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Estudio computacional de la sangre en microcirculación.
Diego Fernando González Cárdenas.
Universidad de los Andes.
Facultad de Ingeniería.
Departamento de Ingeniería Mecánica.
Bogotá D. C., Colombia.
Julio de 2014.
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Estudio computacional de la sangre en microcirculación.
Diego Fernando González Cárdenas.
Presentado como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Mecánica.
Asesor:
Andrés Leonardo González Mancera, PhD.
Universidad de los Andes.
Facultad de Ingeniería.
Departamento de Ingeniería Mecánica.
Bogotá D. C., Colombia.
Julio de 2014.
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NOTA DE ACEPTACIÓN:
ASESOR:
JURADO:
JURADO:
Bogotá D. C., Julio 24 de 2014.
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CONTENIDO.
INTRODUCCIÓN. ... 9
OBJETIVOS. ... 14
General. ... 14
Específicos. ... 14
MARCO TEÓRICO. ... 15
Lattice-Boltzmann. ... 15
Descripción del método: ... 15
Unidades en el método Lattice-Boltzmann [20]: ... 17
Condiciones de frontera: ... 19
Modelo FEM de la membrana. ... 21
Ecuación constitutiva de Skalak: ... 21
Modelo mecánico de la membrana. [22] ... 22
Método numérico [5]: ... 25
Frontera inmersa: método de interpolación de las velocidades [4]. ... 26
Método LB-IB-FEM. ... 27
Ley de Hagen-Poiseuille [23]. ... 28
PARÁMETROS DE ENTRADA. ... 29
Aplicación del flujo en un capilar cilíndrico. ... 29
Geometría y variables básicas del modelo real [24] [25] [26] [27]: ... 29
Enmallado del dominio del capilar con el parámetro de discretización N=25. ... 31
Determinación de la rigidez de la membrana. ... 35
Iniciación de la simulación (número de Hematocrito): ... 36
RESULTADOS... 38
Descripción de las simulaciones hechas. ... 38
5
Evaluación Cualitativa. ... 38
Efecto Fahraeus-Lindqvist [29]. ... 44
Caída de la presión en el dominio y evaluación del efecto simultáneo de estrangulamiento del capilar y rigidez de la membrana. ... 53
CONCLUSIONES. ... 58
Alcance. ... 58
Dificultades. ... 60
Trabajo futuro. ... 61
BIBLIOGRAFÍA. ... 62
ANEXO A. ... 65
Adimensionalización de las Ecuaciones de Navier-Stokes y de Continuidad. ... 65
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ILUSTRACIONES.
ILUSTRACIÓN 1: DETALLE ILUSTRADO DE LOS VASOS SANGUÍNEOS Y LOS GR MOVIÉNDOSE A TRAVÉS DE
ELLOS. TOMADO DE WWW.QUIRONATUR.COM. 10
ILUSTRACIÓN 2: EJEMPLO DE AGREGADOS DE GR EN LA SANGRE. 10
ILUSTRACIÓN 4: MODELO DE ELEMENTO BGK D3Q19, PARA EL MODELAMIENTO DEL FLUJO [18]. 16 ILUSTRACIÓN 5: CÁPSULA O MEMBRANA CELULAR INMERSA EN UN FLUIDO CON UN CAMPO DE VELOCIDAD
ESTABLECIDO, 𝒗∞ [5]. 22
ILUSTRACIÓN 3: ESQUEMA DEL ALGORITMO IBLBFEM DESARROLLADO PARA LA SIMULACIÓN DEL GLÓBULO
ROJO EN EL MEDIO FLUIDO [16]. 27
ILUSTRACIÓN 6: ESQUEMA DE LA MICROCIRCULACIÓN EN DONDE SE UBICAN LOS CAPILARES RAMIFICADOS
ENTRE UNA ARTERIOLA Y UNA VÉNULA. 29
ILUSTRACIÓN 7: VARIACIÓN DE VALOR DE VISCOSIDAD EN VARIOS FLUIDOS SANGUÍNEOS, ENTRE ELLOS EL
PLASMA. 30
ILUSTRACIÓN 8: VISUALIZACIÓN DEL CAMPO DE VELOCIDADES EN UN CORTE TRANSVERSAL DEL CAPILAR
CON UNA DISCRETIZACIÓN DE 25 UNIDADES LB EN EL DIÁMETRO. 32
ILUSTRACIÓN 9: CAMPO DE VELOCIDADES Y DE PRESIONES PARA EL DOMINIO CILÍNDRICO DE LOS CASOS I, II
Y III SIN INTERACCIÓN DE MEMBRANAS (DATO DE ENTRADA). 33
ILUSTRACIÓN 10: CAMPO DE VELOCIDADES Y DE DENSIDADES DESARROLLADO PARA UN CAPILAR CON UN ESTRANGULAMIENTO AL 75% DE SU VALOR INICIAL EN LA ZONA MEDIA, PARA LOS CASO IV, V Y VI. 34 ILUSTRACIÓN 11: CAMPO DE VELOCIDADES Y DE DENSIDADES DESARROLLADO PARA UN CAPILAR CON UN
ESTRANGULAMIENTO AL 65% DE SU VALOR INICIAL EN LA ZONA MEDIA, PARA LOS CASO VII, VIII Y I 34 ILUSTRACIÓN 12: POSICIÓN INICIAL DE LOS GR EN LA SIMULACIÓN, PARA UN HT=0.18. 37
ILUSTRACIÓN 13: CASO I. 39
ILUSTRACIÓN 14: CASO II. 39
ILUSTRACIÓN 15: CASO III. 40
ILUSTRACIÓN 16: CASO IV. 41
ILUSTRACIÓN 17: CASO V. 41
ILUSTRACIÓN 18: CASO VI. 42
ILUSTRACIÓN 19: CASO VII. 43
ILUSTRACIÓN 20: CASO VIII. 43
ILUSTRACIÓN 21: CASO IX. 44
ILUSTRACIÓN 22: EFECTO FAHRAEUS-LINDQVIST PARA LOS CASOS I, II Y III. 45 ILUSTRACIÓN 23: PERFIL DE VELOCIDADES EN EL PUNTO MEDIO DEL EJE PARA EL CASO I. 47 ILUSTRACIÓN 24: PERFIL DE VELOCIDADES EN EL PUNTO MEDIO DEL EJE PARA EL CASO II. 47 ILUSTRACIÓN 25: PERFIL DE VELOCIDADES EN EL PUNTO MEDIO DEL EJE PARA EL CASO III. 48 ILUSTRACIÓN 26: EFECTO FAHRAEUS-LINDQVIST EN VARIOS CORTES TRANSVERSALES EN EL CASO I. 52 ILUSTRACIÓN 27: EFECTO FAHRAEUS-LINDQVIST EN VARIOS CORTES TRANSVERSALES EN EL CASO II. 52 ILUSTRACIÓN 28: EFECTO FAHRAEUS-LINDQVIST EN VARIOS CORTES TRANSVERSALES EN EL CASO III.
¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
ILUSTRACIÓN 29: EN UN CAPILAR DE Ø10ΜM CON VARIOS NIVELES DE HEMATOCRITO. ¡ERROR!
MARCADOR NO DEFINIDO.
7
ILUSTRACIÓN 30: CURVA DE LA DIFERENCIA DE PRESIÓN EN EL DOMINIO DEL CAPILAR A LO LARGO DEL EJE CENTRAL EN LOS CASOS DEL I AL III, DONDE EL CAPILAR ES CILÍNDRICO. 54 ILUSTRACIÓN 31: CURVA DE LA DIFERENCIA DE PRESIÓN EN EL DOMINIO DEL CAPILAR A LO LARGO DEL EJE
CENTRAL EN LOS CASOS DEL IV AL VI. 55
ILUSTRACIÓN 32: CURVA DE LA DIFERENCIA DE PRESIÓN EN EL DOMINIO DEL CAPILAR A LO LARGO DEL EJE
CENTRAL EN LOS CASOS DEL VII AL IX. 56
ILUSTRACIÓN 33: COMPARACIÓN ENTRE LAS CAÍDAS DE PRESIÓN PARA CADA CASO. 56
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TABLAS.
