Funciones III. Límites y continuidad 1

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Funciones III. Límites y continuidad

1^◦Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

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Índice

1 Introducción La idea de límite Funciones con límite

Ejemplo de cálculo con la definición Definición de límites laterales Definición de límite infinito Definición de límite en el infinito

¿Y cómo calculamos límites?

2 Operaciones con límites Operaciones

3 Cálculo de límites

Límites de funciones básicas Reglas básicas de cálculo Indeterminaciones k/0 Indeterminaciones ∞/∞

Indeterminaciones 0/0 Indeterminaciones 0 · ∞ Indeterminaciones ∞ − ∞ Indeterminaciones 1^∞ Asíntotas

4 Continuidad Definición

Discontinuidad. Tipos

5 Problemas Propuestos

6 ¡No me cuentes historias!

Newton y Mme. de Châtelet

7 Complementos

Más sobre coordenadas polares

8 Bibliografía

9 Créditos

(3)

Introducción

Ir a Índice

1| Introdu ión

(4)

Introducción La idea de límite

Ejemplo I

Tratamos de introducir la idea de límite de una función de una manera intuitiva.

(5)

Ejemplo I

Para ello suponemos una función y = f (x) definida cerca de un número c y un número l al que se acerca f(x) cuando x se aproxima a c.

Esto lo expresamos simbólicamente de la siguiente manera lim

x→cf(x) = l

y leemos " el límite de f (x) cuando x tiende a c es l"

(6)

Ejemplo I

x→cf(x) = l

y leemos" el límite de f(x) cuando x tiende a c es l"

(7)

Ejemplo I

x→cf(x) = l

y leemos" el límite de f(x) cuando x tiende a c es l"

La función representada es una parábola, f(x) = x². Para puntos próximos a c obtenemos imágenes próximas a f (x) = l. Por ejemplo, si c = 1 y tomamos puntos próxi- mos, como x0 = 0.9 o x1 = 0.99, obtenemos imágenes f (x0) = 0.81 y f(x) = 0.98, que son muy próximas a f (1) = 1. Observar que hemos puesto en negrita expresiones como

"se acerca", "se aproxima", "cerca de ". Son expresiones que trataremos de aclarar en las siguientes diapositi- vas.

(8)

Ejemplo II

Observa ahora la siguiente figura

(9)

Ejemplo II

(10)

Ejemplo II

Esta gráfica es igual a la anterior, sólo que ahora la función no está definidaen c. Su ecuación es f (x) = x², x6= c. No existe f (c). Hemos suprimido el punto (c, f (c)).

A pesar de todo, la expresión

xlim→cf(x) = l, sigue teniendo el mismo significado que antes.

(11)

Ejemplo II

(12)

Ejemplo II

Cuando x se aproxima a c la función se aproxima a l (aunque no exista f (c) = l). Por ejemplo, si c= 1 y tomamos puntos próximos, como x0= 0.9 o x1= 0.99, obtenemos imágenes

f(x0) = 0.81 y f (x) = 0.98, que son muy próximas a f (1) = 1. Cuando calculamos un límite nos preguntamos que pasa en la proximidad de c, no en c.

(13)

Ejemplo III

Veamos ahora otra gráfica. En el siguiente dibujo representamos la función f (x) =

4 x− 5

^.

(14)

Ejemplo III

4 x− 5

^.

(15)

Ejemplo III

4 x− 5

^.

Esta gráfica es distinta a las dos anteriores. Pero al igual que la última, la función no está definida en c = 5.

No existe f (c). Vemos que cuando x se aproxima a c = 5, la función f (x) se hace arbitrariamente grande (decimos que tiende a infinito).

Por ejemplo, si hacemos x0 = 4.99, tenemos que f (x0) = 400; y si hacemos x1= 4.99999, entonces f (x1) = 400000.

(16)

Ejemplo III

4 x− 5

^.

Y esto lo expresamos como lim

x→5f(x) = ∞. Cuando x se aproxima a c = 5 la función se aproxima a ∞ (aquí tampoco existe f (x)). El significado de esta expresión es clara.

(17)

Ejemplo III

4 x− 5

^.

Y esto lo expresamos como lim

x→5f(x) = ∞. Cuando x se aproxima a c = 5 la función se aproxima a ∞ (aquí tampoco existe f (x)). El significado de esta expresión es clara.

(18)

Ejemplo IV.-¿Ahora cuál es el límite de esta gráfica?

(19)

Cuando nos acercamos a c por la izquierda (y esto lo expresamos como x→ c⁻) parece que el límite es −1.

