INFORME SOCABAYA

(1)





1.

1. ASPECTOS GENERALESASPECTOS GENERALES... ... 33

1.1

1.1 INTRODUCCION AL ANALISIS HIDROLOGICOINTRODUCCION AL ANALISIS HIDROLOGICO... 3... 3

1.2

1.2 NOMBRE DE PROYECTONOMBRE DE PROYECTO... ... 33

1.3 1.3 UBICACIÓN.UBICACIÓN. ... ... 33 1.4 1.4 OBJETIVOSOBJETIVOS ... ... 33 1.4.1 1.4.1 GENERALGENERAL... ... 33 1.4.2 1.4.2 ESPECIFICOESPECIFICO ... ... 33 1.3 1.3 METODOLOGIAMETODOLOGIA... ... 44 1.4

1.4 INFORMACION BASICAINFORMACION BASICA ... ... 44

1.4.1

1.4.1 INFORMACION CARTOGRAFICAINFORMACION CARTOGRAFICA... ... 44

1.4.2

1.4.2 INFORMACION PLUVIOMETRICAINFORMACION PLUVIOMETRICA... ... 44

2.

2. HIDROLOGIA SUPERFICIALHIDROLOGIA SUPERFICIAL... ... 77

2.1

2.1 PARAMETROS DE LA MICROCUENCAPARAMETROS DE LA MICROCUENCA... ... 77

2.1.1

2.1.1 PARAMETROS MORFOLOGICOSPARAMETROS MORFOLOGICOS... ... 77

2.1

2.1 MODELAMIENTO DE AGUA SUPERFICIALMODELAMIENTO DE AGUA SUPERFICIAL... ... 1111

2.1

2.1 ANALISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMASANALISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS ... ... ... 1414

2.1.1

2.1.1 METODOS METODOS DE DE ESTIMACION ESTIMACION DE DE PARAMETROS PARAMETROS DE DE LAS LAS FUNCIONESFUNCIONES PROBABILISTICAS

PROBABILISTICAS... ... 1414

2.2

2.2 METODO DE MOMENTOSMETODO DE MOMENTOS... ... 1414

2.2.1

2.2.1 DISTRIBUCION NORMALDISTRIBUCION NORMAL... ... 1414

2.2.2

2.2.2 DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO IDISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I... ... 1717

2.2.3

2.2.3 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROSDISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS ... ... ... 2222

2.2.4

2.2.4 DISTRIBUCION PEARSON TIPO IIIDISTRIBUCION PEARSON TIPO III... ... 2626

2.3

2.3 VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONESVERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES... ... 2929

2.3.1

2.3.1 PRUEBAS DE AJUSTEPRUEBAS DE AJUSTE... ... 3030

2.3.2

2.3.2 PRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROVPRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROV... ... 3030

2.3.3

2.3.3 METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMOMETODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMO... ... 3131

2.3.4

2.3.4 SELECCIÓN DEL METODO ESTADÍSTICO APROPIADOSELECCIÓN DEL METODO ESTADÍSTICO APROPIADO... ... 5555

2.3.1

2.3.1 REGIONALIZACION DE PRECIPITACIONES PARA SUBCUENCA SIN DATOSREGIONALIZACION DE PRECIPITACIONES PARA SUBCUENCA SIN DATOS ... 55 ... 55

3.

3. CAUDAL MAXIMO DE DISEÑOCAUDAL MAXIMO DE DISEÑO... ... 5858

3.1

3.1 COEFICIENTE DE ESCORRENTIACOEFICIENTE DE ESCORRENTIA... ... 5858

3.2

3.2 TIEMPO DE CONCENTRACIONTIEMPO DE CONCENTRACION... ... 5858

3.3

3.3 CURVA DE INTENSIDAD DURACION Y FRECUENCIA (IDF)CURVA DE INTENSIDAD DURACION Y FRECUENCIA (IDF)... 59... 59

3.4

3.4 METODO MAC MATH.METODO MAC MATH... ... 6060

4.

(2)

(3)





4.3.1

4.3.1 CAUDAL FORMATIVO O DOMINANTE:CAUDAL FORMATIVO O DOMINANTE:... ... 6262

1.1.

1.1. MODELAMIENTO HIDRÁULICO EN HEC RAS.MODELAMIENTO HIDRÁULICO EN HEC RAS... ... 6262

1.2.

1.2. RESULTADOS DE LA SIMULACIONRESULTADOS DE LA SIMULACION... ... 6363

5.

5. CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONESCONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES... ... 6666

5.3

(4)

1.

1. ASPECTOS GENERALESASPECTOS GENERALES

1.1

1.1 INTRODUCCION AL ANALISIS HIDROLOGICOINTRODUCCION AL ANALISIS HIDROLOGICO

Los análisis se efectúan para obtener información espacial y temporal acerca de ciertas Los análisis se efectúan para obtener información espacial y temporal acerca de ciertas variables, generalizaciones regionales y relaciones entre las variables. Los variables, generalizaciones regionales y relaciones entre las variables. Los componentes pertinentes, con frecuencia, no se miden directamente. Los análisis se pueden componentes pertinentes, con frecuencia, no se miden directamente. Los análisis se pueden llevar a cabo a través de diferentes enfoques, como son el determinístico, paramétrico, llevar a cabo a través de diferentes enfoques, como son el determinístico, paramétrico, probabilístico y estocástico.

probabilístico y estocástico.

El análisis que se basa en el enfoque determinístico sigue las leyes que describen los procesos El análisis que se basa en el enfoque determinístico sigue las leyes que describen los procesos físicos y químicos. En el enfoque paramétrico, el análisis se efectúa por intercomparación de físicos y químicos. En el enfoque paramétrico, el análisis se efectúa por intercomparación de datos hidrológicos registrados en diferentes lugares y tiempos. En el enfoque probabilístico, se datos hidrológicos registrados en diferentes lugares y tiempos. En el enfoque probabilístico, se analiza la frecuencia de la ocurrencia de diferentes magnitudes de las variables hidrológicas. En analiza la frecuencia de la ocurrencia de diferentes magnitudes de las variables hidrológicas. En el enfoque estocástico, se analizan tanto el orden secuencial como la frecuencia de ocurrencia el enfoque estocástico, se analizan tanto el orden secuencial como la frecuencia de ocurrencia de las diferentes magnitudes.

de las diferentes magnitudes.

El grado de detalle y precisión en el análisis debe ser consistente con la calidad y el muestreo El grado de detalle y precisión en el análisis debe ser consistente con la calidad y el muestreo adecuado de los datos disponibles, y con la exactitud que requiere la aplicación del análisis. Se adecuado de los datos disponibles, y con la exactitud que requiere la aplicación del análisis. Se ha de tener en cuenta la relación que existe entre el costo y el tiempo dedicado a un análisis y ha de tener en cuenta la relación que existe entre el costo y el tiempo dedicado a un análisis y los beneficios espe

los beneficios esperados. rados. En muchos casos, loEn muchos casos, los métodos gráficos y os métodos gráficos y otros métodos de tros métodos de cálculocálculo relativamente simples son más efectivos en costo que los métodos más complicados, y pueden relativamente simples son más efectivos en costo que los métodos más complicados, y pueden ser suficientemente exactos para los datos y

ser suficientemente exactos para los datos y los fines que se los fines que se persiguen.persiguen. 1.2

1.2 NOMBRE DE NOMBRE DE PROYECTOPROYECTO

“INFORME DE EVALUACION DE RIESGOS EN LA TERCERA TORRENTERA TRAMO “INFORME DE EVALUACION DE RIESGOS EN LA TERCERA TORRENTERA TRAMO PUENTE DOLORES HASTA LIMITE CON EL DISTRITO DE SOCABAYA EN EL DISTRITO DE PUENTE DOLORES HASTA LIMITE CON EL DISTRITO DE SOCABAYA EN EL DISTRITO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO- AREQUIPA

JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO- AREQUIPA 1.3

1.3 UBICACIÓN.UBICACIÓN. El Proyecto se ubica en el

El Proyecto se ubica en el distrito de José Luis Bustamante y Rivero, distrito de José Luis Bustamante y Rivero, Provincia de ArequipaProvincia de Arequipa El tramo de estudio es en las en la Tercera Torrentera en el Tramo Puente Dolores – Av. San El tramo de estudio es en las en la Tercera Torrentera en el Tramo Puente Dolores – Av. San Martin Martin 1.4 1.4 OBJETIVOSOBJETIVOS 1.4.1 1.4.1 GENERALGENERAL

Generar los caudales máximos para diferentes periodos de retorno con fines de diseño de Generar los caudales máximos para diferentes periodos de retorno con fines de diseño de estructuras hidráulicas para evacuar las aguas pluviales.

estructuras hidráulicas para evacuar las aguas pluviales. 1.4.2

1.4.2 ESPECIFICOESPECIFICO

Estudio de la precipitación en las cuencas, como una base para la modelación matemática Estudio de la precipitación en las cuencas, como una base para la modelación matemática precipitación – escorrentía.

precipitación – escorrentía.

