Los Teoremas de Cauchy

Los Teoremas de Cauchy

1.- Teorema Local de Cauchy

1.1. Funciones definidas por integrales

Consideremos dos funciones complejas λµ, definidas en el mismo conjunto Z del plano

complejo:

λ:Z∋ →w λ( )w ∈C ,

µ:Z∋ →w µ( )w ∈C .

Sea también un camino rectificable γ:

[ ]

a b, → Z. Si suponemos que las funciones λµ, son

continuas en el recorrido γ* de este camino, entonces la función:

F z w w w z z w ( , ) ( ) ( ) ( ) * * = − ∈ − ∈ µ λ C λ γ γ resulta continua. Z λ γ* λ γ( *) w γ z µ

Para cada z∈ −C λ γ( *), la restricción de F dada por:

F w w w z w z( ) ( ) ( ) * = − ∈ µ λ γ

es continua y, en consecuencia, podemos definir:

f z F w dw w w zdw z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * = = − ∈ −

∫

∫

γ γ µ λ C λγ .

Esta función está construida por medio de integrales y demostraremos que es analítica en todos los puntos de su dominio.

El conjunto λγ

( )

* es compacto en virtud de la continuidad del camino γ y de la función

compleja λ. Por ello, se tratará de un conjunto cerrado y acotado y el dominio de la función f z( )

es el abierto A= −C λ γ( *). Tomando α ∈A , su distancia al compacto λ γ( *) es un número

positivo d , pues si fuera dist

(

λ γ α =

( )

*,

)

0 , hallaríamos que en todo entorno de α hay puntos de

( )

λγ*

y α sería adherente a λγ

( )

* , por lo que α λγ∈

( )

* 1 en contra de lo supuesto.

Tomando un valor real r que verifique 0< ≤r d , hallaremos que el disco abierto B

( )

α;r se

halla contenido en el abierto A . Para todo z∈ αB

( )

;r y para todo w∈ γ* se cumplirá:

z w z w r w r d − − = − − < − ≤ ≤ α λ α α λ α λ α ( ) ( ) ( ) 1 λ( )w z w α

Esta acotación permite asegurar que dados w∈ γ* y z∈ αB

( )

;r , la serie geométrica:

1 0 λ α α λ α ( )w ( ) z w n n − − −     = ∞

∑

converge, ya que su razón es precisamente z

w −

− α λ( ) α .

Si tomamos z∈ αB

( )

;r fijo y variamos w en el conjunto γ*, obtenemos una serie funcional:

1 0 λ α α λ α ( )w ( ) z w n n − − −     = ∞

∑

que converge uniformemente en dicho conjunto ya que:

(

)

(

)

1 1 1 1 λ α α λ α α λ α ( )w ( ) _{( )} z w z w r d d r d n n n n n n − − −    _ = − − ≤ =    + + w∈ γ * .

La suma de esta serie es:

1

g w w z w w z w w w z w w z n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − −    _ = − − − − = −₋ − = − = ∞

∑

1 1 1 1 1 0 λ α α λ α λ α α λ α λ α λ λ α λ

por lo que podemos escribir:

f z w w zdw w z w dw w z w w dw n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − = − − −    _         =

∫

λµ

∫

λ µ

∫

∑

∞₌ λ α α λ α µ γ γ γ 1 1 0

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

= − −         = −₋ = ₋         − + = ∞ + = ∞ + = ∞

∑

∑

_∫

∫

z

∑

∫

w w dw z w w dw w w dw z n n n n n n n n n α λ α µ α λ α µ µ λ α α γ γ ( ) γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 .

Esto prueba que para cada z∈ αB

( )

;r la función f z( ) puede desarrollarse en serie de potencias

centrada en α, por lo que es analítica en cada α ∈A y por ello analítica en el abierto A .

1.2. Cadenas y ciclos. Índices.

Supongamos que γ γ γ₁, ₂, ... _m son caminos en el plano complejo iguales o distintos. Definimos

una cadena como la suma formal: Γ= =

∑

γi i m 1 .

