Traducción:
Tobin´s Marginal Q and Average Q: A Neoclassical Interpretation1 (Fumio Hayashi, 1982. Econométrica. Vol. 50.)
I. Introducción
En la última década y media, la literatura sobre inversión ha sido dominada por dos teorías: la teoría neoclásica originada por Jorgenson y la teoría “q” sugerida por Tobin. La teoría neoclásica de la inversión parte del comportamiento maximizador de la firma. El objetivo de la firma es maximizar el valor presente descontado del flujo de dinero neto sujeto a las restricciones tecnológicas sintetizadas en la función de producción. Parece útil dividir la teoría neoclásica en 2 etapas. La primera versión del enfoque neoclásico desarrollado por Jorgenson deriva el stock de capital óptimo bajo rendimientos constantes a escala y producción exógenamente dada. Para hacer que la tasa de inversión sea determinada, el modelo se completa con una función de rezagos distribuidos para la inversión neta. Esta primera versión de la teoría de la inversión neoclásica tiene un par de falencias. La afirmación de que la producción está exógenamente dada (que hace que el stock de capital esté determinado) es inconsistente con la competencia perfecta. La teoría en sí misma no puede determinar la tasa de inversión, en lugar de eso, se basa en un mecanismo de ajuste “ad-hoc” del stock. Alguna clase de costos de ajuste son introducidos implícitamente a través de la función de rezagos distribuidos para la inversión.
Este punto fue reconocido por Lucas, Gould, Uzawa y Treadway. Su solución fue introducir el costo de instalar nuevos bienes de inversión en el problema de optimización de la firma. En esta formulación, el stock de capital está dado para la firma en cada momento del tiempo a causa de los costos de cambiar el stock de capital. Lo que firma puede controlar en cada momento del tiempo es la tasa de inversión, no el stock de capital. Esta modificación de la versión original de la teoría neoclásica fue de hecho recomendada por Jorgenson.
La teoría alternativa, sugerida por Tobin, es que la tasa de inversión es una función de q, la relación del valor de mercado de un nuevo aumento de bienes de inversión y su costo de reposición. Aquí nuevamente, alguna clase de costos de ajuste está detrás de la teoría. Si una firma puede cambiar libremente su stock de capital, entonces va a continuar aumentando o disminuyendo su stock de capital hasta que “q” sea igual a la unidad. El rol de la función de producción no es claro en la exposición de Tobin. Uno se pregunta si la teoría “q” puede ser derivada de la optimización de la firma.
Ha sido de creciente reconocimiento que la teoría de la inversión neoclásica modificada con costos de instalación y la teoría “q” son equivalentes. Lucas y Prescott fueron los primeros en reconocer esto, a pesar de que nunca indicaron la conexión a la teoría “q”. Más tarde, Abel mostró que la tasa óptima de inversión esta la tasa para la cual q-1 es igual al costo marginal de instalación. No obstante, su discusión está centrada primordialmente en una tecnología de producción Cobb-Douglas. Yoshikawa arribó a la misma conclusión que Abel, pero su modelo se caracteriza por expectativas estáticas. La sección 2 del presente paper integra las dos teorías de la inversión en un modelo muy general de la maximización del valor presente de la firma y deriva la tasa óptima de inversión como una función de
1 La presente traducción ha sido elaborada por los alumnos Andrea Luna y Enzo Paolazzi de la cátedra de Macroeconomía II. Se agradece profundamente el aporte y la actitud de compartirlo.
“q”. Resulta que la forma de la función de inversión es independiente tanto de la función de producción como de la curva de demanda de producto que enfrenta la firma. Todo esto proviene de la aplicación simple del principio de máximo de Pontryagin.
