Introducción a la Lógica Proposicional

(1)

Introducci´ on a la L´ ogica Proposicional

Algebra ´

Araceli Guzm´ an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

(2)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Referencias b´ asicas

1. Miguel Delgado y Mar´ıa J. Múñoz. Lenguaje matemático, conjuntos y números, 2010.

2. Armando O. Rojo, ´Algebra I, 1978.

3. Bravo, Rincón, Rincón, Álgebra superior, 2006.

4. Carmen G´omez, ´Algebra superior, 2014.

5. Álvaro Pérez Raposo, Lógica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010.

6. Máx Fernández de Castro y Luis Miguel Villegas, Lógica Matemática I, 2011.

Otras referencias

1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016.

2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981.

3. Enderton, H.B., A Mathematical Introduction to Logic, 2ed, 2001.

4. Mendelson, E., Introduction to Mathematical Logic, 2015.

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´Indice

Algebra 1. ¿Qu´e es la L´ogica Proposicional?

2. Tablas de Valores de Verdad y Conectivos B´asicos 3. Equivalencias L´ogicas y Tautolog´ıas

4. Las reglas b´asicas

5. La Reglas del Reemplazo. Primera Parte 6. Leyes de De Morgan

7. Equivalencias de ⇒ 8. Ley del Contrarec´ıproco

9. Leyes del Reemplazo. Segunda Parte 10. Leyes Distributivas

11. Identidad y Dominaci´on 12. Los conectivos ⇔ y Y 13. Internet es tu amigo 14. Ep´ılogo

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¿Qu´ e es la L´ ogica Proposicional?

(5)

¿Qu´ e es la L´ ogica Proposicional?

Lalógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples represen- tanproposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadasconectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor com- plejidad.

Fuente:Wikipedia,Internet Encyclopedia of Philosophy

Proposiciones

Unaproposiciónes un enunciado del que puede decirse que esverdadero(con valor de verdad V ó 1) ofalso(con valor de verdad F ó 0) pero no ambas cosas. Por ello se dice que la Lógica Proposicional es binaria (porque solo admite dos valores de verdad).

Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o may´usculas P , Q, R,...

Los conectivos l´ ogicos

Losconectivos l´ogicosson relaciones (funciones de “verdad”) con las cuales podemos combinar proposiciones para formar otras. Los conectivos m´as usuales son los siguientes:

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L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Conectivos l´ ogicos usuales

CONECTIVO NOMBRE OPERACI ´ON INTERPRETACI ´ON

¬ Negaci´on ¬p

No p No sucede p No es cierto que p

∧ Conjunci´on p ∧ q p y q

∨ Disyunci´on p ∨ q p ´o q

Y Disyunci´on excluyente p Y q p ´o q pero no ambas

⇒ p ⇒ q

p implica q Si p entonces q

Implicaci´on q si p

(o condicional) p s´olo si q

p es condici´on suficiente para q q es condici´on necesaria para p

⇔ p ⇔ q

p si, y s´olo si, q

Doble implicación q es condición necesaria y suficiente para p (o bicondicional) p es condición necesaria y suficiente para q

p es equivalente a q

(7)

Ejemplo

Consideremos las siguientes proposiciones

p : El viento sopla muy fuerte.

q : Se caen las hojas de los ´arboles.

Tenemos entonces

Operaci´on Significado

¬ p El viento no sopla muy fuerte

p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los ´arboles p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas

p Y q El viento sopla pero no se caen las hojas de los ´arboles, o bien se caen la hojas de los ´arboles pero el viento no sopla muy fuerte.

p ⇒ q Si el viento sopla muy fuerte, entonces se caen las hojas de los ´arboles p ⇔ q El viento sopla muy fuerte si, y s´olo si,

se caen las hojas de los ´arboles

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L´ ogica Proposicional

Algebra^´

El concepto de Verdad

Elconcepto de verdad no es relevante para la L´ogica Proposicional. Simplemente asumimos que hay objetos (las proposiciones) que pueden ser verdaderas o no. Cualquier cosa que ello signifique.

Otras L´ ogicas: El mito de la verdad universal

El concepto de Verdad tiene mucha importancia en áreas filosóficas, lingu´ısticas y para nuestra vida ordinaria y contingente. Hay otras lógicas que admiten valores de verdad intermedios cuya finalidad es modelar otros razonamientos complejos, más allá de los modelos binarios.

El objeto de la l´ ogica... m´ as o menos

La lógica proposicional esformalen el sentido de que carece decontenido. No es asunto de ésta averiguar qué afirmaciones son verdaderas, ni es un teor´ıa de la verdad. Para nosotros, la lógica es el estudio metódico de las reglas (formas, estructuras, etc.) que rigen las relaciones existentes entre ciertos objetos llamadosproposiciones, los cuales admiten solo dos valores (llamados valores de verdad), formadas mediante funciones proposicionales llamadasconectivos.

(9)

Tablas de Valores de Verdad y Conectivos B´ asicos

(10)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para la negaci´on (que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p ⇒ q p ⇔ q

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

Ejercicio 1: Un juego divertido

Asigna un valor de verdad a las proposiciones siguientes y responde la pregunta. 1. Sean p y q las proposiciones

p : p y q son falsos.

q : Este enunciado es verdadero.

¿Cu´ales son los valores de verdad de p y q? 2. Sean p, q y r las proposiciones

p : q es falsa. q : p si y s´olo si r.

r : La humanidad lleg´o a la Luna.