TABLA 1: VALORES DIMENSIONALES Y DE PRESIÓN Y VISCOSIDAD DEL FLUJO A TRAVÉS DE UN CAPILAR
TÍPICO. 30
TABLA 2: VALORES DE VELOCIDAD Y RÉGIMEN DE REYNOLDS EN FLUJO. 31
TABLA 3: DIMENSIONES DE LAS ARISTAS DE UN CUBO DEL ENMALLADO DEL FLUIDO Y DE UN TRIÁNGULO DE
LOS ELEMENTOS DE LA MEMBRANA. 32
TABLA 4: PARÁMETROS DE LA SIMULACIÓN: 32
TABLA 5: VALORES DE CAPILAR PARA LA SIMULACIÓN. 36
TABLA 6: CASOS DE ESTUDIO DE LA SIMULACIÓN. 38
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INTRODUCCIÓN.
La microcirculación es el flujo de sangre en la ramificación de arteriolas, capilares y vénulas embebidas en los tejidos de los órganos. Es un subconjunto dentro del conjunto del sistema circulatorio presente en hombres y animales. En el organismo cumple un papel determinante en la perfusión de oxígeno y nutrientes a los tejidos, en la remoción de dióxido de carbono y de subproductos del metabolismo, en la presión sanguínea, en la regulación de fluidos de los tejidos y de los órganos y en la temperatura del cuerpo [1].
La sangre contiene células de diverso tipo, glóbulos rojos (GR) y glóbulos blancos (GB), además de plaquetas y de otros elementos en un fluido similar al agua llamado plasma. El flujo de la sangre en la microcirculación es influenciado notablemente por los glóbulos rojos debido al número importante de ellos que hay por unidad de volumen (~5X106 /mm3). En la sangre los GR ocupan de un 40 a un 45% de volumen, mientras que los GB solo ocupan volumen en razón de 1:600 y las plaquetas lo hacen en una razón de 1:800 [2].
El diámetro de un GR está en el rango de 6.2 a 8.2 µm y tiene un espesor aproximado de 2 µm. En una red capilar las arteriolas tienen un diámetro entre 10 y 100 µm, los capilares un diámetro de entre 4 a 8 µm y las vénulas de entre 10 y 200 µm. Debido a la similitud dimensional entre los glóbulos rojos y los capilares, las propiedades mecánicas y el movimiento de las mismas regulan el flujo alrededor de ellas. Un ejemplo de ello es el efecto de Fahraeus-Lindqvist en los capilares, donde el perfil de velocidad de la sangre dentro del tubo capilar se ve afectado por una caída del valor de la viscosidad respecto al perfil que presenta en un vaso sanguíneo de dimensiones más grandes dado que los GR aglomerados en vasos amplios se desacoplan y tienden a circular por el centro del vaso de un capilar, haciendo que el plasma se deslice en sus paredes [2] [3].
En la circulación en vasos sanguíneos de diámetro convencional (aproximadamente Ø4mm) la sangre presenta un comportamiento newtoniano, donde se incrementa el esfuerzo de corte al aumentar la velocidad (el coeficiente de viscosidad de la sangre en esta situación es de alrededor de 6 cPs). Sin embargo, cuando la sangre circula por los vasos y capilares de la microcirculación, este fenómeno se revierte y la sangre puede pasar a través de dichos vasos incrementando su velocidad con menor esfuerzo. Se debe este comportamiento a la presencia de los GR que en estos ductos dejan de estar aglomerados (como se presentan en los vasos sanguíneos de mayor diámetro) y se alinean dejando una capa de plasma (sangre sin células) alrededor de las paredes de los capilares, provocando una caída en el coeficiente de viscosidad [2].
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Ilustración 1: Detalle ilustrado de los vasos sanguíneos y los GR moviéndose a través de ellos. Tomado de www.quironatur.com.
Ilustración 2: Ejemplo de agregados de GR en la sangre. Normalmente ocurren en los vasos sanguíneos de mayor diámetro. Tomado de www.mediscuss.org
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Un propósito para hacer simulaciones de la microcirculación es la comprensión de enfermedades que tiene que ver con el flujo de la sangre, como desórdenes del corazón, hipertensión, diabetes, malaria, anemia y otros, así como en el estudio de sustitutos de la sangre y de difusión de medicamentos [3].
Esta investigación parte de un método computacional que describe la forma como el flujo circundante a un GR afecta su movimiento y deformación, y se usa para simular el comportamiento de dicha célula en situaciones específicas de la fisiología. En este método, denominado IB-LB-FEM, la membrana celular es modelada por elementos finitos a partir de ecuaciones constitutivas, la parte del fluido circundante es modelada mediante el método Laticce-Boltzmann (LB) y la interacción entre ambas es regulada por la interpolación del método de frontera inmersa (IBM). Varios autores han usado este método, y la versión que se va a implementar en esta investigación proviene del método desarrollado por Krüger [4] cambiando la forma de calcular los esfuerzos en la membrana celular con el modelo de Walter [5].
Dentro de esta simulación la membrana cobra particular interés debido a sus propiedades. Ella ejerce fuerzas al deformarse que afectan tanto el movimiento de ella en el fluido en el que está inmersa como en el movimiento del fluido. Según [6] y [7], se puede asemejar el comportamiento de esta membrana celular al de una membrana elastomérica, dando lugar a una forma de ecuación de energía para ella, además que la membrana es anisotrópica y que su forma en la sangre (bicóncava) viene dada porque la membrana está esforzada de antemano antes de entrar a un capilar..
El método IBM interpola los nodos del fluido (estructura ordenada) y los de la membrana (generalmente modelada con una malla arbitraria), para transferir entre ambos las fuerzas que se imprimen por efecto del campo de velocidad del flujo y la deformación elástica de la membrana. La ventaja de este método es que se presupone que la membrana es deformable y su presencia en el flujo no afecta las ecuaciones de Navier-Stokes que lo modelan, salvo por la inclusión de una fuerza de cuerpo; el método IBM simplifica por ende el modelamiento y lo hace un método novedoso para la simulación de células en flujos de diverso tipo. Fue desarrollado por Peskin en el marco de simular el flujo de la sangre por el corazón ( [8] y [9]). Un método alterno al IBM es el método de elemento de frontera (BEM), pero es válido para modelos en flujos de Stokes únicamente, sin presencia de inercia [10].
Varios investigadores han hecho trabajos usando el método IB-LB-FEM. Una de las características de este método es que la membrana celular se asume como ‘fantasma’1 donde el flujo externo a
1 El término ‘fantasma’ hace alusión a la membrana en el método de frontera inmersa. Puede ser confuso por su significado literal dado que la membrana en este modelo ejerce una fuerza que cambia la cantidad de momento en los nodos del fluido, y la velocidad del fluido cambia su posición en el espacio, teniendo en cuenta que no se asume deslizamiento entre la membrana y el flujo circundante.
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ella es el mismo que el interno y donde dicha membrana es permeable en todo momento [11]. Hay algunos estudios donde pueden variar propiedades del flujo encapsulado dentro de la membrana, por ejemplo la viscosidad, cambiando parámetros como el tiempo de relajación en el método Lattice-Boltzmann. En la investigación citada, la membrana fue modelada con el método neo- Hookeano y con el modelo Evans-Skalak para cápsulas esféricas dando resultados acordes con experimentaciones y su conclusión indica que se debe añadir la rigidez de doblamiento para simular otras formas de cápsula, que se asemejen a las células reales. En [12] se usa el mismo método computacional y la membrana se modela según el modelo neo-Hookeano. En [13] se usa el mismo método pero también sólo el modelo de membrana neo-Hookeano y donde el flujo es irrotacional, y se comprueba que en estas condiciones los ejes principales de cápsulas con varias formas se alinean en el tiempo con la dirección de flujo del fluido circundante impuesto en varias formas:
uniaxial, biaxial y plano.