La teoría “q” (o equivalentemente la teoría neoclásica modificada) no es operativa si
“q” no es observable. Recuérdese que “q”, la cual llamamos q marginal, es la relación entre el valor de mercado de una unidad adicional de capital y su costo de reposición. Lo que podemos observar es la q promedio específicamente la relación entre el valor de mercado del capital existente y su costo de reposición. Los trabajos empíricos basados en la teoría
“q” han utilizado la q promedio como proxy de la q marginal. La sección 3 del presente trabajo deriva una relación exacta entre q marginal y q promedio. Si la firma es tomadora de precios con rendimientos constantes a escala tanto en la función de producción como en la de costos de instalación, entonces la q marginal es igual a la q promedio. Si la firma es formadora de precios, entonces la q promedio es mayor a la q marginal por lo que es legítimamente llamado “renta de monopolio”. La sección 3 también indica cómo la relación debería ser modificada si tomamos en cuenta los impuestos y la depreciación. La q marginal que es relevante para las decisiones de inversión de la firma debería reflejar reglas impositivas concernientes a la tasa de impuestos corporativos, créditos impositivos sobre la inversión y fórmulas de depreciación. Llamaremos a esta “q” ,“q modificada”. En la sección 4 calculamos la q modificada a través de la q promedio teniendo en cuenta el sistema impositivo actual de los Estados Unidos y estimamos una simple función lineal de inversión.
II. Acumulación de capital óptima2
Considere una firma actuando para maximizar el valor presente de los ingresos futuros después de impuestos:
(Ver ecuación 1)
donde r(s) es la tasa de descuento nominal. En esta ecuación lo que recibe la firma es escrito como beneficios después de impuestos mas las deducciones impositivas de depreciación menos las compras de bienes de inversión más los créditos impositivos sobre la inversión:
(Ver ecuación 2)
donde ( )π t son las ganancias antes de impuestos en el momento t, u(t) es la tasa de impuestos corporativos, D(X, t-X) la depreciación por dólar de inversión para los impuestos propuestos sobre un activo de X años acorde al código impositivo en vigencia, p t el I( ) precio de los de inversión, ( )I t inversión y ( )k t la tasa de crédito impositivo sobre la inversión. En una versión pionera de la teoría neoclásica de la inversión, las ganancias se escribían como:
2 Todas las ecuaciones deben verse de las notas de clase con las simplificaciones que se realizaron. De todas maneras, para seguir el hilo del texto conviene seguir la traducción con el texto original a la par.
(Ver ecuación 3 a)
donde P(t) es el precio del producto de la firma en el momento t, F la función de producción, K(t) es el stock de capital, N(t) el vector de inputs de los factores variables y w(t) es el vector de precios de los inputs variables. Si la firma es formadora de precios, el precio del producto depende de la función de producción.
La ecuación (1) se maximiza sujeta a la acumulación de capital:
(Ver ecuación 3 b)
donde δ es la tasa de depreciación física. Como es bien conocido, la tasa de inversión es indeterminada en este modelo, mientras que el nivel óptimo de stock de capital puede ser definido bajo el supuesto que el producto está exógenamente dado y la función de producción es linealmente homogénea. Esta formulación, implícitamente asume que la variación en la fórmula de depreciación D(X, t-X) no se aplica retrospectivamente a inversiones pasadas. Si el existente de stock de capital K(0) es más bajo (más alto) que el nivel óptimo K*, las inversiones serán infinitamente positivas (negativas).
La modificación introducida por Lucas, Gould, y Treadway es la inclusión de costos de instalación en (3 a):
(Ver ecuación 4 a)
La función de instalación G depende tanto de K como de I porque los costos de instalar I unidades de inversión es probable que dependan del tamaño relativo de I respecto de K. G será una función creciente y convexa de I: GI >0;GII >0; reflejando la presunción de que los costos de instalación por unidad de inversión serán más grandes, canto más grande sea la tasa de inversión para cualquier K dado.