¿La humanidad lleg´o a la luna? 3. Sean p y q las proposiciones

p : p es falsa o q es verdadera.

q : Habrá una invasión extraterrestre mañana.

¿Habrá una invasión extraterrestre mañana?

(11)

Tablas de valores de verdad

Los conectivos se definen formalmente mediantetablas de valores de verdad:

Para la negaci´on (que es un conectivounario):

p ¬p

V F

F V

Para el resto de los conectivos (binarios) t´ıpicos:

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p ⇒ q p ⇔ q

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

Ejercicio 1: Un juego divertido

Asigna un valor de verdad a las proposiciones siguientes y responde la pregunta.

1. Sean p y q las proposiciones

p : p y q son falsos.

q : Este enunciado es verdadero.

¿Cu´ales son los valores de verdad de p y q?

2. Sean p, q y r las proposiciones p : q es falsa.

q : p si y s´olo si r.

r : La humanidad lleg´o a la Luna.

¿La humanidad lleg´o a la luna?

3. Sean p y q las proposiciones

p : p es falsa o q es verdadera.

q : Habrá una invasión extraterrestre mañana.

¿Habrá una invasión extraterrestre mañana?

(12)

Equivalencias L´ ogicas y Tautolog´ıas

(13)

Una equivalencia esperada

La equivalencia siguiente es siempre V:

(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) (1)

p q p ⇒ q q ⇒ q p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V V F F F V

F F V V V V V

Confirmamos as´ı que la proposición (1) es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes. Diremos que p ⇔ q es(lógicamente) equivalentea la conjunción (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Probar que un bicondicional p ⇔ q es V es equivalente a probar que

p ⇒ q y q ⇒ p son V, conjuntamente.

(14)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes L´ ogicas

Una proposición compuesta p (esto es, formada a partir de otras proposiciones, lla- madas componentes, mediante conectivos) cuya tabla de valores de verdad es siempre V independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes, es llamadaTautolog´ıao Ley Lógica. Las leyes lógicas integran los que llamamosLógica Formal.

Equivalencias L´ ogicas

En particular, si p y q son proposiciones compuestas tales que p ⇔ q

es tautolog´ıa, entonces decimos que p y q sonlógicamente equivalenteso para abreviar sóloequivalentes. Una equivalencia es un caso particular de ley lógica.

Las proposiciones p y q son equivalentes si tienen la misma tabla de

valores de verdad

(15)

Negaci´ on del bicondicional

Es tautolog´ıa:

(p Y q) ⇔ ¬(p ⇔ q)

p q (p Y q) ⇔ ¬(p ⇔ q) (p ⇔ q)

V V F V F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F V F V

La diferencia simétrica p Y q es equivalente a la negación de la doble implicación p ⇔ q.

Para probar que una doble implicaci´ on p ⇔ q es falsa, debemos probar que p y q son excluyentes (i.e. si p ocurre entonces q no ocurre; o bien, si

q ocurre, no ocurre p.)

(16)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Modus Ponens

Es tautolog´ıa:

(p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q

p q p ⇒ q p ∧ (p ⇒ q) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Deducibilidad

Decimos que una proposición q sededuceóinfierede otra proposición p, si el condicional p ⇒ q es tautológico. Un condicional tautológico se llama tambiénregla de inferencia ElModus Ponens ó Modus Ponendo Ponens, literalmente del lat´ın: “el modo que afirmado afirma”, es una de las reglas de inferencia más usadas en la argumentación matemática (la demostración matemática).

(17)

Una implicaci´ on esperada: Eliminaci´ on del bicondicional

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

p q (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

V V V V V

V F F V F

F V F V V

F F V V V

No obstante, del tercer rengl´on de la tabla anterior, podemos concluir que (p ⇒ q) ⇒ (p ⇔ q)

no es tautolog´ıa.

Si un bicondicional p ⇔ q es V entonces el condicional p ⇒ q es V.

(18)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Transitividad de ⇒

Es tautolog´ıa:

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

p q r ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida comosilogismo hipot´etico.

Ejercicio 2: Transitividad de ⇔

Demuestra con una tabla que la proposición ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r) es también tautológica.

Ejercicio 3: Otras Leyes Transitivas

Demuestra con tablas que las proposiciones ((p ⇔ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇒ r) son tautol´ogicas.

(19)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Transitividad de ⇒

Es tautolog´ıa:

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

p q r ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Ejercicio 2: Transitividad de ⇔

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L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Transitividad de ⇒

Es tautolog´ıa:

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

p q r ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

V V V V V V V V

V V F V F F V F

V F V F F V V V

V F F F F V V F

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

Ejercicio 2: Transitividad de ⇔

Ejercicio 3: Otras Leyes Transitivas

(21)

Convenci´ on notacional para eliminar par´ entesis

Para evitar el uso excesivo de los par´entesis adoptaremos las convenciones notacionales siguientes:

1. La negaci´on es m´as fuerte que cualquier otro conectivo. Es decir, el conectivo

¬ actúa de inmediato sobre la proposición más próxima a la derecha antes que cualquier otro conectivo.

Ejemplo. Las proposiciones

(¬p) ⇒ q, (¬p) ∧ q, (¬p) ∨ (q ∧ r), (p ⇒ (¬q)) ⇔ (¬r) se abrevian simplemente

¬p ⇒ q, ¬p ∧ q, ¬p ∨ (q ∧ r), (p ⇒ ¬q) ⇔ ¬r.

