Unidad 4 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA Parte C Mayo 2021

Unidad 4

CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA

Parte C Mayo 2021

4.5 Potencia instantánea y promedio

Como se mencionó en la Unidad 1, la potencia instantánea p(t) absorbida por un elemento de circuito es el producto del voltaje instantáneo v(t) en los terminales del elemento y la corriente instantánea i(t) a través de él. Hay que respetar la convención pasiva de signos.

) ( ) ( )

(t v t i t

p = en W y es la potencia en cualquier instante, o sea la rapidez con que la red lineal pasiva absorbe energía.

Si la excitación (fuente) es sinusoidal tanto la corriente como el voltaje a través de la red serán sinusoidales.

) cos(

)

(t V_m t _v

v =  + (1)

) cos(

)

(t I_m t _i

i =  + (2)

La potencia absorbida será: p(t)=v(t)i(t)=V_mI_mcos(t+_v)cos(t+_i) (3)

Apliquemos la identidad trigonométrica

( ) ( )





B

A = cos − +cos +

2 cos 1 cos

La ecuación (4) indica que la potencia instantánea tiene dos partes:

➢ Una parte constante o independiente del tiempo cuyo valor depende de la diferencia de fase entre el voltaje y la corriente.

➢ La otra parte es una función senoidal cuya frecuencia es 2.

) 2

2 cos(

) 1 2 cos(

) 1

(t V_mI_{m v i} V_mI_m t _{v i}

p =  − +  + +

Término constante Término oscilatorio

(4)

v(t) Red lineal

pasiva i(t)

Observe que p(t) es periódica con período T0 = T/2, en donde T=2/ es período de la excitación.

Observe asimismo que la potencia puede ser positiva en cierto intervalo del ciclo T0, y puede ser negativa en el resto del ciclo. Cuando p(t) es positiva el circuito absorbe potencia y cuando es negativa el circuito entrega potencia a la fuente. Esto último es posible debido a la capacidad de almacenaje de energía de los elementos reactivos de la red.

La potencia instantánea es variable en el tiempo (en el caso del red pública, CAESS, DELSUR, etc., son 120 ciclos en un segundo) y por lo tanto en la práctica es difícil de medir. El vatímetro (wattmeter) mide el promedio temporal.

p(t)

t

m mI 2V 1

) 2 cos(

1

i v m mI

V  −

i(t)

t v(t)

t

La potencia promedio está dada por



= ^T p t dt P T

0 ( )

1 (5)

Al sustituir en (5) la expresión (4)





= ^T _{m m v i} ^T _{m m v i}

pro V I t dt

dt T I

T V

p 0 0 cos(2 )

2 1 ) 1

2 cos(

1

1     

El primer integrando es una constante ya que el promedio de una constante es la constante misma y el valor del segundo integrando es cero ya que es el promedio de una sinusoide en un número entero de períodos (en este caso dos periodos T = 2T0) vale cero.

) 2 cos(

1

i v m m

pro P V I

p = =  − (6)

Las formas fasoriales de v(t) e i(t) son )

cos(

)

(t V_m t _v

v =  + → V =V_m_v )

cos(

)

(t V_m t _i

i =  + → I =I_m_i Empleando fasores

( )

2 ) 1 2 cos(

1 2

1 2

1

i v m m i

v m m i

v m

mI V I j V I

V I

V ^ =  − =  − +  − (7)

La parte real de (7) corresponde al valor de P

 

2 Re 1

2 1

i v m mI V I

V

P=  ^ =  − (8)

Con respecto a la potencia promedio P, consideremos dos casos.

.1. Cuando _v =_i, la tensión y la corriente están en fase. Esto implica un circuito puramente resistivo con una resistencia equivalente, R. En este caso

R I R I I

V

P _{m m} ² _m²

2 1 2

1 2

1 = =

= (9)

Recuerde de conceptos de números complejos que I² =II^=I_m². La ecuación (9) indica que un circuito resistivo consume potencia todo el tiempo (término constante de la ecuación (4)).

