El teorema de Riesz sobre la bola unitaria (un tema del curso “An´alisis funcional”)

El teorema de Riesz sobre la bola unitaria

(un tema del curso “An´

alisis funcional”)

Egor Maximenko,

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional (M´exico) Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

Plan

1 Repaso: en espacios de dimensi´on finita, las bolas cerradas son compactas

2 El lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Plan

1 Repaso: en espacios de dimensi´on finita, las bolas cerradas son compactas

2 El lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Prerrequisitos

Notaci´

on: bolas cerradas

Dado un espacio normado V , un punto a ∈ V y un n´umero r > 0, denotamos por C (a, r ) la bola cerrada con centro a de radio r :

C (a, r ) := {v ∈ V : kv − ak ≤ r }.

Es f´acil ver que C (a, r ) se obtiene de C (0V, 1) al estirar y desplazar:

C (a, r ) = a + r C (0V, 1). Denotamos por S(a, r ) la esfera correspondiente:

Las bolas cerradas en C

son compactas

Proposici´on

Sea N una norma en Cn. Entonces la bola unitaria correspondiente C (0n, 1) es compacta.

Demostraci´on. N induce la misma topolog´ıa que k · k2.

Las bolas cerradas en C

son compactas

Proposici´on

Sea N una norma en Cn. Entonces la bola unitaria correspondiente C (0n, 1) es compacta.

Demostraci´on. N induce la misma topolog´ıa que k · k2.

Las bolas cerradas en espacios normados de dim. finita son compactas

Proposici´on

Sea V un espacio normado complejo de dimensi´on finita. Entonces la bola C (0V, 1) en V es compacta.

Demostraci´on. Usando una base de V , construimos un homeomorfismo lineal T : Cn→ V . Definimos N : Cn→ [0, +∞),

N(x ) := kTx kV. Entonces N es una norma en Cn_{, C}

N(0n, 1) = {x ∈ Cn: N(x ) ≤ 1} es compacto. Su imagen CV(0V, 1) = T (CN(0n, 1)) es un compacto en V .

Las bolas cerradas en espacios normados de dim. finita son compactas

Proposici´on

Sea V un espacio normado complejo de dimensi´on finita. Entonces la bola C (0V, 1) en V es compacta.

Demostraci´on. Usando una base de V , construimos un homeomorfismo lineal T : Cn→ V . Definimos N : Cn→ [0, +∞),

N(x ) := kTx kV.

Entonces N es una norma en Cn_{, C}

N(0n, 1) = {x ∈ Cn: N(x ) ≤ 1} es compacto. Su imagen CV(0V, 1) = T (CN(0n, 1)) es un compacto en V .

Las bolas cerradas en espacios normados de dim. finita son compactas

Proposici´on

Sea V un espacio normado complejo de dimensi´on finita. Entonces la bola C (0V, 1) en V es compacta.

Demostraci´on. Usando una base de V , construimos un homeomorfismo lineal T : Cn→ V . Definimos N : Cn→ [0, +∞),

N(x ) := kTx kV. Entonces N es una norma en Cn_,

CN(0n, 1) = {x ∈ Cn: N(x ) ≤ 1} es compacto. Su imagen CV(0V, 1) = T (CN(0n, 1)) es un compacto en V .

Las bolas cerradas en espacios normados de dim. finita son compactas

Proposici´on

Sea V un espacio normado complejo de dimensi´on finita. Entonces la bola C (0V, 1) en V es compacta.

Demostraci´on. Usando una base de V , construimos un homeomorfismo lineal T : Cn→ V . Definimos N : Cn→ [0, +∞),

N(x ) := kTx kV. Entonces N es una norma en Cn_{, C}

N(0n, 1) = {x ∈ Cn: N(x ) ≤ 1} es compacto.

Las bolas cerradas en espacios normados de dim. finita son compactas

Proposici´on

Sea V un espacio normado complejo de dimensi´on finita. Entonces la bola C (0V, 1) en V es compacta.

Demostraci´on. Usando una base de V , construimos un homeomorfismo lineal T : Cn→ V . Definimos N : Cn→ [0, +∞),

N(x ) := kTx kV. Entonces N es una norma en Cn_{, C}

N(0n, 1) = {x ∈ Cn: N(x ) ≤ 1} es compacto. Su imagen CV(0V, 1) = T (CN(0n, 1)) es un compacto en V .

La distancia entre un punto y un conjunto (repaso)

d (x , A) := inf

a∈Ad (x , a).