(22)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Convenci´ on notacional para eliminar par´ entesis

Para evitar el uso excesivo de los par´entesis adoptaremos las convenciones notacionales siguientes:

2. La conjunción, la disyunción y la disyunción excluyentes son más fuertes que la implicación y la doble implicación. Es decir, ∧, ∨ y Y actúan primero que ⇒ y ⇔.

Ejemplo. Las proposiciones

(p ∧ (¬q)) ⇒ (¬r), (¬(p ⇒ (¬q))) ⇔ (r Y (¬s)) se abrevian simplemente

p ∧ ¬q ⇒ ¬r, ¬(p ⇒ ¬q) ⇔ r Y ¬s

(23)

Convenci´ on notacional para eliminar par´ entesis

Ejemplos. ¿C´omo abreviar las proposiciones que hemos estudiado hasta ahora?

Las proposiciones

(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) (p Y q) ⇔ ¬(p ⇔ q) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r) ((p ⇔ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇒ r)

Se abrevian

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p Y q ⇔ ¬(p ⇔ q)

p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r) (p ⇔ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) (p ⇒ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇒ r)

(24)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Determinaci´ on de tautolog´ıas: Deducibilidad Transitiva

Supongamos que p, q y r son proposiciones tales que r se deduce de q, y q se deduce de p. Entonces r se deduce de p.

En otras palabras, si los condicionales

p ⇒ q y q ⇒ r

son tautolog´ıas, entonces el condicional p ⇒ r es tautolog´ıa.

Demostraci´on.

Ya hemos probado que el condicional

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ q) (2)

es siempre verdadero.

Entonces, dado que p ⇒ q y q ⇒ r son verdaderas, se sigue que p ⇒ q es verdadera, de otra forma, esto es si p ⇒ q fuera falso, el condicional (2) ser´ıa tambi´en falso.

Ejercicio 4: Da un argumento an´ alogo

1. Si p ⇔ q y q ⇔ r son tautolog´ıas, demuestra que p ⇔ r es tautolog´ıa.

2. Si p ⇔ q y q ⇒ r son tautolog´ıas, demuestra que p ⇒ r es tautolog´ıa.

(25)

Determinaci´ on de tautolog´ıas: Deducibilidad Transitiva

Supongamos que p, q y r son proposiciones tales que r se deduce de q, y q se deduce de p. Entonces r se deduce de p.

En otras palabras, si los condicionales

p ⇒ q y q ⇒ r

son tautolog´ıas, entonces el condicional p ⇒ r es tautolog´ıa.

Demostraci´on.

Ya hemos probado que el condicional

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ q) (2)

es siempre verdadero.

Entonces, dado que p ⇒ q y q ⇒ r son verdaderas, se sigue que p ⇒ q es verdadera, de otra forma, esto es si p ⇒ q fuera falso, el condicional (2) ser´ıa tambi´en falso.

Ejercicio 4: Da un argumento an´ alogo

1. Si p ⇔ q y q ⇔ r son tautolog´ıas, demuestra que p ⇔ r es tautolog´ıa.

2. Si p ⇔ q y q ⇒ r son tautolog´ıas, demuestra que p ⇒ r es tautolog´ıa.

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L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Determinaci´ on de tautolog´ıas: Eliminaci´ on del bicondicional

Si p y q son proposiciones l´ogicamente equivalentes, entonces en particular q se deduce de p y p se deduce de q.

En otras palabras, si un bicondicional p ⇔ q es tautol´ogico, entonces los condicionales

p ⇒ q y q ⇒ p

son tautol´ogicos.

Demostraci´on.

Ya sabemos que la proposici´on compuesta

(p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q) (1)

es siempre V, independientemente de los valores de verdad de las componentes p y q.

En particular, si p y q son de hecho proposiciones tales que (p ⇔ q) es V, se sigue que p ⇒ q debe ser V, de lo contrario (1) ser´ıa F.

(27)

Las reglas b´ asicas

(28)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ley del Tercero Excluido y Ley de No Contradicci´ on

En particular tenemos las tablas,

Ley del tercero excluido

p ∨ ¬p

V V F

F V V

Ley de no contradicci´on

p ∧ ¬p

V F F

F F V

Esto es, p ∨ ¬p es unatautolog´ıa(es siempre V independientemente de los valores de sus proposiciones componentes).

Mientras que p ∧ ¬p es unabsurdo(es siempre F independientemente de los valores de sus proposiciones componentes).

(29)

Involuci´ on

Laley de involuci´onafirma que p y la doble negaci´on ¬¬ p son equivalentes, es decir, p ⇔ ¬¬ p

es una proposici´on tautol´ogica:

p ¬p ¬¬p p ⇔ ¬¬p

V F V V

F V F V

Otras leyes l´ ogicas evidentes

Son tautolog´ıas:

p ⇒ p

V V V

F V F

p ⇔ p

V V V

F V F

(30)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Otras util´ısimas leyes l´ ogicas con nombre propio

Adici´on Es tautolog´ıa:

p ⇒ p ∨ q

p q p ∨ q p ⇒ p ∨ q

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Simplificaci´on Es tautolog´ıa:

p ∧ q ⇒ p

p q p ∧ q p ∧ q ⇒ p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

(31)

Otras util´ısimas leyes l´ ogicas con nombre propio

Idempotencia de ∨:

Es tautolog´ıa:

p ⇔ p ∨ p

V V V

F V F

Idempotencia de ∧:

Es tautolog´ıa:

p ⇔ p ∧ p

V V V

F V F

(32)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Una peque˜ na Ley de Simplificaci´ on-Adici´ on

Es tautolog´ıa:

p ∧ q ⇒ p ∨ r

Demostraci´on.