.2. Cuando _v−_i =90 se tiene un circuito puramente reactivo y

0 ) 90 2 cos(

1   =

= V_mI_m

P (10)

Lo que indica que un circuito puramente reactivo no consume potencia promedio.

Máxima transferencia de potencia promedio

) (

)

( _{th th L L}

th

jX R jX

R I V

+ +

= +

) (

)

( _{th L th L}

th

X X j R R I V

+ +

= +

L

L I I R

R I

P= =  ^

2 1 2

1 ²

) (

)

( _{th L th L}

th

X X j R R I V

+

−

= +

 

L L th L

th

th

L th L

th

th

L R

X X j R R

V X

X j R R R V

I I

P 2 ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1

+

−

 + + +

 +

=



=

 

Carga

Rth+jXth

b V th

Circuito lineal de dos

terminales V

I

(a) Circuito original

ZL

(b) Circuito equivalente usando equivalente de Thevenin para determinar la potencia

I

V

( ) (

)

2 2

2 1 2

1

L th L

th

th L

L R R X X

R V R

I

P= = + + + (11)

El objetivo es ajustar los parámetros de la carga RL y XL para que P sea máxima.

=0



 RL

P → RL = Rth

=0



 XL

P → XL = −Xth

O sea que la máxima transferencia de potencia será cuando

ZL = Zth* (12)

Y

th th

R P V

8

2

max = (13)

Si se da la situación de circuito puramente resistivo R_L = R_th² +X_th² = Z_th (14)

Valor eficaz o rms

   

0 2 2

0 ( ) ( )

1

rms T

T

RI dt t T i dt R t i T R

P=





 

I_rms T ^T

2

0 ( ) 1



= (15)

También se define para voltaje

 

V_rms T ^T

2

0 ( )

1



=

El valor eficaz de una señal periódica es su valor medio cuadrático )

(t i

T 2T t

Corriente continua equivalente Corriente periódica

) (t i

t Irms

El valor eficaz de una corriente periódica es la corriente continua que suministra la misma potencia promedio a una resistencia que la corriente periódica.

v(t)

i(t)

R Vrms R

Irms

Para el caso ondas sinusoidales

   

T dt V T dt V

T t dt V

t T V

V_rms ⁼









2 2

0 2 2

0 cos(2 )

2 ) 2

2 cos(

2 1 )

1 cos(  

0 2 2

2

m m

rms

V

V = V + =

2

m rms

V = V (16)

Así, la potencia promedio en términos de valores rms

) cos(

) 2cos(

) 2 2 cos(

1

i v rms rms i

v m

m i v m

m V I V I

I V

P=  − =  − =  −



rmscos

rmsI V

P= (17)

Para una resistencia pura P=RI_rms² (18)

Potencia aparente y factor de potencia De la (17)

La potencia aparente se mide en VA volt-amperio, el fp es adimensional. Si  > 0, el fp en atraso y si  < 0, el fp en adelanto.

El ángulo del factor de potencia es igual al ángulo de la impedancia de carga



rms

cos

rms

I V P =

S=VrmsIrms

Potencia aparente

fp=cos

factor de potencia

 =v−i

ángulo delfactor de potencia

(

)



 _{=  − =  = }



= 

= Z

I V I

V I

V I Z V

rms rms i

v m m

i m

v

m (19)

Note que 0 < fp < 1 (20)

.1. Cuando _v=_i, fp =1, P = S.

.2. Cuando _v−_i =90, fp = 0, P = 0 4.6 Potencia compleja

De (7) sin( )

2 ) 1 2 cos(

) 1 2 (

1 2

1

i v m m i

v m m i

v m

mI V I j V I

V I

V ^ =  − =  − +  −

S = P + jQ (22)

Aún cuando los tres términos de la ecuación anterior deben de tener las mismas unidades, para diferenciarlas se establecen

S se mide en VA (volt-amperios), kVA, MVA, etc P se mide en W, (watt o vatio), kW, MW, etc

Q se mide VAr, (volt-amperios reactivos), kVAr, MVAr, etc.

