UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
Un estudio de los teoremas de corrección, completud y
compacidad de un cálculo axiomático de la lógica
proposicional clásica
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICA
Presentada por : Bach. León Rojas, Alexander Nabí
Asesor : Dr. Niquín Alayo, Esmelin
Huaraz – Perú
Índice general
Resumen V
Abstract VI
Introducción 9
Nomenclatura 10
1. Principios de la Lógica proposicional clásica 12
2. Lógica proposicional clásica: Un enfoque semántico 14
3. Lógica proposicional clásica: Un enfoque sintáctico 56
4. Los teoremas de Corrección, Completud y Compacidad 90
5. Resultados y discusión 124
6. Conclusiones 142
A. Conjuntos C y C 145
B. Inducción matemática 157
C. Recursión 162
D. Alfabeto y palabras 165
E. Numerabilidad 170
F. Metalenguaje y metateorema 171
Resumen
En este trabajo se estudian los teoremas de corrección, completud y compacidad
en el marco de la Lógica proposicional clásica. Se detallan las demostraciones de
estos teoremas y se analizan sus significados e implicaciones. Para lograr tal fin,
previamente se realiza un estudio de los principios lógicos, la semántica y la sintáctica
involucrados en la Lógica proposicional clásica. Finalmente, se concluye que esta
lógica posee las propiedades de corrección (débil y fuerte), completud (débil y fuerte)
y compacidad.
Abstract
In this work the theorems of soundness, completeness and compactness are
stu-died within the frame of the Classical Propositional Logic. These theorems are
de-monstrated in detail, and their meanings and implications are also analyzed. In
order to reach our aim, first, the logical principles, the semantics, and syntactics
involved in the Classical Propositional Logic are studied. Finally, it is concluded
that this logic has the properties of weak and strong soundness, weak and strong
completeness and compactness
Introducción
Existen una gran diversidad de lógicas que en una primera aproximación pueden
agruparse en lógicas clásicas(donde están, por ejemplo, la lógica proposicional ’clá-sica’ y la lógica ’clá’clá-sica’ de primer orden) y las lógicas no clásicas (la lógica difusa o de la vaguedad, la lógica dialéctica, la lógica paraconsistente, la lógica cuántica,
la lógica temporal, la lógica de la relevancia, etc). De toda esta gama, hoy por hoy
la lógica clásica de primer orden (y así la lógica proposicional clásica) ocupan un
lugar central en la lógica contemporánea y sirven como punto de referencia para
otras partes o teorías de la lógica, [24, pág.71].
Puede presentarse - como lo afirma [9, pág.87] - a la lógica clásica de primer orden
como una extensión de la lógica proposicional clásica, por lo que un paso previo
para comprender cabalmente la lógica clásica de primer orden y posteriormente
otras lógicas y los conceptos que les son comunes o no (como sintaxis, semántica,
derivación, corrección, completud, compacidad, etc) es comenzar por un estudio de
la lógica proposicional desde diversas lentes, es decir, teniendo por un lado en cuenta
o puente que entre tales aspectos pudiera haber.
Con tal propósito, el de comprender parte de los aspectos semánticos y
sintác-ticos y con el objetivo principal de comprender el significado y proporcionar
de-mostraciones detalladas de las propiedades (teoremas) de corrección, completud y
compacidad (que no son necesariamente compartidas por todos los sistemas lógicos
( [19, pág.51])) que la lógica clásica proposicional posee, a través de una investigación
documental, dividimos la presente tesis en los siguientes capítulos:
Capítulo 1, aquí presentamos los principios en los que se fundamenta o soporta la
Lógica proposicional clásica.
Capítulo 2, aquí presentamos un estudio semántico de la lógica proposicional.
Capítulo 3, donde se estudia desde un enfoque sintáctico la lógica proposicional,
para lo cual en este capítulo se introduce un cálculo axiomático formal.
Capítulo 4, que contiene los teoremas de corrección, completud y compacidad,
ob-jetos principales de esta tesis. En este capítulo detallamos en lo posible las
demos-traciones que ya existen de ellos.
que considero más importantes de cada capítulo previo (Capítulos 1, 2, 3 y 4),
mos-trando en algunos casos, su uso, interpretación o relación con temas no propios de
la lógica proposicional.
Capítulo 6, en esta parte se redactan las conclusiones con relación al objetivo
prin-cipal de esta tesis (mencionado líneas arriba) que en esencia nos dice que la Lógica
proposicional clásica es correcta, completa (ambas en los sentidos débil y fuerte) y
compacta.
Asimismo, se incluyen los anexos A, B, C, D, E y F en los que se proporcionan
algunos conceptos matemáticos y de lenguaje, requeridos en el desarrollo de este
trabajo o para comprender las demostraciones hechas en otros textos y a las que
remitimos en algunas ocasiones.
Finalmente, se proporciona una lista de las referencias usadas en el desarrollo de
Nomenclatura e indicaciones
1. A, usualmente usado para representar un alfabeto.
2. A.P., abreviatura para ’análisis de prueba’.
3. As., abreviatura para ’asumir’ o ’sea’.
4. fbf, abreviatura para ’fórmula(s) bien formada(s)’
5. F, representa el conjunto de todas las fbf
6. | |, δ, δ son notaciones para valuación.
7. WpEq, W pAq representan el conjunto de todas las expresiones construidas desde un alfabetoE o A, respectivamente.
8. P, representa el conjunto de todas las letras proposicionales.
9. F F rA, B, C, ...s tiene dos posibles interpretaciones. Si no se indica nada, esta notación dice que las letras proposicionales que ocurren enF están entre
A, B, C, ...(ver la Notación 2.14 y la Observación 3.11.b).
11. Indistintamente usamos ’dos presentaciones distintas’ de tablas de verdad (ver
Definición 2.12).
12. A veces se usan un par de puntos, uno a cada lado de un operador lógico,
para denotar que es el operador principal o bien para denotar que se debe
interpretar en el metalenguaje.
13. Aunque usualmente las letrasA, B, C, ..., A1, A2, A3, ... se usan para
represen-tar letras proposicionales, pueden también represenrepresen-tar fbf complejas, esto
de-penderá del contexto o de lo que se indique explícitamente.
14. , indicará subconjunto propio.
15. HI, abreviatura para hipótesis inductiva.
16. El símboloindica que se ha hecho una asignación, así por ejemplo,
Capítulo 1
Principios de la Lógica
proposicional clásica
Principios de la Lógica clásica proposicional
Principio de bivalencia [6], [21], [9]
Es el principio (o la afirmación metateórica) según el cual (o la cual) cualquier
enunciado (lógico) es o bien verdadero o bien falso. Si «Tp» está por «p es verdadero»
y «T p» está por «p es falso», el principio de bivalencia es «Tp T p». En la lógica proposicional clásica la bivalencia se expresa como «p_ p », (vea [21]).
El principio de bivalencia también puede reenunciarse así (vea [5]): Cada
enun-ciado es verdadero o falso. Por ejemplo, si decimos que ’Fred está en Europa’, la
verdad: O verdadero o falso.
Principio de tercio excluso, tercero excluido o tertium non
datur [23], [9]
Es el principio según el cual la disyunción de cualquier enunciado (lógico) con su
negación es siempre verdadera. Si «Tp» está por «p es verdadero» y «T p» por
«p es falso», el principio de “tercio excluso es «T(p_ p)» ”( [22, pág.788]) . Así, este principio en la lógica proposicional clásica nos dice que (p_ p) es una verdad lógica.
