CANGURO MATEMÁTICO 2016. ENSAYO 2º PARA 3º ESO Tiempo : 1 hora y 15 minutos
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta.
Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si fuera correcta. Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes 30 puntos.
No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta. Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderían si fuera correcta.
Las preguntas no contestadas no se puntúan ni se penalizan. Inicialmente tienes 30 puntos.
Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.
0 0 7 2
2007
A) 1003 B) 75 C) 223 D) 213 E) 123
2007/9=213
Se plantan rosas en línea, a ambos lados del camino. La distancia entre cada dos plantas consecutivas es 2 m. ¿Cuántas plantas hay si el camino tiene 20 m de largo?
A) 22 B) 20 C) 12 D) 11 E) 10 20:2=1010+1 (la última) rosas de cada lado22 rosas
El robot empieza a andar sobre el tablero desde la casilla A2 y en la dirección de la flecha. Puede ir siempre hacia delante, pero si se encuentra con dificultades, tuerce a la derecha. El robot se detendrá en el caso en que no pueda ir hacia adelante, después de haber girado a la derecha. ¿En qué casilla se parará?
A) B2 B) A1 C) E1 D) D1 E) nunca
¿Cuál es la suma de los puntos de las caras invisibles del doble dado?
La suma de puntos en dos caras opuestas siempre vale 7.
A) 15 B) 12 C) 7 D) 27 E) otra respuesta
En el primer dado las caras invisibles son 3,4,5 y 6. En el segundo 1, 3 y 5.
Suman 27
Los puntos A = (2006, 2007), B = (2007, 2006), C = (−2006, −2007), D = (2006, −2007) y E = (2007, −2006) se marcan en unos ejes coordenados. El segmento horizontal es
A) AD B) BE C) BC D) CD E) AB
1
5
2
3
4
El cuadrado pequeño está inscrito en el grande como muestra la figura.
Hallar el área del cuadrado pequeño.
A) 16 B) 28 C) 34 D) 36 E) 49
Su lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 5 . Luego el área será dicha hipotenusa al cuadrado, es decir 32+52=34
¿Cuál es el menor número de cuadraditos que hay que sombrear en la figura para que tenga un eje de simetría?
A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3
Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, por ejemplo, 13931.¿Cuál es la diferencia entre el mayor capicúa de 6 cifras y el menor capicúa de 5?
A) 989989 B) 989998 C) 998998 D) 999898 E) 999988
999999-10001=989998
En la figura hay seis círculos iguales, tangentes entre sí y a los lados del rectángulo. Los vértices del rectángulo pequeño son los centros de 4 círculos. El perímetro del rectángulo pequeño es 60 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo grande?
A) 160 cm. B) 140 cm. C) 120 cm. D) 100 cm. E) 80 cm.
El perímetro del pequeño son 6 diámetros del círculo . Luego el diámetro mide 60:6=10. El perímetro del rectángulo grande mide 10 diámetros, es decir, 10x10=100 x es un entero estrictamente negativo. ¿Cuál de estos números es mayor?
A) x 1 B) 2x C) −2x D) 6x 2 E) x − 2 -2x puesto que es positivo mientras que los demás son negativos
Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una
Los cuadrados están formados intersecando el segmento AB de 24 cm. por la quebrada AA1A2 . . . A12B (ver la Fig.).
Hallar la longitud de AA1A2 . . . A12B.
A) 48 cm. B) 72 cm. C) 96 cm.
D) 56 cm. E) 106 cm.
Los tramos horizontales suman AB, es decir, 24 . Los verticales eldoble (hay dos verticales por cada horizontal) . Luego la quebrada mide 24+48=73
Sobre dos rectas paralelas x e y se marcan 6 puntos; 4 sobre x y 2 sobre y. ¿Cuál es el número total de triángulos cuyos vértices son los puntos marcados?
A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18
La base sobre x se puede elegir de 6 maneras y el vértice en y de 2 . Luego con base en x hay 6·2=12 triángulos.
9
10
8
11
12
6
7
La base sobre y se puede elegir de una sola manera y el vértice sobre x de 4. Luego con base en y hay 1·4=4 triángulos. En total 12+4=16
Una encuesta prueba que 2/3 de los usuarios compran el producto A y 1/3 compran el producto B.
