Análisis Transitorio Circuitos RL, RC

Texto completo

(1)

En esta sección se analizarán circuitos compuestos por elementos tales como bobinas, condensadores y resistencias, durante el momento en el cual se produce una redistribución de la energía, esto, debido al cambio o variación de las fuentes de energía a la cual están siendo sometidos. Dicha variación es producida por la incorporación o eliminación de las fuentes de energía en el circuito, lo que ocurre a través la utilización de interruptores (conmutación de interruptores), los cuales de alguna forma agregan o quitan una o varias ramas al circuitos.

La situación descrita produce cambios en las cantidades de energía almacenada en los elementos que tienen comportamiento capacitivo o inductivo, estableciendo nuevas condiciones iniciales para algunas situaciones y valores permanente para otras. Dicho proceso no es instantáneo.

Por otro lado, estos fenómenos también ocurren cuando las excitaciones varían en el tiempo, tal es el caso de las redes excitadas con señales similares a los escalones o tipo pulso. Un efecto muy ilustrativo consiste en un Flash para máquina fotográfica, el cual requiere de un periodo de tiempo para quedar operativo, sin embargo, el resplandor es producido por una descarga que demora solo unos milisegundos. Internamente existe un condensador el cual almacena energía, que posteriormente es disipada en forma de luz y calor.

Ecuación diferencial de 1º orden

El proceso transitorio teóricamente se produce un lapso infinito de tiempo, pero en la práctica esto depende de los parámetros del circuito.

El análisis comprende dos etapas:

• Determinación de la respuesta transitoria

• Determinación de la respuesta a régimen permanente

Como el circuito está compuesto por bobinas, condensadores y resistencias, el planteamiento de las ecuaciones de circuito permite llegar a una ecuación diferencial de coeficientes

(2)

constantes que puede ser de tipo homogénea (igual a cero) o No Homogénea como las mostradas a continuación

( )

( )

...

( )

( )

0

1 1 1 1

+

+

+

=

+

− −

a

y

t

dt

t

dy

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

n o n n n n n ó

( )

( )

( )

( )

( )

t

x

t

y

a

dt

t

dy

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

n o o n n n n n

+

+

+

+

=

− − 1 1 1 1

...

En la ecuación planteada y(t) representa la respuesta del sistema (Red) y x(t) representa la excitación (o excitaciones).

Los circuitos de primer orden, basados en redes tipo R-C y R-L, son descritos por una ecuación diferencial de primer orden.

Sea la ecuación de primer orden no homogénea

( )

a

y

( ) ( )

t

x

t

dt

t

dy

a

1

+

o

=

La solución de esta ecuación es una función que depende de dos componentes, una llamada transitoria (o natural) y la otra llamada permanente (o forzada).

( )

t

y

( )

t

y

( )

t

y

=

t

+

p

Físicamente la solución transitoria dependerá de las conmutaciones en el circuito, o variaciones que pueda experimentar la función de excitación, y la permanente es función de la fuente de energía aplicada.

En los problemas clásicos de primer orden establecen un tipo de excitación constante, de la forma x(t)=A Luego se tiene

( )

a y

( )

t A dt t dy a1 + o =

En una ecuación diferencial no homogénea, la solución transitoria se obtiene a partir de la ecuación homogénea, despejando la variable correspondiente e integrando directamente la ecuación.

( )

( )

0

1

+

a

y

t

=

dt

t

dy

a

t o t

( )

( )

t

y

a

dt

t

dy

a

t

=

o t 1

( )

( )

a dt a t y t dy t t 1 0 − =

( )

t K a a t yt =− + 1 0 ln

(3)

( )

at K a t o

e

t

y

=

− 1 +

( )

at a t o

e

K

t

y

1 1 −

=

La solución yp(t) permanente será entonces, la solución de la ecuación no homogénea. Para

encontrar dicha solución debemos considerar que la solución permanente es la que se manifiesta una vez terminado el proceso transitorio (este estado el sistema está siendo sometido a un excitación constante o no). Una vez terminando el transiente la solución tenderá a un valor constante, eso quiere decir que las variaciones de la respuesta en el tiempo no existirán, lo que implica que la derivada de dicha respuesta es cero, de acuerdo a esto se tiene

( )

( )

A

t

y

a

dt

t

dy

a

o p p

=

+

1

( )

t

A

y

a

o p

=

+

0

Despejando

( )

o p

a

A

t

y

=

Finalmente la solución de la ecuación diferencial

( )

