GUÍA PROGRAMÁTICA. Cálculo Diferencial e Integral I

(1)

GUÍA

PROGRAMÁTICA

Cálculo

Diferencial e

Integral I

(2)

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General

Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico

Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña

Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Guía Programática.

Segunda edición 2009. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración:

Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Revisión de Contenidos: María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez Corrección de Estilo: Alejandro Ernesto Rivas Santoyo Supervisión Académica: Nancy Vianey Morales Luna Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición:

Bernardino Huerta Valdez Francisco Peralta Varela Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez

(3)

COMPONENTE:

FORMACIÓN

PROPEDÉUTICA

GRUPO:

FÍSICO-MATEMÁTICO Y

ECONÓMICO-ADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el quinto semestre; tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo Físico-Matemático y del

Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES:

03 CRÉDITOS:

06 DATOS DEL PROFESOR

Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Domicilio: _____________________________________________________

(4)

(5)

RECOMENDACIONES PARA EL PROFESOR

Es importante mencionar que la asignatura sufrió un cambio, por lo que se le recomienda verificar si el profesor impartió total mente con el plan de clase de Matemáticas IV, de no ser así, le recomendamos profundizar con los temas faltantes, realizando ejercicios.

Para impartir el curso, recomendamos la utilización de las herramientas didácticas que le proporciona el plantel, como Laptop, cañón para la graficación de funciones.

Orientar al alumno para que adquiera el interés y habilidades en el análisis de problemas.

Considerar las guías programáticas como un instrumento de apoyo orientador de las actividades a realizar en clase.

INTRODUCCIÓN AL CURSO

La asignatura de Matemáticas IV se introduce al estudio de Cálculo Diferencial e Integral I. Pretende inducir al alumno a un análisis minucioso de los cambios que se llevan a cabo en nuestro alrededor, así como la explicación de éstos fenómenos naturales y sociales. Es importante que se de cuenta el alumno que el desarrollo de una sociedad se debe gracias a los avances de la ciencia, siendo el Cálculo Diferencial e Integral I, una de las herramientas principales para dicho desarrollo. El enfoque metodológico del curso está inmerso en le modelo educativo centrado en el aprendizaje, que privilegia la actividad permanente y sistemática del estudiante para guiar la acción pedagógica con un sentido orientador y de facilitación del aprendizaje.

COMPETENCIAS ACADÉMICAS

Al término del semestre el alumno será competente en:

Utilizar las técnicas del cálculo diferencial para modelar y resolver problemas de aplicación donde se involucren funciones de una variable.

Aplicar el cálculo diferencial en la resolución de problemas en nuestra vida cotidiana.

Analizar el comportamiento de algunas funciones para desarrollar las habilidades que le permitan llegar a la solución de problemas.

Adquirir las bases necesarias para poder cursar sin ningún problema, el cálculo integral.

Reconocer el cálculo como una descripción que nace como necesidad para resolver problemas involucrados con las diferentes áreas del conocimiento que permiten aplicarse a procesos industriales, económicos, sociales y de investigación.

(6)

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

EL ESTUDIANTE:

Resolverá problemas de límites y continuidad que conforman derivadas y diferenciales, a partir de la generación de modelos matemáticos aplicados en una variedad de fenómenos científicos derivados de las ciencias naturales, económico administrativas y sociales, mediante la aplicación y desarrollo de los principios teóricos, reglas e interpretación gráfica, sobre límites, razones de cambio y la derivada, así como el cálculo de valores, colaborando a generar un ambiente de aprendizaje colaborativo, reflexivo y analítico.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

Exposición en el aula por parte del profesor.

Elaboración de ejercicios para cada uno de los diferentes temas. Resolución de ejercicios y problemas prácticos junto con los alumnos. Reportes de tareas.

Demostraciones analíticas y gráficas por equipo.

Utilizar materiales didácticos con que cuente el plantel para la graficación de aquellas funciones en las que se dificulte la elaboración de la gráfica y realizar el análisis respectivo.