Pero cuando nos acercamos por la derecha (y esto lo expresamos como x→ c⁺) parece que el límite es 1.

(20)

Cuando nos acercamos a c por la izquierda (y esto lo expresamos como x→ c⁻) parece que el límite es −1.

Pero cuando nos acercamos por la derecha (y esto lo expresamos como x→ c⁺) parece que el límite es 1.

En este caso decimos que no existe el límite, y escribimos ∄ lim

x→cf(x). Ahora bien, decimos que existen los límites lateralesy escribimos

lim

x→c⁻

f(x) = −1 y lim

x→c⁺

f(x) = 1

(21)

Ejemplo V.-¿ Y ahora cuál es el límite ?. La función representada es f (x) = 4 x− 5.

(22)

Cuando nos acercamos a c por la izquierda (y esto lo expresamos como x → c⁻) parece que la función se hace arbitrariamente grande, pero negativa; es decir parece que tiende a −∞. Pero cuando nos acercamos por la derecha (y lo expresamos como x → c⁺) parece que la función se hace arbitrariamente grande, pero positiva; es decir parece que tiende a

∞.

(23)

Cuando nos acercamos a c por la izquierda (y esto lo expresamos como x → c⁻) parece que la función se hace arbitrariamente grande, pero negativa; es decir parece que tiende a −∞. Pero cuando nos acercamos por la derecha (y lo expresamos como x → c⁺) parece que la función se hace arbitrariamente grande, pero positiva; es decir parece que tiende a

∞.

En este caso decimos que no existe el límite. Ahora bien, decimos que existen los límites lateralesy escribimos

lim

x→c⁻

f(x) = −∞ y lim

x→c⁺f(x) = ∞

(24)

Introducción Funciones con límite

Los ejemplos anteriores nos han preparado par entender, al menos intuitivamente, la idea de límite. Pasemos ahora a la definición matemática. Pero para dar la definición precisa de límite, necesitamos el concepto de entorno.

(25)

Entorno

Un entorno es un intervalo abierto. Hay varios tipos:

Entorno simétrico, E (c, ε), de centro c y radio ε, es el intervalo abierto (c − ε, c + ε).

(26)

Entorno

Entorno reducido,E^∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir, E(c, ε) − {c}.

(27)

Entorno

Entorno lateral a la derecha,E⁺(c, ε), es el intervalo (c − ε, c).

(28)

Entorno

Entorno lateral a la derecha,E⁺(c, ε), es el intervalo (c − ε, c).

Entorno lateral a la izquierda,E⁻(c, ε), es el intervalo (c, c + ε).

(29)

Empezaremos por funciones que tienen límite finito, como las de los ejemplos I y II .

(30)

Empezaremos por funciones que tienen límite finito, como las de los ejemplos I y II . Límite de una función

Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a c y escribimos

xlim→cf(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno E (c, δ), de modo que para todo x que pertenezca al entorno reducido E^∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

Las funciones que cumplen esta definición se llamanconvergentesen c.

(31)

Empezaremos por funciones que tienen límite finito, como las de los ejemplos I y II . Límite de una función

xlim→cf(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno E (c, δ), de modo que para todo x que pertenezca al entorno reducido E^∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

Las funciones que cumplen esta definición se llamanconvergentesen c.

Definición equivalente a la anterior es:

x→climf(x) = l

si para todo ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 <

|x − c| < δ implica que |f (c) − l| < ε.

(32)

Introducción Ejemplo de cálculo con la definición

Demostrar, aplicando la definición de límite, que la función f(x) = x + 1 es convergente para x= 1, siendo su límite 2.

Tenemos que probar que

xlim→1(x + 1) = 2 y para ellos, aplicando la definición de límite, probaremos que

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − c| < δ ⇒ |f (c) − l| < ε

Para ello fijemos un ε > 0, y como ha de ser 0 < |x − 1| < δ, podemos escribir x = 1 + h, con h6= 0. Con estas condiciones es

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h|

Ahora bien, como ε es fijo, podemos escribir

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h| < ε ⇒ |h| < ε

Es decir, fijado ε siempre es posible encontrar un δ = ε que verifique la definición de límite, y por tanto

lim

x→1(x + 1) = 2

(33)

Introducción Definición de límites laterales

Vimos en el ejemplo IV que una función, cuando x tendía a c, podía tener un límite u otro dependiendo si tendía por la izquierda o por la derecha. Tenemos así las siguientes definiciones:

(34)