Los siguientes condicionales son tautol´ogicos

p ∧ q ⇒ p – simplificaci´on

⇒ p ∨ r – adici´on

Por transitividad se sigue que

p ∧ q ⇒ p ∨ r es tautolog´ıa.

(33)

Leyes conmutativas

Conmutatividad de ∨:

Es tautolog´ıa:

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p q p ∨ q ⇔ q ∨ p

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F V F

Conmutatividad de ∧:

Es tautolog´ıa:

p ∧ q ⇔ q ∧ p

p q p ∧ q ⇔ q ∧ p

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F F V F

(34)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes Conmutativas

Conmutatividad de ⇔:

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

p q (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F V V V

Determinanci´ on de tautolog´ıas

1. Si p ∨ q es tautolog´ıa entonces q ∨ p es tautolog´ıa. 2. Si p ∧ q es tautolog´ıa entonces q ∧ p es tautolog´ıa. 3. Si p ⇔ q es tautolog´ıa entonces q ⇔ p es tautolog´ıa.

Ejercicio 5: Responde y justifica

1. ¿Es ⇒ conmutativo? 2. ¿Es Y conmutativo?

(35)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes Conmutativas

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

p q (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F V V V

Determinanci´ on de tautolog´ıas

1. Si p ∨ q es tautolog´ıa entonces q ∨ p es tautolog´ıa.

2. Si p ∧ q es tautolog´ıa entonces q ∧ p es tautolog´ıa.

3. Si p ⇔ q es tautolog´ıa entonces q ⇔ p es tautolog´ıa.

1. ¿Es ⇒ conmutativo? 2. ¿Es Y conmutativo?

(36)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes Conmutativas

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

p q (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

V V V V V

V F F V F

F V F V F

F F V V V

Determinanci´ on de tautolog´ıas

1. Si p ∨ q es tautolog´ıa entonces q ∨ p es tautolog´ıa. 2. Si p ∧ q es tautolog´ıa entonces q ∧ p es tautolog´ıa. 3. Si p ⇔ q es tautolog´ıa entonces q ⇔ p es tautolog´ıa.

Ejercicio 5: Responde y justifica

1. ¿Es ⇒ conmutativo?

2. ¿Es Y conmutativo?

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L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes asociativas

Asociatividad de ∨:

Es tautolog´ıa

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

p q r p ∨ q q ∨ r (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F V F V V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V V V

F F F F F F V F

Asociatividad de ∧: Es tautolog´ıa (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

(38)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes asociativas

Asociatividad de ∨:

Es tautolog´ıa

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

p q r p ∨ q q ∨ r (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F V F V V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V V V

F F F F F F V F

Ejercicio 6: Haz una tabla

Asociatividad de ∧:

Es tautolog´ıa (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

(39)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Convenios: Eliminaci´ on de par´ entesis

Acabamos de probar que las proposiciones

(p ∨ q) ∨ r y p ∨ (q ∨ r) son l´ogicamente equivalentes.

Por tanto podemos definir una f´ormula para referirnos a ambas, a saber,

p ∨ q ∨ r

An´alogamente, escribimos

p ∧ q ∧ r

en lugar de las proposiciones

(p ∧ q) ∧ r y p ∧ (q ∧ r), las cuales son l´ogicamente equivalentes.

Vamos a admitir dos nuevos t´erminos, a saber, p ∨ q ∨ r p ∧ q ∧ r

para los cuales admitimos que los bicondicionales siguientes son siempre V: p ∨ q ∨ r ⇔ (p ∨ q) ∨ r p ∧ q ∧ r ⇔ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ q ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r).

(40)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Convenios: Eliminaci´ on de par´ entesis

Acabamos de probar que las proposiciones

(p ∨ q) ∨ r y p ∨ (q ∨ r) son l´ogicamente equivalentes.

Por tanto podemos definir una f´ormula para referirnos a ambas, a saber,

p ∨ q ∨ r

An´alogamente, escribimos

p ∧ q ∧ r

en lugar de las proposiciones

(p ∧ q) ∧ r y p ∧ (q ∧ r), las cuales son l´ogicamente equivalentes.

En otras palabras...

Vamos a admitir dos nuevos t´erminos, a saber, p ∨ q ∨ r p ∧ q ∧ r

para los cuales admitimos que los bicondicionales siguientes son siempre V:

p ∨ q ∨ r ⇔ (p ∨ q) ∨ r p ∧ q ∧ r ⇔ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ q ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r).

(41)

Convenios: Eliminaci´ on de par´ entesis

En general, si tenemos una colecci´on finita de n > 1 proposiciones p1, p2, ..., pn−1, pn,

entonces definimos recursivamente la disyunción y conjunción de tales proposiciones, respectivamente, mediante las fórmulas siguientes, las cuales admitiremos como ver- daderos en todo caso:

p1∨ p₂∨ · · · ∨ pn⇔ (p₁∨ p₂∨ · · · ∨ p_n−1) ∨ pn

p1∧ p2∧ · · · ∧ pn⇔ (p1∧ p2∧ · · · ∧ pn−1) ∧ pn

Por ejemplo

p1∨ p2∨ p3⇔ (p1∨ p2) ∨ p3

p1∨ p2∨ p3∨ p4⇔ (p1∨ p2∨ p3) ∨ p4

p1∨ p₂∨ p₃∨ p₄∨ p₅⇔ (p₁∨ p₂∨ p₃∨ p₄) ∨ p5

(42)

La Reglas del Reemplazo. Primera Parte

(43)

Reglas del Reemplazo

Supongamos que p ybp son dos proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional

p ⇔pb

es tautol´ogico.