PLAN DE CLASE

EXÁMENES

PARCIALES

TEMAS SESIONES

PRIMERO 1.1, 1.2, 14

SEGUNDO _{2.1, 2.2} 18

(7)

Contenido Temático

UNIDAD 1. LÍMITES 1.1. Límites.

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. 1.1.2. Teorema o propiedades de los límites

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales. 1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito.

1.2. Teorema de continuidad de una función 1.2.1. Condiciones de continuidad

UNIDAD 2. LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA 2.1. La derivada

2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada 2.1.2. Razón de cambio promedio e instantánea 2.1.3. La derivada como razón de cambio instantánea 2.2. Reglas de derivación

2.2.1. Reglas de la potencia

2.2.2. Reglas del producto y del cociente de funciones 2.2.3. Regla de la cadena

2.2.4. Derivadas de funciones trigonométricas.

2.2.5.- Derivadas de funciones: exponencial y logarítmicas

UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES 3.1. Aplicaciones de la primera derivada

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada

3.2. Aplicaciones de la derivada

3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos

3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales

(8)

OBJETIVOS DE UNIDAD

El alumno:

Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

TEMAS Y ACTIVIDADES

1.1. Límites. Para el profesor:

Realizará un encuadre que describa el objetivo de la unidad, la forma de trabajo y los criterios de evaluación.

Para el alumno:

Preguntará y aclarará todas las dudas, apreciaciones o aportaciones sobre los estilos de aprendizaje, las actividades a realizar y evidencias a evaluar.

1.1.1 Noción Intuitiva de Límites y Límites Laterales. Para el profesor:

Recuperará el conocimiento previo formal e informal acerca de la noción intuitiva de límite. Mediante lluvia de ideas, anotando en el pizarrón las distintas definiciones para generar conclusiones grupales.

Presentará el comportamiento de una gráfica y promoverá una discusión para llegar a la definición intuitiva de límite de una función.

Explicará los conceptos de límites laterales en un punto y su importancia analítica en la existencia o no de lim f(x) conjuntamente en su representación gráfica x →c.

Solicitará la entrega de un reporte con la solución analítica de límites laterales y la gráfica respectiva.

Para el alumno:

Resolverá ejercicios de límites reales y su representación gráfica, aplicando el concepto formal de límite y de límites laterales en un punto.

1.1.2. Teoremas de los Límites. Para el profesor:

Denotará los teoremas de límites de funciones determinadas.

Dará ejemplos al denotar cada uno de los teoremas de límites de funciones determinadas.

(9)

TEMAS Y ACTIVIDADES

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales. Para el profesor:

Explicará los límites de las funciones polinomiales, racionales, así como las leyes que las determinan.

Para el alumno:

Identificará funciones polinomiales y trigonométricas. Realizará los ejercicios de funciones.

1.1.4. Límites Infinitos y Límites en el Infinito. Para el profesor:

Presentará el comportamiento de algunas funciones mediante tablas y gráficas que lo lleve a incluir el teorema de límite infinito por la derecha y por la izquierda a un tercer teorema.

Explicará funciones donde se aplique el teorema infinito para obtener el signo ya sea positivo o negativo.

Modelará el teorema que se utiliza para resolver funciones en límites en el infinito.

Concientizará al alumno de la importancia de los límites en el infinito en los diferentes problemas de la vida.

Para el alumno:

Dará a conocer sus dudas al profesor.

1.2.1. Condiciones de Continuidad. Para el profesor:

Llegará a la definición de continuidad empleando la gráfica de una función. Presentará la gráfica de una función y determinará cuando es discontinua.

Para el alumno:

Elaborará las gráficas de algunas funciones y determinará si es continua o discontinua en el valor de

x

indicado.

(10)

BIBLIOGRAFÍA

AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de

la Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V.

FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill.

MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría

Analítica.

PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Prentice Hall.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.

SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

Para el logro de los objetivos y competencias planteadas se sugieren los siguientes criterios para evaluar al alumno:

1. Tareas ... 20%

2. Participación en clase ... 10%

3. Exámenes ... 60%

4. Ejercicios de reforzamiento ... 10%

(11)

OBJETIVOS DE UNIDAD

El alumno:

Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

2.1.- LA DERIVADA.

