DESCARGAR FUNCIONES – ALGEBRA TERCERO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

3 AÑO

Funciones I

Par ordenado

Es un conjunto formado por dos objetos matemáticos cualesquiera "a" y "b" denotado por (a; b) que se consideran ordenados con el criterio de uno antecede al otro.

Notación:

(a; b) se lee: "par ordenado a; b"

2da componente

1ra componente

Ejemplos:

(2; 5); (-1; -2); (5; 0); (verde; rojo); (hoy; mañana); (vida;

muerte); (subida; bajada) etc.

Observaciones

1. Un par ordenado no es conmutativo

Así: (a; b)  (b; a)

2. Igualdad de pares ordenados

Si: (x; y) = (a; b) entonces: x = a  y = b

Ejemplo:

• Hallar "x" e "y" si:

Igualando los componentes:

x + 9 = 11  y + 10 = 14 x= 2  y = 4

Luego: x2 _{+ y}2 _{= 2}2 _{+ 4}2 _{= 20}

Resuelve los siguientes problemas:

1. Hallar "x" e "y", si (x + 6; 9) = (10; y -

4) Indicar "x + y"

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

2. Hallar "xy", si (2x + y; 2x - y) = (20; 12)

a) 32 b) 31 c) 30

d) 29 e) 28

3. Hallar "x - y", si (2; 3) + (x; -y) = (5; 1)

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

Re solución:

(x + 3; 9) = (7; y + 4)

4. Calcular el valor de "x + y" si se cumple:

(x+3; 9) = (7; y+4) x + 3 = 7  x = 4 

Ejemplo:

y + 4 = 9 y = 5

(2; 4) + (7; 6) - (5; 2) = (x - 2; y - 2)

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

• Hallar "x2 _{+ y}2_{" en la siguiente igualdad:}

(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y +

10) R e sol u c i ó n :

5. Dado:

(3x + 2y; 11) = (22; 4x - y)

(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10)



Sumando los pares ordenados

(x + 2 + 7; 6 + 8) = (11; y +

10) (x + 9; 14) = (11; y + 10)

Calcular "xy"

a) 16 b) 17 c) 18

Producto Cartesiano

Dados los conjuntos A y B; A x B es el producto cartesiano que esta formado por el conjunto de pares ordenados (a; b); tales que la primera componente pertenece a "A" y la segunda componente a "B".

Es decir:

A x B = {(a; b) / a  A y b  B}

En caso que: A = B se define por:

2

Hallar el número de elementos del producto cartesiano

A x B R e sol u c i ó n :

Número de elementos de A: n(A) = 5 Número de elementos de B: n(B) = 3

Número de elementos de AxB: n(AxB) = n(A) x n(B)

= 5 x 3 = 15

Métodos para calcular el producto cartesiano

Sea: A = {1; 2; 3} y B = {a; b} A x A = A

Ejemplo:

= {(a; b) / a  A  b  A}

Hallar A x B y graficar:

A. Diagram a de l á rbol lógico • Sea: A = {1; 2; 5}

B = {p; q}

Hallar:

a) A x B b)

B x A

R

e sol u c i ó n :

a) A x B = {(1; p) (1; q) (2; p) (2; q) (5; p) (5;

q)} b) B x A = {(p; 1) (p; 2) (p; 5) (q; 1) (q; 2)

(q; 5)} Podemos afirmar: A x B  B x A

• Sea: A = {1; 2; 3}

Hallar: A x A

a (1; a)

b (1; b) 1

a (2; a) 2

b (2; b) 3

a (3; a)

b (3; b)

Siguiendo el recorrido de las ramas se obtiene:

A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3;

b)}

B. Diagrama sa gital

Re solución: A B

A x A = {1; 2; 3} x {1; 2; 3} 1 a

2

A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1) b

(3; 2) (3; 3)} 3

Conclusiones:

1. El producto cartesiano no es conmutativo en el caso que: A  B o sea:

A x B  B x A

Siguiendo el recorrido de las flechas:

A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3;

b)} C. D i a g r a m a c a r t e s i a n o

2. n(A x B) = n(A) x n(B)

Fórmula para calcular el número de elementos del producto cartesiano.

Ejemplo:

B

b (1; b)

(1; a) a (2; b) (2; a) (3; b) (3; a)

AxB

Del plano cartesiano se tiene:

A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3;

b)} Ejemplo:

• Dados los conjuntos:

A = {x / x es par  3  x < 9} B = {x / x es impar  6 < x  11}

Hallar el producto cartesiano A x

B R e sol u c i ó n :

A = {4; 6; 8} y B = {7; 9; 11}

Para nuestro ejemplo utilizo el diagrama del árbol 7 9 11 4 7 6 9 11 8 7 9 11 Luego:

A x B = {(4; 7) (4; 9) (4; 11) (6; 7) (6; 9) (6; 11) (8; 7) (8; 9) (8; 11)}

Dados los siguientes conjuntos halla los productos cartesianos correspondientes graficándolos además, por todas las formas posibles.

1. A = {x/x  IN  1 < x < 4} B = {x/x  IN  3  x  5}

2. A = {x/x es una vocal}

B = {x/x  ZZ  -1  x  2}

3. A = {x/x  ZZ  -1  x  1} B = {x/x  IN  2 < x < 4}

4. A = {x/x es un día de la

semana} B = {x/x  ZZ  7  x 

10}

6. A = {y/y  IN; y = x + 2  1 < x  4} B = {y/y  IN; y = 2x  6 < x < 10}

7. A = {y/y  IN; y = 3x + 1  2 < x < 7} B = {x/x  ZZ ; x = y - 3  -1 < y  1}

Relación binaria

Dados dos conjuntos no vacios A y B.

"R" es una relación de A en B, si "R" es un subconjunto del producto cartesiano A x B y cumple una regla de correspondencia.

R: A  B  R  A x B

* Ejemplo:

• Sea: A = {1; 2; 3} B = {1; 2; 4}

Encontrar la siguiente

relación:

R = {(x; y)  A x B / x > y}

Regla de correspondencia

R

e sol u c i ó n :

A x B = {(1; 1) (1; 2) (1; 4) (2; 1) (2; 2) (2; 4) (3;

1) (3; 2) (3; 4)}

x > y: Indica que debemos buscar en A x B los pares ordenados donde la primera componente es mayor que la segunda.