Admitimos que si cada uno de los caminos γ_i está repetido a_iveces la cadena se simboliza por:

Γ= =

∑

ai i i m γ 1 .

En el caso de que todos los caminos de la cadena sean cerrados se dice que tal cadena es un

ciclo. Si todos los caminos de la cadena son rectificables se dice que la cadena es rectificable. El

recorrido de una cadena Γ=

=

∑

ai i i m γ 1 es el conjunto Γ*= * = γi i m 1

U

.

Para dos cadenas Γ_{1 1}

1 = =

∑

γi i m y Γ2 2 1 = =

∑

γj j s

, se define la suma como:

Γ Γ1 2 1 1 2 1 + = + = =

∑

γi

∑

γ i m j j s

y resulta una nueva cadena.

Si tenemos una función compleja f continua en el recorrido de una cadena rectificable

Γ= =

∑

a_{i i} i m γ 1

fdz ai fdz i m i Γ

∫

=

∑

∫

=1 _γ .

A partir de esta igualdad se prueba que si Γ Γ₁, ₂ son dos cadenas rectificables cuyo recorrido se

incluye en el campo de continuidad de f , se tiene: fdz fdz fdz

Γ Γ1+ 2 Γ1 Γ2

∫ ∫ ∫

= + .

Supongamos que Γ es un ciclo rectificable formado por un sólo camino rectificable y cerrado:

Γ= γ . Sean las funciones:

λ: Z∋ →w w∈C ,

µ: Z∋ → ∈w 1 C .

La continuidad de ambas funciones impone que la función definida por medio de la integral

Ind ( ) ( ) ( ) * γ γ γ π µ λ π γ z i w w zdw i w zdw z = − = − ∈ −

∫

∫

1 2 1 2 1 _C

exista y sea analítica en el abierto C− γ*. Esta función se llama índice respecto al ciclo Γ=γ.

En el caso de que tengamos un ciclo rectificable Γ=

=

∑

ai i i m γ 1

, definimos el índice respecto a dicho

ciclo como la función:

Ind ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ind ( ) * Γ Γ Γ z i w w z dw i a w w z dw a i w z dw a z z i i m i i m i i m i i i = − = − = − = ∈ −

∫

∑

∫

∑

∫

∑

= = = 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 π µ λ π µ λ π γ γ γ C

Obsérvese que esta función sólo está definida en el abierto C− Γ* y resulta analítica en él pues

es suma de funciones analíticas.

Volvamos ahora al caso Γ= γ. Probaremos que la función:

Ind ( )_γ * γ π γ z i w z dw z = − ∈ −

∫

1 2 1 _C

sólo toma valores enteros en cada una de las componentes conexas del abierto C− γ* y es nula en la componente no acotada de dicho abierto.

El conjunto γ* es cerrado y acotado. La acotación implica que existe al menos un k> 0 para el

que se da la relación: z∈γ*⇒ z <k. Por ello, es cierta la contrarrecíproca de esta relación:

Sea una función f A: → C continua en un abierto del plano complejo y un camino rectificable

[ ]

γ: a b, → C con recorrido en dicho abierto. Para cada ε >0 siempre podemos hallar un camino

poligonal P a b:

[ ]

, → C que verifique las condiciones siguientes:

i) El recorrido de P está incluido en el abierto A .

ii) Los extremos de P y γcoinciden.

iii) fdz fdz

P

γ

ε

∫ ∫

− < .

Por ello, si demostramos que el índice respecto de una poligonal cerrada sólo tiene valores enteros también probaremos que el índice respecto de un camino cerrado sólo tiene valores

enteros. Por otro lado, toda poligonal es un camino de clase C1 a trozos y si demostramos que el

índice respecto a un camino cerrado de este tipo sólo adopta valores enteros, es evidente que el índice respecto de una poligonal tendrá esta misma propiedad. Supongamos pues que

[ ]

γ: a b, → C es un camino de clase C1_{a trozos. Existirá una partición}

{

}

∆ = a =c₀< <c₁ c₂< <.... c_m−1<c_m =b del intervalo

[ ]

a b, tal que:

Ind ( ) ( ) ( ) * γ γ π π γ γ γ z i w zdw i t t z dt z c c i m i i = − = ′ − ∈ −

∫

∑

∫

₋ = 1 2 1 1 2 ₁ 1 C .