TEMAS Y ACTIVIDADES 2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada

Para el profesor:

Elaborar gráficas para el análisis de la interpretación geométrica de la derivada.

Mostrar la resolución de ejercicios y problemas en el pizarrón con funciones racionales.

Para el alumno:

Analizar la interpretación geométrica de la derivada así como la resolución de problemas de funciones racionales.

Realizar ejercicios.

2.1.2. Razón de cambio promedio e instantánea

Para el profesor:

Exponer situaciones de aplicación de los conceptos de razón de cambio promedio e instantánea.

Para el alumno:

Interpretar el concepto de razón de cambio e indagar en textos de otras disciplinas ejemplos de variabilidad con respecto del tiempo.

2.1.3. La derivada como razón de cambio instantánea

Para el profesor:

Construir grupalmente la definición de derivada a partir del concepto de razón de cambio.

Supervisar la resolución de problemas reales de la derivada y guiar la resolución de problemas.

Para el alumno:

Analizar el concepto de razón de cambio para generar una definición derivada.

Unidad 2.

Las razones de cambio y la

(12)

2.2.1. Reglas de la potencia

Para el profesor:

Guiar la demostración analítica de la regla de las potencias y ejemplificar su uso en el proceso de derivación de funciones polinomiales y racionales.

Coordinar una exposición de soluciones de la derivada por definición y regla de la potencia.

Para el alumno:

Sintetizar la demostración analística de la regla de la potencia y elaborar en un rotafolio la solución de funciones por derivada y luego mediante la regla de la competencia, compara el nivel de laboriosidad y dificultad de la aplicación de ambos métodos.

2.2.2.- Reglas del producto y del cociente.

Para el profesor:

Exponer el uso de las reglas del producto y el cociente en el proceso de derivación de funciones polinomiales y racionales. Presentar ejercicios para derivar funciones a través de las reglas del producto y cociente. Monitorear la realización de los ejercicios y la evaluación formativa en equipo.

Para el alumno:

Identificar las reglas del producto cociente para derivar funciones polinomiales y racionales, realizar trabajo en equipos de cuatro personas para derivar funciones que representen fenómenos reales y que deriven mediante las reglas producto y el cociente. Co-evaluar con ayuda de una lista de cotejo, los resultados obtenidos.

2.2.3.- Regla de la cadena.

Para el profesor:

Mostrar en el pizarrón que una potencia de una función se puede escribir como una función compuesta y que la regla de la potencia es un caso especial de la regla de la cadena para diferenciar funciones compuestas. Monitorear la realización de los ejercicios y la evaluación formativa en equipo.

Para el alumno:

Sintetizar la información referente a la regla de la cadena para potencias. Demostrar analíticamente que si

y

=

f

(u

)

es una función diferenciable de u y u = g(x) es una función diferenciable de x, entonces (f o g)´ (x) =

)

´(

)).

(

´(

´

f

g

x

g

x

y

=

. Resolver al menos tres problemas, en el cuaderno de derivación de funciones compuestas aplicando la regla de la cadena. Al terminar pasar al pizarrón a explicarlos y comparar resultados con los de otros compañeros o compañeras.

(13)

2.2.4.- Derivadas de funciones trigonométricas.

Para el profesor:

Cuestionar mediante una lluvia de ideas cómo se obtiene la derivada de f(x)

= sen x. Solicitar problemas donde se demuestre la derivación de

funciones trigonométricas con sus respectivas gráficas. Monitorear la realización de ejercicios y la evaluación formativa en equipos.

Para el alumno:

Analizar la demostración del profesor. Entrega problemas donde se muestre cómo se determina una derivada trigonométrica, así como su representación gráfica. Co-evaluar con lista de cotejo.

2.2.5.- Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Para el profesor:

Exponer situaciones de aplicación donde intervienen funciones exponenciales o logarítmicas. Supervisar exposición donde se muestren ejemplos de derivadas exponenciales o logarítmicas. Generar conclusiones grupales.