Los modelos computacionales aquí descritos han sido contrastados con trabajo experimental y con modelos analíticos desarrollados para cápsulas singulares en flujo en corte a bajas tasas de deformación ( [14] y [15]). Aun cuando se han desarrollado modelos válidos de GR en la sangre fluyendo en la microcirculación, hay varios aspectos de la membrana celular que no han sido tenidos en cuenta en la formulación de los modelos, como la resistencia al doblamiento y la característica anisotrópica de sus propiedades de resistencia mecánica a la deformación. Además, Krüger [4]
resalta que se presenta deslizamientos en la simulación en la frontera de la membrana y el flujo. Se busca adecuar el método para prevenir errores de este tipo y poder hacer una simulación más fiel a la realidad en las situaciones planteadas (esta es una razón por la cual se camba el modelo de FEM del trabajo de Krüger por el de Walter).
En la Universidad de los Andes se ha hecho varias investigaciones sobre la implementación de algoritmos computacionales para la simulación de GR usando este método híbrido. Un ejemplo es el trabajo de un investigador de la universidad [16] que usa el método descrito en [4] para evaluar el comportamiento de un glóbulo rojo inmerso en flujo sanguíneo condicionado a un flujo de Stokes.
La conclusión a la que llega es que hay una conformidad cualitativa en el resultado de la simulación hecha con el algoritmo y los datos de otras simulaciones y de experimentación. Se sugiere en este trabajo hacer una mejora en la capacidad del algoritmo de reducir tiempo de simulación e incorporar la energía de doblamiento de la membrana de la célula en la formulación de elementos finitos de la membrana.
Se quiere usar el método expuesto para hacer varias simulaciones de glóbulos rojos (GR) en el flujo en los capilares donde se puedan controlar variables como la rigidez de la membrana mediante el número de Capilar y la geometría del dominio del flujo en el capilar para evaluar como resultado el estado de algunas variables de interés como el cambio en el perfil de velocidades del capilar cundo por éste circulan membranas de GR y la caída de presión en éstos. El flujo del medio es un flujo de Stokes, donde predominan las fuerzas viscosas respecto de las inerciales, con lo que se descartan
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estas fuerzas en la simulación. El flujo será unidireccional e imprimirá esfuerzos de corte a las células únicamente.
Otro propósito de este trabajo es elaborar la herramienta mediante la cual se puedan hacer experimentaciones futuras más exhaustivas, variando la forma geométrica del capilar de una forma más drástica. Un ejemplo de aplicación es poder determinar el comportamiento del flujo sanguíneo cuando los GR presentan formas que se deban a condiciones patológicas propias, como se exponen en [14] o poder determinar la tasa de flujo de GR en un capilar ramificado con distintas resistencias al flujo.
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OBJETIVOS.
GENERAL.
Estudiar la dinámica de los glóbulos rojos en la microcirculación haciendo uso de un método híbrido que incluye el método Lattice-Boltzmann para el flujo sanguíneo y elementos finitos en la membrana de la célula.
ESPECÍFICOS.
Estudiar e implementar el algoritmo de Lattice-Boltzmann (LB) para la simulación del fluido sanguíneo que circunda el glóbulo rojo.
Estudiar e implementar el algoritmo de elementos finitos (FEM) para la simulación de la membrana del glóbulo rojo, según el modelo constitutivo de Skalak y el modelo de Walter.
Estudiar e implementar el algoritmo de frontera inmersa (IB) para la simulación de la interacción de la membrana de la célula con el fluido circundante.
Verificar el algoritmo mediante la constatación del fenómeno característico de la microcirculación, que es el fenómeno de Fahraeus-Lindqvist.
Obtener las caídas de presión en cada uno de los casos que se van a evaluar en la simulación.
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MARCO TEÓRICO.
LATTICE-BOLTZMANN.
Descripción del método:
El método computacional Lattice-Boltzmann, donde se calcula la dispersión de partículas de probabilidad denominadas poblaciones (𝑓𝑖) que se propagan en una malla regular de lattices, es el que se empleará en la simulación del problema. En este método, las poblaciones en su movimiento distribuyen en el dominio propiedades como la velocidad y la densidad. La ecuación de la evolución de la i-ésima población es:
𝑓𝑖(𝒙 + 𝒄𝒊∆𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 ) = 𝑓𝑖(𝒙, 𝑡) −1
𝜏[𝑓𝑖(𝒙, 𝑡) − 𝑓𝑖𝑒𝑞(𝒙, 𝑡)] + 𝐹𝑖Δ𝑡 (1)
Donde se aprecia que, en la expresión, a la derecha de la igualdad, hay tres términos. Si se aprecian los dos primeros, se entiende que las poblaciones en un nodo dado en un instante dado son las poblaciones de los nodos vecinos en el instante anterior afectados por unas poblaciones de equilibrio (que es lo expresado en la ecuación siguiente) en donde intermedia un tiempo de relajación 𝝉; dichas poblaciones de equilibrio se determinan por medio de una forma de la distribución de Maxwell – Boltzmann.
𝑓𝑖𝑒𝑞= 𝒘𝑖𝜌 (1 + 3𝒄𝒊∙ 𝒖 +9
2(𝒄𝒊∙ 𝒖)2−3
2𝒖 ∙ 𝒖) (2)
Finalmente, el último término del lado derecho de la expresión 2 es una expresión de fuerza de cuerpo. Por medio de este término se puede agregar fuerzas externas al dominio del fluido.
𝐹𝑖 = (1 − 1
2𝜏) 𝑤𝑖(𝒄𝒊− 𝒖
𝑐𝑠2 +𝒄𝒊∙ 𝒖
𝑐𝑠4 𝒄𝒊) ∙ 𝒇 (3)
El método descrito anteriormente se denomina dinámica BGK [17], en honor a sus desarrolladores.
La retícula se elabora poniendo los nodos en orden rectangular a una misma distancia ortogonal.
Las poblaciones de cada nodo se mueven en direcciones determinadas hacia los nodos vecinos en cada paso de tiempo. Como en este caso se está usando un dominio de tres dimensiones, se precisa que las poblaciones se muevan desde un nodo hacia diecinueve nodos circunvecinos, seis en las direcciones ortogonales y los otros doce en las direcciones diagonales.
16
Ilustración 3: Modelo de elemento BGK D3Q19, para el modelamiento del flujo [18].
En las anteriores expresiones, 𝒖 denota la velocidad del flujo, 𝒄𝒊 es el vector de velocidad o dirección de movimiento de las poblaciones por cada nodo, 𝝉 es el parámetro de relajación adimensional, 𝒄𝒔
es la velocidad del sonido en el medio fluido (𝒄𝒔= 1 √3⁄ en el caso de BGK D3Q19 [19]) y 𝒇 es la densidad de fuerza de cuerpo adicionada. El término 𝐰𝐢 indica una probabilidad de desplazamiento por cada dirección de velocidad de cada población.
𝑤𝑖 =
{ 2
36 𝑠𝑖 𝑖 = 1, … 6 1
36 𝑠𝑖 𝑖 = 7, … 18 12
36 𝑠𝑖 𝑖 = 0
(4)
Las poblaciones portan propiedades del fluido y por medio de ellas se puede determinar en cada momento el campo de velocidades del flujo y su densidad. La forma como se recuperan variables del fluido en términos de estas poblaciones se expresan en las ecuaciones 6 y 7. En este método, la presión es proporcional a la densidad, por lo que la forma como ésta última varía en el dominio determina la variación del campo de presiones; dicha proporcionalidad se establece en la ecuación 8. Cabe anotar que las dimensiones de los valores de velocidad, densidad y presión, determinados
17
por estas ecuaciones, están en términos de LB, y que es necesario hacer unas operaciones adicionales para hallar su valor en términos físicos ( [19] [18]).