Recordemos que ez = ⇔1 z=2k i kπ, ∈Z . Por ello, el índice será un número entero en el caso

de que e2πiInd ( )γz =1. Definimos la función real:

g s t

[ ]

t zdt s a b a s ( ) ( ) ( ) , , = ′ − ∈

∫

γγ . Como el cociente ′ − γ γ ( ) ( ) t

t z es continuo salvo en un número finito de puntos (pues γ′( )t es de

clase C1 _{en el intervalo}

[ ]

a b, ) la función g está bien definida y es derivable. Además se tiene

que: Ind ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γz _{π γ}γ _{π γ}γ _π i t t zdt i t t z dt ig b c c i m a b i i = ′ − = ′ − = −

∫

∑

₌

∫

1 2 1 2 1 2 1 1 , de donde 2 2 1 2 π π π γ i z i ig b g b

Ind ( )= ( )= ( ) y para probar que e2πiInd ( )γz =1, bastará comprobar que

se da eg b( ) =1. De esta manera, definimos:

h s( )=eg s( ), s∈

[ ]

a b,

y resulta una función derivable en todos los puntos del intervalo salvo en aquellos donde la

′ = ′ = ′

[ ]

− = ′ − ∈ − h s g s e s s ze s s z h s s a b g s g s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) γ ( ) γ γ γ ∆.

De la igualdad anterior se deduce esta otra:

′ = ′ − h s h s s s z ( ) ( ) ( ) ( ) γ γ

y multiplicando “en cruz” y agrupando en un solo miembro: h s′( ) ( )

(

γs − z

)

− ′γ( ) ( )s h s =0 . En particular, para la función derivable:

j s h s

[ ]

s z s a b ( ) ( ) ( ) , = − ∈ γ , se consigue la igualdad:

(

)

(

)

[ ]

′ = −       ′ = ′ − − ′ − = ∈ − j s h s s z h s s z s h s s z s a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , γ γ γ γ 2 0 ∆

por lo que j s( ) habrá de ser constante en su dominio j s( )=C. Sabemos que:

h a e e t t zdt aa ( ) ( ) ( ) = = = ′ − ∫ γ γ 0 1 y de aquí : j s h s

(

)

(

)

(

)

s z h s C s z h a C a z h b C b z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − ⇒ = − ⇒ = − = ⇒ = − = γ γ γ 1 γ 1 ,

pues al ser un camino cerrado γ( )a =γ( )b . Esto prueba que el índice solo toma valores enteros.

Como la función índice es analítica será continua en su dominio y por tanto para cada

componente conexa de A= −C γ* su imagen será conexa. Ahora bien, al adoptar sólo valores

enteros tendrá que ser una imagen constante y, en consecuencia, para cada componente conexa del abierto A , el índice toma el mismo valor entero.

Acotemos la integral que define el índice:

Ind ( )_γ γ γ γ γ γ π π π π π π z i w zdw i w z dw w zdw w zdl ddl L d = − = − = − ≤ − ≤ =

∫

∫

∫

∫

∫

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ,

donde d =dist ,

( )

z γ* , l t( )= L_at( )γ t∈

[ ]

a b, es la función longitud del camino rectificable y

L l b La b

= ( )= ( )γ . En la componente no acotada del abierto A se hallan valores de z con

módulos arbitrariamente grandes. De esta manera, podemos tomar valores de distancia d arbitrariamente grandes por lo que el índice en esta componente no acotada será nulo.

