Métodos de Montecarlo

Métodos de Montecarlo

Física de Astropartículas

Master de Física Fundamental

Juan Abel Barrio, Curso 11/12

Universidad Complutense de Madrid

Detectores de partículas

•  Propiedades generales (1.5 h)

•  Técnicas de Montecarlo (0.5 h)

•  Detectores de radiaciónes ionizantes (2 h)

−  Cámaras de ionización

−  Detectores de centelleo

−  Detectores de estado sólido

•  Fotosensores (1 h)

−  Fotomultiplicadores

−  Detectores de estado sólido

•  Técnicas de detección (1 h)

−  Espectroscopía con centelleadores

−  Detectores de trazas

−  Calorímetros

−  Detectores combinados (LHC)

Detectores de partículas

•  Propiedades generales (1.5 h)

•  Técnicas de Montecarlo (0.5 h)

•  Detectores de radiaciónes ionizantes (2 h)

−  Cámaras de ionización

−  Detectores de centelleo

−  Detectores de estado sólido

•  Fotosensores (1 h)

−  Fotomultiplicadores

−  Detectores de estado sólido

•  Técnicas de detección (1 h)

−  Espectroscopía con centelleadores

−  Detectores de trazas

−  Calorímetros

Índice

•  Definición.

•  Ejemplo.

•  Esquema

•  Ejercicio

© Jose Luis Contreras

Métodos Monte Carlo

•  Métodos Monte Carlo.

Usan números aleatorios para resolver problemas

.

Métodos Monte Carlo

Ejemplo:

2 2

2 L

L A

A N

N

cuadrado circulo total

aciertos

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

≈

π

4

≈ π

total aciertos

N N

L

Métodos Monte Carlo

Ejemplo:

( x ,

y

)

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

< ⎛

+ L

y x_{i i} Elijo puntos aleatorios

en el cuadrado Compruebo si están

dentro del círculo

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡−

∈

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡−

∈

, 2 2

, 2 2

L y L

L x L

i

i Cuento aciertos

Métodos Monte Carlo

Ejemplo:

¿ Error ?

total aciertos

N

≈ N λ

Acierto-Fallo  dist. binomial

! " ( ) ^{= 1}

N

! ( ) ^N

^{= " ( 1 # " )}

N

P(N_a, N_t) = N_t!

N_a!(N_t ! N_a)!!^Na(1! !^)Nt!Na; ! = N_a

N_t ;" ^2(N_a⁾ = N_t!⁽¹! !⁾

Algoritmo

Elijo

¿Dentro?

Éxito ! Fuera Fracaso ! Elijo un par

de numeros aleatorios grande

Ntot

= 0

exitos

N

+1

=

exitos exitos

N N

Repito N_tot veces

4

≈ π

tot exitos

N

N

Métodos Monte Carlo

•  Ejercicios Monte Carlo.

Calcular el volumen de una esfera de R= 1 m en 4-D con error del 10% o menor.

cuentas detectará? Suponer eficiencia intrínseca unidad.

¿ Como generar numero aleatorios ? (I)

•  Uniformes en [0,1]

()

* )

( b a rand a

x = + −

•  Uniformes en [a,b]

()

rand

programación

¿ Como generar numeros aleatorios ? (II)

•  Siguiendo una distribución dada

Método de hit and miss Elegir un cuadrado que contenga la función

Generar dos números

aleatorios x e y dentro del cuadrado

Conservo la x Si y<f(x)

Las x resultantes están distribuidas siguiendo f(x).

X no valida X valida

¿ Como generar numeros aleatorios ? (III)

•  Siguiendo una distribución dada

Método de la función inversa

Calcular la distribución de probabilidad F(a)= P(x<a) Generar un número aleatorio uniforme y en [0,1]

Tomar x = F^-1(y)

Las x resultantes están

distribuidas siguiendo f(x).

0

1 Y

y

x

¿ Como generar numero aleatorios ? (IV)

•  Siguiendo una distribución dada

Métodos particulares: Ej: para una esfera.

Genero x,y,z uniformes en un cubo de lado L Calculo

Si d < R guardo el punto

Los puntos resultantes son uniformes en la esfera.

son uniformes en la superficie esférica

2 2

2

y z

x

d = + +

φ

θ ^,

Resultado Geiger

•  Aprox  0.0006238

•  MC  0.000620

•  PROGRAM GEIGER

•  !

•  !-Calcula el angulo solido subtendido por un circulo

•  ! a cierta distancia de un punto, orientado perpendicualrmente

•  ! a la linea que lso une. Por Monte Carlo

•  !

• 

•  ! Parámetros del problema

• 

•  REAL R ! Radio del circulo

•  REAL D ! Distancia del pùnto al circulo

•  INTEGER NMAX ! Numero de puntos a generar

•  INTEGER NEXITOS ! Numero de exitos

•  R = 0.5

•  D = 10.

•  NMAX = 100000

•  NEXITOS = 0

•  PI = 2*ASIN(1.)

•  Do I=1,NMAX

•  !

•  !-Genero rayos que salen de la fuente, tomo

•  ! theta = 0 en el centro del círculo

•  !

•  PHI= 2*PI*RAND()

•  ! THETA= (PI/2.)*RAND() ! Ojo no es correcto

•  THETA= ACOS(RAND()) ! Ojo no es correcto

•  !

•  ! Calculo las coordenadas del

•  ! punto donde cortan el plano Z=D

•  !

•  TTHETA = TAN(THETA)

•  ! WRITE(6,*) 'THETA, TTHETA ', THETA, TTHETA

•  IF (TTHETA.GT.0.) THEN

•  R1 = D*TTHETA

•  IF (R1.LT.R) THEN

•  NEXITOS = NEXITOS +1

•  ENDIF

•  ENDIF

•  ENDDO

•  !

•  EFFI = 0.5*(FLOAT(NEXITOS)/FLOAT(NMAX))

•  !

•  WRITE(6,*) " La eficiencia es ",EFFI

•  APROX = 0.5*(1-SQRT((D*D)/(D*D+R*R)))

•  WRITE(6,*) " El valor aproximado es ",APROX