Determinación de parámetros hidrológicos para

(5)

1.3

1.3 METODOLOGIAMETODOLOGIA

El presente trabajo ha sido orientado y realizado mediante la ejecución secuencial de las El presente trabajo ha sido orientado y realizado mediante la ejecución secuencial de las siguientes actividades y con la participación de un equipo técnico-profesional especialista en siguientes actividades y con la participación de un equipo técnico-profesional especialista en trabajos de esta naturaleza.

trabajos de esta naturaleza.



 Recolección de Información BásicaRecolección de Información Básica 

 Reconocimiento dReconocimiento de la e la Cuenca en Campo.Cuenca en Campo. 

 Delimitación hidrográfica, Fisiografía, geomorfología.Delimitación hidrográfica, Fisiografía, geomorfología. 

 Identificación de los principales agentes consumidores de agua.Identificación de los principales agentes consumidores de agua. 

 Trabajos de gabinete :Trabajos de gabinete : 

 Procesamiento de la Información.Procesamiento de la Información. 

 Cálculos e inferencias hidrológicas.Cálculos e inferencias hidrológicas. 

 Elaboración de Mapas Temáticos de las Elaboración de Mapas Temáticos de las Cuencas.Cuencas. 

 Informe Final de Resultados.Informe Final de Resultados.

Cabe resaltar que las dos anteriores actividades de campo y gabinete han sido llevadas de Cabe resaltar que las dos anteriores actividades de campo y gabinete han sido llevadas de formaforma alternada, conside

alternada, considerando que todo estudio hidrológico está validado con información rando que todo estudio hidrológico está validado con información de campo.de campo. Las metodologías y/o

Las metodologías y/o técnicas de técnicas de recolección de recolección de datos y datos y manejo de información que hanmanejo de información que han contribuido de sobremanera en el desarrollo del estudio son:

contribuido de sobremanera en el desarrollo del estudio son:



 Métodos de recolección de Información:Métodos de recolección de Información:

Observación sistemática, Técnica documental, Análisis bibliográfico, Entrevista Observación sistemática, Técnica documental, Análisis bibliográfico, Entrevista



 Herramientas:Herramientas:

Software de Sistema de Información Geográfica. Software Estandarizado de tratamiento y Software de Sistema de Información Geográfica. Software Estandarizado de tratamiento y procesamiento de información hidrológica.

procesamiento de información hidrológica. 1.4

1.4 INFORMACION BASICAINFORMACION BASICA 1.4.1

1.4.1 INFORMACION CARTOGRAFICAINFORMACION CARTOGRAFICA

La información cartográfica básica para la realización del estudio hidrológico y la generación de La información cartográfica básica para la realización del estudio hidrológico y la generación de mapas temáticos:

mapas temáticos:



 Mapas de la Carta Nacional a escala 1/100,000 del IGN digitalizados bajo el entorno deMapas de la Carta Nacional a escala 1/100,000 del IGN digitalizados bajo el entorno de

GIS con equidistancia mínim

GIS con equidistancia mínima de curvas de nivel de 50 m. a de curvas de nivel de 50 m. 33s y 33t33s y 33t



 Mapa de Red de Estaciones Meteorológicas administradas por SENAMHIMapa de Red de Estaciones Meteorológicas administradas por SENAMHI

1.4.2

1.4.2 INFORMACION PLUVIOMETRICAINFORMACION PLUVIOMETRICA

Todas las estaciones son administradas por el SENAMHI. Para el presente reporte, se cuenta Todas las estaciones son administradas por el SENAMHI. Para el presente reporte, se cuenta con información de precipitación total mensual y precipitación máxima en 24 horas mensual, con con información de precipitación total mensual y precipitación máxima en 24 horas mensual, con series de datos entre los años 1999 – 2016, con un promedio de 20 años de registro de series de datos entre los años 1999 – 2016, con un promedio de 20 años de registro de observación, tal como se presenta en los cuadros de

(6)

ESTACION CHIGUATA ESTACION CHIGUATA LAT:

LAT: 16°24’1” 16°24’1” LONG: LONG: 71°24’1” 71°24’1” ALT: ALT: 2943msnm2943msnm ESTACION PAMPILLA

ESTACION PAMPILLA LAT:16°24’1

(7)

(8)

2. HIDROLOGIA SUPERFICIAL

2.1 PARAMETROS DE LA MICROCUENCA

Para un análisis detallado la cuenca de la morfología de la cuenca para ello se han utilizado Cartas Nacionales a escala 1:100,000 elaboradas por el Instituto Geográfico Nacional, cuya identificación es la siguiente:

Arequipa : ( 33S ). Characato : ( 33T ).

2.1.1 PARAMETROS MORFOLOGICOS AREA DE LA CUENCA

La superficie de la cuenca delimitada por el divisor topográfico, corresponde a la superficie de la misma proyectada en un plano horizontal, y su tamaño influye en forma directa sobre las características de los escurrimientos fluviales y sobre la amplitud de las fluctuaciones (km2). Para la delimitación de las subcuenca se ha recabado información histórica de los pobladores en los que indicaron la dirección del flujo de caudal durante las lluvias. Según a ello se ha identificado cauces principales y/o calles por los que escurre el caudal y cada línea de corriente se le asigna un área tributaria de acumulación de caudal en base a la pendiente topográfica y visual y de tal forma se realizó la delimitación de las subcuencas en ARGIS 10.3

PERIMETRO DE LA CUENCA

El perímetro de la cuenca está definido por la longitud de la línea de división de aguas (DivortiumAquarium). (km)

LONGITUD MAYOR DEL RIO (L)

Recibe este nombre, el mayor cauce longitudinal que tiene una cuenca determinada, es decir, el mayor recorrido que realiza el río desde la cabecera de la cuenca, siguiendo todos los cambios de dirección o sinuosidades hasta un punto fijo de interés, que puede ser una estación de aforo o desembocadura.

AV. DOLORES_‐ AV.

SOCABAYA

AREA (km2) 17.396

AREA (has) 1739.611

PERIMETRO (km.) 21.717

LONGITUD CAUCE PRINCIPAL (km.) 10.859

PENDIENTE DEL CAUCE PRINCIPAL (m/km) 53.4

(9)

FORMA DE CUENCA

Es la que determina la distribución de las descargas de agua a lo largo del curso principal o cursos principales, y es en gran parte responsable de las características de las crecientes que se presentan en la cuenca.

Es expresada por parámetros, tales como el Ancho Promedio, Coeficiente de Compacidad y el Factor de forma

ANCHO PROMEDIO

Es la relación entre el área de la cuenca y la longitud mayor del curso del río, la expresión es la siguiente:

L A Ap

Dónde:

Ap = Ancho promedio de Ia cuenca (Km) A = Área de la cuenca

COEFICIENTE DE COMPACIDAD (Kc)

O índice de Gravelius, constituye la relación entre el perímetro de la cuenca y el perímetro de una circunferencia cuya área - igual a la de un círculo - es equivalente al área de la cuenca en estudio. Su fórmula es la siguiente: A P P Kc * 2 Kc 0.28 * P/ A Siendo: Kc = Coeficiente de Compacidad (Km/Km2) P = Perímetro de la cuenca (Km) A = Área de la cuenca (Km2)

Una cuenca se aproximará a una forma circular cuando el valor Kc se acerque a la unidad Cuando se aleja de la unidad, presente una relación irregular con relación al círculo.