El principio de tercio excluso puede reenunciarse así (vea [5]): Para cualquier
enunciado P, P o no-P, debe ser verdadero. Por ejemplo, si decimos ’Fred está en
Europa’, entonces o ’Fred está en Europa’ o ’No es cierto que Fred está en Europa’
Principio de contradicción [9]
“Llamado también principio de no contradicción ”, es el “principio según el
cual un enunciado y su negación no pueden ser simultáneamente verdaderos ”; [22,
pág.788]. Si «Tp» está dado por «p es verdadero» y «T p» por «p es falso», el
Capítulo 2
Lógica proposicional clásica: Un
enfoque semántico
Definición 2.1 (Lenguaje formal). Definimos a continuación un lenguaje formal
L0 que nos servirá para el análisis de ciertos argumentos [32].
A. AlfabetoA. Constituido por:
a. El conjunto P de letras mayúsculas con o sin subíndices (que llamaremos
letras proposicionales o símbolos de sentencia):A, B, C, ..., A1, B1, C1, ..., An, Bn, Cn, ... b. Los símbolo (que llamaremos conectivos lógicos): ,^,_,Ñ,Ø
c. Los símbolos de puntuación:q,p
Resumiendo, el alfabeto de L0 es:P Y t ,^,_,Ñ,Øu Y tq,pu
a. Toda letra proposicional es una fbf.
b. Si Φ y Ψ son fbf arbitrarias, también lo son:
p Φq,pΦ^Ψq,pΦ_Ψq,pΦÑ Ψq,pΦØΨq
c. Las únicas fbf son aquellas que se obtienen por medio de (a) o (b).
Tabla 2.1: Conectivas lógicas [11]
Símbolo Representa Lectura usual
la negación no
^ la conjunción y
_ la disyunción o (inclusiva)
Ñ el condicional si..., entonces...
Ø el bicondicional si y sólo si
Definición 2.2(Conectivas lógicas). Dadas dos fbf cualesquiera Φ y Ψ definimos
las conectivas lógicas del lenguaje L0 como sigue [11], [14, pág.4]:
a. p Φq es verdadera si y sólo si pΦq es falsa.
b. pΦ^Ψq es verdadera si y sólo si pΦq es verdadera y pΨq es verdadera; en cualquier otro caso es falsa.
d. pΦÑ Ψq es falsa si y sólo si pΦq es verdadera y pΨq falsa; en cualquier otro caso es verdadera.
e. pΦØ Ψq es verdadera si y sólo si pΦq y pΨq tienen simultáneamente el mismo valor de verdad; en cualquier otro caso es falsa.
Las definiciones a-e de la Definición 2.2 se muestran en forma tabular en la Tabla
2.2.
Tabla 2.2: Definición tabular de las conectivas lógicas
pΦq pΨq p Φq pΦ^Ψq pΦ_Ψq pΦÑ Ψq pΦØ Ψq
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
Definición 2.3 (Definición inductiva de una sucesiónpFnqnPN0,subconjunto
de WpAq). Dados (ver [7, p. 10] y las definiciones 4 y 5 en [3]):
U como el conjunto de todas las expresiones, es decir, palabras cualesquiera
que incluye también al conjunto de letras proposicionales.
B P el conjunto de todos los símbolos de sentencia.
F tε , εα : ε :U ÑU, εα :UU ÑU, αÑ,^,_,Øu
definimos:
F0 P
p@n PN0q pFn 1 FnY t F :F PFnu Y tpF αGq:F, GPFn, αP t^,_,Ñ,Øuuq
Definición 2.4. La siguiente definición es un caso particular de la dada en el Anexo
A, y dice que dado el conjuntoFn de la Definición 2.3, definimos C como sigue:
C ¤
nPN
Fn
Definición 2.5. Sea F algún conjunto de fbf construidas a partir del conjunto de
símbolos de sentenciaB P de tal modo que:
a. B F
b. Si la fbf AP F entonces p Aq PF
c. Si las fbf A,BP F entonces pAαBq PF con α P t^,_,Ñ,Øu
Observación 2.6. (Características de F definida en la Definición 2.5)
a. Primero, debemos responder la pregunta ¿F es exactamente el conjunto de
todas las fbf o es sólo un subconjunto propio de él?. Veamos, por el Principio
b. La segunda pregunta es si el conjunto F establecido en la Definición 2.5 ¿es
también la intersección de todos los conjuntos B_F inductivos de U - vea el Anexo A - (B, F yU se especifican más abajo)?, es decir, ¿F C? Veamos. Si consideramosU como el conjunto de todas las expresiones de nuestro lenguaje (es decir U WpAq en la Definición 2.1), B como el conjunto de símbolos de sentencia yF como el conjunto de las cinco operacionesε , ε^, ε_, εÑ, εØ; siendo además M U un conjunto B_F inductivo cualquiera, queremos probar si F XM. En efecto:
i. Dado que B M,@M, entonces B XM ii. Analicemos los conjuntos M.
Muchos de los conjuntos M podrían contener fórmulas no bien formadas (podemos asumir que ello es así). No obstante, dado que por condición
M es B_F inductivo, es decir, B M y es cerrado bajo F, entonces
F M (vea la Observación 2.6.a). Así, todo M que contiene fórmulas no bien formadas también contendrá cualquier fbf.
iii. Por otro lado, algún otro conjunto M podría contener únicamente fbf. Si
denotamos a este conjunto comoM1, puesto que por hipótesisM esB_F
iv. En resumen, si M es un conjunto B_F inductivo cualquiera, entonces
F M,@M, siendo en particular M M1 F también un conjunto
B_F inductivo, y por tanto, es claro queXM Φ (diferente del conjunto vacío) y estará formado exclusivamente por fbf.
v. Si X, Y P XM entonces p@Mq pX, Y PMq, lo que implica que p@Mq :
pεpX, Yq PMq y pε pXq PMq, es decir, εpX, Yq P XM y ε pXq P
XM. Luego XM es cerrado bajo F.
vi. Por el Principio de inducción (vea el Anexo B), puesto que B XM se
concluye que XM es exactamente el conjunto de todas las fbf, y puesto queF es también el conjunto de todas las fbf tenemos queXM F (que es lo que queríamos verificar).
Dado que F XM(como acabamos de probarlo) y como por la Defi-nición A3, XM C, se concluye, por la Propiedad A.4 que F es el conjunto B_F inductivo de U más pequeño, generado desdeB porF, es decir, redundando una vez más, F es el subconjunto de U WpAqmás pequeño que contiene exactamente todas las fbf y que es cerrado bajo ε
(donde ,^,_,Ñ,Ø).
Teorema 2.7. F YnPNFn
Prueba
La Definición 2.4 nos dice queC
nPN
Fn
El Teorema A.11 (ver Anexos) nos dice queC C
Luego se concluye queF
nPN
Fn
Definición 2.8. Una asignación de valores de verdad a P es una función de P al
conjunto t0,1u donde P es el conjunto de letras proposicionales de L0 [7].
Observación 2.9.
a. Los términos asignación de valores de verdad, valuación, evaluación y
distri-bución de valores de verdad son ’sinónimos’.
b. Siδ es la función de valuación, la Definición 2.8 puede representarse simbóli-camente como:
δ : P Ñ t0,1u
A ÞÑ δpAq
es decir,δ PP t0,1u o lo que es lo mismo δP t0,1uP y, como se observa, lo que hace una valuación δ es asignar a la letra proposicional A un valor δpAq
que puede ser 0 o 1.
Teorema 2.10. Para cualquier asignación de valores de verdad δ P t0,1uP existe una única función δ : F Ñ t0,1u (puede ver [7] y [32]) que concuerda con δ
sobre P (es decir, extiende δ) y que satisface las siguientes propiedades:
b. @M, N P F, δpM ^Nq m´ın δpMq, δpNq(
c. @M, N P F, δpM _Nq m´ax δpMq, δpNq(
d. @M, N P F, δpM Ñ Nq 1δpMq δpMqδpNq
e. @M, N P F, δpM Ø Nq δpMqδpNq 1δpMq 1δpNq
Prueba
Como primera tarea debemos probar la existencia y unicidad de δ, para esto identificamos los términos del Teorema 2.10 con los términos usados en el Teorema
de la recursión (Anexo C).