(Ver gráfico)
Una forma alternativa para introducir los costos de ajuste asociados a la inversión fue introducida por Uzawa. Este autor deja intacta (3 a) pero modifica (3b) como sigue:
(Ver ecuación 4 b)
En esta formulación, I unidades de inversión bruta no necesariamente se convierten en capital; solamente ψ x 100 de la inversión se convierte en capital. El gráfico de ψ está representado en la figura 1. ψ creciente y cóncava en I, refleja misma presunción establecida arriba. En la figura 1, ψ cae rápidamente cuando I cambia de 0 a negativo, reflejando la irreversibilidad de la inversión. Llamaremos a ψ función de instalación.
Dado que las dos formulaciones de los costos de ajuste dan resultados similares concernientes a la regla de inversión óptima, nos concentraremos en la formulación de Uzawa. A partir de (4 a), el lector puede derivar fácilmente las fórmulas correspondientes a las que derivamos de (4b). Así, se supone que la firma maximiza (1) con π definido por (3 a) sujeto a la restricción de acumulación de capital (4b). Después de algunas manipulaciones (1) se reduce a:
(ver ecuación 5) donde:
(Ver ecuación 6)
El segundo término en (5), frecuentemente descuidado en la literatura, representa el valor presente corriente y futuro de las deducciones impositivas atribuible a inversiones pasadas. Este importante término será mencionado como A(0). Note que z(t) corresponde a wz en la notación de Hall y Jorgenson quienes suponen expectativas estáticas sobre la tasa impositiva futura u(t). Ya que A(0) es independiente de decisiones corrientes y futuras de la firma, el problema de optimización es equivalente a maximizar el primer término en (5) respecto a I y N sujeto a (4b):
(ver ecuaciones 7, 8 , 9 )
y la condición de transversalidad es:
(ver ecuación 10)
donde λ es el precio sombra de la restricción (4b). La ecuación (7) es la familiar condición de productividad marginal. La ecuación (9) establece que λ es el valor presente descontado de las ganancias futuras adicionales (después de impuestos) que son provocadas por una unidad adicional de inversión corriente. Para interpretar (8) en términos económicos, la escribimos como:
(ver ecuación 8´)
El primer término de (8´) es el precio de adquisición de nuevos bienes de inversión desde el punto de vista de la firma. Debido a los créditos impositivos sobre la inversión, es menor que el valor de mercado kp , donde k es la tasa de crédito impositivo sobre la I
inversión. El segundo término en (8´) representa (implícitamente) costos de ajuste asociados a la inversión. Si no hubiera costos de ajuste tal que ( , ; ) 1ψ I K t = , entonces el valor de mercado de la firma aumentaría en λ para cada unidad adicional de inversión (I).
Pero el stock de capital en realidad aumenta sólo ψI. Más aún, (1−ψ λI) representa el valor de mercado del cual se ve privado por la concavidad de la función de instalación. El segundo término del lado derecho de la ecuación (8´) es el valor presente de las deducciones impositivas provocadas por una unidad adicional de I corriente. Por lo tanto, la ecuación (8´) establece que el beneficio marginal de instalar una unidad nuevos bienes de inversión es al igual al costo marginal de hacerlo.
Ahora podemos definir rigurosamente la q marginal de Tobin:
(Ver ecuación 11)
y la q promedio es:
(ver ecuación 12)
En términos de la q recién definida, (8) y (9) pueden ser escritas como:
(Ver ecuación 8´´ y 9´)
donde I I
I
P p p
•
= . Podemos resolver (8´´) para I para obtener la regla de inversión óptima:
(ver ecuación 13)
donde q , que llamaremos q modificada, se define como 1
q
− −k z . Debería notarse que la firma puede decidir la tasa óptima de inversión a través del solo conocimiento de la función de instalación ψ . Toda la información sobre la curva de demanda por el producto de la firma y la función de producción, que son relevantes para la decisión de I de la firma, están resumidas en q. Las expectativas sobre el futuro de la tasa de crédito impositivo sobre la inversión (k) están también incorporadas en q y no afectan la forma de la función de inversión.
Entonces, notamos que (13) se reduce a la forma:
(ver ecuación 13´)
si y sólo si la función de instalación es linealmente homogénea en I y K. La homogeneidad lineal ψ jugará un papel importante en la discusión sobre la q marginal y la q promedio.