Tras una campaña publicitaria de apoyo al producto B una nueva encuesta demuestra que 1/4 de los usuarios que preferían A están ahora comprando B. Ahora se tiene
A) 5/12 de los usuarios compran A, 7/12 compran B B) 1/4 de los usuarios compran A, 3/4 compran B C) 7/12 de los usuarios compran A, 5/12 compran B D) 1/2 de los usuarios compran A, 1/2 compran B E) 1/3 de los usuarios compran A, 2/3 compran B
Se pasan de A a B 1/4 de 2/3 , es decir (1/4)(2/3)=1/6 . Luego ahora compran B 1/3+1/6=1/2 (y el otro ½ compra A)
Para obtener el número 8 8, debemos elevar 4 4 a la potencia A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 16 88=(4·2)8=48·28=48(22)4=48·44=412=(44)3 . A la potencia 3
ABC y CDE son triángulos equiláteros iguales situados en un plano. Si el ángulo ACD = 80º, ¿cuánto vale el ángulo ABD?
A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º
El triángulo BDC es isósceles. Su ángulo desigual mide 80+60=140. Luego los iguales miden 20 cada uno y el ABD=60-20=40º
Se consideran los números 1, 2, 3, 4, . . . , 10.000 ¿Qué porcentaje de ellos son cuadrados perfectos?
A) 1% B) 1.5% C) 2% D) 2.5% E) 5%
Como la raiz cuadrada de 10000 es 100, habrá 100 cuadrados perfectos (los de 1,2,3,…,100). Luego serán 100 de 10000, es decir, el 1%
Trazando 9 líneas (5 horizontales y 4 verticales) se hace una tabla de 12 casillas. Si se usan 6 horizontales y 3 verticales, solo habría 10 casillas. ¿Cuál es el máximo número de casillas que se pueden formar trazando a lo sumo 15 líneas?
A) 22 B) 30 C) 36 D) 40 E) 42
El número máximo de casillas se obtiene cuando la mitad de las lineas son verticales y la otra mitad horizontales. Con 15 no podría ser mitad y mitad, tendrian que ser 8 y 7 y se coseguirían (8-1)·(7-1)=42 casilllas
¿Cuáles de los siguientes objetos se pueden obtener girando en el espacio el objeto dado?
A) W e Y B) X y Z C) sólo Y D) ninguno de esos E) W, X e Y
13
14
15
17 16
18
Si se eligen tres números del cuadro, uno de cada fila y uno de cada columna, y se suman, ¿cuál es el mayor valor que puede tener la suma?
A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
Las 6 posibilidades son : 1+5+9=15 ; 2+6+7=15; 4+8+3=15; 3+5+7=15; 4+8+3=15;
2+6+7=15 . Por anto 15 es la mayor (son todas iguales) Los segmentos OA y OB, OC y OD se trazan desde el centro O del cuadrado KLMN a sus lados, de modo que, OA es perpendicular a OB y OC es perpendicular a OD (ver figura) Si el lado del cuadrado es 2, el área de la parte sombreada es
A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 2,25 E) depende de la elección de los puntos B y C
Vemos que hay partes blancas que se compensan con las grises. Por tanto la parte sombreada es la mitad de cuadrado y tendrá área 22/2=2
Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una
Una calculadora defectuosa no muestra la cifra 1. Por ejemplo, si tecleamos 3131, aparece el número 33 , sin espacios. Miguel teclea un número de 6 cifras, pero solo aparece 2007. ¿Cuántos números puede haber tecleado Miguel?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Faltan dos unos . Por tanto pueden ser tantos números como formas de elegir la posición de ellos entre las 6 posiciones posibles , que son 6·5/2=15
Un paseante hace un recorrido de 2 horas, consistente en dos partes llanas, una subida una bajada, y otra vez dos partes llanas, todas de la misma longitud. Su velocidad es 4 km/h en la parte llana, 3 km/h cuando sube y 6 km/h cuando baja. Cuál es la longitud del recorrido?