Si este coeficiente fuera igual a la unidad, significa que habrá mayores oportunidades de crecientes debido a que los tiempos de Concentración, Tc (duración necesaria para que una gota de agua que cae en el punto más alejado de aquella, llegue a la salida o desembocadura), de los diferentes puntos de la cuenca serían iguales.

De igual modo, cuanto mayor sea el valor de Kc, también será mayor el tiempo de concentración de las aguas y. por tanto, estará menos propensa a una inundación.

(10)

Un valor de Kc. menor que 1. Nos indica una cuenca de forma circular, siguiendo el desarrollo de su curso principal, debiendo estar más expuesta a las crecientes que una cuenca de forma redondeada.

FACTOR DE FORMA (Ff)

Es otro índice numérico con el que se puede expresar la forma y la mayor o menor tendencia a crecientes de una cuenca.

Es la relación entre el ancho promedio de la cuenca (Am) y la longitud del curso de agua mas largo (L). La expresión es la siguiente L Ap Ff Siendo: Ff = Factor de Forma

Ap = Ancho promedio de la cuenca (Km) L = Longitud del curso más largo (Km)

Una cuenca con Factor de Forma bajo, está sujeta a menos crecientes que otra del mismo tamaño pero con un Factor de Forma mayor. Este valor es adimensional

SISTEMA DE DRENAJE

El sistema de drenaje de una cuenca está conformado por un curso de agua principal y sus tributarios: observándose por lo general, que cuanto más largo sea el curso de agua principal, más llena de bifurcaciones será la red de drenaje.

Con la finalidad de determinar las características de dicha red, se definen los siguientes índices: GRADO DE RAMIFICACION

Para definir el grado de ramificación de un curso de agua principal (Según Horton), se ha considerado el número de bifurcaciones que presentan sus tributarios, asignándole un orden a cada uno de ellos en forma creciente desde el curso principal hasta el encuentro con la divisoria de la cuenca.

DENSIDAD DE DRENAJE

Indica la relación entre la longitud total de los cursos de agua: efímeros, intermitentes o perennes de una cuenca (Li) y el área total de la misma (A).

Valores altos de densidad refleja una cuenca muy bien drenada que debería responder relativamente rápido al influjo de la precipitación, es decir que las precipitaciones influirán inmediatamente sobre las descargas de los ríos (Tiempos de Concentración cortos).

Una cuenca con baja densidad de drenaje refleja un área pobremente drenada con respuesta hidrológica muy lenta. Una baja densidad de drenaje es favorecida en regiones donde el material

(11)

del subsuelo es altamente resistente bajo una cubierta de vegetación muy densa y de relieve plano.

La densidad de drenaje tiende a uno en ciertas regiones desérticas de topografía plana y terrenos arenosos, y a un valor alto en regiones húmedas, montañosas y de terrenos impermeables.

Esta última situación es la más favorable, pues si una cuenca posee una red de drenaje bien desarrollada, la extensión medía de los terrenos a través de los cuales se produce el escurrimiento superficial es corto y el tiempo en alcanzar los cursos de agua también será corto; por consiguiente la intensidad de las precipitaciones influirá inmediatamente sobre el volumen de las descargas de los ríos.

La expresión es la siguiente: A Li Dd Siendo: Dd = Densidad de drenaje (Km/Km2)

Li = Longitud total de los cursos de agua (Km/Km2) A = Área de la cuenca (Km2)

Monsalve, refiere que Dd usualmente toma los siguientes valores: Entre 0.5 Km/Km2 para hoyas con drenaje pobre.

Hasta 3.5 Km/Km2 para hoyas excepcionalmente bien drenados. PENDIENTE MEDIA DEL RIO

El agua superficial concentrada en los lechos fluviales escurre con una velocidad que depende directamente de la declividad de éstos, así a mayor declividad habrá mayor velocidad de escurrimiento. La pendiente Media del río es un parámetro empleado para determinar la declividad de un curso de agua entre dos puntos.

Se determina mediante la siguiente expresión:

L Hm HM Ic * 1000 ) ( Siendo:

Ic = Pendiente media del río L = longitud del río

HM y Hm = Altitud Máxima y mínima del lecho del río, referidas al nivel medio de las aguas del mar.

(12)

AV. DOLORES_‐ AV. SOCABAYA

An ch o Pro med io (Km)

1.60

Coef. De Compacidad _0.25

Fac. Forma 6.78

Coef. De Esco rren tia 0.30

Densidad de Drenaje (1/km) _0.62

Tc: Kirpich (horas) 1.29

Tc: Temez (horas) 0.86

Tc: Promedio (min) 64.46

SUBCUENCA

2.1 MODELAMIENTO DE AGUA SUPERFICIAL

Se ha utilizado la información disponible de precipitaciones máximas anuales en 24 horas correspondiente al periodo de 1997 al 2016. La información pluviométrica proviene de 03 estaciones pluviométricas, tal como se presenta en la tabla siguiente, se podrá apreciar que los valores de los registros históricos no son continuos.

(13)

Estacio n : CHIGUATA Latitud : 16°24'01.00" S Departamento : Arequipa

Tipo : CP Longitud : 71°24'01.00" W Provincia : Arequipa

Altitud : 2,943.00 msnm Distrito : Arequipa

N°

REG. AÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC MAX

1 1.997 14.90 44.00 28.50 0.00 0.00 0.00 0.00 19.00 4.80 0.00 0.00 16.40 44.00 2 1998 10.40 12.60 3.90 1.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6.40 12.60 3 1999 10.20 19.90 25.00 3.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.20 25.00 4 2000 14.30 22.10 36.20 1.40 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.20 36.20 5 2001 11.40 19.40 20.90 2.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.60 20.90 6 2002 10.40 0.00 21.70 6.10 0.00 8.90 8.90 0.00 0.00 0.00 0.00 4.00 21.70 7 2003 8.40 2.50 9.20 0.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 9.20 8 2004 17.70 18.70 0.60 0.00 0.00 4.40 4.40 0.00 0.00 0.00 0.00 2.60 18.70 9 2005 11.10 13.00 7.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.30 0.00 0.00 0.00 13.00 10 2006 5.50 14.40 13.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.30 0.00 0.80 14.40 11 2007 23.40 9.60 5.10 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.50 23.40 12 2008 20.70 14.60 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.50 20.70 13 2009 2.40 9.90 6.40 4.20 0.00 0.40 0.40 0.00 0.20 0.00 0.40 0.00 9.90 14 2010 3.30 9.70 2.90 2.60 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.70 9.70 15 2011 16.50 19.20 2.30 2.30 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.80 19.20 16 2012 25.30 39.30 36.60 16.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.80 39.30 17 2013 28.50 18.00 21.50 0.00 2.90 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.60 28.50 18 2014 16.30 0.80 2.00 0.90 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 16.30 19 2015 4.40 20.00 14.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20.00 20 2016 0.00 17.20 2.50 7.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 17.20 N° Datos 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 Media 12.76 16.25 13.24 2.50 0.20 0.69 0.69 0.95 0.37 0.07 0.02 3.57 4.27 Desv. Estandar 7.82 10.86 11.71 3.94 0.65 2.17 2.17 4.25 1.16 0.29 0.09 4.54 9.70 Coef. Variacion 0.61 0.67 0.88 1.58 3.24 3.17 3.17 4.47 3.19 4.47 4.47 1.27 2.27 Prec. Max. 28.50 44.00 36.60 16.50 2.90 8.90 8.90 19.00 4.80 1.30 0.40 16.40 44.00

REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS (mm)

(14)