( )

( )

0 1 1 0 a A e K t y t y t y at a p t + = + = −

El valor de la constante K1 se determina utilizando una condición inicial llamada y(t)|t=t

o

=y(t0). Conociendo dicha condición es posible despejar la constante K1, es decir

( )

0 1 0 1 0 a A e K t y at a o = + −

( )

0 1 0 1 0 t a a o K e a A t y − = −

( )

0 1 0 0 1 t a a o e a A t y K − − = Note que si to=0

( )

( )

0 0 1 1 0 0 a A y a A y K = − − =

( )

( )

0 0 0 1 0 a A e a A y t y a t a +     = −

(4)

Si las condiciones iniciales no son dadas en forma explícita, éstas deben ser determinadas del circuito. Estas condiciones sólo se manifiestan en los elementos que almacenan energía, ya sea el condensador o la bobina.

Si la condición inicial es cero, entonces la solución

( )

0 0 1 0 a A e a A t y at a + − = −

Esta es una función que parte de cero y varía exponencialmente hasta llegar al valor A/a0 para un t infinito.

Un elemento importante de esta respuesta es el valor que acompaña a t, el cual determina

que tan rápido la función llega al valor final. Se define entonces el parámetro τ como

0 1 a a = τ

Este parámetro recibe el nombre de constante de tiempo y equivale aproximadamente al tiempo en el cual la respuesta llega 63% del valor final. Al trabajar con valores numéricos, se considera τ como el inverso del factor que acompaña a t.

( )

τ t e a A a A t y = − − 0 0 y(t) τ t 0,63 A a1 A a1

Figura 1.Respuesta y(t)

Otro aspecto interesante es que esta ecuación diferencial representa un sistema lineal (red lineal), esto quiere decir que es posible trabajar con múltiples excitaciones, obtener la respuestas individuales y luego sumarlas.

Circuito Básico R-C y R-L sin excitación

Considere la siguiente red R-C , la cual no tiene excitación, pero si un condensador con una carga inicial, la cual puede ser representada por un voltaje inicial VO.

(5)

R v =V c C + _ o t=0 S R v =V c C + _ o iR ic + _ v R

Figura 2.Circuito RC sin excitación en la entrada.

Aplicando la LCK para t0+ , se tiene

C R i i = dt dv C R vR = C Pero C R v v = − dt dv C R vC = C − 0 = + R v dt dv C C C

Note que es una ecuación de primer orden homogénea

RC dt v dv C C =− Integrando 1 ln K RC t vC =− +

( )

      + = RCt K1 C t e v

( )

RC t C t Ke v = −

Para encontrar la solución particular se debe considerar la condición inicial. Luego tomando en cuenta que el interruptor se cierra en t=0, y que el voltaje en el condensador en ese instante es igual a VO, se tiene

( )

0 =V =Ke− 0 =K⋅1 v RC O C O V K=

La solución entonces será

( )

RC t O C t V e v = − Para todo t>0+.

Observe que a medida que avanza el tiempo, la exponencial va disminuyendo, luego cuando t→ ∞, dicha componente se hace cero. Gráficamente se tiene

(6)

v (t)

τ t

Vo c

Figura 3.Respuesta del condensador.

Esta curva se conoce como descarga del condensador, y la energía almacenada inicialmente en el condensador se va disipando sobre la resistor R. Esta solución se conoce como la respuesta natural del sistema.

Para esta situación se tiene que

RC

=

τ

y tiene unidades de tiempo, pues, [Faradio]. [Ohm]=[Segundo]

El ejemplo puede repetirse considerando un circuito R-L básico sin excitación. Tome en cuenta además, que la bobina tiene una corriente inicial iL(0)=IO

R i (0) =IL L o t=0 S R i (0)=IL L + _ o iR iL + _ v R v L

Figura 3.Circuito RL sin excitación en la entrada.

Aplicando la LVK para t0+ , se tiene 0 = + L R v v 0 = + dt di L R i L R Pero iR=iL 0 = + i R dt di L L L dt L R i di L L = 1 ln t K L R iL=− +

( )

t L R L t Ke i = − Como iL(0)=IO

( )

0 =I =Ke− 0=K⋅1 i L R O L O I K=

(7)

( )

t L R o L t I e i = −

Observe que la curva de la corriente tiene la misma expresión que el voltaje en el condensador. En este caso la constante de tiempo está dada por

R L

=

τ

El cociente L/R tiene unidades de segundo.