Como el índice para un ciclo rectificable Γ es Ind ( )_Γ z a_iInd ( )z z Γ*

i m i = ∈ − =

∑

γ 1 C , podemos

Sea el camino circular de centroγ( )t = +α reit t∈[ ,0 2π]. Para este camino, la función índice se define como: Ind ( )_γ γ π π π α z i w z dw i reit zrie dt it = − = + −

∫

∫

1 2 1 1 2 1 0 2 .

El abierto A= −C γ* sólo tiene dos componentes conexas, definidas por:

A₁=

{

z z: − α <r

}

A₂ =

{

z z: − α > r

}

.

Sabemos que la componente A₂ es no acotada por lo que en ella el índice valdrá cero. En la

componente acotada A₁ podemos tomar el centro de la circunferencia z= α para calcular el valor

del índice pues en todos los demás puntos de A₁ valdrá lo mismo. De esta forma:

Ind ( )γ π π π α π α α π π π π = + − = = / / = =

∫

∫

∫

1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 0 2 0 2 i re rie dt i re rie dt i i dt it it it it . γ * A2 ₀ A1 α 1

Estamos en condiciones de demostrar el teorema local de Cauchy.

1.3. Teorema local de Cauchy

Sea f una función analítica en un abierto convexo Ω del plano complejo y supongamos que

γes un camino rectificable con recorrido incluido en el convexo. Entonces para todo z∈ −Ω γ*

se tiene que: f z z i f w w zdw ( ) Ind ( )_γ ( ) γ π = −

∫

1 2 .

g w f w f z w z w z w f z w z ( ) ( ) ( ) , ( ) = − − ≠ ∈ ′ =     Ω .

Tal función es continua pues:

lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) w zg w w z f w f z w z f z g z → = → − − = ′ =

y resulta analítica en Ω −

{ }

z . Se le puede aplicar entonces el teorema de Cauchy–Goursat para

regiones convexas y concluir que la integral a lo largo de cualquier camino rectificable y cerrado

contenido en Ω es nula. Por ello:

1

2π 0

γ

i

∫

g w dw( ) =

y de aquí para z∈ −Ω γ*dado:

0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 = = − − = − − − = − −

∫

∫

∫

∫

∫

π π π π π γ γ γ γ γ γ i g w dw i f w f z w z dw i f w w zdw f z i w zdw i f w w zdw f z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ind ( ).

Esto termina nuestra demostración.

En el caso de tener un camino circular con recorrido en la región Ω y un z en el interior del

círculo se da la igualdad: f z i f w w z dw z ( )= ( ) * − ∈ −

∫

1 2π γ γ Ω .

Esto permite constatar que toda función analítica es representable por series de potencias. En

efecto, sea f A: → C una función analítica definida en un abierto A (no necesariamente

convexo) y sea α un punto de dicho abierto. Existirá pues una bola abierta B

( )

α;r incluida en A

y en dicha bola abierta, que es un abierto convexo, la función f también es analítica. Tomando

un camino circular γ( )t = +α ρeit t∈

[ ]

a b, , de radio ρ <r , conseguimos un camino rectificable

cerrado contenido en la bola B

( )

α;r y por ello, para todo z en el interior de dicho camino es

válida la fórmula de Cauchy:

f z

( )

i f w w z dw z B ( )= ( ) ; − ∈

∫

1 2π _γ α ρ .

Para las asignaciones λ( )w =w, ( )µ w = f w( ) podemos aplicar los resultados de 1.1 y entonces:

(

)

(

)

( )

f z i f w w zdw i f w w n dw z z B n n ( )= ( ) ( ) ; − = ₋         − ∈

∫

∑

∫

+ = ∞ 1 2 1 2 1 0 π π _α α α ρ γ γ . Si escribimos:

(

)

a i f w w dw n = n − +

∫

1 2π α 1 γ ( )

la fórmula queda como:

f z a z_n

(

)

n z B

( )

n ( )= − ∈ ; = ∞

∑

α α ρ 0 .

Ahora bien, según las propiedades de las series de potencias, la función f z( ) será derivable

indefinidamente en el punto z = α y los coeficientes a_n tendrán los valores

( ) a f n n n = ( ) ! α . Por

ello son independientes del radio ρ <r considerado y el desarrollo ha de ser válido para todo

( )

z∈ αB ;r .