Límites laterales

Una función tiene porlímitel cuando x tiende a cpor la izquierday escribimos lim

x→c⁻

f(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno lateral a la izquierda E (c, δ) = (c − δ, c), de modo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

(35)

Límites laterales

x→c⁻

f(x) = l

Una función tiene porlímitel cuando x tiende a cpor la derechay escribimos lim

x→c⁺

f(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno lateral a la derecha E (c, δ) = (c, c + δ), de modo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

(36)

Límites laterales

x→c⁻

f(x) = l

Una función tiene porlímitel cuando x tiende a cpor la derechay escribimos lim

x→c⁺

f(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno lateral a la derecha E (c, δ) = (c, c + δ), de modo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

Si se cumple que lim

x→c⁻

f(x) = lim

x→c⁺f(x) = l, entonces lim

x→cf(x) = l

(37)

Introducción Definición de límite infinito

Definición de límite infinito

En los ejemplos III y V vimos que algunas funciones se hacían arbitrariamente grandes cuando x tendía a cierto número finito c y escribíamos

lim

x→cf(x) = ±∞ o lim

x→c⁻

f(x) = ±∞ y lim

x→c⁺f(x) = ±∞

Estas funciones se llamandivergentes. No daremos aquí la definición precisa de límites infinitos, sólo recordamos la gráfica IV .

(38)

lim

x→c⁻

f(x) = ±∞ y lim

x→c⁺f(x) = ±∞

Figure:f(x) = 1 x − c

(39)

lim

x→c⁻

f(x) = ±∞ y lim

x→c⁺f(x) = ±∞

Figure:f(x) = 1 x − c

Este límite no es mas que la definición de asín- tota vertical, que definimos en el tema Fun- ciones II. Es decir, decimos que la recta x = c es una asíntota vertical si existe alguno de los seis límites anteriores.

NOTA: esta definición es válida para cualquier función y = f (x). Más adelante volveremos a dar las definiciones de asíntotas.

(40)

Introducción Definición de límite en el infinito

Definición de límite en el infinito

Hasta ahora hemos hecho tender a x hacia un número c. Pero, ¿y si hacemos x arbitrariamente grande, es decir, hacemos tender a x hacia infinito (más o menos infinito)?. En la siguiente gráfica vemos la situación

(41)

(42)

Vemos que cuando x → ∞ entonces f(x) → l, y esto lo expresamos como

x→+∞lim f(x) = l

De igual manera

x→−∞lim f(x) = l

(43)

Vemos que cuando x → ∞ entonces f(x) → l, y esto lo expresamos como

x→+∞lim f(x) = l

De igual manera

x→−∞lim f(x) = l

Cuando existe alguno de los límites anteriores decimos que y = l es una asíntota horizontal.

Esta definición la vimos en el tema anterior.

(44)

Introducción ¿Y cómo calculamos límites?

Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x y operar.

Veamos algunos ejemplos:

(45)

x→1lim(3x − 1) = lim

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2 − 1 = 1

(46)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−1lim 2^x= lim

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

(47)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

(48)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

Parece fácil, pero no lo es. A veces aparecen problemas. Por ejemplo, en el segundo límite que hemos calculado, si hacemos tender x hacia 1, tenemos

lim

x→1

1 x− 1= lim

x→1

1 1− 1 =1

0 =???

A estos problemas los denominamosindeterminaciones, y los veremos más adelante.

(49)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

lim

x→1

1 x− 1= lim

x→1

1 1− 1 =1

0 =???

Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido, siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas

(50)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

lim

x→1

1 x− 1= lim

x→1

1 1− 1 =1

0 =???

Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido, siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas

k

±∞= 0, k∈ IR ±∞

k = ±∞, k∈ IR 0

k = 0, k6= 0 k^+∞= +∞, k> 1 k^+∞= 0, 0 < k < 1

(51)

Operaciones con límites

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2| Opera iones

on límites

(52)

Operaciones con límites Operaciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones convergentes en x = c; es decir

x→climf(x) = l y lim

x→cg(x) = m Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(53)

Límite de la suma o diferencia de funciones

x→clim[f (x) ± g(x)] = lim

x→cf(x) ± lim

x→cg(x) = l ± m

(54)

x→cf(x) ± lim

x→cg(x) = l ± m Límite del producto de funciones

xlim→c[f (x) · g(x)] =

h

x→climf(x)

i

·

h

x→climg(x)

i

= l · m

(55)

x→cf(x) ± lim

h

x→climf(x)

i

·

h

x→climg(x)

i

= l · m Límite del cociente de funciones

x→clim

h_f_(x)

g(x)

i

= lim

x→cf(x)

x→climg(x)= l

m, m6= 0

(56)

x→cf(x) ± lim

h

x→climf(x)

i

·

h

x→climg(x)

i

= l · m Límite del cociente de funciones

x→clim

h_f_(x)

g(x)

i

= lim

x→cf(x)

x→climg(x)= l

m, m6= 0 Límite de la potencia de funciones

x→clim[f (x)]^g(x)=

h

x→climf(x)

ilim

x→cg(x)