Por la definici´on del ´ınfimo, si d (x , A) < +∞ y ε > 0, entonces existe b en A tal que

d (x , b) < d (x , A) + ε.

Recordamos que

Plan

1 Repaso: en espacios de dimensi´on finita, las bolas cerradas son compactas

2 El lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b ka − bk. Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sean V un espacio normado, W un subespacio cerrado de V , W 6= V , r ∈ (0, 1). Entonces existe v en V tal que kv k = 1 y d (v , W ) ≥ r .

Demostraci´on. Sea a ∈ V \ W . Pongamos R = d (a, W ). Entonces R > 0.

Elegimos ε > 0 tal que _R+εR > r .

Elegimos b en W tal que ka − bk < R + ε. Pongamos

v := a − b

ka − bk.

Sea w ∈ W . Consideremos u = ka − bkw + b. Entonces u ∈ W y ku − ak ≥ R. Luego kv − w k = a − b ka − bk− u − b ka − bk = u − a ka − bk = ku − ak ka − bk ≥ R R + ε> r .

Plan

1 Repaso: en espacios de dimensi´on finita, las bolas cerradas son compactas

2 El lema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Conjuntos totalmente acotados en espacios m´

etricos (repaso)

∀a ∈ A d (a, R) < ε.

Proposici´on

Supongamos que δ > 0 y que (xk)k∈N es una sucesi´on en A tal que ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ d (xj, xk) ≥ δ



.

Entonces A no es totalmente acotado.

Conjuntos totalmente acotados en espacios m´

etricos (repaso)

∀a ∈ A d (a, R) < ε.

Proposici´on

Supongamos que δ > 0 y que (xk)k∈N es una sucesi´on en A tal que ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ d (xj, xk) ≥ δ



.

Entonces A no es totalmente acotado.

Conjuntos totalmente acotados en espacios m´

etricos (repaso)

∀a ∈ A d (a, R) < ε.

Proposici´on

Supongamos que δ > 0 y que (xk)k∈N es una sucesi´on en A tal que ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ d (xj, xk) ≥ δ



.

Entonces A no es totalmente acotado.

Teorema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sea V un espacio normado de dimensi´on infinita.

Entonces la esfera unitaria cerrada C (0V, 1) en V no es totalmente acotada.

Corolario: la bola C (0V, 1) no es totalmente acotada. Corolario: la bola C (0V, 1) no es compacta.

Teorema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sea V un espacio normado de dimensi´on infinita.

Entonces la esfera unitaria cerrada C (0V, 1) en V no es totalmente acotada.

Corolario: la bola C (0V, 1) no es totalmente acotada.

Corolario: la bola C (0V, 1) no es compacta.

Teorema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sea V un espacio normado de dimensi´on infinita.

Entonces la esfera unitaria cerrada C (0V, 1) en V no es totalmente acotada.

Corolario: la bola C (0V, 1) no es totalmente acotada. Corolario: la bola C (0V, 1) no es compacta.

Teorema de Frigyes Riesz sobre la esfera unitaria

Sea V un espacio normado de dimensi´on infinita.

Entonces la esfera unitaria cerrada C (0V, 1) en V no es totalmente acotada.

Corolario: la bola C (0V, 1) no es totalmente acotada. Corolario: la bola C (0V, 1) no es compacta.

Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1).

Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1.

Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado. Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn).

Entonces Wn es cerrado. Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r .

Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Demostraci´

on del teorema de Riesz

Sea r ∈ (0, 1). Vamos a construir por inducci´on una sucesi´on (xk)k∈N en S := S(0V, 1). Sea x1∈ S.

Supongamos que n ∈ N y ya est´an construidos x1, . . . , xn. Mostremos c´omo construir xn+1. Pongamos Wn:= lin(x1, . . . , xn). Entonces Wn es cerrado.

Como V es de dimensi´on infinita, Wn6= V .

Usando el lema de Riesz encontramos xn+1 en S tal que

d (xn+1, Wn) ≥ r . Entonces para cada k ≤ n tenemos kxn+1− xkk ≥ r .

Obviamente, la sucesi´on construida tiene la siguiente propiedad: ∀j, k ∈ N j 6= k =⇒ kxj− xkk ≥ r



Varias condiciones equivalentes a la condici´

on dim(V ) < +∞

Ejercicio. Sea V un espacio normado complejo.

Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) V es de dimensi´on finita,

(b) la bola C (0V, 1) es compacta,

(c) cada conjunto acotado en V es totalmente acotado, (d) cada conjunto cerrado y acotado en V es compacto, (e) V es localmente compacto.