Entonces las siguientes son tautolog´ıas

¬ p ⇔ ¬bp p ∨ q ⇔ p ∨ qb p ∧ q ⇔ p ∧ qb

Demostraci´on.

Si p yp son equivalentes tienen la misma tabla. Y por tanto, ¬ p y ¬b p tienen la mismab tabla. An´alogamente, los pares de proposiciones p ∨ q yp ∨ q, y p ∧ q yb p ∧ q tienen lab misma tabla.

(44)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ejemplo: Idempotencia

Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautolog´ıas:

p ⇔ p ∨ p y p ⇔ p ∧ p

Entonces

p ∨ q ⇔ p ∨ p ∨ q y p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q son tautolog´ıas.

Demostraci´on.

Son tautolog´ıas:

p ∨ q ⇔ (p ∨ p) ∨ q – reemplazamos p por p ∨ p

⇔ p ∨ p ∨ q – por definici´on de p ∨ p ∨ q

Por transitividad del bicondicional,

p ∨ q ⇔ p ∨ p ∨ q es tautolog´ıa.

Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para ∧

Prueba que es tautolog´ıa:

p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Ejercicio 8: Prueba las siguientes Leyes del Reemplazo

Supongamos que p y p son equivalentes y que q yb bq son equivalentes. Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautolog´ıas:

p ∨ q ⇔p ∨b bq

p ∧ q ⇔p ∧b bq

(45)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ejemplo: Idempotencia

p ⇔ p ∨ p y p ⇔ p ∧ p

Entonces

Demostraci´on.

Son tautolog´ıas:

Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para ∧

p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Supongamos que p y p son equivalentes y que q yb bq son equivalentes. Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautolog´ıas:

(46)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ejemplo: Idempotencia

p ⇔ p ∨ p y p ⇔ p ∧ p

Entonces

Demostraci´on.

Son tautolog´ıas:

Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para ∧

p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q

Ejercicio 8: Prueba las siguientes Leyes del Reemplazo

Supongamos que p y bp son equivalentes y que q yq son equivalentes.b Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautolog´ıas:

(47)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ejemplo: Leyes asociativas

Sean p, q, r y s proposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes p ∨ q ∨ r ∨ s

(p ∨ q ∨ r) ∨ s ((p ∨ q) ∨ r) ∨ s

(p ∨ (q ∨ r)) ∨ s p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) p ∨ (q ∨ (r ∨ s))

(p ∨ q) ∨ (r ∨ s) p ∨ (q ∨ r ∨ s) p ∨ (q ∨ r) ∨ s Demostraci´on.

Las equivalencias siguientes son tautolog´ıas:

p ∨ q ∨ r ∨ s ⇔ (p ∨ q ∨ r) ∨ s – definici´on

⇔ ((p ∨ q) ∨ r) ∨ s – definici´on, reemplazo

⇔ (p ∨ (q ∨ r)) ∨ s – ley asociativa de ∨, reemplazo

⇔ p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) – ley asociativa de ∨

⇔ p ∨ (q ∨ (r ∨ s)) – ley asociativa de ∨, reemplazo

⇔ (p ∨ q) ∨ (r ∨ s) – ley asociativa de ∨

Y por otro lado,

p ∨ (q ∨ r ∨ s) ⇔ p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) – definici´on, reemplazo

⇔ p ∨ (q ∨ r) ∨ s – definici´on

Prueba que las proposiciones siguientes son equivalentes

p ∧ q ∧ r ∧ s (p ∧ q ∧ r) ∧ s ((p ∧ q) ∧ r) ∧ s

(p ∧ (q ∧ r)) ∧ s p ∧ ((q ∧ r) ∧ s) p ∧ (q ∧ (r ∧ s))

(p ∧ q) ∧ (r ∧ s) p ∧ (q ∧ r ∧ s) p ∧ (q ∧ r) ∧ s

(48)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ejemplo: Leyes asociativas

Sean p, q, r y s proposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes p ∨ q ∨ r ∨ s

(p ∨ q ∨ r) ∨ s ((p ∨ q) ∨ r) ∨ s

(p ∨ (q ∨ r)) ∨ s p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) p ∨ (q ∨ (r ∨ s))

(p ∨ q) ∨ (r ∨ s) p ∨ (q ∨ r ∨ s) p ∨ (q ∨ r) ∨ s Demostraci´on.