Identificación de U, C, B, f, g
U : el conjunto de todas las expresiones
C F, donde por el ’Unique Readability Theorem’ (Anexo C) se sabe queF
es un conjunto libremente generado desdeB (como lo requiere el Teorema C.2 de la recursión).
B P, el conjunto de símbolos de sentencia deL0 f ε : U U Ñ U
pM, Nq ÞÑ εpM, Nq pM Nq
con ^,_,Ñ,Ø g ε : U Ñ U
Identificación de V, h, F, G
V t0,1u
hδ : P Ñ t0,1u
F : t0,1u t0,1u Ñ t0,1u
px, yq ÞÑ F px, yq m´ıntx, yu o px, yq F px, yq m´axtx, yu o px, yq F px, yq 1x xy
o px, yq F px, yq xy p1xq p1yq
G : t0,1u Ñ t0,1u
x ÞÑ Gpxq 1x
Hasta aquí, como se ha visto, el Teorema 2.10 satisface las hipótesis del Teorema
de recursión (Anexo C), luego aplicando el Teorema de la recursión, concluimos para
el Teorema 2.10 que, existe una única función δ : F Ñ t0,1u (donde mirando el Teorema de la recursión, hδ ) tal que:
i. @M PP, δpMq δpMq
ii. @M, N P F, δpεpM, Nqq δpM Nq F δpMq, δpNq
@M PF, δpε pMqq δp Mq G δpMq
Como segunda tarea debemos verificar las diversas igualdades enunciadas en el
teorema en demostración, es decir, lo que resta por probar es que las funciones F y
G definidas, concuerdan con las definiciones dadas para ,^,_,Ñ,Ø (Definición 2.2). Esto es fácil de corroborar; a modo de ejemplo veamos laconjunción:
δpε^pM, Nqq δpM ^Nq
$ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' %
0, otros casos 0, otros casos 0, otros casos
1, siδpMq δpNq 1 por la Definición 2.2.b
$ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' %
0m´ınt0,0u 0m´ınt0,1u 0m´ınt0,1u 0m´ınt1,1u
m´ın δpMq, δpNq(
Observación 2.11. Habitualmente se habla de valor de verdad de la fbf F, bajo la
asignación δ en vez deδ, es decir, en la práctica no se suele hacer distinción entre δ
y δ.
Definición 2.12 (de Tabla de verdad). Dada una fbf en la que aparecen n letras proposicionales distintas, la Tabla de verdad de esa fórmula se define como aquel
arreglo que requiere 2n filas. El número de filas debe ser tal que todas las posibles
representadas en la tabla( [12], [7]).
Intuitivamente podemos ver la relación entre el número de combinaciones 2n
(representado en un diagrama arbóreo (Figuras 2.1 y 2.2)y su tabla de verdad (vea
la Tabla 2.3 de una fórmula en la que aparecen tres letras proposicionales).
Figura 2.1: (Adaptado de [12]). Diagrama arbóreo que muestra todas las
posibles combinaciones de valores de verdad de una fbf en la que ocurren
Figura 2.2:Generalización arbórea de la Fig. 2.1, donde además se indican
como a partir de este árbol se puede obtener en particular la Tabla 2.3
Tabla 2.3: Tabla de verdad de una fbf en la que aparecen tres letras
pro-posicionales (note su relación con la Fig. 2.1 o la Fig. 2.2). A B C
Ñ 1 1 1
1 1 0
Ñ 1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
Ñ 0 0 1
0 0 0
Adicionalmente, para una misma fórmula en la que aparecen n letras propo-sicionales existen distintas tablas que difieren en el orden en el que las ntuplas
t0,1u t0,1u . . .t0,1u
looooooooooooooomooooooooooooooon
nveces
t0,1un se colocan. En este trabajo, de las 2n! posibles tablas para una misma fórmula, tomaremos aquella tabla en la que la ntupla
pa1, a2, ..., anq se coloca arriba de pb1, b2, ..., bnq si, para el primer subíndice j P
Tabla 2.4: En esta tabla note como en las filas segunda y tercera a2 b2
y a2 b2, así la fila p0,0,1q pa1, a2, a3q va a la cabeza de la fila p0,1,0q
pb1, b2, b3q.
A B C
0 0 0
a1=0 a2=0 a3=1 segunda fila b1=0 b2=1 b3=0 tercera fila
0 1 1
... ... ...
También usaremos en ester trabajo aquella presentación de la tabla de verdad
más habitual, que es la que empieza con unos a la cabeza (primera fila).
Ejemplo 2.13. Dada la fbf pA1 Ñ A8qdonde A1 y A8 son letras proposicionales,
se pide que:
a. Construya su tabla de verdad.
b. CalculeδpA1 Ñ A8q para las siguientes asignaciones:
i. δpA1q 0, δpA8q 0 ii. δpA1q 1, δpA1q 1
c. Fijada una enumeración de las letras proposicionales deL0, a saber,A1, A2, A3, ...;
νpAiq
$ ' ' & ' ' %
1 si Ai tiene subíndice impar 0 en otro caso
CalculeνpA1 Ñ A8q como una extensión de ν arriba definida.
Solución
a. La Tabla 2.5 es la tabla de verdad depA1 Ñ A8q
Tabla 2.5: Tabla de verdad de pA1 Ñ A8q A1 A8 pA1 Ñ A8q
primera fila 0 0 1
segunda fila 0 1 1
tercera fila 1 0 1
cuarta fila 1 1 0
b. i. Para las asignacionesδpA1q 0 yδpA8q 0 por el Teorema 2.10 se tiene
que:
δpA1 Ñ A8q 1δpA1q δpA1qδp A8q
1δpA1q δpA1q r1δpA8qs
1
Note que las asignaciones δpA1q 0 y δpA8q 0 se corresponde con el
calculada por el Teorema 2.10 produce el mismo valor (que es 1) que aquél
mostrado en su tabla de verdad (pues recuérdese que al fin y al cabo
tan-to una tabla de verdad como las igualdades del Teorema 2.10 se derivan
de y para satisfacer las definiciones de las conectivas lógicas (Definición
2.2)).
ii. δpA1q 1 yδpA2q 1 que es otro conjunto de asignaciones que se
corres-ponden con las cuarta fila de la Tabla 2.5, es decir, con p1,1q; aplicando a esta el Teorema 2.10 resulta que δpA1 Ñ A8q 0, que una vez más
concuerda con aquel valor de pA1 Ñ A8q en su tabla de verdad.
c. Nótese que se pueden definir muchos tipos de valuaciones (en este ejemplo para
las letras proposicionales). Sin embargo, como deberá notarse se defina como se
defina una valuación, ésta siempre caerá en alguna fila de una tabla de verdad
(pues recuérdese que una tabla de verdad de una fórmula contiene todas las
posibles combinaciones de verdad-falsedad de las letras proposicionales que
ocurren en la fórmula).
Ene el ejemplo, la fbf pA1 Ñ A8q con ν arriba definida usa las asignaciones υpA1q 1 y υpA8q 0 que como se nota, corresponden a la tercera fila de
la Tabla 2.5. Ahora ya sea por el Teorema 2.10 o por su tabla de verdad se
tendrá que υpA1 Ñ A8q 1
otra restricción, usaremos la notaciónF rA1, A2, ..., Anspara F, cuando queremos enfatizar que los elementos de P que ocurren al menos una vez en F están entre A1, A2, ..., An. Así, por ejemplo, F pAÑ pB _Aqq podría escribirse como
F rA, Bso F rA, B, C, Ds, [7].
