1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA” AREA DE TECNOLOGÍA.
COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO” DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA II
PROF. CARMEN ADRIANA CONCEPCIÓN
GUÍA DE ESTUDIO DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Debido a que la fuerza electrostática dada por la Ley de Coulomb es conservativa, los fenómenos electrostáticos pueden describirse convenientemente en términos de una energía potencial eléctrica. Esto permite una cantidad escalar conocida como potencial eléctrico, el cual brinda una manera más sencilla para describir los fenómenos electrostáticos que se presentan en el campo eléctrico (Serway,
2005).
Recordemos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iníciales y finales de una función que solo depende de una coordenada. A dicha función se le conoce como POTENCIAL. Además el trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida para determinarlo y es igual a cero para una trayectoria cerrada
El concepto de Potencial Eléctrico tiene un gran valor práctico, el voltaje medido entre dos puntos de un circuito eléctrico es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
Considere una carga prueba q0 que se coloca en un campo eléctrico y experimenta una fuerza eléctrica
(q0.E) la cual es el vector resultante de las fuerzas individuales ejercidas sobre q0 por las cargas que
producen el campo eléctrico. Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generado por el campo eléctrico, se debe ejercer una fuerza igual en magnitud y de sentido opuesto a la ejercida por el campo eléctrico; esto requiere un gasto de energía puesto que se debe efectuar trabajo
Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza FAext
E de dirección la tiene F La E. campo del dirección la a contraria F La q E F F F opuestos y sentidos magnitud en iguales son eléctrica) (fueza F y externo) agente del (fuerza F Estas E EXT A AEXT E AEXT E EXT A 0 ⋅ − = − =
2
El trabajo que debe realizarse para mover una carga de prueba a velocidad constante desde un punto A hasta un punto B dentro de un campo eléctrico es igual a la variación de la energía potencial
Cuando una carga q0 se mueve en un campo eléctrico el trabajo realizado por el campo sobre la carga
es igual al negativo del trabajo realizado por un agente externo que produce el desplazamiento; por lo tanto para un desplazamiento infinitesimal el trabajo es:
Por definición, el trabajo efectuado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio en la energía potencial dU, donde U es la energía potencial. Por lo tanto la energía potencial eléctrica será: ; para un desplazamiento finito del punto a al punto b la energía potencial eléctrica es:
En forma general
En resumen la energía potencial eléctrica es el trabajo necesario para mover una carga desde un punto a otro dentro de un campo eléctrico. Como la fuerza eléctrica es conservativa, esta integral de línea no depende de la trayectoria seguida de un punto a otro.
La cantidad de energía por unidad de carga recibe el nombre de Potencial Eléctrico, es independiente de q0 y tiene un valor único para cada punto en un campo eléctrico. Como la energía potencial es una
magnitud escalar, el potencial también lo es.
DIFERENCIA DE POTENCIAL
La diferencia de potencial
∆
V =VB -VA entre los puntos A y B, se define como el cambio de energía potencial dividida entre la carga q0.La diferencia de potencial se genera al trasladar una carga constante desde un punto a otro a velocidad constante dentro de un campo eléctrico y viene dada por:
− ⋅ = ∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = = − = ∆ =
∫
∫
b a AB ra rb AB b a AB b a EXT AB A B AB r r q q U W r q q W dr r q q W dr F W U U U W 1 1 4 1 4 4 1 0 0 0 0 2 0 0πε
πε
πε
l d E q l d F dW r r r r . . = 0 = l d E q dU r r . 0 − = l d E q U U U W b a a b ab r r . 0∫
− = − = ∆ = 0 q U V =θ
Cos l d E q U W b a ab r r . 0∫
− = ∆ = L d . E dV L d E q q dV L E q q V q dW q dU dV q W q U V 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r = ⋅ − = ⋅ − = = = = =∆
∆
∆
∆
∆
∫
∫
∫
=− − = − =− b a b a a b a b Vb Va L d . E V V V L d . E dV r r r r3 En forma general:
La diferencia de potencial eléctrico es proporcional al cambio de energía potencial electrostática V q U q U V = ∆ ⇒ ∆ = ⋅∆ ∆ 0 0
UNIDADES DE DIFERENCIA DE POTENCIAL
Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga; la unidad del potencial en el S.I es el Joule sobre Coulomb; definido como una unidad llamada Voltio.