Las equivalencias siguientes son tautolog´ıas:

p ∨ q ∨ r ∨ s ⇔ (p ∨ q ∨ r) ∨ s – definici´on

⇔ ((p ∨ q) ∨ r) ∨ s – definici´on, reemplazo

⇔ (p ∨ (q ∨ r)) ∨ s – ley asociativa de ∨, reemplazo

⇔ p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) – ley asociativa de ∨

⇔ p ∨ (q ∨ (r ∨ s)) – ley asociativa de ∨, reemplazo

⇔ (p ∨ q) ∨ (r ∨ s) – ley asociativa de ∨

Y por otro lado,

p ∨ (q ∨ r ∨ s) ⇔ p ∨ ((q ∨ r) ∨ s) – definici´on, reemplazo

⇔ p ∨ (q ∨ r) ∨ s – definici´on

Ejercicio 9: Ahora repite la prueba para ∧

Prueba que las proposiciones siguientes son equivalentes

p ∧ q ∧ r ∧ s (p ∧ q ∧ r) ∧ s ((p ∧ q) ∧ r) ∧ s

(p ∧ (q ∧ r)) ∧ s p ∧ ((q ∧ r) ∧ s) p ∧ (q ∧ (r ∧ s))

(p ∧ q) ∧ (r ∧ s) p ∧ (q ∧ r ∧ s) p ∧ (q ∧ r) ∧ s

(49)

Leyes de De Morgan

(50)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Las Leyes de De Morgan

Las proposiciones

¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

(1) (2) son equivalencias l´ogicas.

Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):

p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

V V F F V F V F

V F F V F V V V

F V V F F V V V

F F V V F V V V

La primera Ley de De Morgan dice que la negaci´ on de una conjunci´ on es

equivalente a la disyunci´ on de las negaciones.

(51)

Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambi´en una tabla. O bien procedemos como sigue:

Son tautolog´ıas,

¬(¬p ∧ ¬q) ⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q) – De Morgan (1)

⇔ (p ∨ q) – involuci´on y reemplazo

As´ı que por transitividad y conmutatividad del bicondicional, el siguiente bicondicional es tautol´ogico:

¬(¬p ∧ ¬q) ⇔ (p ∨ q).

Por lo tanto, los bicondicionales siguientes son tautol´ogicas:

¬(p ∨ q) ⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q) – reemplazo

⇔ (¬p ∧ ¬q) – involuci´on. Nuevamente por transitividad del bicondicional, el siguiente bicondicional es tautol´ogico:

¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q).

La segunda Ley de De Morgan dice que la negaci´ on de una disyunci´ on es

equivalente a la conjunci´ on de las negaciones.

(52)

Equivalencias de ⇒

(53)

Equivalencias de ⇒

Son tautolog´ıas:

(p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) (p ⇒ q) ⇔ ¬p ∨ q

(1) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q ¬q (p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) p ∧ ¬q

V V F V V V F

V F V F V F V

F V F V V V F

F F V V V V F

Probar una implicaci´ on p ⇒ q, es equivalente a probar la negaci´ on

¬(p ∧ ¬q).

(54)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Para la equivalencia (2):

(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q) podemos tambi´en usar una tabla.

O tambi´en podemos proceder como sigue:

Por la primera de las equivalencias de ⇒ probada en la tabla anterior, la primera ley de De Morgan e involuci´on, las dobles implicaciones que siguen son tautol´ogicas:

(p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) – equiv. (1) de ⇒

⇔ ¬p ∨ ¬¬q – De Morgan (1)

⇔ ¬p ∨ q – involuci´on. Esto es, p ⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).

Probar una implicaci´ on p ⇒ q, es equivalente a probar la disyunci´ on

¬p ∨ q.

(55)

¿C´ omo negar ⇒?

Una consecuencia importante de la primera de estas equivalencias es que proporciona una f´ormula para negar ⇒:

Es tautolog´ıa

¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q.

Demostraci´on.

Son tautolog´ıas,

¬(p ⇒ q) ⇔ ¬¬(p ∧ ¬q) – primera equivalencia de ⇒

⇔ p ∧ ¬q – involuci´on. Por transitividad,

¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q es tautolog´ıa.

Si queremos probar que una implicaci´ on p ⇒ q es falsa, debemos probar

que p ∧ ¬q es verdadera

(56)

Ley del Contrarec´ıproco

(57)

Consecuencias importantes: Ley del contrarec´ıproco

Es tautolog´ıa:

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

Demostraci´on.

Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos:

p ⇒ q ⇔ ¬(p ∧ ¬q) – equiv. (1) de ⇒

⇔ ¬(¬q ∧ p) – conmutatividad de ∧

⇔ ¬(¬q ∧ ¬¬p) – involuci´on

⇔ ¬q ⇒ ¬p

– equiv. (1) de ⇒

Por tanstividad,

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) es tautolog´ıa.

Probar que un condicional p ⇒ q es V es equivalente a probar que el

condicional rec´ıproco ¬q ⇒ p es V

(58)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Corolario

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ q) ⇔ (¬p ⇔ ¬q)

Demostraci´on.

Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos

(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) – primera equivalencia de ⇔

⇔ ((¬q ⇒ ¬p) ∧ (¬p ⇒ ¬q)) – ley del contra-rec´ıproco

⇔ (¬q ⇔ ¬p) – primera equivalencia de ⇔

⇔ (¬p ⇔ ¬q) – conmutatividad de ⇔.

Por transitividad,

(p ⇔ q) ⇔ (¬p ⇔ ¬q) es tautolog´ıa.

El valor de ⇔ no se altera con la negaci´ on de sus componentes

(59)

Leyes del Reemplazo. Segunda Parte

(60)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Otras Leyes del Reemplazo

Supongamos que p ybp son proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional

p ⇔pb

es tuatol´ogico.

Entonces son tautolog´ıas

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ q)b (p ⇒ q) ⇔ (p ⇒ q)b (q ⇒ p) ⇔ (q ⇒bp )

Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo

Supongamos que p yp son proposiciones tales queb p se deduce de p, esb decir, el condicional

p ⇒pb es tuatol´ogico. Demuestra que

¬p ⇒ ¬ pb

es tautol´ogico. Interpreta.

