Problemas de Estatica resueltos

(1)

Utilizar los teoremas del seno y del coseno, junto con esquemas de los triángulos de fuerzas. Para resolver los problemas siguientes. Determinar el modulo de la resultante R y el ángulo

θ

que forman la recta soporte de la resultante y el eje x en los que sigue:

2.1 Las dos fuerzas representadas en la figura P2-1

c

2

=

a

2

+

b

2

_{−2 ab cos θx}

c=

√

(

120 N )

2

+

(90 N )

2

−2 (120 N ) (90 N ) cos 90 °

R=c=150 N

90 N

sinθr

=

150 N

sin 90 °

, sin

−1

3

5 =36.86 °

c

2

=

a

2

+

b

2

_{−2 ab cos θx}

c=

√

(

60 N )

2

+(54 N )

2

−2 (60 N )(54 N )cos 120 °

R=c=98.77 N

54 N

sinθr

=

98.77 N

sin 120°

, sin

−1

_{.4734=28.25 °}

c

2

=

a

2

+

b

2

_{−2 ab cos θx}

c=

√

(480 N )

2

+

(

400 N )

2

−2( 480 N )( 400 N ) cos 82 °

R=c=580.48 N

400 N

sin θr

=

580.48 N

sin 82 °

,sin

−1

_{.6823=43.02°}

(2)

c

2

=

a

2

+

b

2

_{−2 ab cos θx}

c=

√

(

250 N )

2

+(

200 N )

2

−2 (250 N ) (200 N ) cos 130°

R=c=408.38 N

200 N

sin θr

=

408.38 N

sin 130°

,sin

−1

_{.3751=22.03 °}

tan

−1

(

5

3 )

=59.03 °

c

2

=

a

2

+

b

2

_{−2 ab cos θx}

c=

√

(

90 N )

2

+(

110 N )

2

−2 (90 N ) (110 N ) cos 59.03°

R=c=100.05 N

tan

−1

(

5

2 )

=68.19 ° tan

−1

(

5

12 )=22.61°

c

2

=

a

2

+

b

2

_{−2 ab cos θx}

c=

√

(170 N )

2

+(

210 N )

2

−2 (170 N ) (210 N )cos 45.59 °

R=c=151.77 N

170 N

sin θr

=

151.77 N

sin 45.59 °

, sin

−1

_{.8001=53.13 °}

(3)

2.9 Las tres fuerzas representadas en la figura P2-9

(4)

(5)

2.15 Las cuatro fuerzas representadas en la figura P2-15

(6)

Utilizar los teoremas del seno y del coseno, junto con esquemas de los triángulos de fuerzas, para resolver los problemas siguientes. Determinar las magnitudes de las componentes u y v de

2.17 La fuerza de 1000N representada en la figura P2-17

Escriba aquí la ecuación.

(7)

2.19 La fuerza de 650N representada en la figura P2-19

(8)

Utilizar el método de las componentes rectangulares para resolver los problemas siguientes. Determinar el modulo R de la resultante y el ángulo

θ

x

que forma su recta soporte con el eje x.

∑

Fx=600 N cos60 °+300 N cos 180 °+750 N cos 327 °=629.0029 N

∑

Fy=600 N sin 60°+300 N sin 180 °+750 N sin 327 °=111.1359 N

111.1356 N

¿

2 (629.0029 N )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

111.1359 N

629.0029 N

=10.01 °

tanθ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=

tan

−1

¿

(9)

∑

Fx=5 kN cos32 °+3 kN cos110°+4 kN cos325 °=6.490788 kN

∑

Fy=5 kN sin 32 °+3 kN sin 110°+4 kN sin325 °=3.174368 kN

3.174368 kN

¿

2 (6.490788 kN )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

3.174368 kN

6.490788 kN

=26.06 °

tan θ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=tan

−1

¿

(10)

∑

Fx=25 kN cos 30 °+20 kN cos 60°+10 kN cos 165 °=21.991376 kN

∑

Fy=25 kN sin 30 ° +20 kN sin 60° +10 kN sin 165°

¿

32.408698 kN

¿

2 (21.991376 kN )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

32.408698 kN

21.991376 kN

=55.84 °

tan θ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=

tan

−1

¿

∑

Fx=800 N cos36.86 °+500 N cos 116.57 °+ 750 N cos149.04 °=−226.7075 N

∑

Fy=800 N sin 36.86 °+500 N sin116.57 °+750 N sin149.04 °

¿

1312.9133 N

tan

−1

(

3

4 )

=36.86 °

tan

−1

(

2

1 )

=63.43°

tan

−1

(

3

5 )

=30.96 °

(11)