𝜌(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)
𝑖
(5)
𝒖(𝑥, 𝑡) = 1
𝜌(𝑥, 𝑡)∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)𝑐𝑖
𝑖
+Δ𝑡
2 𝒇 (6) 𝑝 = 𝑐𝑠2𝜌 (7)
El método Lattice-Boltzmann resuelve de forma aproximada la ecuación de Navier-Stokes para sistemas donde su número de Reynolds y de Knudsen sean bajos. En el método LBM se hace uso de un factor denominado tiempo de relajación, que es una analogía de la viscosidad en la propagación de poblaciones por los nodos de fluido. Para que haya equivalencia entre el método LBM y las ecuaciones de Navier-Stokes, el tiempo de relajación se formula como: 𝜏 =𝜈𝑙𝑏
𝑐𝑠2 +1
2 donde 𝑐𝑠2=1
3
[20].
Unidades en el método Lattice-Boltzmann [21]:
El modelo de Lattice-Boltzmann debe representar un modelo físico de la dinámica de fluidos. La dificultad reside en cómo se debe interpretar la distancia entre nodos de la malla que discretiza el dominio físico del problema y los espaciamientos discretos de “tiempo” o tics que transforman las propiedades de velocidad y densidad en el modelo LB.
Una forma de hacer la conversión de las unidades Lattice-Boltzmann a unidades físicas pasa por la adimensionalización. Este método, expuesto en la referencia [21], consiste en hacer una adimensionalización de las variables macroscópicas del problema físico y luego, de una forma análoga, hacer el tránsito desde las variables adimensionales hasta las variables discretas de Lattice- Boltzmann. El parámetro que tiene en común los tres sistemas es el número de Reynolds, que aparece en el momento de pasar desde las variables físicas a las variables adimensionales.
Las ecuaciones que gobiernan la dinámica de fluidos incompresibles se agrupan en la ecuación de continuidad (7) y la ecuación de Navier-Stokes (8) o de conservación del momento:
∇𝑓∙ 𝒖𝑓= 0 (8)
𝜕𝑡𝑓𝒖𝑓+ (𝒖𝑓∙ ∇𝑓)𝒖𝑓 = − 1
𝜌0∇𝑓𝑝𝑓+ 𝜈𝑓∇𝑓2𝒖𝑓+ 𝑓𝑓 (9)
Las variables, nótese, de estas dos ecuaciones tienen como subíndice la letra f, que denota que son variables físicas. El último término a la derecha es el de las fuerzas externas aplicadas al fluido.
Si del problema físico se toma una distancia representativa y una velocidad representativa, 𝑑0𝑓 y 𝑢0𝑓, se pueden hacer adimensionales las expresiones anteriores, teniendo en cuenta que el tiempo característico se puede extraer desde las dos dimensiones características señaladas anteriormente:
𝑡0𝑓 = 𝑑0𝑓⁄𝑢0𝑓.
18 𝒖0𝑓 =𝑑0𝑓
𝑡0𝑓 𝒖𝑎; 𝜕𝑡𝑓= 1
𝑡0𝑓𝜕𝑡𝑎; ∇𝑓= 1
𝑑0𝑓∇𝑎; 𝑝𝑓 = 𝜌0𝑑0𝑓2
𝑡0𝑓2 𝑝𝑎 (10)
∇𝑎∙ 𝒖𝑎= 0 (11)
𝜕𝑡𝑎𝒖𝑎+ (𝒖𝑎∙ ∇𝑎)𝒖𝑎= −∇𝑎𝑝𝑎+ 1
𝑅𝑒∇𝑎2𝒖𝑎+ 𝑓𝑎 (12)
Lo que se demuestra con las ecuaciones (11) y (12) es que un modelo de fluidos incompresible es equivalente a otro con la misma geometría si el régimen de Reynolds es igual en ambos. El número adimensional de Reynolds es 𝑅𝑒 = 𝑑0𝑓
2
𝑡0𝑓𝜈𝑓 y se halla en la interpretación adimensional del coeficiente de viscosidad siendo esta 𝜈𝑎= 1
𝑅𝑒.
Para hallar las variables en términos de Lattice-Boltzmann se hace una transformación análoga a la hecha anteriormente donde se pasa de unidades físicas a las unidades adimensionales. Solo que, en esta ocasión, la distancia característica se reemplaza con la distancia de la arista del cubo que compone el enmallado del fluido (𝛿𝑥), y el tiempo característico es el tiempo que hay entre cada corrida de poblaciones en la simulación LB (𝛿𝑡). La longitud característica adimensional 𝑑0𝑎=𝑑0𝑓
𝑑0𝑓= 1 se divide en N espacios, por lo que cada espaciamiento tiene un tamaño 𝛿𝑥 = 1
𝑁. Así mismo, el tiempo característico adimensional 𝑡0𝑎=𝑡0𝑓
𝑡0𝑓=1 se divide en S iteraciones para obtener el tiempo discretizado 𝛿𝑡 =1
𝑆. Una de las características propias de la simulación en fluidos es que el espaciamiento de tiempo sea 𝛿𝑡 = 𝛿𝑥2 [21], aunque en este estudio se aplicará una función diferente que determina el valor de 𝛿𝑡 en relación no sólo a 𝛿𝑥 sino a otros parámetros.
A partir de la transición entre las ecuaciones de continuidad y de conservación de momento (Navier- Stokes) en su modo adimensional a su modo Lattice-Boltzmann (discreto), se hallan algunas variables macroscópicas en unidades LB:
𝒖𝑙𝑏= 𝛿𝑡
𝛿𝑥𝒖𝑎; 𝜈𝑙𝑏= 𝛿𝑡 𝛿𝑥2
1
𝑅𝑒; 𝒖0𝑙𝑏= 𝛿𝑡
𝛿𝑥 (13)
En el anexo A de este documento se puede hallar el procedimiento detallado de cómo se pasa de las variables físicas a las adimensionales y de éstas a las variables formuladas en LB.
Determinación del valor del paso del tiempo en la simulación:
Al ser el método LBM un método discreto basado en un dominio adimensional, se deben tener una longitud característica y una velocidad característica, como ya se vio. Será el diámetro del capilar la longitud característica y la velocidad media calculada por Hagen-Poiseuille la dicha velocidad característica. Por medio de estos dos valores se hallará el valor del salto temporal de la simulación 𝛿𝑡. A partir de la ecuación (13) y de la definición del tiempo de relajación dada anteriormente: 𝜏 =
𝜈𝑙𝑏 𝑐𝑠2 +1
2 se define el delta de tiempo entre pasos de la simulación LBM.
19 𝛿𝑡 =𝑢𝑜𝑓𝑑0𝑓𝛿𝑥2
3𝜈𝑓 (𝜏 −1
2) =𝑅𝑒𝛿𝑥2 3 (𝜏 −1
2) (14)
Las dimensiones reales se recuperan desde las dimensiones LB por medio de 𝑑𝑓 = 𝛿𝑥∙ 𝑑𝑙𝑏∙ 𝑑0 y las velocidades reales se recuperan por medio de 𝑢𝑓 =𝛿𝛿𝑥
𝑡∙ 𝑢𝑙𝑏∙ 𝑢0. Los tiempos reales, en unidades físicas, se recuperan con una expresión análoga: 𝑡𝑓 = 𝛿𝑡∙ 𝑡𝑙𝑏∙ 𝑡0.