Observación 2.15. Otros detalles y discusión en torno a la notaciónF rA1, A2, ..., Ans se proporcionan en [7].
Definición 2.16. SiF es una fbf y δuna valuación, se dice que F es satisfecha por
δ, o que δ satisface F, cuando δpFq 1, [7].
Definición 2.17.
a. (de Tautología). Una tautología es una fórmula que asume el valor 1 para
cualquier asignación de valores de verdad. Dicho de otro modo, una fórmula es una
tautología si y sólo si cualquier valuación hace la fórmula verdadera, ( [17], [7]).
La notación para ’F es una tautología’ es |ùF mientras que /|ùF significa ’F no es una tautología’.
b. (de Fórmula contradictoria). Llamada también antilogía o antitautología,
una fórmula es contradictoria si y sólo si ella asume el valor cero bajo cualquier
asignación de valores de verdad, (definición basada en [7] y [9]).
Definición 2.18(Fórmulas lógicamente equivalentes). Dos fórmulaB yC son
cualquier asignación de valores de verdad a las letras proposicionales que conforman
B y C, [17].
Las notaciones para decir que ’B es lógicamente equivalente a C’ pueden ser:
BC,BC o B() C
Observación 2.19.
a. Debe notarse que una tautología es una fórmula cuya tabla de verdad contiene
sólo 1 en su columna principal, en otras palabras es una fórmula que es siempre
verdadera.
b. Dos fórmulas lógicamente equivalentes son dos fórmulas que son satisfechas
exactamente por las mismas asignaciones de valores de verdad y que por tanto
tienen la misma tabla de verdad.
Definición 2.20 (Satisfacción). Sea A un conjunto de fórmulas del cálculo
pro-posicional sobre el conjunto de variables propro-posicionales P, sea G una fbf y δ una distribución de valores de verdad sobre P. Entonces, decimos que A es satisfecho
porδ (o que δ satisface A) si y sólo siδ satisface todas las fórmulas que pertenecen aA (vea la Definición 2.16).
Observación 2.22.
a. Si Γ tB1,B2, ...,Bnu, se suele escribir:
B1,B2, ...,Bn |ùF en lugar de tB1,B2, ...,Bnu |ùF; [32].
b. Si miramos el libro [17, p. 6], en vez de ’consecuencia tautológica’ usa las
expresiones ’consecuencia lógica’ o ’implica lógicamente’. Así, siguiendo a este
autor decimos queBimplica lógicamente aC o (C es consecuencia lógica deB),
si y sólo si, toda asignación de valores de verdad a las letras proposicionales de
Bque hacen verdadera a ésta, también hacen aC verdad. Según la notación de
la Definición 2.21, tendríamostBu |ùC o de acuerdo a la Observación 2.22.a,
B|ù C.
Por otra parte, en [7] simplemente se usa el nombre ’consecuencia’ en vez de
’consecuencia lógica’ y define que la fórmula G es consecuencia lógica de un
conjunto de fórmulas Γ si y sólo si cada distribución de valores de verdad
que satisface Γ satisface G, es decir, Γ |ù G. También usaremos la expresión ’consecuencia semántica’.
c. De acuerdo a la Definición 2.21 de Γ |ù F, debemo entender Γ * F en el sentido que existe una valuación que hace verdaderas a todas las fórmulas de
Γ y que al mismo tiempo no satisface F, es decir, |F| 0.
d. Para una justificación de la traducción usando@ véase [12, p. 36 37].
a. Ocurre que pA^Bq |ùA, pues como se observa en la última fila de la Tabla 2.6, la asignación p1,1q que hace verdadera a pA, Bq también hace verdadera aA.
Tabla 2.6:
A B A^B A 0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
b. Ocurre también que pP _Qq,p Pq |ù Q, pues como se muestra en la Tabla 2.7 toda asignación que hace simultáneamente verdaderas a pP _Qq y p Pq
(y que en este caso tal asignación a sus letras proposicionales es p0,1q), hace verdadera aQ.
Tabla 2.7:
P Q pP _Qq p Pq Q
0 0 0 1 0
0 1 1 1 1
1 0 1 0 0
Definición 2.24 (Fórmulas tautológicamente equivalentes (segunda definición)).
Dos fórmulasA yB son tautológicamente equivalentes si y sólo siA|ù B y B |ù A; [32, pág. 53].
Una notación, como antes se indicó es: A()B.
Definición 2.25 (Conjunto de fórmulas tautológicamente equivalentes ). Dados
los conjuntos de fórmulas A y B, decimos que son tautológicamente equivalentes
(lógicamente equivalentes o simplemente equivalentes) si y sólo siA |ùB y B|ùA; [32], [7, pág. 46].
La notación, como antes es: A()B.
Ejemplo 2.26. Sea A tA, Bu y seaB tpA^Bqu, luego tA, Bu () tpA^Bqu. En efecto, si | | es cualquier valuación que satisface tA, Bu significa que |A|
|B| 1, entonces |pA^Bq| 1, lo que significa que tA, Bu |ù tpA^Bqu.
Por otra parte, si | | es cualquier valuación que satisface tpA^Bqu, significa que |pA^Bq| 1 , lo que a su vez significa que |A| |B| 1. En consecuencia
tpA^Bqu |ù tA, Bu.
Por tanto, tA, Bu () tpA^Bqu.
Teorema 2.27 (de la Deducción). Sea ΓY tαu F donde Γ tα1, α2, ..., αnu. Entonces Γ|ùα si y sólo si |ù ppα1^α2^...^αnq Ñαq.
Prueba
A.P.
P1:|ù ppα1^α2^...^αnq Ñαq As2:|ù ppα1^α2^...^αnq Ñ αq P2: Γ|ù α
Prueba
P1
Sea||una valuación arbitraria. Necesitamos analizar el o los valores de verdad generados por| | en|ppα1^α2^...^αnq Ñαq|.
Si||satisface Γ, es decir, si ocurriera que|α1| |α2| ... |αn| 1, entonces por la hipótesis As1, se implicaría que |α| 1. Y si todo esto es así, entonces
|ppα1^α2^...^αnq Ñαq| 1.
Si por otra parte existiera otro grupo de valuaciones u otra valuación | | que no satisfaciera Γ, significaría que Dαi en Γ tal que |αi| 0 y si es-to es así necesariamente |ppα1^α2^...^αnq Ñαq| 1. En un condicio-nal, Ñ, si el antecedente es falso, no importa el valor de verdad del conse-cuente, el resultado final será siempre verdadero, es decir, que aquí también
|ppα1^α2^...^αnq Ñαq| 1. Todo lo anterior significa que para cualquier valuación,ppα1^α2^...^αnq Ñ αq es una tautología.
P2
1.
Por la hipótesis As2, puesto que ppα1^α2^...^αnq Ñ αq es una tautolo-gía, entonces para la valuación anterior deberá ocurrir que |α| 1 (ya que
| pα1^α2 ^...^αnq | 1).
Lo anterio significa que si| | satisface Γ, entonces|α| 1.
Proposición 2.28. Dadas las fórmula B y C, entonces:
a. B implica lógicamenteC si y sólo siB ÑC es una tautología.
b. pByCqson lógicamente equivalentes si y sólo sipBØCqes una tautología; [17, pág. 6].
Prueba
a. A.P.
As1:B |ùC
P1:|ù BÑ C
As2:|ù BÑ C
P2:B |ùC
Prueba
P1
Sea | |una valuación arbitraria. Para esta valuación puede ocurrir que o bien
|C|, ocurrirá que |BÑ C| 1. Y si|B| 1, de la hipótesis As1, |C| 1; por lo
que otra vez |BÑC| 1. Luego pBÑ Cq es una tautología.