2.- Teorema general de Cauchy

El teorema local de Cauchy es válido para funciones analíticas definidas en abiertos convexos y para un sólo camino rectificable. Vamos a generalizar estas condiciones utilizando ciclos y tomando abiertos no necesariamente convexos.

Sea A un abierto del plano complejo. Sean también f una función analítica definida en A y Γ un ciclo con recorrido en A y tal que Ind ( )_Γ z = ∀ ∈ −0 z C A. Entonces se tiene:

a) f z z i f w w zdw z A ( ) Ind ( )_Γ ( ) * Γ Γ = − ∈ −

∫

1 2π . b) f z dz( ) Γ

∫

=0 .

c) Si Γ Γ₁, ₂ son dos ciclos tales que Ind(Γ₁)=Ind(Γ₂) ∀ ∈ −z C A, entonces la integral de f es la misma para ambos ciclos: f z dz( ) f z dz( )

Γ1 Γ2

∫

=

∫

.

Para probar el teorema global necesitamos un lema previo, a saber:

Si f es analítica en un abierto A⊂ C , la función:

g z w f w f z w z z w f z z w ( , ) ( ) ( ) ( ) = −− ≠ ′ =     es continua en su dominio A×A.

En efecto, los únicos puntos donde la continuidad no es manifiesta son aquellos de la forma

( , ) :α α α ∈A . Como f es analítica resultará de clase C∞ _{en el abierto A y, en particular, será}

′

f continua en α ∈A por lo que para ε > 0 hallaremos un real positivo r tal que

( )

w∈Bα;r ⇒ f′ − ′ <( )w f ( )α ε. Considerando z w, ∈B

( )

α; ,r z≠ w, afirmamos en virtud del carácter convexo de toda bola que el camino γ( )t = −

( )

1 t z+ tw t∈

[ ]

0 1 está incluido en , B

( )

α;r .

Integrando la función f′ − ′( )w f ( )α a lo largo de este camino tenemos:

(

′ − ′

)

=

[

′ − ′

]

(

−

)

= ′

(

−

)

− ′

(

−

)

  =

∫

f ( )w f ( )α dw

∫

f ( ( ))γt f ( )α w z dt

∫

f ( ( ))γt w z dt

∫

f ( )α w z dt γ 0 1 0 1 0 1

(

)

[

]

(

)

= f( ( ))γ1 − f( ( ))γ0 − w− z f′ =( )α f w( )− f z( )− w− z f′( )α . Por otro lado:

(

′ − ′

)

=

(

)

(

)

(

)

₍

₎

− ′ − ′ − ⇒ ′ − ′ = − − − ′

∫

f t f dt

∫

∫

w z f t f w z dt f t f dt f w f z w z f ( ( ))γ ( )α ( ( ))γ ( )α ( ( ))γ ( )α ( ) ( ) ( )α 0 1 0 1 0 1 1 y terminamos escribiendo:

(

)

(

)

g z w g f w f z w z f f t f dt f t f dt dt ( , )− ( , ) = ( )− ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) − − ′ =

∫

′ − ′ ≤

∫

′ − ′ <

∫

= α α α γ α γ α ε ε 0 1 0 1 0 1 .

Esto prueba la continuidad de g en los puntos ( , )α α .

Retomando la función g z w f w f z w z z w f z z w ( , ) ( ) ( ) ( ) = −− ≠ ′ =    

definida en el abierto A2, suponemos que el valor z∈ − ΓA * es fijo, donde Γ es un ciclo tal que

Ind ( )_Γ z = ∀ ∈ −0 z C A. La función g w_z( )=g z w( , ) es continua en todo el abierto A (ya que

hemos probado que g z w( , ) lo es) y podemos definir:

h z i g w dwz z A ( )= 1

∫

( ) ∈ 2π Γ .

Probaremos que esta función es analítica en todo su dominio. Para ello, probaremos primero que es continua.