¿Es cierto que ¬ p ⇒ ¬p es tautol´b ogico? Justifica.

Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo

p ⇒pb es tuatol´ogico. Demuestra las tautolog´ıas

p ∨ q ⇒p ∨ qb p ∧ q ⇒p ∨ qb

Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo

Supongamos que p y bp son proposiciones tales quebp se deduce de p, es decir, el condicional siguiente es tuatol´ogico:

p ⇒p.b

Demuestra que los siguientes condicionales son tautolog´ıas: (p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q)b (q ⇒ p) ⇒ (q ⇒p)b Interpreta.

¿Es cierto que los condicionales

(p ⇒ q) ⇒ (bp ⇒ q) (q ⇒p) ⇒ (q ⇒ p)b son tautol´ogicos? Justifica

(61)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Otras Leyes del Reemplazo

p ⇔pb

es tuatol´ogico.

Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo

¬p ⇒ ¬ pb

Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo

p ∨ q ⇒p ∨ qb p ∧ q ⇒p ∨ qb

p ⇒p.b

(62)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Otras Leyes del Reemplazo

p ⇔pb

es tuatol´ogico.

Ejercicio 10: Otras Leyes del Reemplazo

¬p ⇒ ¬ pb

Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo

p ∨ q ⇒p ∨ qb p ∧ q ⇒p ∨ qb

Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo

p ⇒p.b

(63)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Otras Leyes del Reemplazo

p ⇔pb

es tuatol´ogico.

¬p ⇒ ¬ pb

Ejercicio 11: Otras Leyes del Reemplazo

p ∨ q ⇒p ∨ qb p ∧ q ⇒p ∨ qb

Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo

p ⇒p.b

Demuestra que los siguientes condicionales son tautolog´ıas:

(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q)b (q ⇒ p) ⇒ (q ⇒p)b Interpreta.

(64)

Leyes Distributivas

(65)

Leyes distributivas

Son tautolog´ıas:

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1) (2)

Para (1) hacemos una tabla:

p q r p ∧ q p ∧ r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

V V V V V V V V V

V V F V F V V V V

V F V F V V V V V

V F F F F F F V F

F V V F F V F V F

F V F F F V F V F

F F V F F V F V F

F F F F F F F V F

(66)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes distributivas

Son tautolog´ıas:

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1) (2)

Para (2) procedemos como sigue:

p ∨ (q ∧ r) ⇔ ¬¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬¬r) – involuci´on

⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)

⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)

⇔ ¬((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r)) – ley distributiva (1)

⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)

⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)

⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) – involuci´on

Por transitividad,

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) es tautolog´ıa, como quer´ıamos ver.

Leyes distributivas por la derecha

Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por la izquierda. Pero es muy f´acil deducir que tambi´en se valen por la derecha, usando conmutatividad:

(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)

⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)

⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).

Por transitividad,

(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).

es tautolog´ıa.

Ejercicio 13: Prueba el otro caso

Demuestra que es tautolog´ıa

(p ∧ q) ∨ r ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)).

(67)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes distributivas

Son tautolog´ıas:

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1) (2)

⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)

⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)

⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)

⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)

Por transitividad,

Leyes distributivas por la derecha

(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)

⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)

⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).

Por transitividad,

(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).

es tautolog´ıa.

(p ∧ q) ∨ r ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)).

(68)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes distributivas

Son tautolog´ıas:

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(1) (2)

⇔ ¬¬p ∨ ¬(¬q ∨ ¬r) – De Morgan (2)

⇔ ¬(¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)) – De Morgan (1)

⇔ ¬(¬(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ r)) – De Morgan (2)

⇔ ¬¬(p ∨ q) ∧ ¬¬(p ∨ r) – De Morgan (2)

Por transitividad,

Leyes distributivas por la derecha

(p ∨ q) ∧ r ⇔ r ∧ (p ∨ q)

⇔ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)

⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).

Por transitividad,

(p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).

es tautolog´ıa.

Ejercicio 13: Prueba el otro caso

(p ∧ q) ∨ r ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)).

(69)

Identidad y Dominaci´ on

(70)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Leyes de identidad

Conjunci´on con una tautolog´ıa:

Es tautolog´ıa

(p ∨ ¬p) ∧ q ⇔ q

V V F V V V V

V V F F F V F

F V V V V V V

F V V F F V F

Disyunci´on con un absurdo:

Es tautolog´ıa:

(p ∧ ¬p) ∨ q ⇔ q

V F F V V V V

V F F F F V F

F F V V V V V

F F V F F V F

Ejercicio 14: Prueba las leyes de dominaci´ on

Conjunci´on con una absurdo: Es tautolog´ıa

(p ∧ ¬p) ∧ q ⇔ p ∧ ¬p

Disyunci´on con una tautolog´ıa: Es tautolog´ıa:

(p ∨ ¬p) ∨ q ⇔ p ∨ ¬p

(71)

Leyes de identidad

Conjunci´on con una tautolog´ıa:

Es tautolog´ıa

(p ∨ ¬p) ∧ q ⇔ q

V V F V V V V

V V F F F V F

F V V V V V V

F V V F F V F

Disyunci´on con un absurdo:

Es tautolog´ıa:

(p ∧ ¬p) ∨ q ⇔ q

V F F V V V V

V F F F F V F

F F V V V V V

F F V F F V F

Ejercicio 14: Prueba las leyes de dominaci´ on

Conjunci´on con una absurdo:

Es tautolog´ıa

(p ∧ ¬p) ∧ q ⇔ p ∧ ¬p

Disyunci´on con una tautolog´ıa:

Es tautolog´ıa:

(p ∨ ¬p) ∨ q ⇔ p ∨ ¬p

(72)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Ejemplo: Primera Ley del Silogismo

Es tuatolog´ıa:

(p ⇒ q) ⇒ ((r ⇒ p) ⇒ (r ⇒ q))

Demostraci´on.