III. Q marginal y la q promedio
Si conociéramos q marginal, la implementación econométrica de la teoría q sería bastante sencilla. Desafortunadamente, q marginal no es directamente observable. Lo que podemos observar, en principio, es q promedio. Ha habido crecientes esfuerzos para medir q promedio para corporaciones de Estados Unidos y hay investigadores ocupándose de regresiones sobre inversión en base a q promedio. Los investigadores deberían sentirse tensos con esta utilización, a menos que estén seguros de que q marginal y q promedio son prácticamente lo mismo. La siguiente proposición establece que q marginal y q promedio son esencialmente iguales aún en el caso especialmente importante en el cual la firma es tomadora de precios y las funciones de producción e instalación son linealmente
homogéneas.
Proposición 1: Sea A(0) el valor presente descontado de las deducciones impositivas
corrientes y futuras atribuibles a inversiones pasadas (el último término en (5) y suponiendo que la firma es tomadora de precios en sus mercados de producto y que se mantienen las condiciones de transversalidad, entonces:
(ver ecuación 14)
si y sólo si la función de instalación ψ es linealmente homogénea en I y K.
(ver prueba del apunte de clase)
Observación 1: la proposición 1 se mantiene en cualquier punto del tiempo a lo largo del sendero óptimo.
Observación 2: como la función de instalación es cóncava en I, el sendero óptimo es único si existe.
Observación 3: La relación (20) ya ha sido percibida en un contexto diferente por Blinder y Weiss.
La intuición detrás de este resultado es la siguiente. Por simplicidad, ignoremos por un momento los impuestos y las depreciaciones. Sea I(t) y N(t) la política óptima para la firma con stock de capital Ko en el momento 0. Ahora consideremos otra firma con idéntica función de producción pero con un nivel diferente de stock de capital Ko´. Es claro que la política óptima de la segunda firma es I(t)Ko´/Ko si las funciones de instalación y de producción se caracterizan por rendimientos constantes a escala. Por lo tanto, las
expectativas de ganancias futuras de la segunda firma son iguales a Ko´/Ko veces las de la primera firma, implicando que la q promedio de primera firma es igual a la q promedio de la segunda firma. En otras palabras, q promedio es independiente del stock de capital inicial si las funciones de producción e instalación son linealmente homogéneas y si las firmas son tomadoras de precios.
Ahora considere una firma que decide I unidades de inversión las cuales se
transformarían en ∆ =K ψ( , ; )I K t unidades adicionales del stock de capital: ¿cuál es el valor de mercado de estas unidades de adicionales de capital? Es K∆ veces q promedio porque le valor de mercado promedio para la firma con K es igual al de la firma con K+
∆K.
Como hemos visto al final de la sección 2 (13´)3 es una condición necesaria y suficiente para que la función de instalación sea linealmente homogénea. Un corolario de la
proposición 1 es entonces el siguiente. Si i) la regla de inversión óptima es (13´), ii) la función de producción es linealmente homogénea y iii) la firma es tomadora de precios, entonces (13´) puede escribirse como:
(Ver ecuación 13´´)
La intuición detrás de la proposición 1 no se traslada a una firma formadora de precios, ya que si la firma expande su producto, el precio del producto caerá. El calor de mercado de
3 Ver esta ecuación en el paper.
unidades adicionales de capital es, por lo tanto, menor que el valor de mercado promedio del stock de capital existente. Sin embargo, todavía existe una precisa relación simple entre la q promedio y la q marginal. La siguiente proposición es una generalización de la
proposición 1:
Proposición 2: Si suponemos que una firma es formadora de precios en el mercado y si sus funciones de producción e instalación son linealmente homogéneas y se mantiene la
condición de transversalidad, entonces:
(ver ecuación 21)
Importante: la firma formadora de precios obtendrá una renta de monopolio!
Completar del texto original la evidencia empírica!