P2
Sea | | una valuación arbitraria tal que |B| 1. De la hipótesis As2 se sique que - para esta valuación arbitraria - también deberá ocurrir que|C| 1 (pues
pBÑ Cq es una tautología). Es decir, de la hipótesis As2 se puede garantizar
que no hay ninguna valuación que haga a B verdadera y a la vez a C falsa.
Luego B implica lógicamenteC.
Por tanto, B (C.Ø.( pB ÑCq. b. A.P.
P:B ()C.Ø .|ù pB ØCq
Prueba
P
i. pB Ø Cq es una tautología si y sólo si toda asignación de valores de verdad
hace pBØCq verdadera (Definición 2.17).
ii. pB Ø Cq es verdadera cuando y sólo cuando B y C tienen los mismos valores
de verdad (Definición 2.2).
iii. Combinando piq y piiq en un cuantificador universal tendríamos:
que es equivalente a decir:
p@ ||q rB y C tienen los mismos valores de verdads.
iv. p@ ||q rB y C tienen los mismos valores de verdads si y sólo si B y C son
lógi-camente equivalentes (Definición 2.18).
v. Esquematizando i, iii, iv y notando que la expresión usada en iii, ’es
equiva-lente a decir’ es un caso especial del ’.Ø.’ en el metalenguaje, e infiriendo, se tiene:
pBØ Cq es una tautología .Ø.pp@ ||q ppBØ Cq es verdaderaqq
pp@ ||q ppB ØCqes verdaderaqq.Ø.p@ ||q rB y C tienen idénticos valores de verdads
p@ ||q rB y C tienen idénticos valores de verdads.Ø .pB y C son lógicamente equivalentesq
De las tres líneas precedentes se extrae la conclusión:
pBØCq es una tautología.Ø .pB y C son lógicamente equivalentesq
Observación 2.29.
a. Note que la expresión ’si y sólo si’ en iiv corresponde al metalenguaje y al representarlo gráficamente, en esta demostración en particular, se ha encerrado
entre dos puntos,.Ø ..
b. La parte iii simbólicamente puede escribirse puede escribirse como si A B
c. El esquema de inferencia usado es de la forma:
A Ø B B Ø C A Ø C
Teorema 2.30(Modus Ponens). SiB ypB ÑCqson tautologías, entonces también lo es C; [17, pág. 9].
Prueba
A.P.
As1:(B
As2:( pB Ñ Cq
P:(C
Para probar P asumimos *C y derivamos una contradicción. Prueba
SiC no es una tautología, entonces pD ||q |C| 0.
Si |C| 0, de la hipótesis As2, forzosamente |B| 0. No obstante, esto contradice la hipótesis As1.
Por tanto, C debe ser una tautología.
Definición 2.31 (Subfórmula). Decimos que B es una subfórmula de una fórmula
Observación 2.32.
a. En [7, pág.19] se define por inducción lo que se suele llamar el ’conjunto de
subfórmulas de F’.
b. La notaciónBrL{Asindica que en la estructura deB se sustituye A porL (o queL sustituye A). Así, por ejemplo, si:
==rA1, A2s ppA1^A2q ÑA1q
L1 pB_Cq L2 pC^Dq
entonces:
B =rL1{A1, L2{A2s ppL1^L2q ÑL1q
B pppB_Cq ^ pC^Dqq Ñ pB _Cqq BrB, C, Ds
c. El siguiente teorema (Teorema 2.33) asume que el sustituir letras
proposiciona-les de una fórmula por fórmulas, produce también una fórmula. Sin embargo,
para una mayor rigurosidad puede consultarse el Teorema 1.15 en [7], donde
este hecho se enuncia y demuestra.
Prueba
A.P.
As1: = =rA1, A2, ..., Ans donde = tiene exactamente las letras proposicionales
A1, A2, ..., An en su estructura. As2:|ù =
As3: BBrL1, L2, ..., Lns =rL1{A1, L2{A2, ..., Ln{Ans P:|ù B
Prueba
P
B es una fórmula constituida exactamente por las subfómulasL1, L2, ..., Ln.
A su vez L1, L2, ..., Ln son o están constituidas por letras proposicionales, es decir (vea la Notación 2.14):
L1 L1rM1, M2, ..., Mms
L2 L2rM1, M2, ..., Mms ..
.
Ln LnrM1, M2, ..., Mms Luego, BBrM1, M2, ..., Mms.
Ahora, para cualquier asignación de valores de verdad a las letras
BB L1
loomoon rlooooooooomooooooooonM1, M2, ..., Mms
ÐÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ
asignación a L1
loooooooooooooomoooooooooooooon
produce:x1
, L2
loomoon rlooooooooomooooooooonM1, M2, ..., Mms
ÐÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ
asignación a L2
loooooooooooooomoooooooooooooon
produce: x2
, ..., Ln
loomoon rlooooooooomooooooooonM1, M2, ..., Mms
ÐÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ
asignación a Ln
loooooooooooooomoooooooooooooon
produce: xn
De la hipótesis As3, BrL1, L2, ..., Lns =rL1{A1, L2{A2, ..., Ln{Ans, se nota que si asignamos los valores de verdad anterioresx1, x2, ..., xn a las letras pro-posicionales A1, A2, ..., An respectivamente en =, entonces el valor de verdad obtenido para = es el mismo valor de verdad que el que tiene B. Esto es así,
porque, como debe notarse, el conector lógico binario - si lo hubiera- entre Li y Lj (1 ¤ i, j ¤ n) es el mismo que existe entre Ai y Aj para todo i y j (y lo mismo para el conector unario), pues B se obtuvo de = reemplazando la
posición de Ai por Li. Esto significa que si reemplazamos Ai de = por xi, y,
Li de B porxi obtendremos dos expresiones exactamente iguales.
Las asignacionesx1, x2, ..., xn provienen de asignaciones arbitrarias dadas a las letras proposicionales de B. Como ya vimos, para cada grupo de asignaciones
x1, x2, ..., xn; B y=siempre tienen el mismo valor de verdad. No obstante, por la hipótesis As2, = es una tautología, por lo que B también será verdadera
para cualquier asignación de valores de verdad a sus letras proposicionales.
Esto última significa que, por tanto, B es también una tautología.
Teorema 2.34. Sean las fórmulasB, C, B1yC1donde ademásB es una subfórmula
a. SiC1 se obtiene deB1 mediante la sustitución de una o más ocurrencias deB
enB1 por C, entonces ppB Ø Cq Ñ pB1 Ø C1qqes una tautología.
b. Si además B y C son lógicamente equivalentes, entonces también lo serán B1
y C1; [17], [32].
Prueba
a. A.P.
As: C1 B1rC{Bs pC sustituye Bq
P:( ppB Ø Cq Ñ pB1 Ø C1qq
Prueba
P
Sea | | una valuación arbitraria (es decir, | | representa cualquier asignación de valores de verdad que se hace a las letras proposicionales).
Considerando la hipótesis As, si reemplazamos el valor de verdad de B enB1
y el valor de verdad deC enC1 ocurrirá que:
i.C1 tenga exactamente la misma estructura queB1(esto ocurre si|B| |C|).
ii. C1 tenga exactamente la misma estructura que B1, excepto en los lugares
que ocupa C en C1, donde C tiene un valor opuesto al valor de B (la
Debe notarse que para cualquier asignación de valores de verdad, B y C ten-drán o bien valores iguales o bien valores opuestos y no hay otra posibilidad.
Si consideramos el anterior (i), donde la asignación de valores de verdad da
como resultado|B| |C|, entonces puesto queB1 yC1 son iguales en forma y
contenido -también ocurrirá que|B1| |C1|. Si esto esto es así, |B Ø C| 1
y |B1 Ø C1| 1 y en consecuencia| ppB Ø Cq Ñ pB1 Ø C1qq | 1.