Luego la relación pedida es:

R = {(2; 1) (3; 1) (3; 2)}

* Ejemplo:

• Dado A = {1; 2; 3}

Hallar: R = {(x; y)  A x A / x + y  4}

R

e sol u c i ó n :

A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3;

1) (3; 2) (3; 3)}

Luego la relación pedida es:

R = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (3;

Dominio y rango de una relación

- Llamamos dominio de una relación, al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación.

- Llamamos rango de una relación, al conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.

* Ejemplo:

A f B

1 0

1 3

7

9 10

Ejemplo:

• Dada la relación: R = {(0; 3) (-1; 2) (-2;

1)} Establecemos luego:

Dominio de la relación: D(R) = {0; 1;

-2} Rango de la relación: R(R) = {3; 2; 1}

Función

Una función "f" de A en B, es un conjunto de pares ordenados donde no existen dos pares ordenados con la misma primera componente.

* Ejemplo:

• R₁ = {(2; 0) (2; 6) (3; 1)} no es una función pues

existe 2 pares ordenados con la misma primera componente

• R₂ = {(3; 6) (5; -1) (2; 4)} es una

función

Expresado de otro

modo:

Una función "f" es una correspondencia entre dos

conjuntos A y B tales que a cada elemento x A

se le asocia un único elemento y  B tal que y = f(x)

Ejemplo:

No es función pues al elemento 1 se le asocia dos elementos a la vez

f =

{

}

Propiedad

Si (a; b)  f y (a; c)  f entonces b = c

* Ejemplo:

• Hallar "a" para que el conjunto de pares ordenados:

f = {(2;3) (-1; -3) (2;

a+5)} Sea una función

R

e sol u c i ó n :

Buscando dos pares ordenados que tienen la misma componente:

(2; 3)  f y (2; a + 5)  f

Igualando las segundas componentes:

3 = a + 5 luego a = -2

Propiedad

Si el par ordenado (a; b)  "f" entonces podemos

A f 2 4 6 conjunto de partida B 1 7 6 conjunto de llegada

escribirlo así: b = f(a) y diremos que "b" es imagen de "a" vía la función "f"

* Ejemplo:

Sea la función:

f = {(2; 3) (3; 4) (7; 3) (-2; 6) (4;

1)} Hallar:

Es una función pues cumple con la definición, luego:

f = {(2; 7) (4; 1) (6; 6)}

f₍₇₎  f₍₃₎  f₍₂₎ K 

R

e sol u c i ó n :

(2; 3)  f  3 = f(2) (3; 4)  f  4 = f(3) (7; 3)  f  3 = f(7) (-2; 6)  f  6 = f(-2) (4; 1)  f  1 = f(4)

Reemplazando en "K":

* Ejemplo:

Calcular la regla de correspondencia del gráfico mostrado.

A f B

5 4

4 16

2 25

K  3  4  3

6  1 

10  2

5 _{R esolución: Del gráfico}

 K = 2

Dominio de una función

Se designa "D_f " y se define como el conjunto: D_f = {x A / ! y; tal que (x; y)  f}

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados.

* Ejemplo:

Dada la función:

f = {(3; 1) (4; -1) (6; 2) (1/2; -2)}

Entonces el dominio de la función

es:

D_f = { 3; 4; 6; 1/2}

Rango de una función (o imagen)

Se designa "R_f" y se define como el

conjunto: R_f = {y  B /  x ; tal que (x; y)  f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados

* Ejemplo:

Dada la función:

f = {(6; 4) (7; 3) (9; 4) (-7; 3) (4;

1/2)} Entonces el rango de la función

es:

R_f = {4; 3; 1/2}

f(5) = 25 = 52

f(4) = 16 = 42

f(2) = 4 = 22

Entonces la regla de correspondencia es:

f(x) = x2

* Ejemplo: Determinar la regla de correspondencia de la función "f" tal que:

f = {(1; 2) (2; 5) (3; 8) (4; 11) (5; 14) (6;

17)} R e sol u c i ó n :

f(1) = 2  f(1) = 3(1) - 1 f(2) = 5  f(2) = 3(2) - 1 f(3) = 8  f(3) = 3(3) - 1 f(4) = 11  f(4) = 3(4) - 1 f(5) = 14  f(5) = 3(5) - 1 f(6) = 17  f(6) = 3(6) - 1

Luego: f(x) = 3x - 1, es la regla de correspondencia.

Gráfica de una función

La gráfica de una función "f" está formada por un conjunto de puntos (x; y) en el plano donde los pares ordenados correspondientes a estos puntos los obtenemos asignando a "x" cualquier número real, lo que reemplazamos en la regla de correspondencia para obtener los respectivos valores de "y", esto lo anotamos en una tabla como la siguiente:

Graficar: y = x + 1

Dando valores a "x" obtenemos:

Regla de correspondencia

Ubicamos los puntos en el plano cartesiano

Luego la gráfica de: y = f(x) = x + 1 será un trazo

continuo de infinitos puntos generando una recta. Nivel I

Problemas para la clase

1. Si se cumple: (2x - 1 ; 8) = (5 ; y + 5)

y _{Indicar "x}2 _{+ y}2 _"

-4 -3 -2 4

3 2

1 2 3 _x

-1 -2 -3

a) 12 b) 36 c) 18

d) 24 e) 6

2. Dados los conjuntos:

A = {1; 5} B = {4; 6}

Calcular "A x B"

a) {(1; 4) (1; 6) (5; 4) (5; 6)} b) {(1; 4) (5;6)}

Propiedad de las funciones

Una gráfica cualquiera será función; si y solo si, al trazar una paralela al eje "y" corta a la gráfica en un

sólo punto.

y

f

x

"f "; si es función

y

"h"

x

"h" no es función pues la recta corta a la gráfica en más de un punto.

c) {(4; 1) (4; 5) (6; 1) (6; 5)} d) {(4; 1) (6; 5)}

e) {(1; 4) (4; 5) (5; 4) (5; 6)}

3. Dado el conjunto: A = {2; 3}

Hallar A x A y señale la suma de los elementos de los

pares ordenados.