Cabe anotar e este punto que lo discutido en los párrafos anteriores versa sobre la transformación de las unidades en el método LB. Esta aclaración se hace porque se determinan dos factores, 𝛿𝑥 y 𝛿𝑡 que se usan para hacer la transformación de los datos de la simulación pero que pueden ser confundidos por otros dos factores, Δ𝑥 y Δ𝑡, que son internos en el algoritmo LB y que son iguales, ambos, a 1.
Condiciones de frontera:
Hetch [19] retoma el trabajo hecho por Zou y He de la formulación de las fronteras de Dirichlet y Neumann de un dominio 2D del modelo BGK D2Q9 y lo amplia al dominio 3D en el modelo BGK D3Q19, que es el que se usa en este trabajo.
En las fronteras sólidas se aplica el denominado bounce back o rebote, cuando los elementos de malla cerca a los bordes del capilar no tienen nodos que alimenten la información de las poblaciones en los vectores opuestos a los que se salen del dominio 𝐷 [22].
𝑆𝑖 𝑿 + 𝐶𝑖 ∉ 𝐷 → 𝑓𝑖,𝑡+Δ𝑡= 𝑓𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜(𝑖),𝑡 (15)
En las fronteras que no son sólidas sino que están sometidas a una condición de Dirichlet (presión) o de Neumann (velocidad) se aplica lo desarrollado por Zou, He y Hetch, entre otros:
𝒖(𝑥, 𝑡) = 1
𝜌(𝑥, 𝑡)∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)𝑐𝑖
𝑖
(6)
A partir de esta ecuación, para un elemento BGK como el mostrado en la ilustración 4 se tiene lo siguiente:
𝜌𝑢𝑥= 𝑓1+ 𝑓7+ 𝑓10+ 𝑓11+ 𝑓12− 𝑓2− 𝑓8− 𝑓9− 𝑓13− 𝑓14
𝜌𝑢𝑦= 𝑓3+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓15+ 𝑓16− 𝑓4− 𝑓9− 𝑓10− 𝑓17− 𝑓18 𝜌𝑢𝑧 = 𝑓5+ 𝑓11+ 𝑓14+ 𝑓15+ 𝑓18− 𝑓6− 𝑓12− 𝑓13− 𝑓16− 𝑓17
(16) Dicta la ecuación macroscópica de la densidad:
𝜌(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑓𝑖(𝑥, 𝑡)
𝑖
(5)
Para un punto de la malla en la capa superior del dominio en un tiempo dado, se hace que 𝑢𝑥 = 0 y que 𝑢𝑦= 0, para lo cual 𝑢𝑧 se despeja:
𝜌 = 𝑓1+ 𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓5+ 𝑓6+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9+ 𝑓10+ 𝑓11+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓14+ 𝑓15+ 𝑓16+ 𝑓17 + 𝑓18+ 𝑓19
20
𝜌 = 𝑓1+ 𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓5+ 𝑓6+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9+ 𝑓10+ 𝑓11+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓14+ 𝑓15+ 𝑓16+ 𝑓17 + 𝑓18+ 𝑓19− 𝑓6− 𝑓12− 𝑓13− 𝑓16− 𝑓17+ 𝑓6+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓16+ 𝑓17
𝜌 = (𝑓5+ 𝑓11+ 𝑓14+ 𝑓15+ 𝑓18− 𝑓6− 𝑓12− 𝑓13− 𝑓16− 𝑓17) + 𝑓1+ 𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9 + 𝑓10+ 𝑓19+ 2(𝑓6+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓16+ 𝑓17)
𝜌 = 𝜌𝑢𝑧+ 𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9+ 𝑓10+ 𝑓19+ 2(𝑓6+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓16+ 𝑓17) 𝜌𝑢𝑧 = 𝜌 − [𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9+ 𝑓10+ 𝑓19+ 2(𝑓6+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓16+ 𝑓17)]
𝑢𝑧= 1 −1
𝜌[𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9+ 𝑓10+ 𝑓19+ 2(𝑓6+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓16+ 𝑓17)] (17) En términos generales la suma de las poblaciones de los vectores que salen del dominio se multiplican por 2 y la suma de las poblaciones de los vectores que están en el plano de la capa de frontera se multiplica por 1. Los vectores del elemento que entran al dominio no aparecen en la ecuación dado que no se conocen los valores de las poblaciones de los vectores opustos que los debe llenar. La ecuación que determina la densidad a partir de una velocidad conocida se halla desde la ecuación anterior:
𝜌 = 1
1 − 𝑢𝑧[𝑓2+ 𝑓3+ 𝑓4+ 𝑓7+ 𝑓8+ 𝑓9+ 𝑓10+ 𝑓19+ 2(𝑓6+ 𝑓12+ 𝑓13+ 𝑓16+ 𝑓17)] (18) Para hallar los valores de las poblaciones que van en los vectores opuestos a los que salen del dominio (que son desconocidos) se hace uso de la parte de no equilibrio de cada población de las desconocidas.
𝑓𝑖𝑛𝑒𝑞= 𝑓𝑖− 𝑓𝑖𝑒𝑞 (19)
Para el siguiente punto se tienen en cuanta los vectores 5 y 6 que son normales al plano z. Se halla la población de no equilibrio de estas poblaciones, que cumplen la ley del bounce back:
𝑓5𝑛𝑒𝑞 = 𝑓5− 𝑓5𝑒𝑞= 𝑓6− 𝑓6𝑒𝑞= 𝑓6𝑛𝑒𝑞 (20)
Y se usa la ecuación de distribución de Maxwell para hallar el valor de las poblaciones de equilibrio 5 y 6:
𝑓𝑖𝑒𝑞= 𝒘𝑖𝜌 (1 + 3𝒄𝒊∙ 𝒖 +9
2(𝒄𝒊∙ 𝒖)2−3
2𝒖 ∙ 𝒖) (2) 𝑓5− 𝑤5𝜌 (1 + 3𝑢𝑧+9
2𝑢𝑧2−3
2𝑢𝑧2) = 𝑓6− 𝑤6𝜌 (1 − 3𝑢𝑧+9 2𝑢𝑧2−3
2𝑢𝑧2) 𝑓5= 𝑓6+ 𝑤5𝜌(1 + 3𝑢𝑧+ 3𝑢𝑧2) − 𝑤6𝜌(1 − 3𝑢𝑧+ 3𝑢𝑧2)
𝑤5 = 𝑤6= 2 36 𝑓5= 𝑓6+1
3𝜌𝑢𝑧 (21) Para los elementos diagonales se hace una operación parecida.
𝑓11= 𝑓13+1
3𝜌𝑢𝑧 (22) 𝑓14= 𝑓12+1
3𝜌𝑢𝑧 (23) 𝑓15= 𝑓17+1
3𝜌𝑢𝑧 (24)
21 𝑓18= 𝑓16+1
3𝜌𝑢𝑧 (25)
Las poblaciones de las capas de frontera no cambian a lo largo de las iteraciones de la simulación.
Se debe tener en cuenta que las iteraciones que hacen propagar las poblaciones en el dominio se hacen desde la capa inmediatamente posterior a la primera capa de nodos y la inmediatamente anterior a la última capa y estas dos capas toman las poblaciones determinadas por las ecuaciones anteriores en las capas de frontera.
Si en todos los nodos de las fronteras se aplica una misma velocidad 𝑢𝑧 la densidad obtenida es un valor igual en todos los nodos. Así mismo, si en todos los nodos se aplica un mismo valor de densidad la velocidad resultante es uniforme en esa frontera. Si se aplican los pesos 𝑤𝑖 expuestos en la ecuación (4) en la ecuación (17) y (18) la suma de poblaciones de cada una de estas ecuaciones da un total de 1, por lo que se halla la siguiente relación:
𝑢𝑧 = 1 −1
𝜌; 𝜌 = 1
1 − 𝑢𝑧 (26)
En esta simulación se pretende emular la condición real del flujo laminar desarrollado en un capilar.
