menor que en aire. Y como: nrefractado > nincidente ⇒ sen î > sen r ⇒ î > r ⇒ El rayo refractado se acercará a la normal.

La frecuencia

de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ =λ⋅f , si la velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda:

f υ λ = ν

La ecuación nos indica que λ y son directamente proporcionales. En medios más refringentes la velocidad de propagación de la luz será menor y, por tanto, λ será menor. En el aire tanto λ como v serán mayores que en el agua, manteniéndose constante la frecuencia.

3.- a) D

) Si la luz emerge del diamante al aire con un ángulo de refracción de 10º dibuje la

(Junio 2007) Un haz de luz de 5·1014 Hz viaja por el interior de un diamante.

etermine la velocidad de propagación y la longitud de onda de esa luz en el diamante. b

trayectoria del haz y determine el ángulo de incidencia. Datos: c = 3·108 ms-1, ndiamante =2'42

a) El índice de refracción, n, es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la velocidad de la luz en cualquier otro medio, ν.

υ n= c ⇒ n = υ c = 42 ' 2 = 1'24·10 10 3_⋅ 8

ce constante (ya que depende de la frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, q no c ia), p

8 _m/s La frecuencia de la onda luminosa, f, permane

ue amb ero como υ =λ⋅f , si la velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda.

f υ λ = = ₁₄ 8 10 5 10 24 ' 1 ⋅ ⋅ = 2'48· 10-7 m = 248 nm

b) Cuando un rayo d z pasa a te, como el

aire, se aleja de la normal de acu a n · seniˆ = n

e lu un medio menos refringen erdo con l ley de Snell: incidente refractado · senrˆ seniˆ = incidente refractado n · se n nrˆ= 2'42· sen 10º 72 ⇒ i 1 = 0'0 ˆ= 4'11º

4.- (Junio 2009) a) Razone que características

cuerd s on s fi que su superposición origine una

onda estacionaria. b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse, si la

opuesto. El resultado es una interferencia a la se denomina “onda”

con la frecuencia correcta en ualquier punto de la cuerda y podría obtenerse una onda estacionaria.

cero, tercer armónico: λ = 2/3 L P

tienen que tener dos ondas que se propaguen

por una a ten a c us dos extremos jos, para

longitud de la cuerda es L.

a) Las ondas estacionarias se producen como el resultado de la interferencia de dos ondas viajeras de las mismas características (frecuencia y amplitud) que viajan por el mismo medio en la misma dirección y sentido

estacionaria, pero que no puede considerarse una onda en el sentido estricto ya que la energía no fluye a lo largo del medio, en nuestro caso, la cuerda. A cada punto de la cuerda le corresponde una amplitud que puede ser hasta el doble de las ondas generatrices

(vientre) o no vibrar nada en absoluto (nodo). La amplitud resultante para cada punto del medio depende solo de su posición, siendo la distancia entre nodos, media longitud de onda.

Al estar fija por los dos extremos, se producirá propagación y reflexión de que se origine en ella. Por tanto, simplemente habría que pulsar

cualquier perturbación c

b) Si la cuerda tiene ambos extremos fijos, significa que en cada extremo hay un nodo. Las tres primeras posibilidades para una cuerda con extremos fijos de longitud L:

• El primer caso, para λ = 2L, se obtiene el primer armónico

• En el segundo caso, segundo armónico: λ = L

• En el ter

or tanto, la ecuación general: n

=

λ 2L, siendo n =1,2,3…Dependie

s e su densidad lineal y la tensión que se imprima a

la misma), ésta podrá emitir unos sonidos propios para cada caso que se conocen como armónicos.

ndo de la velocidad con que e propague la onda por la cuerda, (depende d

5.- (Junio 2009) Una antena emite una onda de radio de 6·107 Hz.

a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma longitud de onda y determine la frecuencia de esta última.

b) La onda de radio penetra en un medio y su velocidad se reduce a 0’75 c. Determine su ecuencia

fr y su longitud de onda en ese medio.

s transversales, por lo que la dirección de

Datos: c = 3 · 108 ms-1, vs = 340 ms-1.

a) Las ondas de radio son ondas electromagnéticas, se propagan por medios materiales y también por el vacío, es decir, no precisan de un medio material para su propagación. Las ondas sonoras, en cambio, son ondas mecánicas y sí necesitan de un medio para su propagación.

son toda Además las ondas electromagnéticas

propagación de la onda es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas del medio. En cambio, las ondas sonoras son ondas longitudinales, por lo que la dirección de propagación del movimiento ondulatorio coincide con la dirección de vibración de las partículas.