A) No podemos saberlo B) 6 km C) 7.5 km D) 8 km E) 10 km
Si la longitud es x cada tramo tendrá x/6 (son 6 tramos). Como t=e/v , en los 4 tramos llanos tardará 4·(x/6)/4 . En el de subida (x/6)/3 y en el de bajada (x/6)/6 . Como en total son 2 horas tendremos que 4·(x/6)/4 + (x/6)/3 + (x/6)/6 =2 (9x)/36=2x=8
La primera cifra de un número de 4 cifras es igual al número de ceros del número; la segunda es igual al número de unos, la tercera es igual al número de doses y la cuarta es igual al número de treses. ¿Cuántos de esos números puede haber?
A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Sólo 2 : el 3000 y el 2020
Al y Bill juntos pesan menos que Charlie y Dan; Charlie y Ed juntos pesan menos que Frank y Bill.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es necesariamente cierta?
A) Al y Ed juntos pesan menos que Frank y Dan B) Dan y Ed juntos pesan más que Charlie y Frank C) Dan y Frank juntos pesan más que Al y Charlie D) Al y Bill juntos pesan menos que Charlie y Frank
E) Al, Bill y Charlie juntos pesan lo mismo que Dan, Ed y Frank
Como A+B<C+D y C+E<F+B , sumando esas desigualdades resulta A+B+C+E<C+D+F+B A+E<D+F
20
21
22
23
24
19
El entero positivo n tiene 2 divisores, mientras que n+1 tiene 3 divisores. ¿Cuántos divisores tiene n + 2 ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) depende de n
El número n es primo . De ellos el único que al sumarle 1 tiene tres divisores es 3 (los divisores de 4 son 1,2 y 4) . Por tanto n+2 es 5 que solo tiene 2 divisores
La tabla adjunta contiene números naturales. Nick y Pete tachan cuatro números cada uno, de modo que la suma de los números tachados por Nick es igual a tres veces la suma de los tachados por Pete. El número que queda es
A) 4 B) 7 C) 14 D) 23 E) 24
Sean a,b,c,d los números de Nick; x,y,z,t los de Pete ; q el número que queda
Se tiene que a+b+c+d+x+y+z+t+q=110 (lo que suman los números de la tabla) . También a+b+c+d=3(x+y+z+t)
Luego 110-q-(x+y+z+t)=a+b+c+d=3(x+y+z+t)110-q=4(x+y+z+t), es decir 110-q es un múltiplo de 4 . El número de la tabla que lo cumple es q=14 ( los números de Pete son 4,5,7 y 8)
Se escriben cinco enteros en círculo, de manera que no hay dos o tres consecutivos cuya suma sea divisible por 3. ¿Cuántos de los 5 son divisibles por 3?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) imposible saberlo)
En primer lugar , tres números tales que dos o tres de ellos tengan suma que no sea divisible por 3 no puede ser que ninguno de los 3 sea múltiplo de 3 . Por tanto en el círculo hay por lo menos un múltiplo de 3. Partiendo entonces de un múltiplo de 3 la disposición tiene que ser como la de figura ( ó con múltiplo de 3 más 2)
La figura muestra una pieza de puzzle, de dimensiones 20 cm. × 20 cm. Se desea cubrir con ellas una superficie de dimensiones 80 cm. × 80 cm. Los arcos de círculo se conectan unos con otros. ¿Cuál es la máxima longitud de la parte curva, en cm.?
A) 75
B) 100
C) 105
D) 160
E) 525
Se necesitan 16 piezas para cubrir la superficie. Tendrán 15·2=32 cuartos de circunferencia. Como máximo la parte curva equivaldría a 32/$=8 circunferencia cuya longitud es 8·2··10=160
Un número de tres cifras se divide por 9. La suma de las cifras del cociente disminuye en 9.
¿Cuántos números de tres cifras tienen esa propiedad?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 11
Dado un número, una extraña calculadora puede solo realizar estas operaciones: multiplicarlo por 2 ó por 3, o elevarlo al cuadrado o al cubo. Empezando por 15, y aplicando esta calculadora 5 veces consecutivas, ¿cuál de los siguientes números se puede obtener?
A) 28 · 35 · 56 B) 28 · 34 · 52 C) 23 · 33 · 53 D) 26 · 36 · 54 E) 2 · 32 · 56
3·52·3·522·32·5223·32·5223·33·5226·36·54