N

1312.9133

¿

2 (−226.7075 N )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

1312.9133 N

−226.7075 N

=−80.20+180 °=99.8 °

tan θ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=tan

−1

¿

∑

Fx=1000 N cos 26.56 °+2000 N cos 63.43 °+5000 N cos 153.66°=−2691.8361 N

∑

Fy=1000 N sin 26.56° +2000 N sin 63.43 °+ 5000 N sin 153.66 °

¿

4454.3966 N

N

4454.3966

¿

2 (−2691.8361 N )

2

+

¿

F

R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

tan

−1

(

1

2 )

=26.56 °

tan

−1

(

2

1 )

=63.43°

tan

−1

(

1

2 )

=26.56 °

(12)

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

4454.3966 N

−2691.8361 N

=−58.8550 °+180 °=121.145 °

tan θ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=tan

−1

¿

∑

Fx=10 kN cos 22.61 °+8 kN cos 67.38 °+6 kN cos 145°+5 kN cos 180 °=2.393459 kN

∑

Fy=10 kN sin 22.61 ° +8 kN sin 67.38 °+ 6 kN sin 145°+5 kN sin180 °

¿

14.670631kN

N

14.670631 k

¿

2 (2.393459 kN )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

14.670631kN

2.393459 kN

=80.73°

tanθ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=tan

−1

¿

tan

−1

(

5

12 )

=22.61°

tan

−1

(

12

5 )

=67.38°

tan

−1

(

1

1 )

=45 °

(13)

∑

Fx=900 N cos 26.56 °+600 N cos 68.19°+300 N cos 120.97 °+700 N cos 158.2°=223.6210 N

∑

Fy=900 N sin 26.56 °+600 N sin 68.19° +300 N sin120.97 °+700 N sin158.2 °

¿

1476.6624 N

N

1476.6624

¿

2 (223.6210 N )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

1476.6624 N

223.6210 kN

=81.38 °

tan θ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=tan

−1

¿

2.54 Las cinco fuerzas representadas en la figura P2-54

tan

−1

(

1

2 )

=26.56 °

tan

−1

(

5

2 )

=68.19 °

tan

−1

(

5

3 )

=59.03 °

(14)

∑

Fx=300 N cos45 °+150 N cos112 °+ 400 N cos158°+80 N cos 207 °+250 N cos 342°=−48.4488 N

∑

Fy=300 N sin 45 °+150 N sin 112°+400 N sin 158 °+80 N cos 207°+250 N cos 342 °

¿

387.4787 N

¿

2

¿

(−48.4488 N )

2

+

¿

F

_R

=

√

∑

Fx

2

+

∑

Fy

2

=

√

¿

∑

Fy

∑

Fx

=

¿

tan

−1

387.4787 N

−48.4488 N

=−82.87 °+180 °=97.12 °

tanθ

R

=

∑

Fy

∑

Fx

θ

R

=

tan

−1

¿

(15)

Utilizar el método de las componentes rectangulares para resolver los problemas siguientes. Determinar el modulo R de la resultante y los ángulos

θ

_x _,

θ

_y _y

θ

_z _{que forma su recta soporte con los semiejes positivos x,y y z} de coordenadas.

∑

Fx=−(35 cos 26 sen30 )+(50 cos 50 cos 30)+(20 cos 36 sen 33 )

X=20.9170

∑

fz=−35 sen 26+50 sen50−20 sen 36

_z=41.8895

∑

fy=35 cos 26 cos 30−50 cos 50 sen 30+20 cos 36 cos 33

_y=24.7435

FR=52.9574 KN X= 66.73

Y= 62.14 Z= 37.72

(16)

∑

F x=10 kn cos 26 °cos 42 °+24 kN cos50 ° cos60 °−16 kn cos 40 ° sen 35 °=7.3626 kN

∑

Fy=−10 kn cos 26 ° sen 42°−16 kn cos 40 ° cos 35 °+24 kN cos 50 ° sen60 °=−2.6941 kN

Fz=10 kN sin 26 °+

¿

16 kN sin 40 °+24 kN sin 50 °=33.0533 kN

∑

¿

kN

7.3656

¿

2+(−2.6941 kN )

2

+(33.0533 kN )

2

¿

F

R

=

√

¿

θ

_x

=77.48° θ

_y

=94.54 °θ

_z

=13.34 °

(17)

∑

Fx=500 N

(

0 m

2.8284 m

)

+800 N

(

4 m

5.6568 m

)

+700 N

(

2 m

2.8284 m

)

=1060.65 N

∑

Fy=500 N

(

2 m

2.8284 m

)

