FACULTAD DE INGENIERIA.
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA.
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO.
CICLO 02-2008.
“
Modelado de sistemas eléctricos, análogos, electromecánicos y de nivel de líquido”.
CATEDRÁTICA:
Ing. María Celia Parada Díaz.
ALUMNOS:
Aarón Herbert Aníbal Pineda Cantarero PC040337
GRUPO TEORICO:
02
CIUDADELA DON BOSCO, 14 DE JULIO DEL 2008.
Indice
Introducción 3
1 Sistemas eléctricos 4
1.1 Impedancia complejas 4
1.2 funciones de transferencia de elementos en cascada 5 1.3 funciones de transferencia de elementos en cascada sin carga 6
1.4 elementos pasivos y elementos activos 6
1.5 amplificadores operacionales 6
1.6 Sistema electrico en serie 9
1.7 Sistema electrico en paralelo 10
2 sistemas análogos 11
2.1 analogía mecánica eléctrica 11
2.2 analogía fuerza voltaje 12
2.3 analogía fuerza corriente 12
3 sistemas electromecánicos 13
3.1 servomotores de CD 13
3.2 controles de armadura de servomotores de CD 13 3.3 control electrónico de movimiento de servomotores de CD 14
4 sistemas de nivel de líquido 17
4.1 resistencia y capacitancia de sistemas de nivel de líquido 18 4.2 sistemas de nivel de líquido con interacción 20
Bibliografía 22
Introducción
En el presente documento se presentan otros sistemas análogos que no se incluye dentro del pensum que son que son el electrico, mecánico, electromecánicos y de nivel de líquido.
Se comienza analizando los sistemas electricos los cuales son los sistemas que mas se han estudiado, pero tambien se puede ver que existe cierta analogía entre los diferentes modelos ya sean estos de nivel de líquido, mecánicos, etc.
En la analogía se puede observar que el comportamiento de dos sistemas de modelos muy diferentes como es el caso de la relación hecha entre el un sistema eléctrico y un sistema mecánico, donde el comportamiento es el mismo y poseen tres cantidades genéricas que se estudiaran en su capitulo correspondiente.
Se finaliza con los sistemas de nivel de líquido que poseen dos caracteristicas análogas a los dos sistemas que se verán primeramente que son el eléctrico y el mecánico, en el caso del sistema de nivel de líquido se presentan la capacitancia y la resistencia, variables presentes en el sistema electrico y mecánico.
Sistemas eléctricos
Otro de los sistemas que con frecuencia aparecen en los lazos de control son los que involucran variables eléctricas. Aunque el número de componentes eléctricos es inmenso, por lo general se puede considerar un conjunto básico compuesto por los elementos que aparecen en la tabla 1.3 en donde también se incluye las expresiones que relacionan las variables de voltaje y corriente en los dispositivos. Las ecuaciones de equilibrio que gobiernan el comportamiento de los sistemas eléctricos son conocidas como las leyes de Kirchhoff de voltaje y corriente (LKV y LKC) las cuales establecen lo siguiente:
Ley de Voltaje de Kirchhoff (LKV)
"La suma algebraica de las caidas de tensión a lo largo de un trayectoria cerrada es cero".
Ley de corrientes de Kirchhoff (LKC )
"La suma algebraica de las corrientes en un nodo es igual a cero".
Ambas leyes pueden ser usadas de manera combinada para determinar el conjunto de ecuaciones integro-diferenciales necesarias para predecir el comportamiento de un sistema eléctrico. Normalmente cuando se analiza un circuito eléctrico en serie se usa la LVK mientras cuando se trata de un circuito eléctrico en paralelo se emplea la LCK. En cualquier texto de análisis de circuitos se pueden encontrar las particularidades de cada uno de los circuitos mencionados. Aquí únicamente mencionaremos que en un circuito eléctrico en serie circula la misma corriente por todos los lementos del arreglo mientras que el voltaje se encuentra repartido entre los elementos (figura 1.1a). por otro lado, en un circuito eléctrico en paralelo todos los elementos tiene el mismo voltaje en sus terminales mientras que la corriente se distribuye entre todos los elementos (figura 1.1b). En la figura 1.12 las Z's pueden ser cualquiera de los elementos dados en la tabla 1.3 y cumplen con las relaciones voltaje-corriente indicadas.
Figura 1.1a. Circuito electrico en serie.
Figura 1.1b. Circuito electrico en paralelo.
1.1 Impedancia complejas
En general, la impedancia Z se puede expresar como sigue:
jX R
Z = ± (1.1)
y es un número complejo. Sin embargo, no es fasor. La parte real de Z se designa por medio de R (resistencia). El signo más asociado a la reactancia inductiva y el menos a la reactancia capacitiva. Puesto que la dimension de Z es ohms, R y X están también en ohms.