El conjunto Γ* es un compacto incluido en A , tomando z∈A y una bola B z r

( )

; resulta que

( )

B z r; ×Γ*es un compacto incluido en A2 por lo que la función g z w( , ) es uniformemente

continua en este conjunto y dado ε >0 , hallaremos δ> 0 para el que:

z− ′<z δ, w∈Γ*⇒ g z w( , )− g z w( , )′ <ε .

h z h z

(

)

i g z w dw i g z w dw g z w g z w dw ( )− ( )′= 1

∫

( , ) −

∫

( , )′ =

∫

( , )− ( , )′ ≤ 2 1 2 1 2 π _Γ π _Γ π _Γ ≤ 1

∫

(

− ′

)

≤

∫

= 2 1 2 2 π π ε ε π g z w g z w dl dl La b ( , ) ( , ) ( ) Γ Γ Γ , ( La b

( )Γ es la longitud del ciclo)

y esto implica la continuidad de h . Veamos ahora que es una función analítica. Sea T un camino triangular incluido en A , entonces:

h z dz i g z w dw T ( ) ( , ) Τ Γ

∫

=

∫

1

∫

2π .

Como la función g es continua en A2 también lo será en ∂T×Γ* y podremos intercambiar

el orden de integración: h z dz i g z w dw i g z w dw T T ( ) ( , ) ( , ) Τ Γ Γ

∫

=

∫

1

∫

=

∫

∫

2 1 2 π π .

También es g w_z( ) continua en todo su dominio y analítica para w≠ z. Esto implica en virtud del

teorema de Cauchy–Goursat que la integral g z w dw

T

( , )

∫

es nula y por tanto:

h z dz( )

Τ

∫

=0 .

Aplicando el teorema de Morera se deduce entonces que h es analítica en A . Probaremos que la función h es nula. Para ello, observemos que

h z i g z w dw i f w f z w z dw i f w w zdw f z z z A ( )= ( , ) = ( )− ( ) ( ) ( ) Ind ( ) * − = − − ∈ −

∫

∫

∫

1 2 1 2 1 2 π π π Γ Γ Γ Γ Γ . Ahora definimos: h z i f w w z dw z 1 1 2 ( )= ( ) * − ∈ −

∫

π Γ Γ C

y est asignación es correcta pues la integración se hace una vez fijado z no perteneciente al

recorrido del ciclo Γ.

El valor de h₁ puede ser fácilmente acotado mediante:

h z i f w w z dw f w w z dl M d dl M d La b 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) − ≤ − ≤ =

∫

∫

∫

π _Γ π_Γ π_Γ π Γ ,

donde M es una cota superior de f en el conjunto Γ*, d es la distancia de z a Γ* y L_ab( )Γ es

la longitud del ciclo. Cuando el módulo de z es suficientemente grande la distancia d se puede hacer también suficientemente grande por lo que:

lim ( )

Designemos por A₀ el conjunto de puntos para los que Ind ( )_Γ z =0 . Tal conjunto es no vacío y

además A0 ⊂ C− Γ

*

. Tampoco será vacío el conjunto de los puntos de A que tengan índice cero

respecto al ciclo Γ, es decir, A₁= ∩A A₀ ≠ ∅ . Como al anularse el índice el valor de h coincide

con el de h₁es:

h z( )=h z1( ) z∈A1.

Por hipótesis es C− ⊂A A₀, luego la unión A∪ A₀ es todo el plano complejo. Así podemos tomar

una función analítica φen todo el plano mediante:

φ( ) ( ) ( ) z h z z A h z z A = ∈ ∈    1 0 .

Esta función entera2 al coincidir con h₁ en el conjunto A₀ resultará acotada en dicho conjunto y

por su continuidad en A también es acotada en A , resultado acotada en todo el plano complejo.