Es por esto que la velocidad de entrada del flujo se configura como un perfil parabólico donde su valor medio es igual al valor medio de velocidad calculado mediante la formulación de Hagen- Poiseuille (ver formulación más adelante) y el valor máximo de velocidad corresponde al valor máximo que se determina mediante la mencionada formulación teórica.
Al determinar el valor de velocidad de entrada se determina inmediatamente el perfil de densidad del flujo en esta frontera, ya que esta variable depende del valor de la velocidad impuesta y de la ecuación (18). Este perfil de densidad configurado desde el perfil parabólico de la velocidad de entrada se usa en la frontera de salida como condición para, así mismo, configurar una velocidad de salida en forma de paraboloide, como correspondería si se pretende emular la velocidad de salda de un flujo en un ducto cilíndrico. La ecuación que determina la velocidad a partir de la densidad es la (17).
MODELO FEM DE LA MEMBRANA.
Ecuación constitutiva de Skalak:
La energía total de deformación 𝑊 del GR se descompone en varias partes:
𝑊 = 𝑊𝑆+ 𝑊𝐵+ 𝑊𝑉+ 𝑊𝐴 (27)
La ecuación constitutiva de la membrana viene dada por la energía de deformación 𝑊𝑆: 𝑊𝑆= ∫ 𝑤𝑠𝑑𝐴 (28)
22
Si se asume que la membrana es isotrópica 𝑤𝑠 no varía en ningún punto de la membrana en traslaciones y rotaciones. El modelo constitutivo desarrollado por Skalak [6] expresa esta energía de deformación así:
𝑤𝑠=𝐺𝑠𝑘
12 (𝐼12+ 2𝐼1− 2𝐼2) +𝐶𝑠𝑘
12 𝐼22 (29) Donde:
𝐼1= 𝜆12+ 𝜆22− 2 (30) 𝐼2= 𝜆12𝜆22− 1 (31)
Son invariantes de la deformación de la membrana. 𝜆1 y 𝜆2 son las razones de estiramiento planares locales principales. 𝐺𝑠𝑘 es el módulo de dilatación (cambio de área) de la membrana y 𝐶𝑠𝑘 es la resistencia de la membrana a las fuerzas que la deforman en corte, sin cambio de área.
Las demás energías de la membrana, mencionadas en la ecuación 27, fueron obviadas en el presente trabajo, en aras de hacer una ecuación constitutiva simple, ya que la energía de la deformación de la membrana es la más significativa entre todas. Una de las energías, la de doblamiento 𝑊𝐵, que no se ha incluido en este trabajo, ofrece una resistencia al pliegue entre las aristas de los elementos en los que se discretiza la membrana y en algunos trabajos se tiene en cuenta. Otras energías no incluidas son las energías de volumen y de área, 𝑊𝑉 y 𝑊𝐴. Según Krüger, en condiciones donde el GR es deformado en condiciones máximas, como sucede en la circulación en un capilar, estas energías omitidas deberían ser tenidas en cuenta [4].
Modelo mecánico de la membrana. [23]
Ilustración 4: Cápsula o membrana celular inmersa en un fluido con un campo de velocidad establecido, 𝒗∞ [5].
23
La formulación a implementar para la simulación de la membrana celular del GR en el fluido es la desarrollada por Walter et al. (2010). Este método consiste en la multiplicación de las ecuaciones de equilibrio mecánicas de la membrana por una función de test que se integra en la superficie de la membrana. Esta forma se denomina debilitada, a diferencia de la trabajada por Krüger, que es una forma denominada fuerte, donde los nodos de la malla de la membrana son esforzados [5] [4].
El flujo donde está contenido la membrana es de Stokes, como se planteó antes, donde las fuerzas inerciales son despreciadas:
∇ ∙ 𝑣 = 0; ∇ ∙ 𝜎 = 0 (32)
Entonces la velocidad de los puntos de la membrana se relaciona con las fuerzas en esta mediante la ecuación integral:
𝑣(𝑥) = 𝑣∞(𝑥) − 1
8𝜋𝜇∫ 𝑱(𝑥, 𝑦) ∙ [𝝈] ∙ 𝒏(𝑦)𝑑𝑆𝑦
𝑆
, 𝑥 ∈ 𝑆 (33)
En donde el término 𝑱(𝑥, 𝑦) =1𝑟𝟏 + 1
𝑟3𝒓⨂𝒓, 𝐫 = 𝐱 − 𝐲 y 𝑟 = ‖𝒓‖.
El movimiento de los nodos está determinado por la siguiente ecuación de equilibrio:
∇𝑆∙ 𝑻 + 𝒒 = 0 (34)
Donde T es el tensor de Cauchy bidimensional en la membrana. ∇𝑆 es la divergencia en la superficie deformada y q es el salto de tracción:
𝒒 = [𝝈] ∙ 𝒏 = (𝝈𝑒𝑥𝑡− 𝝈𝑖𝑛𝑡) ∙ 𝒏 (35)
Lo que quiere decir la anterior expresión es que 𝑞 es la fuerza que equilibra la diferencia entre las deformaciones entre el fluido externo a la membrana y el fluido interno, justo en la frontera que demarca la misma membrana. Esta fuerza 𝑞 se produce por la deformación de la membrana medida por el tensor de Cauchy 𝑇.
La ecuación (15) se transforma en un problema variacional donde se crea un espacio virtual 𝒱 de Subolev 𝐻1(𝑆):
∫ 𝒖̂
𝑆
∙ 𝒒𝑑𝑆 = ∫ 𝜺 ̂
𝑆
(𝒖̂): 𝑻(𝑼)𝑑𝑆; 𝒖̂ ∈ 𝒱 (36)
Donde 𝜺̂(𝒖̂) =1
2(∇𝑆𝒖̂ + ∇𝑆𝒖̂𝑇).
La posición de un punto P en la superficie de la membrana S es determinada por dos coordenadas curvas superficiales (𝜉1, 𝜉2). En este punto se definen dos bases. La primera es una base cartesiana fija (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) correspondiente a la posición 𝑥(𝜉1, 𝜉2). La segunda es una base local covariante
24
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), que sigue la deformación de la superficie. Los dos primeros vectores (𝑎1, 𝑎2) son tangenciales a las líneas de 𝜉𝛼constante.