Estacion : HUASACACHE Latitud : 16°27'12.2" S Departamento : Arequipa

Tipo : CP Longitud : 71°33'3.1" W Provincia : Arequipa

Altitud : 2,242.00 msnm Distrito : Arequipa

N°

REG. AÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC TOTAL

1 1996 10.20 9.90 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 20.10 2 1997 19.70 75.50 58.40 0.00 0.00 0.00 0.00 9.20 2.90 0.00 0.00 5.50 171.20 3 1998 26.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.50 28.00 4 1999 4.00 41.90 19.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 0.00 1.60 67.40 5 2000 42.30 14.70 33.00 0.00 0.60 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 90.80 6 2001 7.00 41.60 25.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 74.30 7 2002 3.40 29.00 21.70 0.30 0.00 0.00 5.10 0.00 0.00 0.00 0.00 2.60 62.10 8 2003 8.70 0.40 3.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12.30 9 2004 10.50 15.70 0.00 0.00 0.00 0.00 4.60 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 31.80 10 2005 6.70 6.70 1.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 2.50 17.90 11 2006 14.10 21.50 9.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 44.80 12 2007 10.00 13.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 23.00 13 2008 86.50 13.30 1.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 2.30 103.80 14 2009 5.20 22.70 5.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 33.50 15 2010 0.60 6.40 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.40 16 2011 20.70 88.80 1.20 5.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.20 126.20 17 2012 94.80 148.00 41.20 13.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 297.50 18 2013 18.40 43.30 16.60 0.00 2.10 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.70 81.50 19 2014 25.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 25.70 20 2015 12.80 67.00 40.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 119.80 N° Datos 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 Media 21.39 32.97 13.93 0.98 0.14 0.03 0.49 0.48 0.16 0.02 0.00 1.40 6.00 Desv. Estandar 25.68 37.28 17.54 3.18 0.48 0.10 1.50 2.05 0.65 0.07 0.00 2.51 69.27 Coef. Variacion 1.20 1.13 1.26 3.26 3.57 3.26 3.08 4.28 4.18 4.47 1.80 11.55 Prec. Max. 94.80 148.00 58.40 13.50 2.10 0.40 5.10 9.20 2.90 0.30 0.00 10.20 297.50 (mm)

(15)

2.1 ANALISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS FUNCION DE PROBABILIDAD

Una función f(x) es llamada función de probabilidad o función de densidad de la variable aleatoria continúa X si cumple con las siguientes condiciones:

R x x f ( )0,  1 ) ( 



f x dx

Cuando se encuentra en los límites  y 

Sea el evento A( x/a  xb); luego, P( A)  P( x A)  P(a  x  b) 



f ( x)dx Cuando se encuentra entre los límites a y b

En la estadística existen decenas de funciones de distribución de probabilidad teórica; y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular, por lo tanto es necesario escoger uno de esos modelos, el que se adapte mejor al problema bajo análisis.

Para el análisis de las precipitaciones máximas de la microcuenca afluentes a la calle Jerusalen – San Juan de Dios se han utilizado los últimos registros históricos máximos de 24 horas de 10 años (1996-2016), para ello se ajustaron a 6 Distribuciones de probabilidades las cuales son:

_{Distribución Normal Estándar.}

_{Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I).} _{Distribución Log Pearson Tipo III.}

Distribución Log Normal II Parámetros.

Distribución Log Normal III Parámetros.

_{Distribución Pearson tipo III.}

2.1.1 METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILISTICAS Existen varias técnicas para la estimación de los parámetros de una distribución entre otras estas son:

 _{Método de Momentos}

El objetivo de la estimación de los parámetros es de relacionar los registros observados (media, variancia, sesgo, etc.) de un fenómeno aleatorio con el modelo probabilística seleccionado. En este trabajo se desarrollara los dos primeros métodos.

2.2 METODO DE MOMENTOS 2.2.1 DISTRIBUCION NORMAL

El método de momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. Él consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra.

(16)

El método de momentos selecciona valores para los parámetros de la función de densidad de probabilidad de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la información de la muestra.   





X X n n X n i i n i i 1 1 1

La media o promedio es el estimador que corresponde a la función teórica de probabilidad que es:



__



_xf

_x

_dx

u

(

)

Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común el uso de la varianza como el segundo momento central,

2 2

)

((

x

u

E







_,

y el coeficiente de asimetría como el tercer momento central estandarizado,

3 3

/

)

((





E

x



u

_,

Para determinar el segundo y el tercer parámetro de la distribución.

Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estima los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este método es muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como ocurre muy a menudo con las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación.

ESTACION CHIGUATA

DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA

101.06 m= 77.053

53.32 a= 41.592

20.00

ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS

T P 1-P w z x 1000 0.999 0.001 3.7169 3.091 265.86 500 0.998 0.002 3.5255 2.879 254.55 250 0.996 0.004 3.3231 2.652 242.50 100 0.990 0.010 3.0349 2.327 225.13 50 0.980 0.020 2.7971 2.054 210.60 40 0.975 0.025 2.7162 1.960 205.60 25 0.960 0.040 2.5373 1.751 194.43 10 0.900 0.100 2.1460 1.282 169.41 5 0.8000 0.200 1.7941 0.841 145.93 ESTIMACION DE PARAMETROS Promedio (Xi) = Desvest (Xi) = Numero de Dato (i) =

100 150 200 250 300 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA

(17)

ESTACION HUASACACHE

41.05 m= 24.794

36.11 a= 28.164

20.00

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas

ESTACION PAMPILLA

61.45 m= 39.395

48.98 a= 38.202

20.00

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

(18)

2.2.2 DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I Función de distribución acumulada.

La función de distribución acumulada, tiene la forma:

        _e x e x F ( ) Para: ,   x   0     Donde:

El parámetroα se le conoce como parámetro de escala.

El parámetroβ se le conoce como parámetro de posición.

Función densidad de probabilidad.

Derivando la función de distribución acumulada, con respecto a x, se obtiene la función de densidad de probabilidad, es decir:

dx x dF x f ( )  ( )      _ _          _x _e z x e x f ( ) * Para    x   _,

El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) se aplica para valores máximos (distribución Gumbel o Tipo I).

Si se hace la transformación:





 

 _x

Y

Con lo cual, la función densidad reducida es:

 y e y e y f ( )   

El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo (-) para eventos máximos. La función de distribución acumulada es:

y

e

e y

F ( )    _(Máximo) _F_y _ __ee y

1 ) ( _(Mínimo) max min 1 ( ) ) ( y F y F   

Los valores correspondientes de x e y, están relacionadas por: F(x) = F(y) y la relación:





   _x Y _ó  _ y x 

Método de Gumbel (Valor extremo tipo I)

Según Paulet, 1974, El método de Gumbel se utiliza para predecir magnitudes máximas de variables hidrológicas asumiendo que estos valores son independientes entre sí, también son usadas frecuentemente para el estudio de magnitud - duración - frecuencias de lluvias (Hershfiel 1961).

Según Linsley 1971, aplicó al río Clear Water en Idaho Estados Unidos. Este método es adecuado cuando se utiliza como datos las descargas máximas anuales en un punto de control de una vertiente o un Río.

La función de densidad reducida de Gumbel (Tipo I) tiene la forma de la ecuación anterior pero con signo negativo.

(19)

Para la estimación de los parámetros  _y  _{de la Función Acumulada F(x) ecuación se}

utilizaron 2 métodos de estimación. Método de momentos

Según Lowery y Nash, 1970 utilizando el método de momentos se obtienen las siguientes relaciones:

Media:

E(x)=  

c

x  

Donde c, es la constante de Euler, cuyo valor es:

          __ ... 1 ( ) 3 1 2 1 1 Ln n n Lim c _n c = 0.5772156649 Por lo tanto :    577210.  X Varianza:









6 * ) ( ₂ 2 2 2     _E_x _S X E De donde se obtienen: S 2825 . 1      X 0.57721

Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene lo siguiente:

S X 0.45*   _==>Máximo S X 0.45*   _==>Mínimo

Para muestras muy grandes, o bien como: S y    a x y   

Para muestras relativamente pequeñas, los valores de y _y  y_{se muestran en la tabla siguiente}

tabla

Por otro lado, conocemos que la ecuación de GUMBEL se expresa como:



 y

X  

(20)

y y y S y S X X    * _*   



y



S X X _y Y      

Se sabe que la función de distribución Acumulada ecuación es: F(y) = eey

Por otro lado se tiene:

T y

F ( ) 1 1

Entonces se tiene que.