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

4. Dados los conjuntos:

A = {1; 2; 3; 4} B = {a; b}

Hallar "A x B" y señale el número de

elementos. a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

5. Siendo:

A ={x/x  IN  1 < x < 4} B ={x/x  IN  3 < x < 5}

Determinar "A x B" y señalar el número de

elementos. a) 4 b) 2 c) 6

d) 8 e) 9

6. Dados: A = {1 ; 2} B = {1 ; 2}

Hallar: M = {(x ; y)  A x B / y = 2x}

Señalar la suma de los elementos de los pares ordenados de "M".

a) 1 b) 2 c) 3

7. Sea: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} y las relaciones en

"A". 10.¿Cuál de las siguientes gráficas representa una _función?

F = {(x; y)  A x A / x < y}

G = {(x; y)  A2 _{/ x + y = 5} y}

y

¿Cuántos elementos tiene F  G?

a) b)

x x

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

8. ¿Cuántas de las relaciones siguientes son funciones? y y

c) d)

R₁ = {(2 ; 2) , (3 ; 2) , (4 ; 2)} x

R₂ = {(1 ; 0) , (1 ; 2) , (3 ; 3)}

R₃ = {(-1 ; 0) , (-1 ; 1) , (2 ; 3)} y

R₄ = {(1 ; 0) , (1 ; 1) , (1 ; 2)}

R = {(-1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1)}₅ e)

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) 2

9. ¿Cuál de los diagramas sagitales no representa una función?

f g

1 4 1 2

2 5 3 4

3 6 5 6

h

Nivel II

1. Si:

F = {(2 ; a+3) , (2 ; 2a 1) , (4 ; b+3) , (a ; 3b -1)};

es función, calcular "ab"

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

2. Sea la función:

f = {(1; 5) (2; 4) (3; -1) (6; 9)}

3 1 Hallar:

4 5

f (6)

f (1)  f (2) f (3)

a) 0 b) 1 c) 2

2 6 _{d) 3 e) 4}

a) Solo f b) Solo g c) Solo h

d) f y g e) f y h

3. Dada la función:

f(x) = x - 3a

Además: f = {(12; b) (4a; 6) (c; 12)}

Hallar "a + b + c"

a) -1 b) 0 c) 6

d) 29 e) 30

4. Si se cumple:

( x  _{y ; 12)} = (6 ; x - y) Hallar "xy"

a) 8 b) 16 c) 32

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

7 ,

 5. Dada la función:

F = {(5 ; 3) , (2m+3 ; 1) , (6 ; 3m-1) , (6 ;

8)} Señalar la suma de los elementos del

dominio.

a) 18 b) 25 c) 20

d) 30 e) 26

6. Hallar el rango de la función:

G = {(1 ; b) , (1 ; b2 _{- 2) , (b ; - 2) , (-1 ; 3)}}

a) {3} b) {-1 ; 2 ; 3} c) {-1 ; 3} d) {-2 ; 2; 3} e) {-1 ; 2 ; -2 ; 3}

7. Hallar el dominio D_f y el rango R_f de la función:

F = {(b ; a-1) , (9 ; b+3) , (a+1 ; 2a-7) , (2a-1 ; a) , (a+1 ; 3)}

Luego, indicar "D_f  R_f"_.

a) {3} b)  c) {2}

d) {2 ; -1} e) {2 ; 3}

8. Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 además

f(2) = 2f(3). Hallar f(100)

a) -100 b) -96 c) -92

d) -91 e) -94

9. Sea la función:

H = {(6 ; b) , (3a ; 9) , (c ; 12)}

Con regla de correspondencia: H_(x) = x -

2a

Hallar "a + b + c"

a) 47 b) 27 c) 20

d) 26 e) 19

10.Sea:

Nivel III

1. Dada la función "H", tal que: H_(x) = ax +b.

Hallar "a - b", conociendo la siguiente tabla para esta:

x 3 5 y 2 1

a) -3 b) -2 c) -4

d) -1 e) 6

2. Sea: A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }; y "F" una función definida en

"A por A".

F = {(1 ; 3) , (2 ; m) , (m+1 ; 2) , (1 ; n -

1)} Calcular "F₍₁₎ - F₍₂₎ + F₍₄₎"

3. Sean las funciones:

F = {(x ; y) R2/f_(x)= 3x+2}

G = {(4 ; n) , (7 ; n+1) , (n+1 ; 5)}

Si: F₍₄₎ + G_{(G(a) )} =19, hallar "a"

a) 4 b) 7 c) 11

d) 5 e) 9

4. Sea la función: f_(x) = mx + n, tal que:

f₍₅₎ = 17 f₍₂₎ = 6 + f₍₀₎ Calcular "f₍₇₎"

a) 12 b) 38 c) 23

d) 42 e) 28

5. Si el par ordenado (3 ; 26) pertenece a la función:

f_(x) = 2x + x + m

_x 2 5, Si : x  _{4 Hallar el par ordenado de abcisa dos que pertenece a f}

. 

f_{( x )}  _2x  _{2, Si : x  4} (x)

 _{Si : x  4}

Calcular "f₍₅₎ + f_{( f(3) )} "

a) 12 b) 25 c) 24

d) 27 e) 28

a) 12 b) 18 c) 15

d) 24 e) 23

6. Si las funciones:

a) 4 b) 10 c) -2

7. Señale la suma de los elementos del rango de la función:

f_(x) = 2x + 3; siendo: x = {1 ; 2 ;

3}

9. Encontrar la función lineal f(x) = ax + b, tal que se

cumple:

a) 21 b) 18 c) 14

d) 10 e) 6

8. Sea la función F: A  B

Siendo: F = {(1; 2), (3;4), (6; 7), (8; 9), (10; 6)}

Hallar: F(1) + F(3) - F(6) - F(8) - F(10)

a) -15 b) -16 c) -14

d) -13 e) -12

f(2) = 3 ... (1) f(3) = 2f(4) ... (2)

a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = -x + 4 c) f(x) = -x + 5 d) f(x) = -3x - 4 e) f(x) = -x

10.Hallar la suma de los elementos del rango de la función

F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2_;

a)}

a) 6 b) 5 c) 4

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

Autoevaluación

1. Calcular "x + y", si: (2x - 1; 3y + 1) = (7; 10)

a) 1 b) 3 c) 4

d) 7 e) 12

2. Cuántos elementos tiene A x B,

si: A = {x  IN / 99  x < 101} B = {x  IN / 2 000 < x  2 002}

a) 2 b) 4 c) 6

d) 2 000 e) 2 008

3. Si:

A = {x/x  IN  11 < x < 15} B = {x/x  IN  1  x  2}

Indicar el número de elementos de A x B

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

4. Hallar el valor de "a - b" si la siguiente relación es una función real:

R = {(3; -7) (2; a + b) (5; 7) (2; 3-a) (2; 2)}

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

5. Si A = {x  ZZ/ 4  x  7} B = {x  ZZ/ 2  x  5} C = {x  ZZ/ 10  x  14} D = {x  ZZ/ 13  x  16}

Calcular (A B) x (C D)

Dar como respuesta el número de elementos del producto

cartesiano.