Red R-L Serie con excitación

Consideremos el siguiente ejemplo

R

e(t)+ L i (t)L

t=0 S

Figura 4Circuito RL con excitación en la entrada.

Este circuito contiene un interruptor S (Switch), el cual se ha de cerrar en t=0. Antes la red

R-L no esta sometida a ningún tipo de excitación.

Cuando el interruptor se cierra, la red RL queda alimentada por e(t)

R

e(t)+ L i (t)L

i (t)R

Figura 5.Circuito R-L con interruptor cerrado.

Planteando las ecuaciones de voltaje para t0+ , se tiene:

dt

di

L

R

i

t

e

L R

+

=

)

(

La ecuación planteada corresponde a una Ecuación Diferencial de 1ºorden NO Homogénea, cuya incógnita es la corriente iL(t)=iR(t). La solución de la ecuación diferencial esta formada por dos

componentes, un componente transitorio y un componente permanente. El primero depende exclusivamente de las condiciones iniciales del sistema y el segundo es dependiente básicamente de la excitación (también se le llama respuesta forzada)

De esta forma tenemos que

( ) ( ) ( )

t

i

t

i

t

i

L

=

i

+

p

(8)

Consideremos que e(t)=v1 constante. 1

v

R

i

dt

di

L

L

+

L

=

Para encontrar la solución de esta ecuación, se determina la solución de la ecuación homogénea integrando directamente (esto nos entrega la respuesta transitoria).

0 = + i R dt di L Lt Lt R i dt di L Lt =− Lt dt L R i di Lt Lt =K t L R iLt =− + ln

( )

     −      −       + = = = Lt R K t L R K t L R Lt t e e e K e i 1

Tomando la ecuación no homogénea encontramos la solución permanente 1 v R i dt di L Lp Lp + = 1

0

+

i

p

R

=

v

Despejando R v iLp= 1

La solución completa de la ecuación diferencial es

( )

( )

( )

R v e K t i t i t i Lt R Lp Lt L = + = 1 + 1      −

Para encontrar el valor de K1 se debe conocer la condición inicial del problema. Como el circuito está abierto, la bobina no ha sido sometida a ninguna excitación antes de cerrar el interruptor, luego en t=0-, iL(0-)=iL(0)=0, no tiene energía almacenada.

Evaluando la solución en esta condición

( )

R v e K i L R L 1 0 1 0 0 = = − ⋅+

( )

R

v

K

i

L 1 1

1

0

0

=

=

+

R

v

K

1 1

=

(9)

( )

R

v

e

R

v

t

i

Lt R L

=

1

+

1      −

Expresada en forma clásica

( )

=

    − t L R L

R

e

v

t

i

1

1

Note que en el instante t=0, la corriente vale 0, pero a medida que se incrementa el tiempo, la componente exponencial decrece, haciendo que la corriente aumente. En t→ ∞ la corriente toma el valor

( )

R

v

t

i

L

=

1

Por otro lado si se considera el aspecto de que la bobina almacena energía al ser sometida a una excitación constante, dicho elemento se comporta como un cable, luego la corriente será, la excitación dividida por la corriente.

El proceso de almacenamiento de energía no es instantáneo, pero tampoco podemos considerarlo extremadamente largo. En la práctica una buena aproximación es considerar que el valor final ocurre para t=5τ , para esta situación particular tenemos que τ=L/R.

Circuito R-C Serie Con Excitación

Sea el siguiente circuito

R v(t)+ C v (t)c + _ t=0 s

Figura 6.Circuito R-C con excitación en la entrada.

Planteando las ecuaciones de nudos para t0+ , se tiene

( )

t

i

( )

t

i

R

=

C

( )

( )

dt t dv C R t vR = C

( )

( )

( )

dt t dv C R t v t vC = C

El resultado es una ecuación de 1ºorden No Homogénea

( )

( ) ( )

R

t

v

R

t

v

dt

t

dv

C

C

+

C

=

(10)

Como v(t)=v1

( )

( )

R

v

R

t

v

dt

t

dv

C

C

+

C

=

1 La solución de la ecuación

( )

t

v

( )

t

v

( )

t

v

C

=

Ct

+

Cp

Para determinar la solución transitoria debemos resolver la ecuación homogénea

( )

( )

0

=

+

RC

t

v

dt

t

dv

Ct Ct

( )

( )

t

RC

dt

v

t

dv

t C t C

=

1

Integrando

( )

t

K

RC

t

v

Ct

=

+

1

ln

( )

RCt K RCt K t C

t

e

e

e

v

1 1 − + −

=

=

( )

t RC t C

t

K

e

v

1 1 −

=

La solución permanente se determina a través de la ecuación no homogénea haciendo la derivada igual a cero.