+800 N

(

4 m

5.6568 m

)

+700 N

(

0 m

2.8284 m

)

=919.23 N

∑

Fx=500 N

(

2 m

2.8284 m

)

+800 N

(

0 m

5.6568 m

)

+700 N

(

2 m

2.8284 m

)

=848.52 N

848.52 N

¿

2

¿

919.23 N

¿

2

+

¿

1060.65 N

¿

2

+

¿

R=

√

¿

F

₁

=

500 N

x=0

y=2 m

z=2 m

F

₂

=8 00 N

x=4 m

y=4 m

z=0

F

₂

=7 00 N

x=2 m

y=0

z=2 m

(18)

θ

_x

=49.65 °θ

_y

=55.90 °θ

_z

=58.8°

∑

Fx=10 k N

(

2 m

5.38 m

)

+

12k N

(

4 m

7.54 m

)

+

15 k N

(

0 m

4.47 m

)

=10.0706 k N

∑

Fy=10 k N

(

5 m

5.38 m

)

+

12 k N

(

5 m

7.54 m

)

+

15 k N

(

2m

4.47 m

)

=6.708 k N

F

₂

=15 k N

x=0

y=2 m

z=4 m

F

₂

=12k N

x=4 m

y=5 m

z=4 m

F

₁

=

10 k N

x=2 m

y=5 m

z=0

(19)

∑

Fx=10 k N

(

0 m

5.38 m

)

+

12k N

(

4 m

7.54 m

)

+

15 k N

(

4 m

4.47 m

)

=19.7736 k N

19.773 k N

¿

2

¿

6.708 k N

¿

2

+

¿

10.0706 k N

¿

2

+

¿

R=

√

¿

θ

_x

=72.02° θ

_y

=42.82° θ

_z

=52.71 °

(20)

2.67 A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en la figura P2-67. Determinar

(21)

a. El módulo, dirección y sentido (ángulos

θ

x _,

θ

y _y

θ

z _{) de la resultante R}

de las dos fuerzas.

b. El módulo de la componente rectangular de la fuerza F1 según la recta soporte de la fuerza F2

c. El ángulo ∝ que forman las fuerzas F1 y F2

2.68 Al bloque de anclaje de la figura P2-68 se aplican tres fuerzas mediante cables. Determinar

F

₂

=120 N

x=120 cos 60 ° cos53.13

y=120 cos 60 ° sin 53.13°

z=120 sin 60°

F x=36 N

F y=−47.99 N

F z=103.92 N

∑

Fx=29.45 N +36 N=65.45 N

∑

Fy=117.80 N −47.99 N=69.81 N

Fz=88.35 N +103.92 N=¿192.27 N

∑

¿

192.27 N

¿

2

¿

69.81 N

¿

2

+

¿

65.45 N

¿

2

+

¿

F

_R

=

√

¿

θ

_x

=72.25°

F

₁

=

150 N

x=1.5 m

y=6 m

z=4.5 m

D=7.64 m

Fx=150 N

(

1.5 m

7.64 m

)

=29.45 N

Fy=150 N

(

6 m

7.64 m

)

=117.80 N

Fz=

(

4.5 m

7.64 m

)

=

88.35 N

(22)

a. El módulo, dirección y sentido (ángulos

θ

x _,

θ

y _y

θ

z _{) de la resultante R}

de las tres fuerzas.

b. El módulo de la componente rectangular de la fuerza F1 según la recta soporte de la fuerza F2

(23)

3.1 Determinar los módulos de las fuerzas F2 y F3 que hagan que este en equilibrio el punto de la figura P3-1

∑

Fx=300 N cos180°+ F₂cos 60 °+ F₃cos 315 °=0

∑

F y =300 N sin 180 °+F

₂

sin 60 °+F

₃

sin 315°=0

−300 N +.5 F

₂

+

.7071 F

₃

=0

.8660 F

₂

−.7071 F

₃

=0

1.366 F

₂

=300 N F

₂

=

300 N

1.366 =219.6193 N F

3

=

300 N−.5(219.6193 N )

.7071

=268.97 N

(24)

∑

Fx=8 kN cos 180 °+5 kN cos 90°+F₃cos 45 °+F₄cos300 °=0

∑

Fy=8 kN sin 180 °+5 kN sin 90 °+F

₃

sin 45 °+F

₄

sin 300°=0

−8 kN +.7071 F

₃

+.5 F

₄

=0

−(5 kN +.7071 F

3

−.8660 F

4

=0)

1.366 F

4

=13 kN F

4

=

13 kN

1.366 =

9.516837 kN F

3

=

8 kN −.5(9.516837 kN )