Claves

3 AÑO

Funciones II

Cálculo del Dominio y Rango de

Funciones

Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.

Asi:

D_f = {x  A / ! y; tal que (x; y)  "f"}

También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.

Asi:

R_f = {y  B /  x; tal que (x; y)  "f"} * Ejemplo:

1. Dominio y Rango de la función lineal

y = f

= ax + b / a



IR



b



IR

Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales. Luego el Dominio y Rango de la función lineal será:

Df = IR y Rf = IR

* Ejemplo:

La función f_(x) = 2x - 5 por ser lineal, su dominio y

rango será: Df = IR y Rf = IR.

* Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9;

16} La_ón f un ci f  1  x

La relación: f = {(2; 4) (3; 9) (4; 16)} es una

función  1 

( x )

 1 

5 3 es l in e al p ue s

f_{( x )}   x     _{, luego su Dominio y Rango será}

f: A  B con dominio D_f = {2; 3; 4} y Rango R_f = {4;

9; 16} 

3 _{ } 5 _

Para que se pueda definir bien una función es

suficiente conocer su dominio (D_f) y una regla que

permita asignar para cualquier x  D_f y pueda

encontrarse su imagen f_(x).

Df = IR y Rf = IR.

2. Dominio y Rango de la función racional

* Ejemplo: Dada la función: f_(x) = 2x2 _{+ x -}

3

y = f

₌

a

x

_{cx + d}

+

b

Donde x  {-1; 2; 4}

Hallar el rango de la función

R

e sol u c i ó n :

Como x  {-1; 2; 4}  D_f = {-1; 2; 4}

Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f(x) ó simplemente el rango de la función.

• El Dominio de la función (Todos los valores de "x")

es el conjunto de los números reales IR menos el

conjunto de valores de "x" que anulen al denominador.

Df: IR - {cx + d = 0}

* Ejemplo:

x = -1  f_(-1) = 2(-1)2 _{+ (-1) - 3 = 2 - 1 - 3  f}

(-1) = -2

Hallar el dominio de la función: f_(x)  2x  1

4x  8

x = 2  f₍₂₎ = 2(2)2 _{+ 2 - 3 = 8 + 2 - 3  f} (2) = 7

x = 4  f₍₄₎ = 2(4)2 _{+ 4 - 3 = 32 + 4 - 3  f} (4) = 33

Finalmente la imagen o rango de la función

será: R_f = {-2; 7; 33}

R

e sol u c i ó n :

El dominio de la función se obtendrá

así: D_f: x  IR - {4x - 8 = 0} Resolviendo la ecuación: x = 2

  Obser v a c ió n : el dominio de la

función: y  f(x) 

2x  1

4x  8 x 

6y  4 3y  1 lo podemos encontrar de la siguiente

manera:

y  IR  4x - 8 0 4x 8

x 2

 D_f: x  IR - {2}

Como: x IR  3y - 1  0

3y  1

y  1 3

* Ejemplo:

Hallar el Dominio de la siguiente función

el rango de la función será:

 1  R_f: y  IR    y  f_(x)  4x  1 

x  2

6 3x  9

 3 

Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función

R

e sol u c i ó n :

y  IR  x - 2  0 3x + 9  0 x  2  3x  -9

f_(x)  x  4 3x  6

x  2  x  -3

D_f: x  IR - {-3; 2}

Dividiendo los términos lineales del numerador y denominador.

 x   1  Así: R _f : y  IR     y  IR    Para hallar el rango de la función racional: y



se despeja "x" en función de "y"

ax  b

cx  d _{* Ejemplo:}

 3x   3 

Hallar el Dominio y Rango de la función:

* Ejemplo:

Hallar el rango de la función: f_(x) 

Re solución:

x  4 3x  6

R

e sol u c i ó n :

f_(x)  10x  1 5x  1

Como: y = f_(x) entonces y  x  4 3x  6

C

á l cu lo d e l D o m i n i o : 5x + 1  0  5x  -1

x   1 5 y(3x - 6) = x +

4

Efectuando la multiplicación: Df: x  IR 

  1   5 

3yx - 6y = x + 4 Cá lculo de l Ra ngo: (Utilizo el método práctico)

R : y  _{IR }  10x  Despejando "x"

3yx  _{}x  6y  4

común: x

f _  _5x 

 y  IR - {2}

f

3. Dominio y Rango de la función

cuadrática y = f

= ax

_{+ bx + c;}

a



0

• El Dominio de la función está representado por todos

los números reales es decir D_f = IR

• Los valores de "y"; es decir el rango de la función cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y"

Ejemplo:

Hallar el Dominio y Rango de la función cuadrática:

f_(x) = 2x2 _{+ 3x + 2}

Ejemplo:

Calcular el rango de la función

cuadrática f(x) = 3x2 - 5x + 1; x  IR

R

e sol u c i ó n :

Como y = f(x) entonces y = 3x2 - 5x +

1 la ecuación de 2do grado será:

3x2 _{- 5x + (1 - y) = 0}

Así como el problema anterior para encontrar el rango de la función, resolveremos:

R

e sol u c i ó n :

Cálculo del Dominio: x  IR

Cálculo del Rango: y = 2x2 _{+ 3x + 2}

Formando una ecuación de 2do _grado

2x2 _{+ 3x + (2 - y) =}

0

Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y"

ax2 _{+ bx + c = 0 (a  0)}

  _{}b2  4ac  0

discriminante de la ecuación de 2do. grado

a = 3 ; b = -5 ; c = 1 - y

(-5)2 _{- 4(3)(1 - y)  0}

25 - 12(1 - y)  0

Despejando "y"

25 - 12 + 12y  0

13 + 12y  0

x   b  b2  4ac 12y  -13

2a

  b2  4ac

_

discriminante

y   13 12

de la ecuación _

R _f  _ 

13 ;   12

 3 

x  9  4(2)(2  y)

2(2)

_{4. Dominio y Rango de la función Raíz}

cuadrada

cuadrada

o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa, es decir:

 = 9 - 4(2)(2 - y)  0 Resolviendo:

9 - 8(2 - y)  0 +9 - 16 + 8y  0

-7 + 8y  0 8y  7

y = f(x)

• Al resolver la inecuación f_(x)  0 obtendremos el

Dominio de la función.