En un circuito RL, RC o RLC en serie, se puede trazar un triangulo de impedancias en el plano complejo. Puesto que la corriente es la misma en cada elemento, en un circuito en serie se puede trazar también un triangulo de voltajes.
La impedancia compleja puede ser expresada en el dominio de “s”, donde s = jω, entonces el modelo de la resistencia, reactancia capacitiva y reactancia inductiva en el dominio de “s” son:
1.2 Funciones de transferencia de elementos en cascada
Fig 1.2. Elementos en cascada
Donde:
B A
B A
I I
V V
1 2
1 2
=
−
= (1.5)
Ecuaciones paramétricas de transmisión de la red A, usando parametros de transmisión:
= −
A A A A A
I t V I
V
2 2 1
1
Para la red “B”
−
=
B B B B
B B B
B
I V t
t t t I
V
2 2 22 21
12 11 1
1
= −
B B B B B
I t V I
V
2 2 1
1
Sustituyendo B en A obtenenos
−
≡
= −
2 2 1
1 2
2 1
1
I t V I V I
t V I t
V
eq B
B B A A A
b a eq
a b b a
t t t
t t t t
=
≠
(1.6)
Resisitencia Capacitancia Inductancia
) (
) ) (
( I s
s s V
R =
(1.2)
sC C X j
Z = c = 1 = 1 ω
(1.3)
sL L j X
Z = L = ω = (1.4)
Figura 1.3.
2 22 2 21 1
2 12 2 11 1
I t V t I
I t V t V
−
=
−
=
(1.7)
0 2 2 1 11
=
= V I
t V
(1.8)
0 2 2 1 12
=
−
= I V
t V
(1.9)
0 2 2 1 21
=
= V I
t I
(1.10)
0 2 2 1 22
=
−
= I V
t I
(1.11)
1.3 Funciones de transferencia de elementos en cascada sin carga 1.4 Elementos pasivos y elementos activos
Elementos activos: Son los que suministran energía al sistema. Normalmente se los reducirá a fuentes o generadores puros o ideales, separando los elementos pasivos que contengan fuentes puras de voltaje o corriente, ya sean estos generadores de voltaje o corriente alternos o continuos.
Elementos pasivos: Son los que disipan o almacenan energía, como son las resistencias, capacitores e inductores.
1.5 Amplificadores operacionales
Los amplificadores operacionales son dispositivos de estado sólido extremadamente versátiles que se utilizan como bloque constructivo de una gran variedad de circuitos electrónicos, tanto analógicos como digitales. Algunas de susu aplicaciones más importantes incluyen: preamplificadores, amplificadores de voltaje, ecualizadores, filtros activos, mezcladores, osciladores, generadores de funciones, comparadores de voltaje, etc. Combinando las ventajas de los dispositivos CMOS y bipolares bi-CMOS permite el diseño de excelentes OAs.
Fig 1.4. Bloques funcionales de un OA.
Tradicionalemte un OA está fomrado por cuatro bloques bien diferenciados conectados en casacada:
1. Amplificador diferencial de entrada 2. Etapa amplificadora
3. Adaptador y desplazamiento de nivel 4. Etapa de salida
En la figura anterior se muestra a nivel de bloque la configuración de un OA. La etapa diferencial presenta la siguientes caracteristicas:
• Tiene dos entradas (inversora y no inversora)
• Su relación de rechazo en modo común es muy alto
• Las señales van directamente acopladas a las entradas y presentan una derivada de tensión de salida muy pequeña.
El amplificador intermedio proporciona la ganancia de tensión suplementaria. Suele ser un EC con carga activa y está acoplada al amplificador diferencial a través de un seguidor de emisor de muy alta impedancia de entrada para minimizar su efecto de carga. El adaptador permite acoplar la etapa intermedia con la etapa de salida generalmente es una clase AB.
El OA es un amplificador de extraordinaria ganancia. Por ejemplo, el µ741 tene una ganancia de 200,000 y el OP-77 (Precision Monolithics) de 12000000. En la figura 1.5 se muestra el simbolo de un OA. Aunque no se indica explícitamente, los OA son alimentados con tensiones simétricas de valor ±
Vcc. Figura 1.5. Símbolo de OA.
Las entradas, identificadas por positivo y negativo, son denominadas entradas invertidas y no invertidas. Si denominamos Vp y Vn a las tensiones aplicadas a la entrada de un OA, se define la tensión de entrada en modo diferencial (Vd) y modo común (Vc) como:
(1.12) La tension de salida se expresa como
(1.3)
La Ad denominada ganacia en modo diferencial, viene reflejada en las hojas de características del OA como Large Signal Voltage Gain o Open Loop Voltage GainI.