) ( 1 1 e F y T y e _    

Tabla de Medias esperadas y Desviaciones estándar de extremos reducidos

N my sy N my sy 20 0.524 1.063 50 0.549 1.161 21 0.525 1.07 51 0.549 1.162 22 0.527 1.076 52 0.549 1.164 23 0.528 1.081 53 0.55 1.165 24 0.53 1.087 54 0.55 1.167 25 0.531 1.092 55 0.55 1.168 26 0.532 1.096 56 0.551 1.17 27 0 .533 1.1 57 0.551 1.171 28 0.534 1.105 58 0.552 1.172 29 0.535 1.109 59 0.552 1.173 30 0.536 1.112 60 0.552 1.175 31 0.537 1.116 62 0.553 1.177 32 0.538 1.119 64 0.533 1.179 33 0.539 1.123 66 0.554 1.181 34 0.54 1.126 68 0.554 1.183 35 0.541 1.129 70 0.555 1.185 36 0.541 1.131 72 0.555 1.187 37 0.542 1.134 74 0.556 1.189 38 0.542 1.136 76 0.556 1.191 39 0.543 1.139 78 0.557 1.192 40 0.544 1.141 80 0.557 1.194 41 0.544 1.144 82 0.557 1.195 42 0.545 1.146 84 0.558 1.197 43 0.545 1.148 86 0.558 1.198 44 0.546 1.15 88 0.558 1.199 45 0.546 1.152 90 0.559 1.201 46 0.547 1.154 92 0.559 1.202 47 0.547 1.156 94 0.559 1.203 48 0.548 1.157 96 0.56 1.204 49 0.548 1.159 98 0.56 1.206

Tomando dos veces Ln a la ecuación a ambos miembros se obtiene lo siguiente:

                T T Ln Ln y 1

(21)

                        T T Ln Ln S X X _y y 1                                           K y y T T LnLn S X X 1 1  

S i consideramos que para valores grandes de N, la expresión  y

1

tiende a  6

y que y _tiende

a c =0.5772 entonces hemos comprobado que la ecuación general para expresar un valor de una

serie hidrológica es: X  X K *S

ESTACION DE CHIGUATA DISTRIBUCION GUMBEL ESTIMACION DE PARAMETROS Nº Datos 20 Prom. (Xi) = 21.00m= 16.63 Desvest (Xi) = 9.70a= 7.563 Tr P Yt Xt 1000 0.001 6.907 68.868 500 0.002 6.214 63.626 250 0.004 5.519 58.370 100 0.010 4.600 51.420 50 0.020 3.902 46.141 40 0.025 3.676 44.432 25 0.040 3.199 40.824 10 0.100 2.250 33.647 5 0.200 1.500 27.975

20 70 120 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION TIPO I "LEY DE GUMBEL"

(22)

ESTACION DE HUASACACHE DISTRIBUCION GUMBEL

ESTIMACION DE PAR AMETROS

Nº Datos 20 Prom. (Xi) = 41.05m= 24.8 Desvest (Xi) = 36.11a= 28.153 Tr P Yt Xt 1000 0.001 6.907 219.253 500 0.002 6.214 199.743 250 0.004 5.519 180.176 100 0.010 4.600 154.304 50 0.020 3.902 134.653 40 0.025 3.676 128.290 25 0.040 3.199 114.861 10 0.100 2.250 88.144 5 0.200 1.500 67.030

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr (años) GUMBEL"

Tie mpo de retorno v s. Precipitacion Máxima e n 24 horas

ESTACION LA PAMPILLA DISTRIBUCION GUMB EL ESTIMACION DE PARAMETROS Nº Datos 20 Prom. (Xi) = 22.70m= 11.025 Desvest (Xi) = 25.94a= 20.227 Tr P Yt Xt 1000 0.001 6.907 150.733 500 0.002 6.214 136.716 250 0.004 5.519 122.658 100 0.010 4.600 104.069 50 0.020 3.902 89.951 40 0.025 3.676 85.379 25 0.040 3.199 75.731 10 0.100 2.250 56.536 5 0.200 1.500 41.366

20 70 120 170 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION TIPO I "LEY DE GUMBEL"

(23)

2.2.3 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS

Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma lognormal. Esta función fue estudiada por primera vez por Galtón en el año de 1875, por eso es que se le llama también función de Galtón.

Por el teorema del límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable y=lnx, también con distribución normal con media μy y

varianzaσy2, se usan estos parámetros para especificar que la distribución es logarítmica, puesto

que también puede usarse la media y la varianza de x. Función de densidad de probabilidad

La función densidad de distribución normal para Y es:

2 2 1 2 1 ) (             y y y y e y f    Para -∞ < y < +∞

Refiriendo la función de distribución de f(y) con f(x), se tiene:

x y d d y f x f ( ) ( ) Como Y=lnx x d d x y _ 1  , X>0   y y x y e x x f        ln 2 1 2 1 ) ( Para X>0

f(y) = Es la función de densidad de la distribución normal para y con mediaμy y varianciaσy2.

f(x) = Es la función de densidad de la distribución Log - Normal para X con parámetroμy yσy2.

Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución Log Normal.

Como f(x) = f(y)/x; pero f(y) es una distribución normal tenemos: f(x)=f(z)/xσy.

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada para X e Y es:

dx e x x F y y Lnx x y 2 2 1 0 1 2 1 ) (          



    

(24)

dy e x F y y y y y 2 2 1 2 1 ) (            



   

Los valores de la función de distribución de probabilidad F(y) se obtienen usando la fórmula de Abramowitz y Stegún si la variable estandarizada se define como:

y y y Z    dz e x F x z



     2 2 2 1 ) (

Para la estimación de los parámetros y y  y de la función de Distribución Acumulada F(x) se

estimaron por 2 Métodos de estimación: Método de Momentos

Utilizando el método de momentos de las relaciones entre la media y la varianza de la variable x y los parámetros y _y

2 y

 _{, pueden ser estimados por} _y _{y Sy2 mediante la transformación yi =}

LnXi. Se sabe que y = Lnx tiene distribución normal, mientras que x tiene distribución Log-Normal. n y y n i 1 1



  1 2 2 1 2         



 n y n y S i n i y

Los valores de y y Sy2 se estiman a partir de n observaciones Xi, i=1,2,3,4....n

Según Chow (1954), se presento la siguiente relación para calcular y y Sy2 sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos.

          1 2 1 2 2 Cv x Ln y ) 1 ( 2 2 __Ln _Cv _ S _y

Donde Cv es el coeficiente de variación de los datos originales x Sx C _v 

Existen las siguientes relaciones para obtener la Media y Varianza de la distribución Log Normal.          2 2 1 ) ( x e y y E   

(25)

Var(x)= 2 _e y2 1 x   Cv=





2 / 1 1 2  y e Coeficiente de Asimetría: g = 3Cv+Cv3 Para valores prácticos de

2 y

 _{; 0.1<} _y2 0.6,_{la relación es casi lineal y puede ser aproximada}

por:

g=0.52 + 4.85*

2 y



Que es correcta dentro del 2%, en el rango mencionado. ESTACION CHIGUATA X LogX 20 20 21.00 1.28 9.70 0.19 1.04 0.12 Tr P W Z Y Xt 1000 0.001 3.717 3.091 1.881 76.03 500 0.002 3.526 2.879 1.839 69.02 250 0.004 3.323 2.652 1.795 62.37 100 0.010 3.035 2.327 1.732 53.95 50 0.020 2.797 2.054 1.679 47.75 40 0.025 2.716 1.96 1.661 45.81 25 0.040 2.537 1.751 1.621 41.78 10 0.100 2.146 1.282 1.530 33.88 5 0.200 1.794 0.841 1.444 27.80

DISTRIBUCION LOG - NORMAL DE 2 PARAMETROS

ESTADISTO

N Media Desv.Est. Coef.asim.

ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS PARA T = AÑOS 30 80 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION LOG NORMAL 2

Tiempo de re torno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas

(26)

ESTACION HUASACACHE X LogX 20 20 61.45 1.65 48.98 0.37 1.26 -0.24 Tr P W Z Y Xt 1000 0.001 3.717 3.091 2.807 641.21 500 0.002 3.526 2.879 2.728 534.56 250 0.004 3.323 2.652 2.643 439.54 100 0.010 3.035 2.327 2.521 331.89 50 0.020 2.797 2.054 2.419 262.42 40 0.025 2.716 1.96 2.384 242.10 25 0.040 2.537 1.751 2.306 202.30 10 0.100 2.146 1.282 2.130 134.90 5 0.200 1.794 0.841 1.965 92.26

ESTADISTO

ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS PARA T = AÑOS 30 80 130 180 230 280 330 380 430 480 530 580 630 680 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas ESTACION LA PAMPILLA X LogX 20 20 22.70 1.20 25.94 0.35 3.45 0.54 Tr P W Z Y Xt 1000 0.001 3.717 3.091 2.286 193.20 500 0.002 3.526 2.879 2.212 162.93 250 0.004 3.323 2.652 2.132 135.52 100 0.010 3.035 2.327 2.019 104.47 50 0.020 2.797 2.054 1.923 83.75 40 0.025 2.716 1.96 1.890 77.62 25 0.040 2.537 1.751 1.817 65.61 10 0.100 2.146 1.282 1.652 44.87 5 0.200 1.794 0.841 1.498 31.48

ESTADISTO

ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS PARA T = AÑOS 30 80 130 180 230 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

Tiempo de re torno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas

(27)

2.2.4 DISTRIBUCION PEARSON TIPO III

Según Chow, la distribución Pearson Tipo III se aplicó por primera vez en la Hidrología por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación Log para reducir la asimetría.

La distribución Pearson Tipo III, También llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro, el límite inferior o parámetro de posición ε, de tal manera que por el

método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros λ, β, ε de la distribución de

probabilidad.

Función de densidad de probabilidad Pearson Tipo III



_



 

_{ }

_ _            parax e x x f ( ) ( 1 x )/

El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma: ) * * /( )) ( * ) ( ( / ) ( ( f x dx f x x d C ₀ C ₁ x C ₂ x2 d    

Donde d es la moda de la distribución (el valor de x para la cual f(x) es un máximo) y C0, C1 y C2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando C2 = 0 es la solución de la ecuación anterior, es una distribución Pearson tipo III, con una función de densidad de probabilidad según la ecuación anterior Para C1 = C2 = 0, la solución de la ecuación anterior es una distribución normal.

Según Markovick, 1965, mostró que no hay diferencia entre el ajuste de una distribución Gamma y una Log Normal, esta función de distribución es muy popular debido a que cuando el coeficiente de asimetría se iguala a cero se obtiene la distribución Normal.

Función de densidad de probabilidad

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Tipo III si su función densidad de probabilidades con origen en la moda, está dada por:

 

                  1 1 1 * 1 ) ( 1 1 1 1 1        x e x x f

Dondeα1,β1 y δ1, son los parámetros de la funciónΓ(β1) es la función Gamma.

En la tabla de función gama se halla las propiedades básicas y la tabla de valores de la función Gamma.

Para:  1  x 

(28)

β1 = Parámetro de forma La variable reducida. 1 1     x y Por lo que

 

y e y y f     1 * ) ( 1 1  

Función de distribución acumulada.

La función de distribución acumulada de la distribución Pearson Tipo III es:

  dx x e x F x x         



          1 1 0 1 1 * 1 ) ( 1 1      

Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

 

y e dy y F y y  



  0 1 1 1 ) (  

La ecuación anterior es una función de distribución Ji cuadrada con 2β1 grados de libertad y

X2=2y







1



2 2 / 2 / ) ( y F x  F 2 y  F x  

En las tablas de estadística se encuentra la función de distribución 2

X

Según Aparicio 1996, manifiesta que la manera de usar la función de distribución Pearson Tipo III es estrictamente válida cuando β1=n/2, donde n es un entero positivo cualquiera si, como es

común, 2β1 es no entero, puede tomarse como el entero más próximo o bien interpolar en la tabla

Nº A.2 del apéndice A. Cuando β1<0.3, será necesario acudir a tablas de la función de distribución

Gamma de un Parámetro.

Para la estimación de parámetros de la Función Acumulada F(x) se tiene 2 Métodos de Estimación.

Método de Momentos

Los parámetros de  1,  1_{y d1 de la Función Acumulada F(x) se evalúan a partir de n datos}

medidos mediante el siguiente sistema de ecuaciones.

1 1 1 *      X

(29)

1 * 2 1 2    S 1 2   g

Donde X _{es la media de los datos S2 su varianza y g su coeficiente de sesgo ó coeficiente de} Asimetría, que se define como:





  

3 3 1 1 2 * S n n n X X g Cs i n i     



 ESTACION DE CHIGUATA

DISTRIBUCION PEARSON TIPO III O DISTRIBUCION GAMA III

Nºdatos = 20

Promedio (Xi) = 21.00

Desvest (Xi) = 9.70

Corf. Asim. (Cs) = 1.04

Tr P W Z Kt Xt 1000 0.001 3.717 3.091 4.65 66.10 500 0.002 3.526 2.879 4.18 61.54 250 0.004 3.323 2.652 3.70 56.89 100 0.010 3.035 2.327 3.06 50.68 50 0.020 2.797 2.054 2.56 45.83 40 0.025 2.716 1.96 2.40 44.28 25 0.040 2.537 1.751 2.05 40.88 10 0.100 2.146 1.282 1.34 33.99 5 0.200 1.794 0.841 0.75 28.27 0 10 20 30 40 50 60 70 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION PEARSON

Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas

(30)

ESTACION HUASACACHE

Nºdatos = 20

Desvest (Xi) = 36.11

Tr P W Z Kt Xt 1000 0.001 3.717 3.091 5.47 238.56 500 0.002 3.526 2.879 4.84 215.81 250 0.004 3.323 2.652 4.21 193.06 100 0.010 3.035 2.327 3.39 163.46 50 0.020 2.797 2.054 2.77 141.07 40 0.025 2.716 1.96 2.57 133.85 25 0.040 2.537 1.751 2.15 118.68 10 0.100 2.146 1.282 1.32 88.71 5 0.200 1.794 0.841 0.67 65.24 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION PEARSON Tiempo de retorno vs. Pre cipitacion Máxima en

24 horas

ESTACION LA PAMPILLA

Nºdatos = 20

Desvest (Xi) = 25.94

Tr P W Z Kt Xt 1000 0.001 3.717 3.091 7.95 228.94 500 0.002 3.526 2.879 6.74 197.55 250 0.004 3.323 2.652 5.58 167.46 100 0.010 3.035 2.327 4.15 130.36 50 0.020 2.797 2.054 3.13 103.90 40 0.025 2.716 1.96 2.82 95.86 25 0.040 2.537 1.751 2.19 79.51 10 0.100 2.146 1.282 1.08 50.72 5 0.200 1.794 0.841 0.35 31.78 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 1 10 100 1000 10000 P p m á x ( m m ) Tr(años)

GRÁFICO DISTRIBUCION PEARSON Tiempo de retorno vs. Pre cipitacion Máxima en

24 horas

2.3 VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES

Para un mejor análisis de los datos hidrológicos es necesario conocer el tipo o forma de distribución teórica que puede representar aproximadamente a la distribución empírica (método estadístico) de estos datos. Para averiguar cuan aproximada es esta distribución empírica a la teórica, es necesario realizar algunas pruebas estadísticas conocidas como prueba de ajuste.

(31)

2.3.1 PRUEBAS DE AJUSTE

Consisten en comprobar gráfica y estadísticamente si la frecuencia empírica de la serie de registros analizados se ajustan a un determinado modelo probabilística adoptado a priori, con los parámetros estimados en base a los valores maestrales.

Las pruebas estadísticas tienen por objeto medir la certidumbre que se obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Es decir, calificar el hecho de suponer que una variable aleatoria se distribuye según un modelo probabilística.

Los ajustes más comunes son:

- Smirnov – Kolmogorow.

- Método del error cuadrático mínimo

2.3.2 PRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROV

Esta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D que hay entre la función de distribución observada Fo(Pm) y la estimada F(Pm)

) ( ) ( 0 Pm F Pm F máx D  

Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionada si D<d, se acepta la hipótesis. Esta prueba tiene la ventaja sobre la X2 de que compara los datos con el modelo estadístico sin necesidad de agruparlos. La función de distribución de probabilidad observada se calcula como:

1 1 ) (    n m P F _o _m

Donde m es el número de orden del dato Xm en una lista de mayor a menor y n es el número total de datos.