En la física atómica nuclear, encontramos frecuentemente partículas elementales, tales como electrones y protones, con cargas de magnitud e que se mueven a través de diferencias de potencial de varios miles de millones de voltios. Como la energía tiene dimensiones de carga eléctrica multiplicada por potencial eléctrico, una unidad conveniente de energía es el producto de la carga electrónica e por el voltio. Esta unidad se denomina electrón-voltio (eV), que es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV), megaelectronvoltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=103 eV, 1 MeV = 106 eV, y 1 GeV = 109 eV).
OBSERVACIONES IMPORTANTES:
• Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.
• La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria; es decir; el trabajo realizado para mover una carga de un punto a otro en un campo eléctrico es el mismo por cualquier camino que se tome. Si se tiene un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje y negativo; la diferencia de potencial entre los puntos “a” y “b” separados una distancia “d” es:
Como E y dL son paralelos
El signo negativo resulta del hecho de que el punto b esta a menor potencial que el punto a, es decir; Vb<Va. Tomando en cuenta que el cambio de energía para una carga q0 esta dado por
d . E q V q U = 0 ⋅
∆
=− 0∆
; puede notarse que si q0 es positiva ∆U es negativa; es decir; si qo se C 1 Joul 1 V 1 .) I . S ( Voltios Coul Joule que tiene se q dW dV 0 = = = Campo del Unidades C Nw m Voltio m 1 C m Nw V 1 C Joul m Voltio : o Demostrand m Voltio E L d dV E L d . E dV : parte otra Por .) I . S ( Voltio m C Nw L d . E dV : También = ⋅ ⋅ = ⋅ = = = → = = ⋅ → = r r r r r r∫
∫
=− ⋅ − = − b a b a ab E.ds E Cos .ds DiferenciadePotencial
V r r r r
θ
∫
− = − b a a b EdL V r r∫
− = − b a a b E.cos0.dL V r r∫
=− − = − b a a b E.dL E.d V E r a b d4
suelta desde el reposo en el campo eléctrico experimenta una fuerza (q0.E) en dirección del campo. Por consiguiente gana energía cinética. En resumen Si q0 es positiva se acelera en la dirección del campo eléctrico, su energía cinética aumenta, y se mueve hacia una región de menor energía potencial, por lo que ∆U es negativa.
Si q0 es negativa ésta se acelera en dirección contraria al campo eléctrico, la partícula pierde energía cinética y se mueve hacia una región de mayor energía potencial, por tanto ∆U es positiva.
• El trabajo será positivo si el potencial eléctrico final es mayor al inicial, el trabajo será negativo si el potencial eléctrico final es menor al inicial y será nulo cuando la partícula se mueva entre dos puntos que tengan el mismo potencial.
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Este nombre se da a cualquier superficie compuesta de una distribución continua de puntos que tiene el mismo potencial eléctrico. Por lo tanto no se realiza trabajo para desplazar una carga de un punto a otro dentro de una superficie equipotencial ya que por definición no existe diferencia de potencial. Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme se componen de una familia de planos que en su totalidad son perpendiculares al campo. Para una carga puntual aislada se componen de una familia de superficies esféricas o esferas concéntricas a la carga.
Entre las superficies equipotenciales y las líneas de campo eléctrico se forma una especie de malla o red de líneas perpendiculares. Las líneas de campo eléctrico apuntan en la dirección en que el potencial disminuye.
Campo eléctrico de una lamina
Infinitamente cargada Campo Eléctrico de una carga puntual POTENCIAL ELÉCTRICO PARA UNA CARGA PUNTUAL
Se tiene una carga puntual positiva generando un campo eléctrico. El producto donde θ es el ángulo entre los vectores y ; pero es la proyección de dl sobre r; por lo tanto . Es decir; cualquier desplazamiento dl produce un cambio dr en la magnitud de r.
La diferencia de potencial estaría dada por
Donde el campo eléctrico para una carga puntal por Ley de Coulomb
Las líneas punteadas representan las superficies equipotenciales y las líneas continuas representan las líneas de campo eléctrico.