.7071

=4.584332 kN

(

2 1

)

=¿63.43 ° tan−1 ¿

(

2

1 )

=

¿

63.43 °

tan

−1

¿

(

1 2

)

=¿26.56 ° tan−1 ¿

(25)

∑

Fx=F₁cos 116.57°+ F₂cos243.43°+10 kN cos 26.56°+12 kN cos 315 °=0

∑

Fy=F

₁

sin 116.57°+F

₂

sin 243.43 °+10 kN sin 26.56 °+12 kN sin 315 °=0

−.4472 F

.8943(

¿¿

1−.4472 F

2

+8.9446 kN +8.4852 kN=0)

¿

.4472(.8943 F

1

−.8943 F

2

+

4.4713 kN−8.4852kN =0)

−.3999 F

₁

−.3999 F

₂

+7.9991 kN +7.5883 kN =0

.3999 F

₁

−.3999 F

₂

+1.9995 kN −3.7945 kN =0

−.7998 F

₂

=−13.7924 kN F

₂

=

−13.7924 kN

−.7998

=17.2448 kN

F

₁

=

−15.5874 kN +.3999 (17.2448 kN )

−.3999

=

21.7334 kN

∑

Fx=F1cos 135 °+F2cos 216.86 °+520 N cos 67.38°+ 600 N cos 306.87 °=0

(

1 1

)

=¿45° tan−1 ¿

tan

−1

(

3

4 )

=36.86 °

(

12

5 )

=

¿

67.38 °

tan

−1

¿

(26)

∑

Fy=F₁sin 135 °+ F₂sin 216.86°+520 N sin 67.38 °+ 600 N sin 306.87 °=0

−.7071 F

₁

−.8001 F

₂

+

200 N +360 N =0

.7071 F

₁

−.5998 F

₂

+

479.99 N −479.99 N=0

−1.3999 F

₂

=−560 N F

₂

=

−560 N

−1.3999

=

400 N

F

₁

=

−560 N +.8001(400 N )

−.7071

=

339.35 N

3.5 Determinar el módulo y el ángulo director

θ

de la fuerza F4 que hagan que este equilibrio el punto de la figura P3-5

(27)

∑

Fx=300 N cos 160°+650 N cos 208 °+750 N cos 325°+F₄cos θ=0

∑

Fy=300 N sin160 °+650 N sin 208°+750 N sin 325 °+F

₄

sin θ=0

∑

Fx=−281.90 N −573.91 N + 614.36 N +F₄cos θ=0

∑

Fy=102.60 N−305.15 N−430.18 N +F

₄

sin θ=0

F

₄

cos θ=241.45 N F

₄

sin θ=632.73 N

θ

F₄

=tan

−1

(

∑

Fy

∑

Fx

)=tan

−1

(

632.73 N

241.45 N

)

=69.1° F

4

=

241.45 N

cos 69.1 °

=676.87 N

θ

(28)

∑

Fx=3 kN cos 110 °+7 kN cos206 °+4 kN cos325 °+ F₄cos θ=0

∑

Fy=3 kN sin 110°+7 kN sin 206 °+4 kN sin 325 °+ F

₄

sin θ=0

∑

Fx=−1.0260 kN−6.2915 kN +3.2766 kN +F₄cos θ=0

∑

Fy=2.8190 kN −3.0685 kN −2.2943 N +F

₄

sin θ=0

F

4

cos θ=4.0409 kN F

4

sin θ=2.5438 N

θ

F4

=tan

−1

(

∑

Fy

∑

Fx

)=tan

−1

(

2.5438 kN

4.0409 kN

)

=32.19° F

4

=

4.0409 kN

cos 32.19 °

=4.7748 kN

θ

(29)

∑

Fx=2 kN cos 26 °+ 4 kN cos 73 °+10 kN cos 154 °+F₄cos θ=0

∑

Fy=2 kN sin 26 °+4 kN sin 73°+10 kN sin 154 °+F

₄

sin θ=0

∑

Fx=1.7975 kN +1.1694 kN−8.9879 kN + F₄cos θ=0

∑

Fy=.8767 kN +3.8252kN +4.3837 N +F

₄

sin θ=0

F

₄

cos θ=6.021 kN F

₄

sin θ=−9.0856 k N

θ

F₄

=tan

−1

(

∑

Fy

∑

Fx

)=tan

−1

(

2.5438 kN

4.0409 kN

)

=32.19° F

4

=

4.0409 kN

cos 32.19 °

=4.7748 kN

θ

∑

Fx=500 N cos 117°+750 N cos 150°+1000 N cos 240 °+F

₄

cos θ=0

(30)

∑

Fx=−226.99 N −649.51 N −500 N + F₄cos θ=0

∑

Fy=445.50 N +375 N −866.02 N +F

₄

sin θ=0

3.9 Una esfera homogénea que pesa 50N se apoya sobre dos planos lisos que forman una V según se indica en la figura P5-9. Determinar las fuerzas que dichos planos ejercen sobre la esfera en los puntos de contacto Ay B.