𝑎𝛼= 𝑥,𝛼; 𝛼 = 1, 2 (37)
Donde la notación ∙,𝛼denota una derivada con respecto a 𝜉𝛼. El tercer vector de la base 𝑎3= 𝒏 es el vector unitario normal. La base contravariente asociada (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) es definida por 𝑎𝛼∙ 𝑎𝛽 = 𝛿𝛽𝛼 donde 𝛿𝛽𝛼 es el tensor de Kronecker. Un vector 𝒗 se describe como:
𝒗 = 𝑣𝑖𝑎𝑖 = 𝑣𝑖𝑎𝑖= 𝑣𝑥𝑖𝑒𝑖 (38)
Donde 𝑥𝑖 son los componentes cartesianos de la velocidad. Los tensores covariente y contravariante en S son:
𝑎𝛼𝛽 = 𝑎𝛼∙ 𝑎𝛽, 𝑎𝛼𝛽 = 𝑎𝛼∙ 𝑎𝛽 (39) Un elemento diferencial de superficie puede ser expresado en la forma:
𝑑𝑆 = √|𝑎𝛼𝛽|𝑑𝜉1𝑑𝜉2 (40)
Donde |𝑎𝛼𝛽| = 𝑎11𝑎22− 𝑎122 es el determinante de 𝑎𝛼𝛽. El tensor de curvatura es 𝑏𝛼𝛽 = 𝒏 ∙ 𝑎𝛼 𝛽. Un punto material en la membrana es identificado por sus coordenadas 𝑿(𝜉1, 𝜉2) en el estado de referencia y en la posición 𝑥(𝜉1, 𝜉2, 𝑡) en el estado deformado. Asumiendo rigidez al doblez nulo, la deformación ocurre sólo en el plano de la membrana. Un vector normal referido al estado material permanece normal cuando se deforma la membrana. El gradiente de transformación 𝑭 es definido por:
𝑑𝑥 = 𝑭 ∙ 𝑑𝑿 (41) Y es dado por:
𝑭 = 𝑎𝛼⨂𝐴𝛼 (42)
Donde 𝐴𝛼 son los vectores de la base curvilinear en el estado no deformado. La deformación local de la superficie puede ser medida por el tensor de dilatación de Cauchy-Green:
𝑪 = 𝑭𝑇 ∙ 𝑭 (43) O por el tensor de deformación de Green-Lagrange:
𝑒 =1
2(𝑪 − 𝑰) (44)
Donde 𝐼 es el tensor de identidad bidimensional. Los invariantes de la transformación son:
𝑰1 = 𝑡𝑟𝑪 − 2 = 𝐴𝛼𝛽𝑎𝛼𝛽− 2, 𝑰2= 𝑑𝑒𝑡𝑪 − 1 = |𝐴𝛼𝛽||𝑎𝛼𝛽| − 1 (45)
25
La deformación de la membrana puede ser cuantificada también por las ratas de dilatación principal 𝜆1 y 𝜆2 en su plano. Las invariantes de deformación son:
𝑰1= 𝜆12+ 𝜆22− 2, 𝑰2= 𝜆12𝜆22− 1 = 𝐽𝑠2− 1 (46)
El jacobiano 𝐽𝑠= 𝑑𝑒𝑡(𝑭) = 𝜆1𝜆2 expresa la rata de superficie deformada contra la no deformada.
Los esfuerzos elásticos en una membrana sin espesor son reemplazados por tensiones elásticas correspondientes a fuerzas por unidad de longitud de arco medido en el plano de la membrana.
Asumiendo que la membrana es de un material bidimensional e isotrópico, se relaciona el tensor de esfuerzos de Cauchy 𝑻 a una función de energía de deformación por unidad de área de membrana no deformada,𝑤𝑠(𝑰1, 𝑰2) por la ecuación:
𝑻 = 1
𝐽𝑠𝑭 ∙𝜕𝑤𝑠
𝜕𝑒 ∙ 𝑭𝑇 (47)
Usando la regla de la cadena se obtiene la siguiente expresión para la representación de 𝑻 por la contravariante:
𝑇𝛼𝛽= 2 𝐽𝑠
𝜕𝑤𝑠
𝜕𝑰1𝐴𝛼𝛽+ 2𝐽𝑠𝜕𝑤𝑠
𝜕𝑰2𝑎𝛼𝛽 (48) De las expresiones anteriores se reescribe la ecuación constitutiva de Skalak:
𝑤𝑠=𝐺𝑠
4 (𝑰12+ 2𝑰2− 2𝑰2+ 𝑪𝑰22), 𝑪 > −1
2 (49)
En esta expresión, 𝐺𝑠 es el módulo de corte elástico de la membrana y 𝑘𝑠= 𝐺𝑠(1 + 2𝑪) es el módulo de dilatación del área.
Método numérico [5]:
Se hace una esfera de radio 𝑎 a la cual se le inscribe un icosaedro. A este icosaedro se le toma cada cara triangular y se le divide. Los nuevos nodos de las subdivisiones se proyectan sobre la esfera, generando una malla de elementos triangulares para la simulación de la célula. Hay una unidad adimensional de control del tamaño de malla, este es:
ℎ =1
𝑎√4𝜋𝑎2
𝑁𝑒 , 𝑁𝑒= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎. (50)
Teniendo esta, se procede a resolver la ecuación de la dinámica de ésta respecto al campo de velocidad del fluido:
𝜕
𝜕𝑡𝑼(𝑿, 𝑡) = 𝒗(𝑥, 𝑡) = ℱ(𝑼) (51)
Para este método se recomienda que el espaciamiento del tiempo sea de este orden:
𝛾̇Δ𝑡 < 𝒪(ℎ𝐶𝑎) (52)
26
Donde 𝛾̇ es la tasa de deformación del fluido circundante a la célula y 𝐶𝑎 es el número de capilar.
Una vez establecida la malla y los lapsos de tiempo se halla el sistema a resolver:
[𝑴]{𝒒} = {𝑹} (53)
Este sistema corresponde a la ecuación (36) anteriormente expuesta. El lado izquierdo de la misma, discretizada para aplicarla a la malla, se expresa de la siguiente forma:
[𝑴] → ∫ 𝒖̂
𝑆
∙ 𝒒𝑑𝑆 = ∑ 𝒖̂𝑥(𝑝)𝑗 (∫ 𝑁(𝑝)𝑁(𝑞)𝑑𝑆
𝑆𝑒1
) 𝑞𝑥(𝑞)𝑗 (54)
𝑒1
El vector {𝒒} son los componentes cartesianos de la carga por cada nodo. El vector {𝑹} es el lado derecho de la ecuación (34):
{𝑅} → ∫ 𝜺 ̂
𝑆
(𝒖̂): 𝑻(𝑼)𝑑𝑆 = ∑ 𝒖̂𝑥(𝑝)𝑗 (∫ 𝜒𝛼𝛽(𝑝)𝑗𝑇𝛼𝛽𝑑𝑆
𝑆𝑒1
) (55)
𝑒1
FRONTERA INMERSA: MÉTODO DE INTERPOLACIÓN DE LAS VELOCIDADES [4].
Este método acopla la velocidad que el flujo imprime en la membrana y la fuerza que la membrana incorpora al flujo. El método de simulación del flujo es por definición euleriano dado que las posiciones de los nodos del flujo 𝑿 no dependen del tiempo, ya que son fijos siempre, en tanto que los nodos de la membrana 𝒙𝒊(𝒕) si dependen del tiempo lo que hace el cálculo de sus fuerzas y velocidades dependiente del tiempo, por lo tanto su método de cálculo es lagrangiano. La fuerza de cuerpo del flujo euleriano transmitida a los nodos lagrangianos se calcula con:
𝒇(𝑋, 𝑡) = ∑ 𝑭𝒊(𝑡)𝛿[𝑿 − 𝒙𝒊(𝑡)] (56
𝑖
)
Donde 𝛿[𝑋 − 𝑥𝑖(𝑡)] denota una función delta de Dirac discretizada con un soporte finito.
Una vez se haya conocido la fuerza de cuerpo, se recalcula el campo de velocidad del flujo y se calcula la velocidad de los nodos de la membrana según este nuevo campo:
𝒖𝒊(𝑡 + Δ𝑡) = ∑ 𝒖(𝑿, 𝑡 + Δ𝑡)𝛿[𝑿 − 𝒙𝒊(𝑡)] (57)
𝑋
Y se usa una interpolación según la regla de Euler para cambiar la posición de los nodos de la membrana.
𝒙𝒊(𝑡 + Δ𝑡) = 𝒙𝒊(𝑡) + 𝒖𝒊(𝑡 + Δ𝑡)Δ𝑡 (58)
Para realizar este método y que arroje un resultado preciso, en la referencia [4] se indica que se debe tener una correspondencia dimensional entre la distancia entre nodos del fluido (que es
27
constante) y la distancia que hay entre los nodos de la malla de la membrana. Si el elemento de la membrana es grande comparándose con una cara del cubo de la malla del fluido, puede pasar que el fluido penetre la membrana de forma incontrolada. Si el elemento de la membrana es pequeña respecto a esta cara, la interpolación de las velocidades falla (quedaría con baja resolución).
MÉTODO LB-IB-FEM.
