Ecuaciones generales Modelo de Maxwell

(1)

Ecuaciones generales

Modelo de Maxwell

• Introducción • Fuentes de campo:

– Carga eléctrica. Corriente eléctrica. – Ecuación de continuidad.

• Definición del campo electromagnético. • Ecuaciones de Maxwell.

– Forma Integral. Forma diferencial. • Ecuaciones de estado.

– Influencia sobre los materiales. – Clasificación de medios.

– Ley de Ohm. Constante de relajación.

• Condiciones en las interfases.

• Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. • Balance energético: Teorema de Poynting

J.L. Fernández Jambrina EyM 2c-1

Linealidad de las ecuaciones de Maxwell

Principio de Superposición

• En el caso de medios lineales, ε, µ y σ independientes del valor de los campos, las ecuaciones de Maxwell son lineales:

– Todas las operaciones implicadas son lineales: sumas, productos y derivadas.

– Esto quiere decir que si:

» dan lugar a unos campos » dan lugar a unos campos

– Entonces, dan lugar a

• Este hecho recibe el nombre de principio de superposición.

– Permite descomponer una situación en varias más simples.

1 1, J r ρ 2 2, J r ρ 1 1 , B E r r 2 2, B E r r 2 1 2 1 ,J J J r r r β + α = βρ + αρ = ρ 2 1 2 1 E,B B B E E r r r r r r β + α = β + α = EyM 2c-2

(2)

• En una región existe un campo electromagnético:

• Si en ella se mueve una carga q con una velocidad , sobre ella aparecerá una fuerza de origen electromagnético:

• Puesto que la carga se mueve, esta fuerza desarrolla un trabajo:

– Considerando un desplazamiento infinitesimal:

– La potencia asociada:

• Este trabajo se hace a costa de la energía almacenada en forma electromagnética por el sistema:

vr

Energía: Introducción.

B E r r ,

(

E v B

)

q F_EM r r r r × + =

(

)

l d E q l d F l d B v l d v l d B v E q l d F EM EM r r r r r r r r r r r r r r r ⋅ = ⋅ ⇒    ⊥ × ⇒ ⋅ × + = ⋅ ||

(

)

(

)

qE v dt l d E q l d E q dt d l d F dt d EM r r r r r r r r ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ v E q dt dWEM ₌₋ r_⋅r r v r E qE r r B qvr B r × q _dlr

Energía: Introducción. (2)

• Si se tratase de una distribución volumétrica de carga (y de

corriente), la cantidad de energía electromagnética que en un dV se

transforma en otro tipo de energía es:

• Y en un volumen V:

• Conclusiones:

– La expresión es el incremento de energía en forma

electromagnética del sistema por unidad de tiempo y volumen debido a conversión de tipo de energía.

» Si , entonces el sistema pierde energía en forma electromagnética: se transformará en otro tipo de energía, por ejemplo energía mecánica o térmica.

» Si , entonces el sistema gana energía en forma

electromagnética: algún tipo de energía se transformará en energía electromagnética. Es el caso de los generadores.

v E q dt dWEM ₌₋ r_⋅r dV J E dV v E dq v E dV dtdV dWEM ₌₋r_⋅r ₌₋r_⋅r_ρ ₌₋r_⋅r 0 > ⋅ E J r r 0 < ⋅ E J r r E J r r ⋅ −

∫∫∫

⋅ − = V EM _E _J_dV dt dW r r EyM 2c-4

(3)

• En un conductor:

• La variación de energía por unidad de tiempo y volumen:

• Puesto que esta energía se transforma en calor, la potencia disipada por unidad de volumen será:

• Adelantando un poco,

– si se tratase de una corriente estacionaria:

– Y si el conductor tuviese dos electrodos a potenciales constantes y sólo circula corriente a través de ellos:

» Resultado conocido.