Note también que los términos de la (22) no son fasores.

P es la potencia que se produce en la fuente y es consumida por la parte resistiva de la red.

Q es debida a elementos que almacenan energía. Es la energía que se intercambian entre la fuente y los elementos reactivos de la red.

.1. Q < 0, circuito capacitivo, el fp es adelantado .2. Q = 0, circuito resistivo, el fp es unitario, fp =1 .3. Q > 0, circuito inductivo, el fp es atrasado

) sin(

)

cos(

rms rms rms

rms

I V I jV I

V 

=  −  +  − 

Potencia compleja, S

Potencia promedio, real, activa, P

Potencia reactiva, Q

(21)

S= ^

( )



 



= 

=

= Z

V Z

V V Z I I

ZI I

Vrms rms rms rms rms rms ^{rms rms} 2 2

S= = _

Z Z V I_rms ^rms

2

2 (23)

R I

P= _rms² Q=I_rms²X (24)

4.7 Potencia y factor de potencia

Las relaciones anteriores se pueden representar gráficamente

P

Q S



R

 Z   X

Im

 Re

S jQ

P

Triángulo de potencia

Triángulo de impedancia

Triángulo de potencia compleja

fp adelantado fp adelantado fp adelantado

 P

S Q



R

X

 Z 



Im

Re



S jQ

P Triángulo de

potencia

Triángulo de impedancia

Triángulo de potencia compleja

fp atrasado fp atrasado fp atrasado

Potencia compleja: S = P+ jQ= VI^ =VrmsIrms

(

)

2

1

Potencia aparente: S =S=V_rmsI_rms = P² +Q²

Potencia real: P = Re(S) = Scos(v−i) Potencia reactiva: Q = Im(S)= Ssen(v−i)

Factor de potencia: cos( _{v i}) S

P =  −

Ángulo del factor de potencia:  =_v −_i

Corrección del factor de potencia

El proceso de incrementar el factor de potencia sin alterar la tensión ni la potencia real original consumida por la carga se conoce como corrección del factor de potencia.

La carga inductiva se puede representar como una combinación en serie de un resistor y un inductor.

El triángulo de potencia del circuito original y corregido se presentan a continuación.

Se necesita incrementar el fp de cos1 hasta cos2. Para lograr esto se agrega un capacitor en paralelo con la carga inductiva. No se debe alterar la potencia real entregada al circuito.

1 1

1

1 S sin Ptan

Q = =

2 2 Ptan Q =

) tan

(tan _{1 2}

2

1− =  − 

=Q Q P Q_C

Para el capacitor

2 rms

C CV

Q =

2 2

1 tan )

(tan _rms

C P CV

Q =  −  =

2 2 1

2

) tan (tan

rms rms

C

V P V

C Q









= −

=

2 2

1 tan )

(tan Vrms

C P





 −

= (24)

I 1

Carga inductiva V

I 1

Capacitor V

I C

I C

I C

I 1

I

I

V

1

2

Carga inductiva

P

Q1

1

2

QC

Q2

S1

S2

2 2

2

rms C

rms C rms

C CV

X X V I

Q = = =

En términos de potencia compleja quedaría, gráficamente en la figura a la derecha, en la cual

S1 + SC = S2

) (

) (

)

( _{2 1 1 2}

1

2 P jQ P jQ j Q Q

C =S −S = + − + =− −

S

2 2

2 2

2

1 1 ^rms

rms rms

C rms C rms

C j CV

j C V

C j V Z

Z V

I 

 

−

=



 



=



 



=

=

= _{ }

S

2 2

1 tan )

(tan _rms

C =−jP  −  =−jCV

S

2 2

1 tan )

(tan Vrms

C P





 −

=

1

2

SC

S1=P+jQ1

SC

S2=P+jQ2

Im

Re (25)

(26)