La longitud de onda de la onda electromagnética se puede obtener con: f υ λ = = f = c 7 10 6⋅ = 5 m

Se utiliza la misma fórmula para determinar la frecuencia del sonido:

8 10 3⋅ λ υ = f = 5 340 = 68 Hz

b) La frecuencia de la onda, f, permanece constante = 6·107 Hz (ya que solo depende de la ecuencia de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como

fr υ =λ⋅f , si la

velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda. f υ λ = = ₇ 8 10 3 75 ' 0 ⋅ ⋅ 10 6⋅ = 375 m

de propagación la luz incidente, reflejada y refractada? Razone las respuestas.

a) Ver teoría.

mo medio, por tanto ni

stintos medios con índices de fracción distintos. Por tanto la velocidad de propagación variará de acuerdo con la ecuación:

6.- (2010) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad

b) En lareflexión, la onda incidente y la reflejada se propagan por el mis la frecuencia, ni la velocidad de propagación ni la longitud de onda variarán.

ón la onda incidente y la refractada viajan en di En la refracci re n c = υ

Donde c es la velocidad de la luz y n el índice de refracción del medio en que se propaga la onda. La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ =λ⋅f , si la velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda. Además, l variar el índice de refracción, se producirá un cambio de dirección en la onda refracta de acuerdo con la ley de Snell:

a

nincidente · seniˆ = nrefractado · senrˆ

Hay que apuntar que, siempre que se da una refracción se produce simultáneamente una reflexión y absorción de energía (disipación) por el nuevo medio. Por tanto, la intensidad de la onda incidente (y por tanto la amplitud) se repartirá entre los tres procesos, por lo que la amplitud de la onda refractada siempre será inferior a la de la onda incidente.

.- (Junio 2011) Una onda electromagnética tiene en el vacío una longitud de onda de 5·10-7

ndiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de ropagación. Se podría decir que son dos ondas en

7

m. a) Explique qué es una onda electromagnética y determine la frecuencia y el número de onda de la onda indicada. b) Al entrar la onda en un medio material su velocidad se reduce a a 3c/4. Determine el índice de refracción del medio y la frecuencia y la longitud de onda en ese medio. Datos: c = 3 · 108 ms-1

a) Son ondas que se propagan por medios materiales y también por el vacío, es decir, no precisan de un medio material para su propagación. La energía que propaga es electromagnética, producida por oscilaciones de cargas eléctricas aceleradas. Y consisten en la propagación, sin necesidad de soporte material alguno, de campos eléctricos y magnéticos periódicos, auto-sostenidos. Dichos campos son perpe

p

una. Una de las dos ondas consiste en la propagación de un campo eléctrico variable que genera, por tanto, un campo magnético, también variable, que se propaga perpendicularmente al campo eléctrico. A su vez, el campo magnético variable genera un campo eléctrico variable perpendicular. Las ecuaciones de onda serán:

Er (x,t) = Er₀· sen (ωt - kx) y Br (x,t) = Br₀· sen (ωt - kx) Donde Er₀ y Br₀ son las amplitudes de los campos eléct

Como en el vacío la onda electromagnética tiene una longitud de onda, frecuencia en ricos y eléctricos. λ = 5·10-7 m, su el vacío será: 8 ⋅ λ c f = = ₇ 10 5⋅ 10 3 − = 6·10 14 _Hz úmero de ondas, k

N : es el número de longitudes de onda completas contenidas en una distancia

k = igual a 2π. λ π 2 = ₇ 10 5⋅ 14 ' 3 2 − ⋅ =1'26 · 107 _rad/m

) Al cambiar de medio, la onda se refracta, es decir la velocidad y la dirección de propagación

El índice de refracción b

varían, y esta variación depende del índice de refracción del medio en que se propague la onda. , n, es el cociente entre la y la velocidad de la luz en cualquier otro med .

velocidad de la luz en el vacío, c, io, ν υ n= c = 4 c 3 = c 3= 1'333 4

isor de ondas, que no cambia), pero como

La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante = 6·1014 _{Hz (ya que depende de la}

frecuencia de vibración del foco em υ =λ⋅f , si la

velocidad cambia, también cambiará la longitu de onda. d la

= 3'75 · 10-7 m = 375 nm f υ λ = = ₁₄ 8 10 6 10 3 4 3 ⋅ ⋅ ⋅

8.- (Junio 2012) Una onda en una cuerda viene descrita por: y (x,t) = 0'5 cos x · sen (30 t) (S. I.)

a) Explique qué tipo de movimiento describen los puntos de la cuerda y calcule la máxima

velocidad del punto situado en x = 3'5 m.

b) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de las ondas cuya superposición darían origen a la onda indicad

n la misma dirección pero en sentidos contrarios. Como

ya amplitud no es única, sino que depende del punto del medio (del desfase entre las ondas que

•

ión de la O.E.

depende del punto x y del inst

La ymax

/s)

ymax

erposición de dos ondas

a.