Entonces lim ( ) lim ( )

z→ + ∞h z1 = ⇒0 z→ + ∞φz =0, por lo que aplicando el teorema de Liouville, será

φ( )z = ∀0 zy h z( )=0 . Retomando la expresión de h , concluimos:

1 2πi 0 f w w zdw f z z z A ( ) ( ) Ind ( ) * − − = ∈ −

∫

Γ Γ Γ

lo que prueba el apartado a).

Sea ahora la función F z( )= f z z( )

(

− α α

)

, ∈ −A Γ*. Esta función es analítica en el abierto A , por

lo que para todo z∈ − ΓA *será:

f z z

(

)

z

(

)

i F w w zdw i f w w z w z dw i f w dw ( ) − Ind ( )= ( ) ( ) ( ) − = − − =

∫

∫

∫

α π π π Γ Γ Γ Γ 1 2 1 2 1 2 y tomando z= α, es 0 1 2 1 2 =

∫

=

∫

πi f w dw( ) πi f z dz( ) Γ Γ

, lo que prueba b). Para probar el apartado

c) consideramos un ciclo Γ Γ Γ= ₁− ₀ y le aplicamos los resultados de a) y b).

Supongamos que Γ= γ es un ciclo formado por un solo camino rectificable cerrado. Sea un

punto z∉ γ*. La función f w

w z

( )=

−

1

es continua y analítica en el abierto C−

{ }

z , por lo que si

consideramos una región (abierto y convexo) incluida en C−

{ }

z y que contenga a γ*, la

aplicación del teorema de Cauchy–Goursat para regiones convexas permite afirmar que: 1 2 1 2 1 0 πi

∫

_γf w dw( ) = πi

∫

_γw− zdw=Ind ( )γz = .

z

γ*

Esto prueba que todo camino cerrado con recorrido en una región Ω satisface la hipótesis

Ind ( )_γz =0 para z∈ −C Ω y, en consecuencia si Γ es un ciclo con recorrido en esta región será

también Ind ( )_Γ z =0 z∈ −C Ω pues cada uno de los caminos que lo forman tiene índice nulo.

Así, el teorema local de Cauchy puede deducirse a partir del global.

3.- Homología y homotopía

En el teorema global de Cauchy los ciclos considerados son aquellos que cumplen la condición: Ind ( )_Γ z = ∀ ∈ −0 z C A. Esto justifica la siguiente definición:

Dos caminos cerrados γ γ₁, ₂ con recorridos incluidos en un abierto A son A –homólogos si y sólo si Ind ( )_γ α Ind ( )_γ α

1 = 2 ∀α ∈ −C A .

Según esta definición, la condición c) del teorema de Cauchy puede formularse en términos de homología:

Si γ γ₁, ₂ son dos caminos cerrados A –homólogos entonces la integral de f es la misma para ambos caminos: f z dz( ) f z dz( )

γ1 γ2

∫

=

∫

.

2

Supongamos que α ∈A y sea el camino rectificable cerrado γ( )t =α t∈

[ ]

a b, , entonces es

obvio que γ*=

{ }

α ⊂ A y además para z∈ −C A se tiene

Ind ( )_γ γ α z w zdw z dt = − = − ⋅ =

∫

1

∫

1 0 0 0 1 .

Todos los caminos que sean A –homólogos a éste se dice que son A –homólogos a cero. Expondremos otro concepto relacionado con la homología.

Dos caminos cerrados γ γ₀, ₁ con intervalo paramétrico

[ ]

0 1, y situados en el mismo abierto A ,

se dice que son A –homótopos cuando existe una aplicación continua: h: ,

[ ]

0 12 ∋ ( , )s t → h s t( , )∈A

tal que:

h( , )0 t =γ₀( )t h( , )1t =γ₁( )t t∈

[ ]

0 1,

y además:

h s( , )0 =h s( , )1 s∈

[ ]

0 1, .

Si fijamos un valor de la variable s , obtenemos un camino en A : h_s: ,

[ ]

0 1 ∈ →t h s t( , )∈A

que es cerrado por la hipótesis adicional h s( , )0 =h s( , )1 s∈

[ ]

0 1, . Esto significa que pasamos del

camino γ₀ al camino γ₁ por medio de una “deformación continua” a través de un haz de caminos

cerrados dependiente de un parámetro s∈

[ ]

0 1, .