Las siguientes condicionales son tautol´ogicos:

(p ⇒ q) ⇒ ¬p ∨ q – equivalencia (2) de ⇒

⇒ (¬p ∨ ¬r) ∨ q – adici´on

⇒ ((r ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬r)) ∨ q – identidad

⇒ ((r ∧ ¬p) ∨ ¬r) ∨ q – ley distributiva

⇒ (r ∧ ¬p) ∨ (¬r ∨ q) – ley asociativa

⇒ ¬(r ⇒ p) ∨ (r ⇒ q) – negaci´on de ⇒, equivalencia (2) de ⇒

⇒ ((r ⇒ p) ⇒ (r ⇒ q)) – equivalencia (2) de ⇒

Por transitividad,

(p ⇒ q) ⇒ ((r ⇒ p) ⇒ (r ⇒ q)) es tautolog´ıa, como quer´ıamos ver.

(73)

Y una consecuencia sin esfuerzo: Segunda Ley del Silogismo

Es tautolog´ıa

(p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r))

Demostraci´on.

Los condicionales siguientes son tautol´ogicos

(p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) – contrarec´ıproco

⇒ ((¬r ⇒ ¬q) ⇒ (¬r ⇒ ¬p)) – 1ra Ley del Silogismo

⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)) – contrarec´ıproco

Por transitividad,

(p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)) es tautolog´ıa, como quer´ıamos ver.

(74)

Los conectivos ⇔ y Y

(75)

Otra caracterizaci´ on del bicondicional ⇔

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ q) ⇔ ((p ∨ q) ⇒ (p ∧ q))

Demostraci´on.

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) – primera equiv. de ⇔

⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) – equiv. (2) de ⇒

⇔ ((¬p ∨ q) ∧ ¬q) ∨ ((¬p ∨ q) ∧ p)) – ∧ se distribuye sobre ∨

⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p) – ∨ se distribuye sobre ∧, ley asociativa de ∨

⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) – (q ∧ ¬q) y (¬p ∧ p) son absurdos (identidad)

⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) – conmutatividad de ∧

⇔ ¬(p ∨ q) ∨ (p ∧ q) – De Morgan (1)

⇔ ((p ∨ q) ⇒ (p ∧ q)) – equiv. (2) de ⇒

(76)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Una equivalencia inesperada (o quiz´ a no tanto)

Es tautolog´ıa:

(p ⇔ ¬q) ⇔ ¬(p ⇔ q)

Demostraci´on.

(p ⇔ ¬q) ⇔ (p ⇒ ¬q) ∧ (¬q ⇒ p) – primera equiv. de ⇔

⇔ (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬q ∨ p) – equiv. (2) de ⇒

⇔ ¬(p ∧ q) ∧ (q ∨ p) – De Morgan (1), involuci´on

⇔ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) – conm. de ∨ y ∧

⇔ ¬(p ∨ q ⇒ p ∧ q) – neg. de ⇒

⇔ ¬(p ⇔ q) – segunda equiv. de ⇔

(77)

¡Sorprendente!

Las iteraciones del bicondicional ⇔ y la diferencia sim´etrica Y son equivalentes.

En otras palabras, la proposici´on siguiente es tautolog´ıa:

((p ⇔ q) ⇔ r) ⇔ ((p Y q) Y r)

Demostraci´on.

Los bicondicionales siguientes son tautol´ogicos

((p ⇔ q) ⇔ r) ⇔ (¬(p ⇔ q) ⇔ ¬r) –⇔ no se altera con las negaci´on de sus componentes

⇔ ((p Y q) ⇔ ¬r) – Y es equivalente a la negaci´on de ⇔

⇔ ¬((p Y q) ⇔ r) ^{– anterior}

⇔ ((p Y q) Y r) – Y es equivalente a la negaci´on de ⇔

(78)

Internet es tu amigo

(79)

Truth Table Tool

Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes:

Truth table toolde la clase CS 103 Mathematical of Computing, de laStanford Uni- versity.

(80)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

Truth Table Generator

Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las m´as detacadas son las siguientes:

Truth table generator, desarrollada porMichael Rieppel, profesor adjunto en elPhilos- ophy Department at Syracuse University.

(81)

Ep´ılogo

(82)

L´ ogica Proposicional

Algebra^´

¿Qu´ e deber´ıamos preguntar?

1. ¿Cu´antos conectivos binarios hay?

2. ¿Hay conectivos “ternarios”? ¿Cu´antos?

3. Todav´ıa más, si entendemos por conectivo n-ario (con n un entero posito arbitrario) como una función tal que asigna únicamente dos valores de verdad a n proposiciones, ¿cuántos conectivos n-arios hay?

Y tales conectivos, ¿sirven de algo?

No podemos contestar en este curso estas y otras preguntas que nos obligar´ıan a exten- dernos mucho más de lo debido. Baste decir que, puede demostrarse que es suficiente (más que suficiente de hecho), estudiar la lista de los pocos conectivos que hemos revisado aqu´ı para tener una teor´ıa de la lógica (proposicional) digamos completa.