a) La expresión que nos da el problema corresponde a una onda estacionaria, ya que las partes espacial (k·x) y temporal (ω·t) aparecen en dos funciones trigonométricas separadas. En este caso, se trata de una onda estacionaria de extremo libre (punto de amplitud máxima en x = 0). Una onda estacionaria se produce por la superposición (interferencia) de dos ondas viajeras de iguales características (amplitud, periodo, frecuencia, velocidad de propagación…) que se

ropagan por el mismo medio, e p

consecuencia de esta interferencia obtenemos:

• Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple, una vibración cu interfieren). Tendremos así puntos con interferencia constructiva y amplitud máxima (2A) o vientres, puntos con interferencia destructiva y amplitud cero (nodos), y puntos con amplitud intermedia. La expresión para la amplitud en este caso es A (x) = 0'5 cos x (m)

Para x = 0 m, cosx = 1, con lo que la amplitud es máxima = 0'5 m (extremo libre).

• La expresión general sería y (x, t) = 2A cos kx · sen (ωt) (S. I.)

donde A = 0'25 m, k = 1 rad/m y ω = 30 rad/s, son la amplitud, número de onda y frecuencia angular de las ondas superpuestas.

La propagación neta de energía es nula, ya que tenemos dos ondas transmitiendo la misma cantidad de energía por segundo en sentidos puestos. La velocidad de propagac

es, por tanto, cero.

La velocidad de un punto de la cuerda (velocidad de vibración), ante t, y viene dada por la expresión:

v (x,t) = dy(x,t)/dt = 0'5 cos x·30 cos(30t) = 15 · cos x · cos (30t) (m / s )

velocidad es máxima (en valor absoluto) cuando cos (30t) = ±1 , es decir: v = |15 · cos x| (m

Sustituyendo x = 3,5 m (y poniendo la calculadora en radianes) obtenemos v = 14'06 m/s b)Como se ha explicado arriba, la onda estacionaria se origina por la sup

iajeras de iguales características. En este caso, la expresión general sería y (x, t) = 2A cos kx · v

sen (ωt) (S. I.), donde A = 0,25 m, k = 1 rad/m y ω = 30 rad/s, son la amplitud, número de onda y frecuencia angular de las ondas superpuestas.

La velocidad de propagación de las ondas viajeras puede calcularse con la expresión v =

k ω

=

1 = 30 m/s

Solución: Amplitud de las ondas viajeras: A = 0'25 m. Velocidad de propagación de las ondas viajera

30

9.- Junio (2013) Un haz compuesto por luces de colores rojo y azul incide desde el aire

e a d s de un prima de vidrio con un ángulo de incidencia de 40º.

ib l ria de los rayos en el aire y tras penetrar en el prisma y calcule el

ngulo que forman entre si los rayos en el interior del prima si los índice de refracción son respectivamente.

alcule su longitud de onda dentro del risma. Datos: c = 3·10 ms , naire =1

nincidente · sen = nrefractado · sen

sobr un e las cara

a) D uje a trayecto á

nrojo = 1'612 para el rojo y nazul = 1'671 para el azul,

b) Si la frecuencia de la luz roja es de 4'2 · 1014 Hz, c

8 -1

p

a) Como la luz roja y la luz azul tienen distinto índice de refracción, sus respectivos rayos se dispersarán en la superficie de separación. Al tener la luz azul mayor índice de refracción, sus rayos quedarán más cerca de la normal, tal y como se indica en el dibujo:

Aplicando la ley de Snell de la refracción a cada rayo podremos averiguar el ángulo que formará cada uno de ellos con la normal.

iˆ rˆ

Para el rojo: 1 · sen 40º = 1'612 · senrˆ⇒ senrˆ= 612 ' 1 643 ' 0 = 0'399 ⇒rˆ= 23'5º

Para el azul: 1 · sen 40º = 1'671 · senrˆ⇒ senrˆ= 671 ' 1 643 ' 0 _⇒ rˆ = 0'385 = 22'6º

or tanto el ángulo que formarán entre sí los rayos será: 23'5 - 22'6 = 0'9º iajan

fracción distintos. Por tanto la velocidad de propagación variará de acuerdo con la ecuación: P

b) En la refracción la onda incidente y la refractada v en distintos medios con índices de re = 612 ' 1 10 3_⋅ 8 n c = υ = 1'86 · 108 m/s

onde c es la velocidad de la luz y n el índice de refracción del medio en que se propaga la onda. e ibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como

D

La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia d

v υ =λ⋅f , si la velocidad cambia,

también cambiará la longitud de la onda.

f υ λ = = ₁₄ 10 2 ' 4 ⋅ = 4'43 · 10 m = 443 nm 8 10 86 ' 1 ⋅ -7