El método IB-LB-FEM contiene tres módulos de métodos computacionales que permiten simular el glóbulo rojo en un medio fluido. Uno es el que soluciona el fluido del modelo mediante el método de Lattice-Boltzmann (LB), otro es el que modela por elementos finitos (FEM) la membrana de la célula y el último método es el de frontera inmersa (IB) que posibilita la interacción de los dos módulos mediante una función que se aproxima a un delta de Dirac [4].
En varias investigaciones se han hecho algoritmos con este método. En [16] se concluye que el algoritmo obtiene resultados válidos cualitativamente, es decir, que la forma como se deforma la membrana en la simulación corresponde a los modelos estudiados en otros trabajos de simulación y analíticos, pero tiene como inconveniente que el tiempo de ejecución es grande, habiendo formas de hacer el algoritmo más eficiente.
El esquema del algoritmo desarrollado en este trabajo es:
Ilustración 5: esquema del algoritmo IBLBFEM desarrollado para la simulación del glóbulo rojo en el medio fluido [16].
28
LEY DE HAGEN-POISEUILLE [24].
La dinámica de fluidos en un cilindro de sección constante es dada por la ley de Hagen-Poiseuille, aplicada a un flujo laminar con un régimen de Reynolds inferior a 2000.
𝑢(𝑟) = Δ𝑝
4𝜈𝐿(𝑅2− 𝑟2) (59)
Esta ecuación describe un paraboloide en una sección transversal del ducto, con su valor máximo en la línea de eje del mismo. Este valor máximo es:
𝑢𝑚𝑎𝑥=Δ𝑝𝑅
4𝜈𝐿 (60)
El valor de velocidad promedio en el ducto es la mitad de su valor máximo:
𝑢𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜=Δ𝑝𝑅
8𝜈𝐿 (61)
29
PARÁMETROS DE ENTRADA.
APLICACIÓN DEL FLUJO EN UN CAPILAR CILÍNDRICO.
Geometría y variables básicas del modelo real [25] [26] [27] [28]:
Ilustración 6: Esquema de la microcirculación en donde se ubican los capilares ramificados entre una arteriola y una vénula. Entre estas dos regiones hay una caída de presión en la sangre, lo que provoca el movimiento de la misma a
través de los capilares. Tomado de http://www10.informatik.uni- erlangen.de/~bartuschat/Theses/microcirc_hydrostat.shtml
El fluido que compone la parte del flujo de la simulación (correspondiente al método LBM) se denomina plasma. Éste, en su definición fisiológica, es el líquido resultante de extraer de la sangre los GR y GB, además de las plaquetas. Se tiene en cuenta únicamente el plasma porque el aporte de los GB y de las plaquetas en las propiedades mecánicas de la sangre es irrelevante, si se tiene en cuenta (como se expuso en la introducción de este trabajo) su baja concentración en este fluido.
Por las anteriores razones, se va a evaluar las características del flujo del plasma en el capilar y luego se observará como los GR embebidos en él cambiarán sus propiedades y las variables macroscópicas de este flujo.
En la literatura se hallan los parámetros geométricos básicos y los valores de presión y viscosidad del fluido de un capilar, que se constituyen en la información de entrada de la simulación por LBM de éste (observar referencias [25] a [29]). Se resalta que una de las condiciones para que ésta simulación por LBM coincida con resultados físicos es que el valor de la viscosidad del fluido sea constante para todo valor de esfuerzo cortante (en otras palabras, que el fluido sea newtoniano).
En [29] se hizo un estudio experimental con reómetros de capilar que demuestran que el plasma sanguíneo es un fluido efectivamente newtoniano (según se muestra en la ilustración 7), cuyo valor de viscosidad dinámica es de 𝜌 ∙ 𝜈 𝑓 = 1.34 ∙ 10−3𝑃𝑎 ∙ 𝑠. Respecto a los parámetros geométricos y
30
de presión en un capilar, cabe indicar que hay unos valores promedios (indicados en la tabla 1), pero en general, estos parámetros varían según la parte del cuerpo y del organismo que se analice.
Ilustración 7: Variación de valor de viscosidad en varios fluidos sanguíneos, entre ellos el plasma, que como se observa, permanece constante a cualquier valor de variación de deformación en cortante, medida del esfuerzo
cortante aplicado. Tomado de [29].
Tabla 1: Valores dimensionales y de presión y viscosidad del flujo a través de un capilar típico.
PARÁMETRO. VALORES USUALES. VALOR SELECCIONADO.
DIÁMETRO 𝒅𝟎. Ø5-20 µm Ø12 µm
LONGITUD2. 0.4-0.7 mm 4×Ø12 µm = 48 µm
PRESIÓN EN LA ARTERIOLA. 25-35 mm Hg 30 mm Hg
PRESIÓN EN LA VÉNULA. 10-15 mm Hg 13 mm Hg
DIFERENCIA DE PRESIÓN. - 17 mm Hg (2266.48 Pa)
VISCOSIDAD DEL FLUIDO. 1.34×10-3 Pa s 1.34×10-3 Pa s
Las dimensiones de un capilar promedio y la diferencia de presión entre los extremos de uno de éstos permiten definir las características macroscópicas del flujo que se presenta allí. Por medio del número de Reynolds:
2 Por razones disponibilidad del recurso computacional de simulación se tomó este valor de longitud.
31 𝑅𝑒 =𝑢0𝑑0
𝜈𝑓 (62)
Se puede determinar que el flujo es predominantemente viscoso, por lo tanto, el régimen en el que se encuentra es laminar (observar tabla 2). Los valores de velocidad media, máxima y número de Reynolds para el flujo en éste capilar representativo se determinan por la ley de Hagen-Poiseuille, ecuaciones (57), (58) y (59). El número de Knudsen:
𝐾𝑛 =𝑀𝑎 𝑅𝑒√𝛾𝜋
2 (63)
Determina la alteración de las propiedades del flujo por parte de las partículas moleculares que componen el fluido y la membrana. Como se aprecia en la tabla, el número de Knudsen es sumamente bajo, por lo que ese efecto no se espera para este flujo.
Tabla 2: Valores de velocidad y régimen de Reynolds en flujo.
VELOCIDAD MEDIA 𝒖𝟎. 𝚫𝒑𝑹
𝟖𝝂𝑳 0.159 m/s
VELOCIDAD MÁXIMA. Δ𝑝𝑅
4𝜈𝐿 0.318 m/s
NÚMERO DE REYNOLDS 𝑹𝒆. 𝜌𝑢0𝑙0
𝜈
1.46
NÚMERO DE KNUDSEN. 𝑀𝑎
𝑅𝑒√𝛾𝜋 2
0.000185
ENMALLADO DEL DOMINIO DEL CAPILAR CON EL PARÁMETRO DE DISCRETIZACIÓN N=25.
Se escribió el algoritmo de simulación LBM haciendo una discretización del dominio y configurando las condiciones de frontera para tal fin. A la entrada del flujo se puso una condición de velocidad de entrada constante igual al perfil de velocidad extraída de la ecuación de Hagen-Poiseuille. A la salida, por el contrario, se puso una condición de presión por medio de un valor de densidad derivada de la condición de densidad de la capa de nodos de la entrada, dado que se debiera conservar este valor en ambos extremos, pues el perfil de velocidad, idealmente, no debiera alterarse al ser el área transversal constante en todo el dominio. La pared cilíndrica fue configurada por medio de la condición de bounce-back [19]. Se hizo un enmallado del dominio tomando como referencia el diámetro del capilar dividiéndolo en N=25 espacios iguales.
La razón por la cual se escogió hacer el enmallado haciendo la discretización del diámetro del capilar en 25 partes es porque facilita la precisión del algoritmo de IBM, descrito anteriormente. La distancia del vértice de cada cubo del enmallado del dominio tiene un valor similar al que tiene en promedio cada lado de la malla triangular de la membrana usada en esta simulación, por lo que se