Energía: Introducción (3)

Efecto Joule

2 E J E dtdV dWEM ₌₋r_⋅r₌₋_σr J E dtdV dW_EM_→_C ₌ r_⋅r σ σσ σ σ=σσσ0 Φ ΦΦ Φ = VA ΦΦΦΦ = VB

I

A→B SA SB

(

V V

)

I dS J dV J E dt dW B A S V C EM ₌ _⋅ ₌₋ _Φ _⋅ ₌ ₋

∫∫

∫∫∫

→ r r r E J r r σ =

( )

_{( )}

J E J J E J J J r r r r r r r r ⋅ − = Φ ⋅ ∇ ⇒    = ⋅ ∇ Φ −∇ = ⋅ ∇ Φ + ⋅ Φ ∇ = Φ ⋅ ∇ 0

Energía: Teorema de Poynting

• Manipulando ecuaciones:

• Si el medio es lineal:

• Entonces:

• Integrando a un volumen V constante en el tiempo:

(

)

(

)

(

)

(

)

t D E J E t B H H E t D J H t B E H E E H H E ∂ ∂ ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ⋅ − = × ⋅ ∇ ⇒     ∂ ∂ + = × ∇ ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ ⋅ − × ∇ ⋅ = × ⋅ ∇ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r t D E D E t t B H t H H B H t ∂ ∂ ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ =       ∂ ∂ ⋅ µ = ⋅ ∂ ∂ r r r r r r r r r r 2 ; 2 2

(

)

E D E J t B H t H E r r r r r r r r ⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + × ⋅ ∇ = 2 1 2 1 0

(

)

_∫∫∫

∫∫

⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ × = V V V S E H dS _t H BdV _t E DdV J EdV r r r r r r r r r 2 1 2 1 0 EyM 2c-6

(4)

Energía: T. de Poynting. Interpretación

• Puesto que la potencia disipada es

todos los términos de la expresión pueden ser interpretados como potencias (variación de energía en la unidad de tiempo) y teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía:

∫∫∫

⋅ = → V C EM _J _E_dV dt dW r r

(

)

_∫∫∫

∫∫

⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ × = V V V S E H dS _t H BdV _t E DdV J EdV r r r r r r r r r 2 1 2 1 0

• Sólo depende del campo magnético:

⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo magnético.

∫∫∫

⋅ ∂ ∂ V H BdV t r r 2 1

• Sólo depende del campo eléctrico:

⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la energía asociada al campo eléctrico. dV D E t

∫∫∫

V ⋅ ∂ ∂ r r 2 1

• Es un flujo a través de la superficie que limita el volumen:

⇒ Es la cantidad de energía que sale del volumen por unidad de tiempo en forma electromagnética.

(

)

∫∫

× ⋅ S E H dS r r r

Energía: Teorema de Poynting. Resumen

• Esta expresión recibe el nombre de Teorema de Poynting:

(

)

          +                               − ⋅ + ⋅ × = ⋅ − ⋅ − = −

_∫∫∫

_∫∫

_∫∫∫

energia de tipo otro en da transforma EM Potencia superficie la de traves a saliente EM Potencia = magnetica energia de n Disminucio + electrica energia de n Disminucio = 2 1 2 1 t W dV E J S d H E dV B H t dV D E t t W EM V S V V EM ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ r r r r r r r r r D E dV dWE ₌ r_⋅ r 2

1 _{es la densidad volumétrica de energía asociada al campo eléctrico.}

B H dV

dWB₌ r_⋅ r

2

1 _{es la densidad volumétrica de energía asociada al campo magnético.}

E J

r r

⋅ es la densidad volumétrica de potencia transformada en otro tipo. H E S P r r r r × =

= Es el vector de Poynting._{Su componente en una dirección representa la densidad de flujo} de energía electromagnética por unidad de área en esa dirección. Su dirección y sentido coinciden con los del transporte de energía electromagnética.

(

)

_∫∫∫

∫∫

⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ × = V V V S E H dS _t H BdV _t E DdV J EdV r r r r r r r r r 2 1 2 1 0 EyM 2c-8

(5)

Transporte de energía en un cable coaxial.

• Se ha escogido el cable coaxial para ilustrar el transporte de energía

electromagnética porque es un ejemplo realista en el que se pueden calcular los campos de forma simple.

– Si por el cable circula una corriente I0

y en una sección del mismo la diferencia de potencial es V0, entonces es conocido

que la potencia transmitida será V0 I0.