Si tomamos el caso (ii), donde |B| |C|, entonces |B Ø C| 0 y en conse-cuencia| ppB ØCq Ñ pB1 ØC1qq | 1.
Por lo tanto,ppB Ø Cq Ñ pB1 Ø C1qq es una tautología.
b. A.P.
As1:C1 B1rC{Bs
As2:B ()C
P:B1 ()C1
Prueba
P
Considerando la Definición 2.18, debemos probar queB1 yC1 tiene los mismos
valores de verdad bajo cualquier asignación de valores de verdad a sus letras
proposicionales.
De las hipótesis As1 y del hecho que |B| |C| para cualquier valuación (al igual que el caso (i) en la prueba anterior), se infiere que |B1| |C1| para
cualquier valuación. Esto significa que B1 y C1 tienen los mismos valores de
verdad para cualquier asignación de valores de verdad. Por lo tanto B1 y C1
son lógicamente equivalentes.
Definición 2.35 (Fórmula satisfacible). Una fórmula es satisfacible si y sólo si
existe una valuación que la satisface; [7], [32], [9, pág. 73].
Definición 2.36 (Fórmula insatisfacible). Una fórmula B es insatisfacible (o no satisfacible) si y sólo ninguna valuación la satisface, es decir, B es insatisfacible si y sólo si para toda valuación | | ocurre que |B| 0. En otros términos, B es insatisfacible si y sólo si no es satisfacible; [16, pág.36].
Observación 2.37.
a. De la Definición 2.36 de fórmula insatisfacible y de fórmula contradictoria
(Definición 2.17.b) se sigue fácilmente que una fórmulaB es insatisfacible si y sólo si B es una fórmula contradictoria.
b. Para el lenguaje formalL0, todas las fórmulas del lenguaje quedan clasificadas
en dos clases disyuntas: satisfacibles e insatisfacibles; [9, pág.73]. De esto se
infiere que insatisfacible es equivalente a no satisfacible.
de otro modo, Γ es satisfacible si y sólo si existe una valuación| | tal que para toda
B PΓ, |B| 1; [7, pág.45], [32, pág.72.].
Definición 2.39 (Conjunto insatisfacible). Sea ΓF. Se dice que Γ es insatisfaci-ble si y sólo si no existe ninguna valuación| | que satisfaga todas las fórmulas de Γ al mismo tiempo. En otras palabras, dada cualquier valuación existe al menos una
fórmulaB P Γ tal que |B| 0; [7, pág.45], [32, pág.72.].
Lema 2.40. Si Γ tB1, B2, ..., Bnu F para algúnn PN, entonces Γ es satisfacible
si y sólo si la fórmulaC B1^B2^...^Bn es satisfacible; [32, Lema 4.13].
Prueba
a. (Ñ) Prueba de que si Γ tB1, B2, ..., Bnu, n P N es satisfacible, entonces
C B1^B2^...^Bn es satisfacible. En efecto, si Γ es satisfacible, entonces
pD ||q p@Bi PΓq p|Bi| 1q. Puesto que esa misma valuación aplicada a C pro-duce |C| |B1^B2^...^Bn|
n
±
i1|
Bi| 1, significa que C es satisfacible con esa valuación.
b. (Ð) Prueba de que si C B1 ^ B2 ^ ... ^ Bn es satisfacible, entonces Γ tB1, B2, ..., Bnu es satisfacible. En efecto, si C es satisfacible significa que pD ||q p|C| 1q, y dado que C B1 ^B2 ^... ^Bn debe ocurrir que
Observación 2.41. SiC B1^B2^...^Bn es una fórmula, entonces se prueba que|C|
n
±
i1
|Bi|.
Definición 2.42 (Conjunto contraejemplo). Sea la consecuencia tautológica Γ(B
que representa un argumento, en el que Γ es el conjunto de premisas y la fórmulaBla conclusión, entonces el conjunto ΓYt αuse denomina conjunto contraejemplo; [32, pág.73].
Teorema 2.43. Dado el conjunto ΓF y la fórmulaB, se tiene que ( [32, pág.73].):
a. Γ(B si y sólo si ΓY t Bu es insatisfacible.
b. En particular, si Γ tB1, B2, ..., Bnu con n P N, entonces Γ ( B si y sólo si
B1^B2^...^Bn^ B es una fórmula contradictoria.
Prueba
a.
(Ñ) A.P. As: Γ(B
P: ΓY t Bues insatisfacible
Para probar que ΓYt Bues insatisfacible, asumiremos que ΓYt Bues satisfacible y derivaremos un contradicción.
Prueba
Si suponemos que ΓY t Bu es satisfacible, entonces D || tal que ésta hace verdaderas a todas las fórmulas de ΓY t Bu, y en consecuencia, | B| 1 o lo que es lo mismo |B| 0.
Por otro lado, dado que esa valuación también satisface Γ, de la hipótesis As,
se infiere que|B| 1, no obstante esto es una contradicción con lo previamente hallado. Luego, debe ser ΓY t Bu insatisfacible.
(Ð) A.P.
As: ΓY t Bu es insatisfacible P: Γ(B
Prueba
Caso 1
Consideremos el caso en el que Γ es satisfacible. Si esto es así, entonces para
toda valuación que satisfaga Γ debe ocurrir que| B| 0 (esto se sigue de la Definición 2.39 aplicada a la hipótesis As).
Dado que para toda valuación que satisfaga Γ, se tiene que|B| 1, entonces se concluye queB es consecuencia tautológica de Γ, es decir, Γ (B
Caso 2
Consideremos el caso en el que Γ es insatisfacible.
Para probar que Γ (B, bajo la suposición de insatisfacibilidad de Γ, supon-dremos por reducción al absurdo que Γ*B, y lo que esta expresión nos dice es que existe al menos una valuación que satisface Γ (pero que no satisface a
F). Y esto contradice la suposición de insatisfacibilidad de Γ.
Luego debe ocurrir que Γ(B.
b.
A.P.
As: Γ tB1, B2, ..., Bnu,n PN
P: Γ(B.Ø .B1^B2^...^Bn^ B es una fórmula contradictoria. Prueba
Por la otra parte demostrada (a) se afirma que Γ ( B. Ø .Γ Y t Bu es insatisfacible.
Por el Lema 2.40 y considerando que no satisfacible es equivalente al término insatisfacible, se tiene que ΓY t Bu es insatisfacible si y sólo si la fórmula
C B1^B2^...^Bn^ B es insatisfacible.
Por la Observación 2.37.a, C es insatisfacible si y sólo si C es una fórmula contradictoria.
Observación 2.44. De las definiciones dadas anteriormente (satisfacción,
satisfaci-bilidad, consecuencia lógica, etc), además de los teoremas mostrados, se desprende
también muchas otras propiedades (lemas) algunas de las cuales son por ejemplo
( [7, pág.46]) (considerandoA como un conjunto de fórmulas y G una fórmula): 1. El conjunto vacío es satisfecho por cualquier distribución de valores de verdad.
Prueba
A.P.
As1: Φ es el conjunto vacío
P:p@ ||q p|| satisface Φq
Para probar P: As2, P: pD ||q p|| no satisface Φq y derivar una contradicción. Prueba
Si no fuera cierto que cualquier valuación satisface Φ, entonces existiría alguna
valuación para alguna fórmulaGP Φ tal que|G| 0. Pero esto es una contradicción con el concepto de conjunto vacío.
2.G es una tautología si y sólo si es una consecuencia del conjunto vacío.
Prueba
A.P.