• El rango de la función se obtiene construyendo la función a partir del dominio.

Ejemplo:

Hallar el Dominio y Rango de la función:

y  7 _{Re solución:}

f(x)  x  5

 7 R =   8

Cálculo del Dominio: x

- 5  0 x 5

C ál cu lo d el R an go : Co ns tr uy en do l a fu

nc ió n Resolviendo las inecuaciones:

y  f (x)  x  5 , partiendo del Dominio. _{x  -4  6  x}

Dominio: x 5

Resto 5: x - 5  5 - 5

x - 5  0

Graficando:

x  -4  x  6

Dominio

Extraemos _{: x  5  0}

-4 6

como: y  _{x  5} x  [-4 ; 6]

 y  0  Rf = [0; +

Ejemplo:

Hallar el Rango de la función: f_(x)  x  2  6

Los valores enteros son: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

 Número de elementos = 11 Ejemplo:

Calcule el Dominio y Rango de la función:

R

e sol u c i ó n :

Cálculo del Dominio:

x + 2  0 R e sol u c i ó n :

f (x)   x 2 10 x 21

Cálculo del Rango:

x  -2

D_f = [-2; +

Cálculo del Dominio: -x2 _{+ 10x - 21  0}

Multiplicando por (-1):

x2 _{- 10x + 21  0}

x -7

Dominio: x  - 2

x + 2  0 x -3

(x - 3)(x - 7)  0

extraemos : _{x  2  0}

Restando 6:

_{}

3 7

como: y  x  2  6

D_f: 3  x  7 ó [3; 7] Luego: y  -6

 R_f = [-6; + Ejemplo:

Cálculo del Rango:

f (x)   x 2 10 x 21

Calcular el Dominio de la

función: Completando cuadrados:

f(x)  x  4  4 6  x

f (x)   x 2 10 x 25  4 Indicar el número de elementos

enteros. R e sol u c i ó n :

Cuando el radical es de índice par lo que esta dentro de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es

decir: Luego:

-x2 _{+ 10x - 25 = -(x}2 _{- 10x +25)}







2

Recordamos que para hallar el Rango de la función debemos partir del Dominio para construir la función f(x):

Df: 3  x  7

Restando 5:

3 - 5  x - 5  7 - 5 -2  x - 5  2

Al cuadrado:

Sumando 4:

- 4 + 4  -(x - 5)2 _{+ 4 0 + 4}

0  -(x - 5)2 _{+ 4 4}

Extraemos :

0  - (x - 5)2  4  4

0  (x - 5)  22

0  - (x - 5)2  4  2 0  (x - 5)2 _{ 4}

Multiplicando por - 1: Como: y  f(x)  - (x - 5)2  4

- 4  -(x - 5)2 _{ 0}

entonces: 0  y  2

 Rf = [0; 2]

Dominio y Rango

la función Lineal Racional (x) Cuadrática 2 Raíz cuadrada f = ax + b

a



ax + b cx + d

f(x) = ax + bx + c

a



Dominio Dominio Dominio Dominio

x IR x IR - {cx + d = 0} x IR

Se resuelve la inecuación

f(x)  0

Rango Rango Rango Rango

y IR

y IR a

c

Se resuelve la inecuación

0

Se debe construir la función a partir

del dominio

a) [3 ;+  [ b) [2 ; +  [ c) ]  ; 2]

d) IR e) 

a) 9 b) 10 c) 14

d) 16 e) 18

a) IR - b)  c) 4

d) IR+ _{e) IR}

Problemas para la clase 9. Hallar el rango de la función: G(x)= 3x + 2

Nivel I

1. Señale la suma de los elementos del rango de la función:

f(x) = x2 + 2, siendo: x = {-2; -1; 1; 2}

10.Hallar el rango de la función:H_{( x )}  x 2

a) [2 ; +  [ b) [0 ; +  [ c) ] ; 2]

d) IR e) 

2. Hallar el dominio de la función: f(x) = 4x -

1 Nivel II

1. Calcular el rango de la función: G_(x)  x  2

3. Hallar el rango de la función: f(x) = 4x -

1

a) IR - b)  c) 4

d) IR+ e) IR

a) [-2 ; 2] b) [0 ; +[ c) [2 ; +[

d) ]- ; -2] e) [-2 ; +[

2. Calcular el rango de:

4. Hallar el dominio de:

F_(x)  7x  3

F_(x)  2x  5 x  3

x  7

a) IR b) IR - {8} c) IR - {7} d) IR - {1} e) IR - {-7}

5. Hallar el rango de:

a) [3 ; +[ b) IR - {3} c) IR - {2}

d) ]- ; 2] e) 

3. Hallar el dominio: y = 2001x + 2002

a) 2001 b) 2002

G_(x)  5x  3

x  6 c) [2001; +[ _{e) IR} d) [2002; +[

a) IR - {5} b) IR - {-6} c) IR - {-5} d) IR - {1} e) IR - {-7}

6. Hallar el dominio de la función:

4. Hallar el dominio:

h : R  R; h_(x)  2

x 2 _{ 4}

F_(x)  x  4 _{a) IR - {-2 ; 2} b) -2; 2}

c) [-2 ; 2] d) IR - {2}

a) IR+ b) IR c)



d) [ _ 4 ;  _{e) } 5. Hallar el dominio:

G : R  R ; G_(x)  1

7. Hallar el dominio de la

función: F(x)  x  6  3

x

a) IR+ b) IR - {1} c) [0; 

a) [6;+ [ b) [-6 ; +  [ c) [0 ; + [

d) IR e) 

8. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 + 3x +

1

d) ;0] e) IR - {0} 6. Hallar el dominio:

 5 5  _{G : R  R ; G}

( x )  x 1  4 x 3

a)  ;   _b)  ; _

 4 5 

c)  ;  

d) IR

a) - ; 6] b) [6; + c) -; -6]

d) -; 10] e) -; -4]

a) IR b) [5; + c) [4; +

d)  ; 5] e)  d) 0; 4 e)

a) IR b) IR - {1} c) [5; +

d) [-5; + e) IR - {5}

 _{4 4}

 

7. Hallar el dominio: _{4. Hallar "", si el dominio de la función:}

F : R  R ; F_(x)  x  1  4 6 _ x f (x)   (x 2 1)  4x 2  1

a) [1 ; 6] b) 1 ; 6 c) IR - {1 ; 6} es: x  [;]  [; ]

d) IR+ e) IR

8. Hallar el rango:

a) 1 b) 1 c) 3

2 2

1 f_{( x )} 

x

d) 2 e) 1

3 6

a) IR b) IR - {1} c) IR - {0}

5. Obtener el número de elementos enteros del dominio de:

d) IR+ e) IR - _{F(x) } x  3  3  x

9. Hallar el rango de la función:

F(x) = -x2 + 2x - 5; x  IR

x 2  1

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

6. Calcular el rango de la función:

10.Hallar el rango de la función:

F_(x) 

0 ; 1 x 2  4 1  F_(x) = x2 _{- 4x +}

9 a)

_{0 ;} 1 

  b)  c) -1; 0

Nivel III

1. Hallar el rango de: g_(x) = |x + 7| +

5

 _₁

 ; 0

 4

7. Hallar el dominio y rango de la función:

y

10

8

2. Hallar el dominio de la función:

x

2

g_(x)  x x 2  1

-5 6

-3

a) IR b) IR - {1} c) IR - {1 ; -1} a) x  [-5 ; 6 ; y 8 ; 10]

d)  e) [-1 ; 1] _{b) x  -5 ; 6 ; y [8 ; 10}

3. Hallar el dominio de la función:

c) x  [-5 ; 6 ; y [-3 ; 10 d) x  -5 ; 6 ; y [-3 ; 8]

f (x)  (x 2)(x 5)  3

x 3

e) x  IR{-5 ; 6} ; y [-3 ; 10

8. Hallar el rango de la función: a) -; -5]  [2 ; + - {3} b)

-; -4  [4 ; + - {5} c) -; -5]  3 ; +

d) -; -5]  [2 ; +

F_(x)  x 2 5x 2  64

e) IR  1

a)  0 ; b)   ; 1  c) [0; 5

 5 5 

 1 d) 

a) IR - {4} b) IR - {2} c) IR - {-2} d) IR e) IR - {1/2}

5 9. Hallar el valor mínimo de la siguiente

función: 3. Calcular el dominio de la función:

F_(x) = 2x2 _{- 4x + 7}

a) 0 b) 1 c) 5

g(x)  4x 1 

x 2

8 x 5

d) -1 e) -5

10.Dada la función:

F(x) 

Calcular "D_f  R_f"

2  x  3

a) IR - {-5; 2} b) IR - {5; 2} c) IR d) IR - {2} e) IR - {-5}

a) -3; 2] b) [-3 ; 2 c) 

d) [-3 ; 2] e) IR

Autoevaluación

1. Si el conjunto de pares ordenados representa una función. Calcular "xy"

F = {(2; 4), (3; x+y), (5; 6), (3; 8) (2; x - y)}

4. Calcular el rango de la función:

h(x)  8x  1 4x  2

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

2. Calcular el dominio de la función: f (x)



5 x 2 4

5. Calcular el rango de la función: f_(x) = 5x2 _{+ 2x + 1}

a) IR - { 2} b) IR - {-2; 2} c) IR

d) -2; 2 e) IR - {-2}

a)  ; 4  

 ₄ b) 

 5

;   c) IR

d)  ; 1] e) [-1; +

Claves

k

0 _{1 2 3}

Funciones III

 Problemas resueltos

Ejemplo:

• Graficar la siguiente función:

F = {(1; 3) (2; 5) (3; 4) (5; 2)} R e sol u c i ó n :

Ubicando los pares ordenados en el plano cartesiano.

Funciones especiales

1. Función Identidad: f = {(x; y)  IR2 / y = x}

Significa que todos los pares ordenados de la función tienen componentes iguales.

Así: f = { ... (0; 0) (1; 1) (2; 2) (3; 3) ...

} La gráfica es una recta:

y y

5 3

4 2

3 1

2 45°

0 1 2 3 x

1

1 2 3 4 5 x

Del gráfico: _{Df =} IR  R_f = IR

• Ejemplo:

Si: f: IR  IR graficar la función: f(x) = 2x + 1 2. Función constante: f = {(x; y) 

IR2

/ y = k ; k  IR}

R

e sol u c i ó n :

Se trata de una relación en IR2 y que los pares

ordenados que se logren darán lugar a puntos que al

graficarlos quedarán ubicados unos a

continuación de otros constituyendo una línea que en este caso es una línea recta, dando valores a "x" mediante la regla de correspondencia y = 2x + 1 llenamos la siguiente tabla.

x -2 -1 0 1 2 3 4 ...

y -3 -1 1 3 5 7 9 ...

Ubicando los puntos correspondientes a cada par ordenado en el plano cartesiano se obtiene:

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Esto significa que todos los pares ordenados tienen segunda componente igual a "k".

Así: f = { ... (0; k) (1; k) (2; k) ...}

La gráfica en este caso será una recta horizontal paralela al eje x.

y

x

Del gráfico: _{Df =} IR  R_f = {k}

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = 3

R

e sol u c i ó n :

En el plano cartesiano: y = 3 ó f(x) = 3

y

3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x

-1 -2 -3

f

3 AÑO

Luego: _{Df =} IR 

3.  IR

 * Ejemplo:

Graficar: f(x) = -6

R

e sol u c i ó n :

En el plano cartesiano

y

x

-6 _{y = -6 ó f(x) = -6}

Luego: _{Df =} IR  R_f = {-6}

* Ejemplo: Calcular la función lineal que tenga las ecuaciones.

f(1) = 3 ... (1) f(2) = 2f(3) ... (2)

R

e sol u c i ó n :

Definamos la función lineal como: f(x) = ax +

b como: f(1) = 3  f(1) = a + b = 3 ... ()

Además:

f(2) = 2f(3)  2a + b = 2(3a + b) Reduciendo:

b = -4a ... ()

2

F u n c i ó n l i n e a l : f = { (x ; y ) / y = ax + b}

De y : a  b  3 Es una función con dominio y rango en todos los

reales y la regla de correspondencia es y = f(x) = ax + b, donde "a" y "b" son constantes cualesquiera (a  0), su gráfica es una recta.