La Ac, o ganancia en modo común no se indica directamente sino a través del parámetro de relación de rechazo en modo común o CMRR (Common-Mode Rejection Ratio) definido como
(1.14) Facilmente se demuestra que sustituyendo la ecuacion anterior en V0 resulta
(1.15)
resistencia de entrada ∞.
Resistencia de salida 0.
Ganancia en tensión en modo diferencial ∞.
Ganancia en tensión en modo común 0 (CMRR=∞).
Corrientes de entrada nulas (Ip=In=0).
Ancho de banda ∞.
Ausencia de desviación en las características con la temperatura.
Las características 1 y 2 definen, desde el punto de vista de impedancias, a un amplificador de tensión ideal que no está afectado por el valor de la carga que se conecta a su salida. Por otra parte, las características 4 y 5 aplicadas a la ecuación 1.13 crean una indeterminación ya que eal ser Ad=∞ → Vo=AdVd debería ser infinito.
Sin embargo, esa indeterminación se resuelve cuando Vd=0; el producto AdVd da como resultado infinito. Por ello, la entrada del OA ideal tiene corrientes de nulas (Ip=In=0) y verifica que Vp=Vn (en el caso de retroalimentación negativa); este modelo simplifica mucho el análisis de circuitos basados en el OA. El modelo del OA ideal solo es un concepto idealizado del OA real que sin embargo resulta muy práctico y se acerca con mucha exactitud al comportamiento real de estos circuitos.
Figura 1.6. Representación del OA ideal.
Algunas configuraciones básicas son Amplificador inversor
Amplificador no inversor
Figura 1.8. Amplificador no inversor.
(1.17) Figura 1.7. Amplificador inversor.
(1.16)
Amplificador no inversor
Figura 1.9. Amplificador seguidor.
=1 A
(1.18)
Amplificador sumador.
Figura 1.10. Amplificador sumador.
(1.19)
Amplificador restador.
Figura 1.11. Amplificador restador.
(1.20)
Estos son solo algunos de tantas configuraciones que se pueden crear con este tipo de dispositivo electrónico.
1.6 Sistemas eléctricos en serie.
Como ya se indicó un sistema eléctrico en serie está formado por elementos a través de los cuales circula la misma corriente. En la figura 1.13 se ha retomado el esquema propuesto en la figura 1.12a sustituyendo los bloques de impedancia por elementos R, L y C de la tabla 1.3. Si aplicamos la LVK tenemos que
Sustituyendo las relaciones de la tabla 1.3 de acuerdo al elemento tenemos:
dt t C i t dti L d t Ri t
v( )= ( )+ ( )+ 1
∫
( ) (1.21)el voltaje de salida será vo(t)=C1
∫
i(t)dt (1.22) Cabe mencionar que el análisis puede hacerse planteando las ecuaciones diferenciales como en los pasos anteriores o empleando directamente las impedancias complejas derivadas de transformar las relaciones voltaje-corriente de) 1 ( ) ( ) ( )
( I s
s sC sLI s RI s
V = + + (1.23)
) 1 ( )
( I s
s sC
Vo = (1.24)
Aplicando la transformada de Laplace a las dos ecuaciones precedentes obtenemos las ecuaciones algebraicas en el dominio de la variable compleja s, despejando la corriente I(s) de (1.16) y sustituyendo en (1.15) obtenemos una
) ( ) ( )
( )
(s RCsV s LCs2V s V s
V = o + o + o
expresión que involucra únicamente a las variables de interés Vo(s) y V(s) de la cual ya podemos relacionar la salida con la entrada y por lo tanto obtenemos la función de transferencia.
1 1
) (
) (
2 + +
= LCs RCs s
V s Vo
(1.25)
1.7 Sistemas eléctricos en paralelo.
En un sistema eléctrico en paralelo como ya se ha mencionado, la corriente se encuentra distribuida en todos los elementos que forman el circuito mientras que el voltaje aplicado a las terminales de cada uno de ellos es el mismo. La figura 1.14 muestra el esquema más simple de un circuito paralelo en el cual la ecuación de equilibrio debe ser determinada para el nodo bajo análisis, que para nuestro ejemplo es el nodo a dado que el otro nodo existente es la referencia o tierra. Para el caso de circuitos en paralelo la ley que gobierna el comportamiento del circuito es la anteriormente citada ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), de este modo la condición de equilibrio para el nodo a será:
0 ) ( ) ( ) ( )
(t −i t −i t −i t =
i R L C
(1.26) entonces tenemos que
∫
=−
−
− ( ) 1 ( ) ( ) 0
)
( c v t dt
dt t dv L R
t t v
i a a a (1.27)