As: Φ es el conjunto vacío
P:(GØΦ(G
As1: Φ es el conjunto vacío
As2:G es una tautología P1: Φ(G
Prueba
Φ es satisfecho por cualquier valuación y puesto que G es una tautología, entonces por la Definición 2.17.a, para toda valuación que satisface Φ se tendrá también que
todas ellas satisfacen G. A.P.2
As1: Φ es el conjunto vacío
As2: Φ(G
P:G es una tautología Prueba
Como Φ(G, entonces toda valuación que satisface Φ satisfaceG. No obstante, dado que Φ es el conjunto vacío, todas las valuaciones lo satisface. Luego G es satisfecha por toda valuación, por tantoG es una tautología.
Luego, se concluye que (GØΦ(G. 3. A es insatisfacible si y sólo si A( pG^ Gq.
Prueba
A.P.
Lo anterior es equivalente a: A es satisfacible si y sólo siA * pG^ Gq
As: A es satisfacible
P1:A * pG^ Gq
Prueba
En efecto, dado queAes satisfacible, existirá al menos una valuación||que satisfaga todas las fórmulas deA. No obstante, para esa misma valuación
|G^ G| m´ınt|G|,| G|u m´ınt|G|,1 |G|u 0
es decir, por la Observación 2.22.c se tiene queA * pG^ Gq. A.P.2
As: A* pG^ Gq
P2:A es satisfacible
Prueba
Por la Observación 2.22.c se sabe que existe una valuación | | que satisface todas las fórmulas de A y esto conlleva a su vez a decir que A es satisfacible.
4.A es insatisfacible si y sólo si toda fórmula es consecuencia deA.
Prueba
A.P.
La afirmación anterior se puede formalizar como:
pA es insatisfacible q Ø p@αP Fq pA(αq
pA es satisfacibleq Ø pDα PFq pA*αq
A.P.1
As: A es satisfacible
P1:pDαPFq pA*αq
————————————–
As1:A es satisfacible
As2:α G^ G
P1:A *α
Prueba
Dado queAes satisfacible, entonces existe una| | que satisface el conjuntoA, pero que, como es claro, para tal valuación |G^ G| 0. Luego, por la Observación 2.22.c se concluye que A*α.
A.P.2
As: pDα PFq pA*αq
P2:A es satisfacible
Prueba
5. G es una tautología si y sólo si G es consecuencia de cualquier conjunto de fórmulas.
Prueba
A.P.
P:p( Gq Ø p@AFq pA(Gq
A.P.1
As: (G
P:p@A Fq pA(Gq
Prueba
Caso 1. A es satisfacible
SiAes satisfacible entonces para la valuación| |que la satisfaga, también sucederá que|G| 1 por serG una tautología.
Caso 2. A es insatisfacible
SiA es insatisfacible, entonces por la Observación 2.44.4 se concluye que A (G. A.P.2
As: p@A Fq pA(Gq
P:(G
————————————–
As1:A tα:α es una fórmula tautológica fija o escogidau; [8, Estructura de prue-ba 3.4.4, pág.72]
P:(G
Prueba
Capítulo 3
Lógica proposicional clásica: Un
enfoque sintáctico
Definición 3.1 (Teoría axiomática o formal). Es aquella con las siguientes partes
( [17], [32]):
1. Lenguaje formal L
Este constará de:
1.1 Alfabeto A. Constituido por un conjunto numerable de símbolos, que son:
a. Letras proposicionales:A1, A2, A3, ....
b. Conectores lógicos primitivos: ,Ñ.
c. Símbolos de puntuación:q,p.
a. Toda letra proposicional es una fbf.
b. SiB y C son fbf arbitrarias, entonces también lo son p Bqy pBÑ Cq.
c. Una expresión o palabra es una fbf si y sólo si se puede obtener a partir de las
letras proposicionales aplicando (b).
2. Axiomas del Cálculo de enunciados (CE)
Si B, C, y D son fbf de L, entonces las fbf siguientes son axiomas del CE:
(A1) pBÑ pC ÑBqq
(B2) ppB Ñ pC ÑDqq Ñ ppB ÑCq Ñ pBÑ Dqqq
(C3) ppp Cq Ñ p Bqq Ñ ppp Cq Ñ Bq ÑCqq
3. Reglas de inferencia del CE
La única regla de inferencia del CE es el modus ponens (abreviado como MP).
SiB yC son fbf de Lesta regla dice queC es consecuencua directa deB y pBÑCq. Observación 3.2.
a. Eliminaremos paréntesis cuando esto no dé lugar a confusión.
b. Nótese que el conjunto infinito de axiomas del CE está dado por los tres
esquemas axiomáticos (A1)-(A3), pues cada esquema representa un número
infinito de axiomas. En otras palabras, el CE tiene una infinidad de axiomas,
ya que cada vez que se sustituya B, C y D por fbf de L en (A1), (A2) o (A3)
c. Introducimos otros conectivos por definición:
(D1) pB^Cq para pBÑ Cq
(D2) pB_Cq para p Bq ÑC
(D3) pBØ Cq para pBÑ Cq ^ pC Ñ Bq
El significado de D1, por ejemplo, es que para cualesquiera fbfB y C, pB^Cq
es una abreviación de pB Ñ Cq.
Definición 3.3.
a. Definición (Prueba). Una prueba o demostración en el CE es una sucesión
de fbf B1, B2, ..., Bk tal que, para cada i, o Bi es un axioma del CE, o, es una consecuencia directa por MP de alguna o de algunas de las fbf que preceden aBi en la sucesión antes mencionada; [17], [32].
b. Definición (Derivable a partir de un conjunto Γ ). Una fbf C se dice que es demostrable, derivable o consecuencia sintáctica de un conjunto de fbf Γ (en el
CE) si y sólo si existe una sucesión B1, B2, ..., Bk de fbf tales que C es Bk y para cada i, o Bi es un axioma, o, Bi está en Γ, o, Bi es una consecuencia directa por MP de alguna o algunas de las fbf que preceden a Bi en la sucesión.
Los elementos de Γ se denominan hipótesis o premisas de la prueba.
Definición 3.4 (Teorema). Un teorema del CE es una fbfB de L, tal que B es la última fbf de alguna prueba en el CE. ; [17], [32].
Observación 3.5.
a. Si Γ es el conjunto finito tH1, H2, ..., Hmuescribiremos H1, H2, ..., Hm $C en lugar detH1, H2, ..., Hmu $ C; así por ejemplo, dada la fbf B y el conjunto Γ, Γ, B $C representa ΓY tBu $ C.
b. Si ΓΦ, entonces Φ$C si y sólo si C es un teorema.
c. Es costumbre omitir el signo Φ en Φ $ C, así $ C es otro modo de afirmar queC es un teorema.
Propiedad 3.6. Las siguientes son propiedades de la noción de consecuencia:
1. Si Γ∆ y Γ$C, entonces ∆$C.
2. Γ$C si y sólo si existe un subconjunto finito ∆ de Γ tal que ∆$C.
3. Si ∆$C y para cada B en ∆, Γ$B, entonces Γ$C.
Prueba
1. A.P.
As: Γ∆ y Γ$C
P: ∆$C
Si Γ $ C significa que existe una sucesión finita de fbf p1, p2, ..., pn, q1, q2, ..., qm dondep1, p2, ..., pn son las premisas, es decir,p1, p2, ..., pn pertenecen a Γ,qm C, y cada qi es o un axioma o se sigue de enunciados precedentes . Puesto que Γ ∆ es claro que p1, p2, ..., pn pertenecen a ∆. Entonces, dado que existe la sucesión finita
p1, p2, ..., pn, q1, q2, ..., qm en la cual cadapi pertenece a ∆ y cada qi es o un axioma o se sigue de enunciados precedentes por MP yqm C, entonces se infiere que ∆$C.