– Se va a llegar a este resultado aplicando el teorema de Poynting. » Si los conductores son perfectos:

Z I₀ a b c I₀

( )

          ≤ ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ =        < < < < < ≤ = ρ ρ ϕ ρ πρ ρ ϕ πρ ρ ϕ π ρ ρ ρ ρ ρ ρ c c b b c c I b a I a a I r H c b b a a b V a r E ; 0 ; ˆ 2 ; ˆ 2 0 ; ˆ 2 ; 0 ; ˆ 1 ln 0 ; 0 2 2 2 2 0 0 2 0 0 r r r r V₀

Transporte de energía en un cable coaxial.(2)

• La potencia transmitida será igual al flujo del vector de Poynting a través de la sección del cable.

– El vector de Poynting sólo es no nulo entre los conductores.

– La potencia transmitida:

– La potencia se transmite a través de la región entre conductores. » Por los conductores no se transmite energía por que en ellos el

campo eléctrico es nulo.

» Los conductores guían los campos y, por tanto, la energía. • Guiar ~ imponer las condiciones de contorno que guían.

( )

       ρ < < ρ < ρ π < ρ < = × = b b a z a b I V a H E r P ; 0 ; ˆ ln 2 0 ; 0 2 0 0 r r r r 0 0 2 0 2 0 0 1 ln 2 ba d d VI I V S d P t W b a S t _ρ _ϕ _ρ₌ ρ π = ⋅ = ∂ ∂

∫ ∫

∫∫

ρρ== π = ϕ r r EyM 2c-10

(6)

Transporte de energía en un cable coaxial.(3)

• Si los conductores son reales, conductividad finita, habrá campo eléctrico en su interior:

– De forma aproximada:

 δδδδ es una distancia mucho menor que los radios a y b.

– La componente según z del vector de Poynting es como la de conductores perfectos, salvo que la diferencia de potencial entre conductores varía como consecuencia de su resistencia :

( )

(

)

       ≤ ≤ − − − − < < + + ≤ ≤ =        < < < < < ≤ = c b b c I b a a a I r E c b b a a b V a r E b a z ρ δ πσ δ ρ δ δ ρ πσ ρ ρ ρ ρ ρ ; ; 0 0 ; ; ; 0 ; 1 ln 0 ; 0 2 2 0 2 0 0 r r

( )

₍

₎

( )

₍

₎

z b c a I I V dt z dW z b c a I V z V b a T b a      − σ + σ π − = ⇒       − σ + σ π − = ₂ ₂ ₂ 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 1 1 0 1 1 0

Transporte de energía en un cable coaxial.(4)

• También hay una componente radial del vector de Poynting.

– Esta componente es entrante en los conductores y se corresponde con la potencia disipada en ellos:

– Para el conductor interior:

– Para el exterior:

( )

(

)

(

)

         ρ ≤ ≤ ρ < ρ ρ − − σ π δ − < ρ < δ + δ + < ρ < ρ σ π − = × = _ρ ρ c c b c b c I b a a a I H E r P b a ; 0 ; 2 ; 0 0 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 2 2 0 r r r

(

)

02₂ 0 2 0 ˆ ˆ ˆ a I z dz ad P S d P t W a z z S n a t πσ = ρ ϕ − ⋅ = ⋅ = ∂ ∂

∫ ∫

∫∫

= π = ϕ ρ − = = ρ r r r

(

)

₍

2 2

₎

2 0 0 2 0 ˆ ˆ ˆ b c I z dz bd P S d P t W b z z S n b t − πσ = ρ ϕ ⋅ = ⋅ = ∂ ∂

∫ ∫

∫∫

= π = ϕ ρ = = ρ r r r EyM 2c-12

(7)

Transporte de energía en un cable coaxial.(5)

• Resumen:

– La energía se transmite fundamentalmente por el exterior de los conductores.

» Donde existen componentes ortogonales de los campos eléctrico y magnético.

– Por el interior de los conductores prácticamente no se transmite energía ya que el campo eléctrico es muy débil.

– La energía que entra en un conductor se disipa es forma de calor » Salvo que el conductor sea muy fino y pueda atravesarlo. – Los conductores simplemente guían los campos.