* Ejemplo:

Graficar la función: f(x) = 3x +

6

Re solución:

b  4a se tiene: a - 4a = 3

a = -1  b = 4

 f(x) = -x + 4

4. Función valor absoluto: f = {(x; y)  IR2 / y = | x|}

Definiendo el valor absoluto de un número real "x":

f(x) = 3x + 6  y = 3x + 6 _

| x |   x, si : x  0 si: x = 0 entonces:

y = 3(0) + 6 

x, si : x  0

y = 6 luego un punto de la recta es (0; 6)

si: y = 0 entonces: 0 = 3x + 6

x = -2 luego el otro punto de la recta es (-2; 0)

Con estos dos puntos pertenecientes a la recta ya podemos trazar su gráfica.

Esto significa que:

f = {... (-2; |-2|) (-1; |-1|) (0; |0|) (1; |1|) (2; | 2|) ...}

f = {...(-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) ...}

La gráfica son dos rectas con un punto común formando la letra "V"

y y

(0; 6)

(-2; 0) x

45° _x

-2 -1 0 1 2

Del gráfico: _{Df =} IR  R_f = IR

 _

2 2

5. Función raíz cuadrada: f = {(x; y)  IR2 / y = x

}

Significa que:

f = {(0; 0) (1; 1) (2; 2 ) (3; 3 ) ... }

La gráfica es una semiparábola:

b2  2b2  4ac y 

4a

4ac  b2

y  ó

4a y  

b2  4ac

4a ....(1)

pero "b2 _{- 4ac" se llama discriminante y lo podemos}

y reemplazar por: D = b2 - 4ac

3 _{Luego en (1): y  } D

2 4a

1

0 1 2 3 x

 el vértice de la parábola, tiene las siguientes

coordenadas: V b ;  D 

Del gráfico: Df = IR+ _{ {0}  2a 4a }

Rf = IR+  {0}

6. Función cuadrática:

f = {(x; y)  IR2 / y = ax2 _{+ bx + c ; a, b, c IR ;}

a  0}

* Ejemplo: Graficar la función f(x)

R

e sol u c i ó n :

= 2x2 _{+ 4x - 1}

Es una función con dominio en el conjunto de los números reales, su gráfica es una línea curva llamada parábola.

Identificando: a = 2 ; b = 4 y c = -1

Calculamos la abscisa del vértice: La parábola es abierta hacia arriba, si: a>0 y hacia

abajo si: a<0. x  

b 2a  x 

4

2(2)  x  1

y

a>0

y

vértice de la parábola

Calculando la ordenada del vértice:

y   D 4a

x ₁ x ₂ x x1 _a<0 x2 x y  

b

y = -3

 4ac

4a  

4  4(2)(1) 4(2)

Los puntos x₁  x₂ lo obtenemos cuando la ordenada

"y" es cero: 0 = ax2 _{+ bx + c}

Resolviendo la ecuación se obtiene los valores de "x"

O

bs e r v a c ió n : Si x = -1 lo reemplazamos en la

regla de correspondencia y = 2x2 _{+ 4x - 1}

obtendremos el valor de "y":

que son "x₁" y "x₂".

Así: y = 2(-1)2_{+ 4(-1) - 1  y = -3}

Coordenadas del vértice de la parábola

b

La abscisa del vértice esta dada por: x  

2a

Luego el vértice de la parábola es V(-1; -3) Como a = 2 ("a" es positivo) la parábola se abre hacia arriba, la gráfica aproximada es:

Si reemplazamos este valor de "x" en la regla de y

correspondencia: y = ax2 _{+ bx + c obtenemos la ordenada}

del vértice.

y = ax2 _{+ bx + c -1}

2 _x

 y  a 

 b 

 2a _

  b 



b _{  c} 2a _

2 2

y  b _ b _{ c}

 0_b



* Ejemplo:

Graficar la función: f(x) = x2 R

e sol u c i ó n :

la gráfica aproximada es:

y

3 4

a  1 (la parábola se abrehaciaarriba) y  1x2  0x    0

c  0

x₁ x₂ x

-25 8

la abscisa del vértice será: Los puntos "x1" y "x2" los obtenemos cuando la

ordenada "y" es cero.

x   b   0  0  x  0 0 = 2x2- 3x - 2

2a 2(1)

x = 0 lo reemplazamos en la regla de correspondencia para hallar la ordenada.

2x +1

x -2

Resolviendo: 2x + 1 = 0  x - 2 = 0

y = x2 _{ y = (0)}2 _{ y = 0}

La gráfica será la parábola que se abre hacia arriba cuyo vértice es (0; 0)

x   1 

2

x1

Finalmente la gráfica será:

x  2

_

x2

y

V (0; 0) x

y

- 1 2

-25 8

3 4

2 x

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = 2x2 - 3x - 2 R

e sol u c i ó n :

Identificando los coeficientes:

Desplazamiento de funciones

a. Desplazamiento horizontal (siendo: h > 0)

y  2x 2  3x  2 a  2   

(la parábola se abre hacia arriba)

f(x+h) f(x) f(x-h)

b  3

c  2 h: unidades haciala izquierda h: unidades ala derecha

Abscisa: x   b 2a

Ordenada:

2

 x  

2

3 

2(2) x 

3

4 * Ejemplo:

Graficar: f(x) = |x - 3|

Re

sol uc ió n : 3 unidades a la derecha se tendrá:

y

y   b  4ac

4a  

(_3)  4(2)(2)

4(2) y = |x| y = |x - 3|

  25 

8 y  

25

8 x

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = (x + 2)2

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = |x| - 2

Re solución: 2 unidades a la izquierda se

tendrá: Re solución:

Graficando: y = x 2

y = (x+2)2

Graficando: y = |x| 2 unidades hacia abajo

se tendrá

y = |x| - 2

-2 -1

b. Desplazamiento vertical (siendo: h > 0)

y

f(x) + h

Reflejo de funciones

a. Reflejo en el eje "x"

"h" unidades hacia arriba

x -f(x) y f(x) x f(x)

b. Reflejo en el eje "y"

y y

y f(x) _f(-x)

x f(x) - h

x x

"h" unidades hacia abajo

* Ejemplo:

Graficar: f(x)  x  2

c. Con valor absoluto

y

f(x)

y

|f(x)|

Re solución: _{x x}

Graficando: y= x 2 unidades hacia arriba se tendrá

y y _{y= x + 2}

2 1

x x

y

x Nivel

I

Problemas para la clase 4. G r a f i c a r : g (x)= -2x + 3

y y

1. Graficar: f_(x) = 3x - 2

y y a) x b) x

a) x _b) x

y y

c) d)

y y

c) x _d) x

y e) x

e) x

5. Graficar: y = | x | + 5

2. Graficar: f_(x) = 6

y 6 a) x y b) x y y 5

a) _x b) _x

y y

y y

c) d) x

6 x

c) _x d) _x

-5

y

y e) x

x

e)

-6

6. Graficar: y = | x - 2 | + 3

3. Graficar: f_(x) = -2

y y

y y

3 3

a) b)

2 x -2 x

a) _-2 x b)

2 x _{y y}

3

y y c) ₂

2

3

d)

-2 x

c) x _d) x

y

e)

y x

e) x



x

y

x

7. Graficar: y = x2 _{- 2}

10.Graficar: y  x 3

y y

a) b)

x x

-2

y y

a) x _b) x

y y

2

c) d) 2

x x

y y

c) x _d) x

y

e)

-2 x

y

e) x

8. Graficar: y = x2 ₊

4 Nivel II

y y

a) _x b) _x

-4

1. Graficar: y 5 4

; x 10 ; x 10

y y y c) _-4 y 4 d) x

a) x _b) x

y y

c) x _d) x

y

4

e) _x

9. Graficar: y  x 3

e) x

y y

a) _x b) _x

2. Hallar el área de la región formada por la función:

g: R R; g_(x) = -2x + 3; con los ejes de coordenadas

cartesianas.

a) 3 u2 _{b) 6 c)} 1

9

y y

c) _x

-3

d) 3

d) 9 e) 9

4

3. Hallar el área de la región formada por la función lineal:

f: R R; f_(x) = -2x - 5; y los ejes de coordenadas.

y

e)

-3 x a) 25 u2 b)

2 254 c) 10

8. =

2

4. Hallar el área de la región formada por las funciones:

f

(x) = 8 ; g(x) = x y el eje "y".

a) 8 u2 _{b) 16 c) 32}

d) 64 e) 30

5. Sea la función:

7. Graficar: f(x) = |x - 2| y a) _x y b) _x -2 y f(x) x

Graficar: f(x - 2)

y y

y y

c) _x d) _x

y

e)

-2 x

a) b)

2 x 2 x

2

S i : b < 0 ; l a g r á f i c a d e : F (x) y

+ 2bx + b2_{; es:}

y

y y

a) x b) x

c) d)

2 x -2 x

y y

y

c) x d) x

e) 2

x

y

6. Sea la función:

y

e) x

Graficar: g_(x) + 2

y

g(x)

x

y

9. Graficar:

y

f (x)   1, 0, 1, si: si: si:

x > 1 x = 1 x < 1

y 1

a) b)

2 x x

-2

1

a) b)

0 1 x 0 x

-1 _-1

y y

y y

2 2

c) _x d) _x c) 1 d)

0 1 x 1 x

-1 -1

y _y

e) _x e)

1

0 1 x

x

2

x

x

10.Graficar: f(x) = |x| + 2 _{3. Graficar:}

f (x)   x

y y

a) 2 b)

x x -2 y y 2 c) d) x x y y

a) _x b) _x

y y

y

e)

-2 x

c) _x d) _x

y

Nivel III _e)

x

1. Graficar: f(x) = x2 + 1

y 1

a) _x b)

y

-1 x

4. Hallar el área del triángulo mostrado:

y

f(x) = -x2+9

y 1 c) _x y 1 d) _x y

a) 1 8 u

e) _{x d) 24 e) 25}b) 32 c) 27

-1

5. Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta de pendiente -3.

2. Graficar: f(x) = x2 + 12x + 36

y y _y

a) b) -6 x y c) 6 y e) _x -6 y 6 d) _x x L

a) 12 u2 _{b) 32 c) 18}

d) 24 e) 16

6. Hallar el área de la región limitada por las rectas: f(x) = x + 3 ; g(x) = -4 y el eje "y"

a) 51 u2 _b)

2

32 _{c) 49}

3 2

d) 23 e) 25

2

7. Sea la función lineal: f : R R; f_(x)= 2x - 3; y la

función 9. Graficar: f = | x 2 3 |

c u a d r á t i c a : g

(x) = 6x

puntos (a;b) y (c;d).

Indique " db " ac

+ x - 4; se interceptan en los (x)

y

a)

y

x b) x

a) -22 b) -44 c) 11

d) -11 e) -33

8. Graficar: f ( x )  | x |

x

y y

c) x d) x

y 1 a) x -1 y y b) x e) _x y 1 1

c) d) x

-1

10.Graficar: f ( x )  x 2 2 | x |  1

y y 1 e) _-1 a) b) x y

-1 1 x

1

c) -1 d)

x

Autoevaluación _{4. Graficar: f ( x )} 

x 1

1. Graficar: f (x)  x 2 y y

y y

2

a) _x b) _x

-2

a) _x b) _x

-1

y

y

y y

c) _x d)

2 x

1

c) _x d) _x

y y e) 1 x e) -2 x

2. Graficar: f(x) = 2x + 3

y y

G r a f i c a r : f (x)

y

+ 10x + 25

y a) b) x x a) b) x x -5 y y c) d) x x y _y

c) 5 _x d)

5 x

y

y e)

-5 x

x

3. Graficar: f(x) = -3

y y

3

a) x b) _x

-3

y y

c) 3 x

y

e) 3 x

d) -3 x Claves