El triángulo y sus soldados
Por Adrián Gómez
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1 | P á g i n a
Contenido
Introducción ... 2
La batalla del Triángulo y sus soldados ... 3
Estrategia y contraataque ... 5
Números mayores ... 6
Triángulos inversos ... 8
Fin de la batalla ... 10
2 | P á g i n a Introducción
Todo ocurrió una tarde donde, como cada persona, estaba en el sofá
tranquilamente viendo un programa matinal de ¡Llama y Gana! Cuando de repente cambian el juego y ponen uno de contar triángulos:
En la imagen se apreciaba un triángulo lleno de muchos triángulos, Como este:
Y preguntaban ¿Cuántos triángulos ves en la imagen?
Obviamente este sería fácil de contar (1), pero ¿y uno mucho más grande? La respuesta la encontrarás a lo largo del artículo donde explico detalladamente cada paso de la fórmula que obtendremos para contarlos y alguna que otra anécdota para romper el hielo.
Fig.1
Pero bueno, que mala educación la mía, no me he presentado, me llamo Adrián, pero prefiero que me llamen Adri, tengo 15 años y, desde que probé la ciencia, me gusta todo tipo de problema con origen matemático o lógico.
Pese a mi corta edad y como bien dijo Kanijo, la curiosidad no tiene edad para poder cultivarla, por eso quiero animar a todo aquel que lea este artículo a redescubrir cosas ya descubiertas, la sensación que tienes al final, una vez conseguido el objetivo, es increíble.
Bueno, una vez explicada parte del principio de mi historia, vamos a comenzar a explicar el problema: Yo, lo que hice, fue coger un zumo de melocotón o piña, sentarme en mi escritorio a luz tenue y comenzar la batalla contra este triángulo, tenía que conseguir la formula, pero él se resistía. La Guerra del Triángulo comenzó hace dos escasos meses, sobre finales de febrero.
3 | P á g i n a La batalla del Triángulo y sus soldados
Antes de dar paso al pelotón, tenemos que organizar las posiciones.
Vamos a dar el valor al nivel del triángulo, por ejemplo, el triángulo (2) tiene nivel 6.
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4
Nivel 5
Fig. 2 Nivel 6
Se podría decir que el nivel del triángulo es el número de líneas horizontales contando el vértice de arriba.
Bien, una vez tenemos sencillamente controlado el mapa del enemigo, comencemos con la ofensiva.
Como se puede ver en la figura 3 se crean unos triángulos pequeños, son los más pequeños que se pueden crear. Ahora fíjate como aumentan estos triángulos pequeños.
Fig.3
4 | P á g i n a También vamos a estructurar la fórmula en tres partes:
Donde será el número de triángulos pequeños, los triángulos más grandes que su pico mire hacia arriba, como el marcado en azul en la figura 3, y por último, que ha sido el peor de todos respecto a encontrarlo, son los triángulos invertidos, como el de color verde marcado en la figura 3.
Una vez dicho esto, vamos a continuar hacia la trinchera. Suerte y que gane el mejor.
5 | P á g i n a Estrategia y contraataque
Si paramos a mirar, podemos ver una sucesión.
Se puede observar que para se crean:
Triángulos pequeños
Vaya, así que aumentan de dos en dos, podemos comprobar que es cierto:
Nivel 1= 0 Nivel 2= 1 Nivel 3= 3 Nivel 4= 5 Nivel 5= 7 Nivel 6= 9
Bien, ya sabemos el ritmo que llevan los triángulos pequeños, sería la suma de 1+3+5+7+9+... que vendría a ser , un ejemplo:
Figura 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17
En este triángulo (figura 4) tenemos un nivel 5, así que sería , si los contamos, efectivamente, son 16.
Parece que ya tenemos la primera letra,
6 | P á g i n a Números mayores
Bueno, ya hemos conquistado una parte de él, ahora vamos a ir a por sus soldados de élite, los grandes.
Figura 5 Para batallar contra estos necesitaremos una estrategia diferente, son blindados frente a las matemáticas básicas, pues con estos necesitaremos utilizar sumatorias.
Vamos a comenzar, primero debemos darle un valor a cada uno, como por ejemplo este:
Figura 6
Lo que nos lleva a pensar que si utilizamos las combinaciones de (porque es el nivel menos los dos vértices que sobran) y juntándolas de dos en dos y en orden, tendremos todos los triángulos que miran hacia arriba en un nivel, por ejemplo:
En este triángulo tenemos dos vértices en el último nivel, marcados en azul,
podemos expresar las combinaciones Una muestra serían los de la figura 5, en ese triángulo de nivel 6 hay un total de 20 triángulos mayores que apuntan hacia arriba, ¿Supongo que ya sabes que es la letra de la ecuación? Pues son este tipo de triángulos.
Cada punto rojo es el centro de la base del triángulo, como en la figura 6, es decir, cada punto rojo será un triángulo, que le corresponde al amarillo. Por lo que en un triángulo como este podemos obtener todos los puntos azules, además si juntamos puntos seguidos, podemos obtener figuras más grandes, como el de color verde.
7 | P á g i n a como la sumatoria de que viene a ser para obtener todas las
combinaciones en el nivel 4, pero claro, falta el 3, el 2 y el 1, que sería algo como
Donde se puede expresar como
Y si nos fijamos y la desglosamos queda
Que podemos simplificar como la sumatoria hasta más la sumatoria de cuadrados hasta
Y eso define la letra , que al sumarla con y reducirla queda de la forma Que descompuesta sería la suma de sumatorias * más la suma de impares, o :
+
Figura 7
8 | P á g i n a Triángulos inversos
Una vez hemos llegado a la fórmula podemos comprobar que solo nos muestra los triángulos pequeños y todos los mayores que miran hacia arriba.
Ahora vamos a atacar la última zona de la ecuación, vamos a por .
se define como el total de las combinaciones de triángulos mayores que miran hacia abajo. Por ejemplo los marcados en rojo y verde (figura 8).
Pero aquí surge un problema, no podemos utilizar la combinatoria, si nos fijamos e intentamos usarla estaríamos agregando triángulos como el de color azul, y por lo tanto no podría ser correcto (figura 8). Pero estrategias tenemos
las suficientes como para poder hacerle frente:
Vamos a utilizar otro método de contoneo, ahora Cada triángulo será un vértice superior, para que se vea mejor:
Que puede expresarse como
Figura 8
Si nos fijamos, llegamos a la conclusión que a la izquierda del punto rojo (figura 9) no se pueden crear más, por lo tanto, sobran 4 vértices, que están marcados en amarillo.
Solo hay dos rojos. Llegamos a la conclusión que el total de triángulos invertidos (que miran hacia abajo) y que son más grandes que los pequeños, vienen dados como
Figura 9
9 | P á g i n a Y queda de la siguiente forma:
Para sería
Donde quedaría como
Reduciendo ambas como la suma de los números impares más la suma de cuadrados impares partido de dos quedaría
=
Reduciendo ambas como la suma de los números pares más la suma de cuadrados pares partido de dos quedaría
10 | P á g i n a
=
Fin de la batalla
Donde esas dos fórmulas consiguen derrotar al triángulo junto a todos sus soldados.
Espero que haya sido de vuestro agrado este artículo, mi nombre es Adrián, tengo 15 años y resido en Barcelona.
Solo decir que si soy capaz de hacer esto y algún chaval de mi edad lo esté leyendo, que se anime a no ser derrotado y pisoteado por los números, porque tú tienes el poder en la mano, tu bolígrafo. Adelante.