Valores críticos para la prueba Smirnov –Kolmogorov de bondad de ajuste

Tamaño de la muestra a= 0.10 a = 0.05 a = 0.01 5 0.51 0.56 0.67 10 0.37 0.41 0.49 15 0.30 0.34 0.40 20 0.26 0.29 0.35 25 0.24 0.26 0.32 31 0.22 0.24 0.29 40 0.19 0.21 0.25 N grande n 22 . 1 n 36 . 1 n 63 . 1

(32)

En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento de cálculo por método de Smirnov Kolgomorov, de donde en la columna 2 se han escrito las precipitaciones máximas anuales registradas ordenadas de mayor a menor, en la columna 3 se calculan los valores de la función de distribución de probabilidad observada según la ecuaciones anteriores

2.3.3 METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMO

Este método consiste en calcular, para cada función de distribución, el error cuadrático.

2 1 1 2 ) ( _       



 n i i i Y X C donde

Xi = es el i-esimo dato estimado

Yi = es el i-ésimo dato calculado con la función de distribución bajo análisis N = Número de datos

En el cuadro siguiente se muestra el procedimiento estimado para cada uno de los diferentes métodos estadísticos usados en el presente estudio.

(33)

32

[email protected] Cel. 959876465

ESTACION DE CHIGUATA

0.9226 0.9335 0.5882 0.9416

2 3 1 4

N P (mm.) Fo(Xm) F(Xm ) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm)

1 24.90 0.97 0.0480 0.9226 0.0371 0.9335 0.8149 0.1556 0.0290 0.9416 2 29.50 0.94 0.0950 0.8462 0.0818 0.8593 0.9549 0.0137 0.0630 0.8782 3 32.40 0.91 0.1430 0.7688 0.1292 0.7826 0.9867 0.0749 0.1030 0.8088 4 61.40 0.88 0.1910 0.6914 0.1779 0.7044 0.9956 0.1132 0.1470 0.7354 5 64.50 0.85 0.2380 0.6149 0.2276 0.6254 0.9985 0.1455 0.1940 0.6589 6 67.40 0.82 0.2860 0.5375 0.2777 0.5458 0.9994 0.1759 0.2460 0.5775 7 73.60 0.79 0.3330 0.4611 0.3282 0.4659 0.9998 0.2057 0.2980 0.4961 8 75.10 0.76 0.3810 0.3837 0.3789 0.3858 0.9999 0.2352 0.3520 0.4127 9 80.20 0.74 0.4290 0.3063 0.4295 0.3058 1.0000 0.2647 0.4080 0.3273 10 89.50 0.71 0.4760 0.2299 0.4801 0.2258 1.0000 0.2941 0.4640 0.2419 11 100.50 0.68 0.5240 0.1525 0.5305 0.1460 1.0000 0.3235 0.5210 0.1555 12 108.10 0.65 0.5710 0.0761 0.5807 0.0664 1.0000 0.3529 0.5780 0.0691 13 109.10 0.62 0.6190 0.0014 0.6305 0.0128 1.0000 0.3824 0.6340 0.0164 14 118.60 0.59 0.6670 0.0788 0.6799 0.0917 1.0000 0.4118 0.6900 0.1018 15 119.20 0.56 0.7140 0.1552 0.7288 0.1700 1.0000 0.4412 0.7440 0.1852 16 139.20 0.53 0.7620 0.2326 0.7770 0.2476 1.0000 0.4706 0.7970 0.2676 17 149.30 0.50 0.8090 0.3090 0.8246 0.3246 1.0000 0.5000 0.8480 0.3480 18 160.40 0.47 0.8570 0.3864 0.8712 0.4006 1.0000 0.5294 0.8950 0.4244 19 187.60 0.44 0.9050 0.4638 0.9166 0.4754 1.0000 0.5588 0.9390 0.4978 20 230.70 0.41 0.9520 0.5402 0.9603 0.5485 1.0000 0.5882 0.9760 0.5642

PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE DE SMIRNOV - KOLM OGOROV

Distribucion Log Normal 2P

Valor Maximo Peso

Distribucion Extremo GUMBEL Tipo I

Distribucion Normal Distribucion Pearson Tipo III

(34)

33

ESTACION DE HUASACACHE

0.5956 0.9335 0.9046 0.9506

1 3 2 4

N P (mm.) Fo(Xm) F(Xm ) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm)

1 6.40 0.97 0.3750 0.5956 0.0371 0.9335 0.0660 0.9046 0.0200 0.9506 2 6.70 0.94 0.4060 0.5352 0.0818 0.8593 0.1196 0.8216 0.0480 0.8932 3 8.70 0.91 0.4380 0.4738 0.1292 0.7826 0.1715 0.7402 0.0840 0.8278 4 10.20 0.88 0.4690 0.4134 0.1779 0.7044 0.2225 0.6599 0.1250 0.7574 5 13.00 0.85 0.5000 0.3529 0.2276 0.6254 0.2723 0.5807 0.1710 0.6819 6 15.70 0.82 0.5310 0.2925 0.2777 0.5458 0.3214 0.5021 0.2210 0.6025 7 21.50 0.79 0.5620 0.2321 0.3282 0.4659 0.3696 0.4246 0.2740 0.5201 8 22.70 0.76 0.5940 0.1707 0.3789 0.3858 0.4172 0.3475 0.3290 0.4357 9 25.70 0.74 0.6250 0.1103 0.4295 0.3058 0.4643 0.2710 0.3870 0.3483 10 26.50 0.71 0.6560 0.0499 0.4801 0.2258 0.5109 0.1950 0.4450 0.2609 11 29.00 0.68 0.6870 0.0105 0.5305 0.1460 0.5571 0.1194 0.5050 0.1715 12 41.60 0.65 0.7190 0.0719 0.5807 0.0664 0.6027 0.0443 0.5660 0.0811 13 41.90 0.62 0.7500 0.1324 0.6305 0.0128 0.6480 0.0304 0.6250 0.0074 14 42.30 0.59 0.7810 0.1928 0.6799 0.0917 0.6931 0.1048 0.6850 0.0968 15 43.30 0.56 0.8120 0.2532 0.7288 0.1700 0.7377 0.1789 0.7430 0.1842 16 67.00 0.53 0.8440 0.3146 0.7770 0.2476 0.7822 0.2528 0.7990 0.2696 17 75.50 0.50 0.8750 0.3750 0.8246 0.3246 0.8264 0.3264 0.8520 0.3520 18 86.50 0.47 0.9060 0.4354 0.8712 0.4006 0.8704 0.3998 0.9010 0.4304 19 88.80 0.44 0.9380 0.4968 0.9166 0.4754 0.9141 0.4729 0.9450 0.5038 20 148.00 0.41 0.9690 0.5572 0.9603 0.5485 0.9577 0.5459 0.9800 0.5682

Distribucion Log Normal 2P

Valor Maximo Peso

Distribucion Extremo GUMBEL Tipo I

Distribucion Normal Distribucion Pearson Tipo III

(35)

54

0.9226 0.9335 0.9496

1 2 3

N P (mm.) Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm) F(Xm) F(PX)-Fo(Xm)

1 9.20 0.97 0.0480 0.9226 0.0371 0.9335 0.0210 0.9496 2 10.80 0.94 0.0950 0.8462 0.0818 0.8593 0.0500 0.8912 3 12.10 0.91 0.1430 0.7688 0.1292 0.7826 0.0870 0.8248 4 23.10 0.88 0.1910 0.6914 0.1779 0.7044 0.1280 0.7544 5 23.50 0.85 0.2380 0.6149 0.2276 0.6254 0.1740 0.6789 6 27.90 0.82 0.2860 0.5375 0.2777 0.5458 0.2250 0.5985 7 33.30 0.79 0.3330 0.4611 0.3282 0.4659 0.2780 0.5161 8 34.60 0.76 0.3810 0.3837 0.3789 0.3858 0.3330 0.4317 9 35.40 0.74 0.4290 0.3063 0.4295 0.3058 0.3910 0.3443 10 35.60 0.71 0.4760 0.2299 0.4801 0.2258 0.4480 0.2579 11 49.50 0.68 0.5240 0.1525 0.5305 0.1460 0.5080 0.1685 12 57.50 0.65 0.5710 0.0761 0.5807 0.0664 0.5680 0.0791 13 68.10 0.62 0.6190 0.0014 0.6305 0.0128 0.6270 0.0094 14 74.40 0.59 0.6670 0.0788 0.6799 0.0917 0.6860 0.0978 15 84.70 0.56 0.7140 0.1552 0.7288 0.1700 0.7440 0.1852 16 95.50 0.53 0.7620 0.2326 0.7770 0.2476 0.7990 0.2696 17 103.30 0.50 0.8090 0.3090 0.8246 0.3246 0.8520 0.3520 18 106.40 0.47 0.8570 0.3864 0.8712 0.4006 0.9010 0.4304 19 153.80 0.44 0.9050 0.4638 0.9166 0.4754 0.9440 0.5028 20 190.20 0.41 0.9520 0.5402 0.9603 0.5485 0.9790 0.5672