θ cos dL θ cos ˆdL dL r = r L d r rˆ θ cos dL dr = rˆ r Q 4 1 E r d . E l d . E V V Constante Velocidad con mueve se q 1 º 180 Cos º 180 dr dl E q F 2 0 b a b a a b 0 0 Aext ⋅ = − = − = − − = = − = ⋅ − =
∫
∫
πε θ r r r r r5
Luego
POTENCIAL ELÉCTRICO PARA UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
El Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de superposición:
Los potenciales serán: V>0 si q es positiva q>0 V<0 si q es negativa q<0
EJERCICIO Nº 1:
Para la configuración de cargas de la figura demuestre que V para puntos en el eje está dado por: V= 1 q + 2qa Suponiendo que r>>a
4πεo r r2 r Q K V o r Q 4 1 V V : por dado viene puntual carga una para Eléctrico Potencial El 0 V tanto Por 0 1 r 1 Entonces a si bien Ahora Potencial de Diferencia r 1 r 1 4 Q V r 1 r 1 4 Q r 1 4 Q V r 1 4 1 r dr 4 Q V dr r Q 4 1 V 0 a b a a b 0 a b a b 0 a b 0 a b ra rb 0 rb ra 2 0 a b b a 2 0 a b ⋅ = ⋅ = = = ≈ ∞ = ∞ → − = − = = − − = − = ⋅ − = − − − − −
∫
∫
πε πε πε πε πε πε πε r q 4 1 V V ... ... V V V V V n 1 i i i 0 n 1 i n 3 2 1 i∑
∑
= = ⋅ = + + + + = = πε + = + + = − − + = ≈ − − − + = − + + − + + − = − + + + − + + − − = − + + + − = − ⋅ = ⋅ = + ⋅ − = + + = 2 0 3 2 3 3 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 T 2 2 2 2 2 2 0 T 0 T 0 T 0 3 0 2 0 1 3 2 1 T r aq 2 r q 4 1 V r a r ar 2 r r 4 q V ) a r ( r a ra 2 r 4 q V Luego r a r que Ya ) a r ( r a ra 2 r 4 q V ) a r ( r ra r a r ra r 4 q V ) a r )( a r ( r ) a r ( r ) a r )( a r ( ) a r ( r 4 q V ) a r ( q r q ) a r ( q 4 1 V ) a r ( q 4 1 V r q 4 1 V ) a r ( q 4 1 V V V V Vπε
πε
πε
πε
πε
πε
πε
πε
πε
πε
6
(
0
,
02
V
)
0
,
20
eV
e
V
q
U
=
∆
=
−
=
−
∆
(
27
,
2
V
)
27
,
2
eV
e
qV
U
=
=
−
=
EJERCICIO Nº 2:Un protón de masa 1,67x10-27 C se sitúa en un campo eléctrico uniforme E= (5,0 N/C)i=(5,0 V/m)i y desde el reposo se deja en libertad. ¿Qué velocidad posee después de recorrer 4 cm?
Cuando el protón se mueve siguiendo la línea del campo eléctrico, su potencial disminuye y su energía cinética se incrementa en igual cantidad. La variación del potencial eléctrico para ∆x= 4 cm= 0,04 m
es
La variación de energía potencial del protón viene dada por el producto de su carga por el incremento de potencial:
De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la pérdida de energía potencial es igual a la ganancia de energía cinética. Como el protón parte del reposo, su ganancia en energía cinética es
½mv2, siendo v la velocidad que posee después de recorrer los 4 cm. Tenemos, por tanto,
La conversión de unidades entre electrón-voltio y Julios se obtiene expresando la carga electrónica en culombios:
En el ejemplo la variación de energía potencial del protón después de recorrer 4 cm es
EJERCICIO Nº 3:
a)¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia r= 0,529x10-10 m de un protón? (Esta es la distancia media entre el protón y el electrón en el átomo de hidrógeno?. b)¿Cuál es la energía potencial del electrón y el protón a ésta separación?
a) La carga del protón es q=1,6x10-19 C. entonces:
b) La carga del electrón es -e= -1,6x10-19 C. En electrón-voltios, la energía potencial del electrón y el protón separados a una distancia de 0,529x10-10 m es
En unidades SI, la energía potencial es
(
5
,
0
V
/
mi
)( )
.
dxi
(
5
,
0
V
/
m
)
dx
d
.