( )

( )

R

v

R

t

v

dt

t

dv

C

Cp

+

Cp

=

1

( )

R

v

R

t

v

C

Cp 1

0

+

=

( )

1 1

v

R

Rv

t

v

Cp

=

=

Luego la solución

( )

t

v

( )

t

v

( )

t

v

C

=

Ct

+

Cp

( )

1 1 1

e

v

K

t

v

RCt C

=

+

Considerando que antes de cerrar el interruptor el condensador está descargado, luego, esto implica que vC(0-)= vC(0)=0. Se puede determinar el valor de K1, evaluando la función en t=0.

( )

1 0 1 1

0

0

K

e

v

v

RC C

=

=

+

0

1

1 1

+

v

=

K

1 1

v

K

=

Finalmente

(11)

( )

1 1 1

e

v

v

t

v

RCt C

=

+

( )

=



RCt



C

t

v

e

v

1 1

1

Note que cuando ha pasado mucho tiempo, el voltaje en el condensador vale v1, pues el capacitor está cargado y se comporta como un circuito abierto.

Análisis de circuitos con excitación tipo pulso

Se ha considerado en los ejemplos anteriores que los interruptores tienen un tiempo de cerrado igual a cero, es decir, la excitación que es una señal constante, es aplicada al circuito en forma instantánea. De hecho es posible modelar este proceso mediante una función escalón asociada a la excitación. Por otro lado, someter una red R-C o R-L a una excitación, la cual puede estar conectada o no conectada, puede ser equivalente a excitar el circuito mediante un pulso, ya sea de corriente o de voltaje .

v (t) t Va s t1 Va+ t=0 t=t1 (a) (b)

Figura 7.(a) Excitación tipo pulso. (b) Implementación.

Sea el siguiente circuito

R v (t)+ C v (t)c + _ s + v R _ iR iC

Figura 8.Circuito R-C con excitación tipo pulso.

Planteando la LCK para t0+ , en el nodo que une la resistencia y el condensador

( )

t

i

( )

t

i

R

=

C dt dv C R v vSC = C

(12)

R v R v dt dv C C + C = S

Note que la excitación vS corresponde a la indicada en la Fig. 7a, luego esta ecuación

diferencial puede ser resuelta por tramos. Considerando que 0<t<t1 R V R v dt dv C C + C = a

( )

1 1 0 1 e para t t V t v RCt a C  < <      = −

Considerando ahora para t>t1 0 = + R v dt dv C C C

( )

1 1 t t Ke t v RCt C = > − para ó

( )

t Ke ( ) u(t-t ) v RCt t C 1 1 1 − − =

Observe que en la última ecuación existe un desplazamiento temporal, pues la segunda exponencial empieza en t=t1.

Para determinar K, se deben evaluar ambas curvas en t=t1 , es decir

( )

(

1 1

)

1 1 t RC a C t V e v = − −

Para el segundo tramo se tiene

( )

1 = 1 1= ⋅1     − − K Ke t v RC t t C

Igualando ambas expresiones

(

1 1RCt1

)

a e

V

K= − −

La solución particular finalmente queda

(

)

(

1

)

1 1 1 1 ) (t V e e ut t v RC t t t RC a C = − −       − − −

Es importante mencionar que si el tiempo durante el cual le excitación permanece en el valor Va es pequeño, es decir, menor a 5 veces la constante de tiempo, el voltaje en el capacitor no llegará al valor máximo.

(13)

v (t) t Va s t1 t >1 5RC v (t) t Va s t1 t <1 5RC

Figura 9.Respuesta a una excitación tipo pulso.

Tarea 1

Considere el circuito R-C con la excitación indicada en la figura. Determine el voltaje en el condensador. v (t) t Va s t1 t2

Tarea 2

Considere un circuito R-L serie con excitación indicada y la condición inicial, iL(0)=IO

i (t) t Ia s t1 t2 Ia 2

Figure

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