2. A.P.1
As1: Γ$C
As2: ∆ es un conjunto finito, ∆Γ, ∆ valor hallado P1: ∆$C
Prueba
Si Γ$C, entonces existe una sucesiónp1, p2, ..., pn, q1, q2, ..., qm en la que cada
pi PΓ, cadaqi es o un axioma o se sigue de enunciados precedentes por MP y
qmC
Como cada pi P Γ y si tomáramos ∆ tp1, p2, ..., pnu, entonces es claro que ∆ es un subconjunto finito de Γ.
Dado que existe la sucesión finita p1, p2, ..., pn, q1, q2, ..., qm de la que cada
pi P∆, cada qi o es un axioma o se sigue de enunciados previos por MP y
As1: Existe un subconjunto finito ∆Γ y ∆$C
P2: Γ$C
Prueba
Es un caso particular de la Propiedad 3.6.1 previamente demostrada.
3. A.P.
As1: ∆$C
As2:p@B P ∆q pΓ$Bq
P: Γ$C
Prueba
Si ∆$C, entonces existe una sucesión finita p1, p2, ..., pn, q1, q2, ..., qm tal que cada pi P∆, cada qi o es un axioma o se sigue de precedentes yqm C.
Si Γ$Bpara cadaB P ∆, entonces existe una sucesión finitap{1, p2{, ..., p{r, q1{, q2{, ..., qs{
para cada B P ∆ tal que cada p{i P Γ, cada qi{ es o un axioma o se sigue de precedentes yq{sB
Columna 1: Para ∆$C p1 p2 .. . pn , / / / / / / / / / / . / / / / / / / / / / -P∆ q1 q2 .. .
qm1 qm C
Columna 2: Para cada B P∆ con Γ$B p{1
p{2
.. .
p{r
, / / / / / / / / / / . / / / / / / / / / / -PΓ
q1{ q2{
.. .
p1 $ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' %
p{1 PΓ
p{2 PΓ .. .
p{r PΓ
q{1 q{2
.. .
q{s1 qs{ p1
.. . pn $ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' %
p{1 PΓ
p{2 PΓ .. .
p{r PΓ
q1{ q2{
.. .
qs{1 qs{ pn
q1 q2
.. .
qm1
Observando quep{1 dep1 y p{1 depn no son necesariamente los mismos, la Co-lumna 3 nos permite observar que existe una sucesiónP1,P2, ...,Pt,Q1,Q2, ...,Qu en la que cadaPi (que representa unap{j) es elemento de Γ, cadaQi (que repre-senta una qj{ o una qk) o es un axioma o se deriva de enunciados precedentes por MP y Qu qm C. Como tal sucesión existe, con las características señaladas, concluimos que Γ$C.
Observación 3.7.
a. La Propiedad 3.6.1 dice que si C es derivable desde Γ, entonces si agregamos más premisas,C seguirá siendo derivable.
b. La Propiedad 3.6.2 nos dice que cualquier prueba de C desde Γ usa sólo un número finito de premisas de Γ.
c. La Propiedad 3.6.3 nos dice que si C es derivable desde las premisas de ∆, y cada premisa de ∆ es derivable de las premisas de Γ, entoncesC es derivable desde las premisas de Γ.
d. Si $B, por la definición de teorema, al ser precisamente B un teorema, éste toma como punto de partida axiomas y deriva la consecuencia final usando MP.
Esto quiere decir que también Γ$axiomas (por la definición de derivabilidad) y como se ha hecho uso de MP, que también forma parte de la definición de
derivabilidad, se tendrá que
La otra manera de ver esa implicación es mirando la Propiedad 3.6.1 de la
noción de consecuencia: Si Φ Γ y Φ $ B entonces Γ $ B, donde Φ es el conjunto vacío.
e. Una instancia de un axioma usa la notación$ pinstancia de axiomaq.
f. Además observe que si B es un axioma, además de $ B podemos también escribir Γ$B, precisamente por la definición dada para derivabilidad.
g. Γ $ C. Ø .pDC1, C2, ..., Cnq pCnCq y Ci es un axioma o pertenece a Γ o es derivable de anteriores por MP. Además, también Γ$Ci, p@i: 1¤i¤nq, esto es por definición de derivabilidad, pues existe una sucesión que será
pre-cisamenteC1, C2, ..., Ci1 de la cual se derivaCi. Lema 3.8. $B ÑB para todas las fbf; [17, Lema 1.8].
Prueba
1. pB Ñ ppB Ñ Bq ÑBqq Ñ ppB Ñ pB Ñ Bqq Ñ pB Ñ Bqq A2
2. B Ñ ppB Ñ Bq ÑBq A1
3. pB Ñ pB Ñ Bqq Ñ pB Ñ Bq 1,2MP
4. B Ñ pB ÑBq A1
5. B Ñ B 3,4MP
Prueba
A.P.1
As1: Γ es un conjunto de fbf de L
As2:B y C son fbf de L
P: Γ, B $C implica Γ$B Ñ C
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Dado que Γ, B $Cimplica la existencia de alguna sucesión finitaC1, C2, ..., Ci, ..., Cn dondeCnCy con las exigencias sobreCi, implica, esto, un enunciado que depende de los naturales n, es decir, Γ, B $C significa:
Γ, B $C1
Γ, B $C2
.. .
Γ, B $Cn
Por otra parte, si probáramos Ppnq : Γ, B $ Cn. Ñ .Γ $ B Ñ Cn para todo
n¥1, habríamos probado que Γ, B $C.Ñ.Γ$B Ñ C. ———————————————————–
As1: Γ es un conjunto de fbf de L
As2:B y C son fbf de L
Para probar: p@n¥1q pPpnq: Γ, B $Cn.Ñ.Γ$B ÑCnq
P1:
P2:
p@n ¡1q rPp1q, Pp2q, ..., Ppn1q.Ñ .Ppnqs
es decir, asumiendo (HI):
Γ, B $C1.Ñ .Γ$B ÑC1
Γ, B $C2.Ñ .Γ$B ÑC2
.. .
Γ, B $Cn1.Ñ .Γ$B Ñ Cn1
probarPpnq: Γ, B $Cn.Ñ.Γ$B ÑCn
Téngase en cuenta también que Γ$B Ñ Cn es equivalente a:
p1q Γ, B $C1 p1q C1
p2q Γ, B $C2 p2q C2
..
. ... o simplemente ... ...
pn1q Γ, B $Cn1 pn1q Cn1
pnq Γ, B $Cn pnq Cn Prueba
P1
Asumimos Γ, B $C1
En la sucesiónC1, C2, ..., Cnocurrirá queC1es un axioma o pertenece a ΓYtBu
Caso 1.C1 es un axioma oC1 PΓ
p1q C1
p2q C1 Ñ pB Ñ C1q
p3q B Ñ C1
donde de (1) se desprende que Γ $C1 por la definición de derivabilidad (vea
la Observación 3.7.g): ya sea queC1 sea un axioma o ya sea queC1 P Γ; de (2)
se desprende también que Γ$C1 Ñ pB ÑC1q por ser una instancia de pA1q
y la definición de derivabilidad; (3) resulta de 1,2M P, lo que significa que Γ$B ÑC1 por definición de derivabilidad, es decir, como B ÑC1 proviene
de dos elementos -(1) y (2) - que se derivan de Γ, entonces ya que (3) se deriva
de (1) y (2) por MP, la definición de derivabilidad garantiza que B ÑC1 es
derivable de Γ también.
Luego, Γ$B Ñ C1
Caso 2. C1 B
p1q B ÑB
Por el Lema 3,8 y por la Observación 3.7.d se sigue que Γ$B ÑB
p2q B ÑC1
Pues C1 B, y seguirá ocurriendo que
Γ$B Ñ C1