Para el alumno:

Distinguir las diversas situaciones reales donde sean aplicables las funciones exponenciales o logarítmicas. Presentar en diapositivas o material equivalente 3 ejemplos de problemas que incluyan en su solución la derivada de funciones exponenciales o logarítmicas en trabajo de equipo. Y elaborar un formulario que contenga las diferentes reglas de la derivación. Compartir experiencias de aprendizaje y/o conclusiones grupales.

(14)

BIBLIOGRAFÍA

Analítica.

(15)

1. Tareas ... 20%

2. Participación en clase... 10%

4. Ejercicios de reforzamiento ... 10% Total 100%

(16)

OBJETIVOS DE UNIDAD

El alumno:

Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función; mediante la aplicación del criterio de la primera derivada, identificando la existencia de puntos de inflexión, para la solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.

TEMAS Y ACTIVIDADES

3.1. APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA.

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos. Para el profesor:

Realizar un encuadre que describa al objetivo de la unidad, la forma de trabajo y los criterios de evaluación.

Exponer el procedimiento del cálculo de los valores máximo y mínimo relativos en una función, con el criterio de la primera derivada. Resolver ejercicios modelo y guiar discusión grupal.

Para el alumno:

Preguntar y aclarar todas las dudas, apreciaciones o aportaciones sobre los estilos de aprendizaje, las actividades a realizar y evidencias a evaluar. Distinguir las diversas etapas para el cálculo de valores máximos y mínimos en relación con una función empleando la primera derivada. Resolver ejercicios de máximos y mínimos relativos mediante el criterio de la primera derivada y su representación gráfica. Obtener conclusiones grupales.

Unidad 3.

Valores Máximos y Mínimos

(17)

TEMAS Y ACTIVIDADES

3.2. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos.

Para el profesor:

Solicitar información acerca del significado y uso de la primera derivada en la solución de problemas prácticos de máximos y mínimos. Monitorear la realización de los ejercicios y la evaluación formativa en equipo.

Mostrar el comportamiento gráfico de las funciones relacionadas con problemas prácticos ubicando su valor máximo o su valor mínimo. Guiar el planteamiento para resolver problemas de máximos y mínimos, y su comportamiento gráfico. Monitorear la realización de los ejercicios y la evaluación formativa en equipo.

Para el alumno:

Relacionar la primera derivada con la resolución de problemas prácticos que involucran a los máximos y los mínimos. Participar en la solución de ejercicios prácticos de máximos y mínimos, en una competencia en rondas de tres sobre el pizarrón dividido en tres partes iguales. Co-evaluar con lista de cotejo, los resultados obtenidos.

Discutir en grupo el significado práctico del cálculo de máximos y mínimos relativos en problemas reales de las ciencias naturales y sociales. Resolver un cuestionario impreso con al menos cinco ejercicios de aplicación de máximos y mínimos, en equipos de cuatro personas, exponiendo los resultados frente al grupo. Co-evaluar con lista de cotejo, los resultados obtenidos y las habilidades comunicativas y actitudinales. 3.2.2. Aplicaciones a las ciencias naturales, económico – administrativas y Sociales.

Para el profesor:

Exponer el procedimiento para la resolución de problemas de optimización, en problemas de las ciencias naturales y sociales. Solicitar la elaboración de un informe escrito que muestre la solución de ejercicios propuestos. Asesorar en el trabajo propuesto.

Proporcionar problemas de optimización y aproximación donde emplee el cálculo de máximos y mínimos en una función, usando el criterio de la primera derivada realizando su interpretación gráfica. Orientar la resolución de los problemas y llegar a conclusiones grupales.

Para el alumno:

Elegir el procedimiento adecuado para la resolución de problemas de optimización de las ciencias naturales y sociales. Presentar individualmente, en forma de reportes escritos las soluciones a los problemas propuestos mediante los criterios de la primera derivada y en su caso con el auxilio de un esquema, figura, gráfico, etc. Compartir con sus experiencias de aprendizaje.

(18)

BIBLIOGRAFÍA

Analítica.

(19)

1. Tareas ... 20%

2. Participación en clase... 10%

4. Ejercicios de reforzamiento ... 10% Total 100%