∑

Fx= A cos 45°+B cos 120 °+50 N cos 270°=0

∑

Fy= A sin 45 °+B sin120 °+50 N sin 270°=0

.7071 A−.5 B=0−1.366 B=−50 N B=

−50 N

−1.366

=36.6 N

−

(

.7071 A +.866 B

)

=50 N A=.5

(

36.6 N

)

(31)

3.10 Un bloque de masa de 10 kg está en equilibrio sobre una superficie horizontal lisa por la acción de dos cables flexibles, en la forma que se indica en la figura P3-10. Determinar la fuerza que la superficie horizontal ejerce sobre el bloque y el ángulo

θ

que forma el cable inclinado con la horizontal

W=mg

W=(10 kg)

(

9.81 m

(32)

∑

Fx=300 N cos 180°+500 N cos θ+98.1 N cos 270 °=0 θ=cos

−1

(

300

500 )

=53.13 °

∑

Fy=300 N sin180 °+500 N sin 53.13°+98.1 N sin 270°+ F_Nsin 90 °=0

3.11 Se utilizan dos cables flexibles A y B para sostener un semáforo que pesa 1100N en la forma que se indica en la figura P3-11. Determinar la tensión de cada cable.

(33)

T

_A

+

T

_B

=1100 N

∑

T

_x

=

T

_A

cos 160 °+T

_B

cos 25 °+1100 N cos 270 °=0 .3420(−.9396 T

_A

+

.9063T

_B

=0)

∑

T_x=T_Asin 160 °+T_Bsin 25 °+ 1100 N sin270 °=0.9396 (.3420 F_A+.4226 T_B=1100 N )

−.3213 T

_A

+

.3099 T

_B

=0 .7069 T

_B

=1033.56 N T

_B

=

1033.56 N

.7069

=1462.10 N

.3213T

_A

+.3970 T

_B

=1033.56 N T

_A

=

1100 N −.4226(1462.10 N)

.3420

=1409.69 N

3.12 Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados dentro de una caja tal como se indica en la figura P3-12. Cada cilindro tiene un diámetro de

250mm y una masa de 245kg. Determinar: a. La fuerza que el cilindro B ejerce sobre el A

b. Las fuerzas que sobre el cilindro B ejercen, en D y E, las superficies vertical y horizontal.

(34)

∑

FA_x=B cos 40 °+C cos 140 °+2403.45 cos 270 °=0

∑

FA

_y

=

B sin 40°+C sin140 °+2403.45 sin 270 °=0

.6427 (.766 B−.766 C=0) .9846 B=1841.0427 N B=

(

1841.0427 N

.9846

)

=1869.8382 N

.766 (.6427 B+.6427 C=2403.45 N ) C=

−.766(1869.8382 N)

−.766

=1869.8382 N

∑

FB_x=1869.8382 N cos 40°+D cos 180 °+E cos 270 °=0

∑

FB

_y

=1869.8382 N sin 40 °+ Dsin 180 °+E sin 270°=0

−D=−1432.3791 N D=1432.3791 N

−

E=−1201.9088 N E=1201.9088 N

3.16 Un cuerpo de masa 250 kg pende del sistema de cables flexibles

representado en la figura P3-16. Determinar las tensiones de los cables A, B, C y D

W=(245 kg)

(

9.81 m

(35)

∑

Fx=D cos 180 °+ C cos60 °+2452.5 N cos 270°=0

∑

F=D sin 180°+C sin 60°+2452.5 N sin 270°=0

−.866 (−D+.5 C=0) .866 D=1226.25 N D=

1226.25 N

.866

=1415.99

.5 (.866C=2452.5 N ) C=

2425.5 N

.866

=2831.98 N

∑

Fx= A cos 140 °+B cos 30°+2831.98 N cos 240 °=0

∑

Fy= A sin 140 °+B sin 30 °+2831.98 N sin 240 °=0

.6427 (−.766 A+.866 B=1415.99 N ) .9395 B=2788.71 N B=

2788.71 N

.9395

=

2968.29 N

.766 (.6427 A +.5 B=2452.56 N ) A=

2452.56−.5(2968.29 N )

.6427

=1507.79 N

W=(250 kg)

(

9.81 m

s

2

)

=2452.5 N