Distribucion Lo g Normal 2P Valor Maximo Peso Distribucion Extremo GUMBEL Tipo I Distribucion Normal DISTRIBUCIONES

(36)

55

ESTACION CHIGUATA

SUMA C

n m/(n+1) Po Pe (Pe-Po)^2 Pe (Pe-Po)^2 Pe (Pe-Po)^2 Pe (Pe-Po)^2

1 0.029 24.90 12.08 164.456 30.77 34.499 27.93 9.181 33.88 80.712 2 0.059 29.50 31.24 3.027 41.51 144.348 38.83 87.049 40.74 126.293 3 0.088 32.40 44.13 137.643 49.38 288.443 47.31 222.308 46.56 200.477 4 0.118 61.40 54.35 49.728 56.03 28.784 54.64 45.698 51.88 90.630 5 0.147 64.50 63.08 2.004 62.04 6.033 61.32 10.112 57.02 56.010 6 0.176 67.40 70.90 12.261 67.69 0.086 67.62 0.048 62.23 26.729 7 0.206 73.60 78.12 20.388 73.15 0.201 73.70 0.010 67.30 39.715 8 0.235 75.10 84.93 96.575 78.54 11.832 79.67 20.885 72.61 6.195 9 0.265 80.20 91.48 127.236 83.95 14.072 85.62 29.376 78.16 4.149 10 0.294 89.50 97.88 70.291 89.47 0.001 91.63 4.537 83.95 30.847 11 0.324 100.50 104.24 13.958 95.19 28.212 97.80 7.290 90.16 106.978 12 0.353 108.10 110.64 6.452 101.20 47.650 104.20 15.210 96.83 127.058 13 0.382 109.10 117.19 65.493 107.61 2.207 110.94 3.386 104.23 23.697 14 0.412 118.60 124.00 29.211 114.59 16.052 118.17 0.185 112.46 37.700 15 0.441 119.20 131.22 144.441 122.35 9.911 126.05 46.922 121.90 7.285 16 0.471 139.20 139.04 0.027 131.20 63.966 134.88 18.662 133.05 37.884 17 0.500 149.30 147.77 2.335 141.69 57.925 145.10 17.640 146.89 5.794 18 0.529 160.40 157.99 5.818 154.80 31.339 157.54 8.180 164.44 16.297 19 0.559 187.60 170.88 279.557 172.76 220.238 173.98 185.504 190.11 6.290 20 0.588 230.70 190.04 1652.908 202.63 787.872 200.03 940.649 235.51 23.088 2883.810 1793.672

METODO DE ERROR CUADRATICO MINIMO

DISTRIBUCION LOG NORMAL 2 PARAMETROS

1053.829 32.463

DISTRIBUCIONES DISTRIBUCION NORM AL DISTRIBUCION EXTREMO

GUMBEL TIPO I DISTRIBUCION PEARSON TIPO III

1672.833

(37)

56

ESTACION HUASACACHE

SUMA C

1 0.029 6.40 29.56 536.410 -6.54 167.546 1.75 21.623 6.92 0.268 2 0.059 6.70 32.50 665.627 0.73 35.651 5.18 2.310 9.14 5.958 3 0.088 8.70 35.38 711.909 6.06 6.982 8.31 0.152 11.17 6.096 4 0.118 10.20 38.23 785.443 10.56 0.131 11.33 1.277 13.15 8.714 5 0.147 13.00 41.05 786.803 14.63 2.658 14.31 1.716 15.17 4.713 6 0.176 15.70 43.87 793.788 18.46 7.594 17.32 2.624 17.26 2.427 7 0.206 21.50 46.72 635.967 22.15 0.425 20.38 1.254 19.50 4.008 8 0.235 22.70 49.60 723.624 25.80 9.614 23.55 0.723 21.83 0.762 9 0.265 25.70 52.54 720.357 29.47 14.175 26.86 1.346 24.38 1.748 10 0.294 26.50 55.56 844.391 33.20 44.936 30.35 14.823 27.10 0.362 11 0.324 29.00 58.68 881.116 37.07 65.194 34.07 25.705 30.20 1.440 12 0.353 41.60 61.95 414.036 41.14 0.209 38.08 12.390 33.65 63.187 13 0.382 41.90 65.39 551.942 45.49 12.877 42.46 0.314 37.58 18.628 14 0.412 42.30 69.08 717.003 50.21 62.636 47.33 25.301 42.17 0.017 15 0.441 43.30 73.08 886.747 55.47 147.996 52.83 90.821 47.64 18.862 16 0.471 67.00 77.52 110.620 61.46 30.683 59.23 60.373 54.45 157.503 17 0.500 75.50 82.59 50.263 68.56 48.136 66.92 73.616 63.10 153.859 18 0.529 86.50 88.65 4.612 77.44 82.062 76.67 96.629 74.99 132.503 19 0.559 88.80 96.45 58.598 89.60 0.642 90.19 1.932 93.33 20.476 20 0.588 148.00 108.32 1574.183 109.83 1457.068 112.96 1227.802 129.12 356.379 12453.438 2197.217

METODO DE ERROR CUADRATICO M INIMO

957.910 30.950

1662.730

(38)

57

SUMA C

1 0.029 9.20 -20.28 869.340 -3.11 151.592 2.63 43.165 11.48 5.208 2 0.059 10.80 -2.68 181.790 6.75 16.377 9.21 2.528 14.96 17.322 3 0.088 12.10 9.16 8.654 13.98 3.537 14.78 7.182 18.16 36.663 4 0.118 23.10 18.54 20.781 20.09 9.060 19.88 10.368 21.23 3.489 5 0.147 23.50 26.57 9.397 25.61 4.448 24.74 1.538 24.32 0.676 6 0.176 27.90 33.75 34.167 30.80 8.396 29.50 2.560 27.54 0.128 7 0.206 33.30 40.37 49.998 35.81 6.308 34.24 0.884 30.90 5.746 8 0.235 34.60 46.63 144.660 40.76 37.949 39.03 19.625 34.44 0.027 9 0.265 35.40 52.65 297.422 45.73 106.723 43.94 72.932 38.28 8.306 10 0.294 35.60 58.53 525.688 50.80 231.084 49.02 180.096 42.36 45.752 11 0.324 49.50 64.36 220.883 56.05 42.928 54.36 23.620 46.99 6.305 12 0.353 57.50 70.24 162.411 61.57 16.571 60.02 6.350 52.12 28.955 13 0.382 68.10 76.26 66.627 67.47 0.403 66.12 3.920 57.94 103.165 14 0.412 74.40 82.52 65.920 73.88 0.275 72.80 2.560 64.71 93.819 15 0.441 84.70 89.14 19.755 81.00 13.706 80.25 19.803 72.78 142.134 16 0.471 95.50 96.32 0.680 89.13 40.577 88.78 45.158 82.41 171.243 17 0.500 103.30 104.35 1.100 98.76 20.592 98.88 19.536 95.06 67.898 18 0.529 106.40 113.73 53.755 110.81 19.413 111.50 26.010 112.20 33.663 19 0.559 153.80 125.57 796.767 127.30 702.252 128.69 630.512 138.04 248.441 20 0.588 190.20 143.17 2211.391 154.74 1257.668 156.99 1102.904 188.37 3.367 5741.185 2689.861

METODO DE ERROR CUADRATICO M INIMO

1022.306 31.974

2221.252

(39)