Exponemos sin demostración los siguientes resultados:

• Todos los caminos cerrados definidos en el mismo intervalo paramétrico

[ ]

0 1, , tales que sus

recorridos se hallan en un abierto convexo son homótopos.

• Dos caminos cerrados con recorridos incluidos en un mismo abierto A y A –homótopos son

A –homólogos.

Utilizando los resultados de esta sección daremos una versión homotópica del teorema general de Cauchy .

Sea A un abierto del plano complejo y sean f una función analítica definida en A y γ un

camino cerrado y rectificable A –homótopo a cero, entonces:

a) f z z i f w w z dw z A ( ) Ind ( )_γ ( ) * γ π γ = − ∈ −

∫

1 2 . b) f w dw( ) γ

∫

=0 .

c) Si γ₁ y γ₂ son dos caminos cerrados, rectificables y A –homótopos, es cierta la igualdad:

f w dw( ) f w dw( )

γ1 γ2

∫

=

∫

.

4.- Abiertos simplemente conexos

Un conjunto Ω abierto y conexo (región) se dice simplemente conexo si toda curva cerrada

contenida en él es Ω–homótopa a cero. Es decir, podemos transformar de manera continua toda

curva cerrada contenida en el abierto a un punto. Para caracterizar a los abiertos simplemente conexos tenemos la siguiente proposición:

Un abierto A es simplemente conexo si y sólo si es homeomorfo al círculo unidad B 0 1

( )

; .

Probaremos sólo que si existe un homeomorfismo entre la región y el círculo unidad, entonces toda curva cerrada contenida en la región es homótopa a cero. En efecto, supongamos que

( )

g;Ω → B 0 1 es el homeomorfismo y que ; γ: ,

[ ]

0 1 → Ω es una curva cerrada contenida en la

región. Definimos:

h s t( , )= g−1

[

s g⋅ ( ( ))γt

]

s t, ∈

[ ]

0 1, .

Como γ( )t ∈ Ω y g( )Ω =B

( )

0 1 , se sigue que ; g( ( ))γ ∈t B

( )

0 1 . Al multiplicar por ; s∈

[ ]

0 1, los puntos obtenidos en esa multiplicación se hallan también en el círculo unidad. La continuidad de todas las funciones empleadas implica la continuidad de h .

Por otro lado, es:

h( , )1t =g−1( ( ( )))g γt =γ( )t h( , )0 t =g−1( )0 = ∈α Ω

y esto prueba que la homotopía se establece entre el camino cerrado y un punto. Para terminar, dado s∈

[ ]

0 1, , vemos que:

h s( , )0 =g−1

[

s g⋅ ( ( ))γ0

]

=g−1

[

s g⋅ ( ( ))γ1

]

=h s( , )1 y esto prueba que los caminos “intermedios” son cerrados.

Una aplicación del teorema general de Cauchy en los dominios simplemente conexos nos permite concluir que en ellos toda función analítica admite primitiva. Con más precisión:

Sea Ωun dominio simplemente conexo no vacío y sea f una función analítica definida en él. Si tomamos dos caminos rectificables γ γ₁, ₂ cualesquiera contenidos en Ω y que unan dos puntos de éste, se tiene que f z dz( ) f z dz( )

γ1 γ2

∫

=

∫

.

En efecto, tomando el camino γ γ₁− ₂, obtenemos un camino cerrado rectificable que se

encuentra contenido en un dominio simplemente conexo y que por ello es Ω–homótopo a cero.

Aplicando el teorema de Cauchy, se deduce que f z dz( )

γ γ1 2

0

−

∫

= y de esta fórmula se sigue la

igualdad.

Como el valor de la integral no depende del camino concluimos que la función analítica f tiene primitiva en dicha región y además será de la forma:

F z f w dw z

z

( )=

∫

( )

0