E
dV
=
−
l
=
−
=
−
(
5
,
0
V
/
m
)(
0
,
04
m
)
0
,
20
V
V
=
−
=
−
∆
(
1
,
6
10
C
)
(
0
,
20
V
)
3
,
2
10
J
V
q
U
=
∆
=
×
−19−
=
−
×
−20∆
0
U
E
c+
∆
=
∆
∆
E
c=
−
∆
U
=
−
(
−
3
,
2
×
10
−20J
)
J
10
2
,
3
mv
2
1
2=
×
−20( )
(
)
kg
/
J
10
83
,
3
kg
10
67
,
1
J
10
2
,
3
2
v
27 7 20 2=
×
×
×
=
−−s
/
m
10
19
,
6
kg
/
J
10
83
,
3
v
=
×
7=
×
3J
10
6
,
1
V
.
C
10
6
,
1
eV
1
=
×
−19=
×
−19(
)(
)
V
2
,
27
C
/
J
2
,
27
m
10
529
,
0
C
10
6
,
1
C
/
m
.
N
10
99
,
8
r
kq
V
10 19 2 2 9=
=
×
×
×
=
=
− −(
1
,
6
10
C
)
(
27
,
2
V
)
4
,
35
10
J
qV
U
=
=
−
−
×
−19=
−
×
−187
POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS El Potencial Eléctrico debido a Distribuciones Continuas de Carga puede calcularse de dos maneras:
• Si se conoce la distribución continua de carga
• Si la distribución continua de carga es altamente simétrica y se conoce el campo eléctrico evaluado por Ley de Gauss
• SI SE CONOCE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA
Se comienza con el potencial para una carga puntual, luego se considera un elemento de carga dq. El diferencial de potencial dV en algún punto P debido a este elemento de carga dq es:
• SI LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ES ALTAMENTE SIMÉTRICA Y SE CONOCE EL CAMPO ELÉCTRICOEVALADO POR LEY DE GAUSS
Se evalúa el Campo Eléctrico E usando la Ley de Gauss y después se sustituye el valor obtenido en la ecuación:
Se determina ∆V entre dos puntos y se elige un V=0 en algún punto conveniente.
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN CONDUCTOR ESFÉRICO CARGADO
En el interior de la corteza esférica el campo eléctrico es cero por lo tanto no se realiza trabajo al desplazar una carga de prueba de un punto a otro en el interior de la corteza y el potencial es constante. a b 0 a b a b a b 0 0 V q W 0 W 0 Q 0 ρ 0 V L d . E V 0 q 0 E Conductora ficie Super : Resumen En R r ; r Q 4 1 V R r ; R Q 4 1 V − − − − ⋅ = ≠ = = ≠ − = ≠ ≠ ≥ = ≤ =
∫
r rπε
πε
∫
∫
∫
∫
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = ⋅ = r dV . 4 1 V dV . dq 3) r dA . 4 1 V dA . dq 2) r dL . 4 1 V dL . dq 1) : Donde r dq 4 1 V r dq K dV 0 0 0 0 ρ πε ρ σ πε σ λ πε λ πε∫
− = − b a a b E.dL V r r8
EJERCICIO Nº 4:
Un disco circular cargado de radio R tiene una carga por unidad de área σ. Calcular el potencial en un punto sobre el eje X del disco a una distancia a.