= l^m, l> 0

(57)

Cálculo de límites

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3| Cál ulo de

límites

(58)

Cálculo de límites Límites de funciones básicas

Límites de algunas funciones elementales

Función Gráfica Límites

(59)

F. Constante f(x) = k

lim

x→ck= k lim

x→+∞k= k lim

x→−∞k= k

(60)

lim

x→ck= k lim

x→+∞k= k lim

x→−∞k= k

F. Identidad f(x) = x

x→climx= c lim

x→+∞x= +∞ lim

x→−∞x= −∞

(61)

lim

x→ck= k lim

x→+∞k= k lim

x→−∞k= k

F. Identidad f(x) = x

x→climx= c lim

x→+∞x= +∞ lim

x→−∞x= −∞

F. Potencial f(x) = xⁿ

n≥ 2

lim

x→cxⁿ= cⁿ lim

x→+∞xⁿ= +∞ lim

x→−∞xⁿ= +∞

x→climxⁿ= cⁿ lim

x→+∞xⁿ= +∞ lim

x→−∞xⁿ= −∞

(62)

(63)

F.Proporc.

Inversa f(x) =_x¹n

n∈ IN

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0

1 xⁿ = +∞

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0⁻ x→0⁺

1 xⁿ = ∓∞

(64)

F.Proporc.

Inversa f(x) =_x¹n

n∈ IN

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0

1 xⁿ = +∞

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0⁻ x→0⁺

1 xⁿ = ∓∞

F. Exponencial

f(x) = a^x

a> 0, a 6= 1

lim

x→ca^x = a^c lim

x→+∞a^x = +∞ lim

x→−∞a^x= 0

x→clima^x = a^c lim

x→+∞a^x = 0 lim

x→−∞a^x= +∞

(65)

Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo

Reglas básicas de cálculo

Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:

(66)

Regla I:Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x y operar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), el problema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.

(67)

Regla II:Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como su término de mayor grado; es decir:

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

x→±∞(anxⁿ)

(68)

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

x→±∞(anxⁿ) Regla III:Si aparece algunaindeterminación, debemos "deshacerlas". Las indeterminacionesson:

k 0

∞

0

0 0 · ∞

∞ − ∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰

(69)

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

k 0

∞

0

0 0 · ∞

∞ − ∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰

(70)

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

k 0

∞

0

0 0 · ∞

∞ − ∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰

A continuación se explica como "deshacer" cada una de las indeterminaciones.

(71)

Cálculo de límites Indeterminaciones k/0

Indeterminaciones del tipo k

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tipos0 de soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamos un ejemplo de cada tipo de solución:

(72)

x→1lim 3x

|x²− 1| =3 0 =











lim

x→1⁻

3x

|x²− 1| = +∞

lim

x→1⁺

3x

|x²− 1| = +∞











=⇒ lim

x→1

3x

|x²− 1|= +∞

(73)

x→1lim 3x

|x²− 1| =3 0 =











lim

x→1⁻

3x

|x²− 1| = +∞

lim

x→1⁺

3x

|x²− 1| = +∞











=⇒ lim

x→1

3x

|x²− 1|= +∞

lim

x→2

3x x− 2 =6

0=







lim

x→2⁻

3x

x− 2 = −∞

lim

x→2⁺

3x

x− 2 = +∞







=⇒ No existe

(74)

x→1lim 3x

|x²− 1| =3 0 =











lim

x→1⁻

3x

|x²− 1| = +∞

lim

x→1⁺

3x

|x²− 1| = +∞











=⇒ lim

x→1

3x

|x²− 1|= +∞

lim

x→2

3x x− 2 =6

0=







lim

x→2⁻

3x

x− 2 = −∞

lim

x→2⁺

3x

x− 2 = +∞







=⇒ No existe

lim

x→−1

3x

|x²− 1| =−3 0 =











lim

x→−1⁻

3x

|x²− 1| = −∞

lim

x→−1⁺

3x

|x²− 1| = −∞











=⇒ lim

x→−1

3x

|x²− 1| = −∞