EJERCICIO Nº 5:
Existe una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L, como muestra la figura. Demuestre que para puntos externos cerca del punto medio tal que r1 y r2 sean pequeños comparados con la longitud, el potencial eléctrico es:
V12= V1 -- V2= λ Ln(r2/r1) 2πε0
[
]
[
a R a]
2 V a R a 2 V ) R a ( 2 4 V u 2 du u rdr 2 du a r u : variable de cambio por integral la o Resolviend ) r a ( rdr 2 4 V ) r a ( rdr 2 4 1 dV ) r a ( S : Luego rdr 2 dq r q r A a q a q S dq 4 1 dV S q 4 1 V 2 2 0 2 2 2 0 0 R 2 / 1 2 2 0 2 / 1 2 / 1 2 2 R 0 2 / 1 2 2 0 R 0 2 / 1 2 2 0 V 0 2 / 1 2 2 2 2 0 0 − + = − + = + ⋅ = = = + = + = + ⋅ ⋅ = + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⇒ ⋅ =∫
∫
∫
∫
− ε σ ε σ ε σ πε σπ π σ πε π σ π σ π σ σ πε πε 2 / 1 2 2 1 0 1 0 2 1 12 ) Z r ( S : Triángulo Del dZ dQ Z Q Z L L Q S dQ 4 1 dV r dQ 4 1 V V V V + = ⋅ = ⋅ = = = = ⋅ = − =λ
λ
λ
πε
πε
9
EJERCICIO Nº 6:
Una esfera metálica hueca de radio ra está sostenida mediante un pié aislante en el centro de una esfera metálica hueca de radio interior rb. La esfera interior posee una carga +q y la exterior, -q. a) Demuestre que el diferencial de potencial entre las esferas es: Vb-a=Kq 1 -- 1
ra rb
b) Demuestre que le campo eléctrico E en cualquier punto situado entre ellos es E= Vab . 1 (1/ra+1/rb) r2
[
]
∫
∫
∫
∫
⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅ = ⋅ = + = 2 / 1 2 1 2 1 0 1 2 / 1 2 2 1 2 1 0 1 2 / 1 2 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 1 L 0 2 / 1 2 2 1 0 1 ) Sec ( r d Sec r 2 V ) Tg 1 ( r d Sec r 2 V ) Tg r r ( d Sec r 2 V d Sec r dZ Tg r Z : rica trigonomét ón sustituci por integral la o Resolviend ) Z r ( dZ 4 2 Vβ
β
β
πε
λ
β
β
β
πε
λ
β
β
β
πε
λ
β
β
β
πε
λ
= = − = − = = = ≈ + >> + + = − + + = + + = = + = + = = = − − −∫
∫
1 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 0 2 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1 2 / 1 2 1 2 0 0 0 1 0 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 r r Ln V r L r L Ln V V V r L Ln r L Ln V r L Ln V : será potencial el r en ubicado punto un Para r L Ln V L r L r 2L Como r L r L Ln V r r Ln r L r L Ln V r Z r Z Ln V r Z Tg r r Z Sec : cambio el o Devolviend Tg Sec Ln V d Sec V Sec d Sec V 2 2 1 2 1 L L Lπε
λ
πε
λ
πε
λ
πε
λ
πε
λ
πε
λ
πε
λ
πε
λ
β
β
β
β
πε
λ
β
β
πε
λ
β
β
β
πε
λ
− ⋅ = − = = = = − = − = − − − −∫
∫
∫
b a a b ra rb rb ra 2 a b 2 rb ra a b a b r 1 r 1 q K V r 1 Kq r dr Kq V r q K E donde , dr . E V : Luego dr dL s conductora es superfici Para L d . E V : tiene Se r r10
OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DEL POTENCIAL ELÉCTRICO (GRADIENTE DE POTENCIAL).
El potencial y el campo eléctrico se relacionan por:
∫
− = − b a a b E.dL V r rPero Vb-Va proviene de:
∫
Vb
Va
dV por lo tanto:
Se escribe: Tenemos que:
Al suponer un desplazamiento paralelo al eje x se tiene:
ó
Es decir: ; ;
Haciendo:
El campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial eléctrico.
BIBLIOGRAFÍA
• SERWAY, R. y JEWETT J. Electricidad y Magnetismo. Sexta Edición. Editorial Thompson, México., 2005.
• SEAR. ZEMANSKY. YOUNG. FREEDMAN. Física: Volumen 2. Novena Edición. Addison Wesley Longman. S.A. México., 1999.
• RESNICK, R. Y HOLLlDAY, D. Física. Tomo 11. Editorial Continental. México., 1986.
2 b a a b 2 b a a b b a a b 2 2 0 r 1 r 1 r 1 V E r 1 Kq E en do Sustituyen r 1 r 1 V Kq r 1 r 1 Kq V r q K E r q 4 1 E que tiene Se ⋅ − = = − = − = = = − − −
