Módulo Física- INGRESO 2015

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UNIDADES Y SISTEMAS DE UNIDADES

Las llamadas ciencias naturales (física, química, etc.) se basan en, observaciones. Esas observaciones, para que sean útiles a los investigadores en todas partes del mundo, deben proveer una información cuantitativa, que permita corroborar esa observación a quien quiera repetirla. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física. Por ello, en los cursos de Física nos ocuparemos de magnitudes tales como la longitud, el tiempo, la energía, la temperatura o la fuerza, es decir, entes físicos susceptibles de ser medidos.

La medición es una técnica por medio de la cual asignamos un número a una cierta cantidad de una magnitud física como resultado de la comparación de la cantidad en estudio con otra similar adoptada como unidad o patrón de medida.

Tomemos como ejemplo la medición del tiempo que tarda una piedra en caer desde determinada altura. Para medirlo necesitamos un instrumento de medición: un cronómetro, por ejemplo. Al afirmar que esa duración es igual a 4s estamos diciendo que equivale a 4 veces la duración de 1 segundo. Aquí la unidad de medida es el segundo, elegido arbitrariamente.

Todos los procesos de medición tienen una característica común, esto es, la comparación entre dos cantidades de una misma magnitud, una de las cuales es tomada como referencia. EI resultado de la medición es un número ( la medida ). La medida es el número de veces que la cantidad que se ha medido contiene a la cantidad de referencia. La cantidad de magnitud que se elige como referencia para la comparación es la unidad.

Por ejemplo: supongamos que queremos medir el ancho del pizarrón y utilizamos para ello una regla graduada en cm obteniendo un valor de 250 cm.

Este valor nos está diciendo que 1 cm está contenido 250 veces en la longitud que corresponde al ancho del pizarrón.

Es importante que quede claramente especificado el significado de cada uno de estos nuevos términos en el sentido en que la física los utiliza.

¿Cambia la medida de la altura de una persona si se cambia la unidad? El uso que le damos a la palabra medida, en el lenguaje coloquial nos llevaría a decir que no cambia, que la persona no se agranda ni se achica porque decidamos cambiar la unidad.

Sin embargo, en el sentido físico, sí cambia la medida si se cambia la unidad. En el ejemplo de la gráfica tenemos que en un caso la medida es 1,70 y en el otro caso la medida es I70.

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Por el contrario, no cambia la cantidad : h ( altura) =1,70 m =170 cm.

Para evitar confusiones al expresar el resultado de una medición, resaltamos la importancia de expresarla con un número y su correspondiente unidad.

Ejemplo: hemos medido el ancho de una caja con una regla milimetrada, obteniendo como resultado 150 mm. La medida es 150, la unidad es la separación entre dos rayas consecutivas de la regla y su nombre es el milímetro. La magnitud de medida es la longitud. La cantidad de longitud medida es 150 mm.

SISTEMA DE UNIDADES

Se define como sistema de unidades a un conjunto de unidades.

Dentro de ellas distinguimos las unidades fundamentales Y las unidades derivadas.

Algunas magnitudes físicas no son independientes entre sí. Por ejemplo, la aceleración que le imprimamos a un cuerpo y el tiempo durante el cual apliquemos esa aceleración determinarán la velocidad del cuerpo.

Aquellas magnitudes que se definen a partir de otras - consideradas como magnitudes fundamentales- reciben el nombre de magnitudes derivadas y las unidades correspondientes, el de unidades derivadas.

Magnitudes fundamentales son aquellas que quedan definidas por sí mismas. Unidades fundamentales son las unidades correspondientes a dichas magnitudes.

La elección de las unidades fundamentales es arbitraria y para realizarla se han seguido criterios prácticos. Por ejemplo, como es más fácil determinar áreas a partir de longitudes que a la inversa, se eligen como magnitud fundamental la longitud. Así, el área resulta ser una magnitud derivada.

El número de unidades fundamentales en un determinado sistema es el número mínimo requerido para poder asignarle una unidad a las magnitudes derivadas en ese sistema.

Las magnitudes fundamentales usualmente elegidas son: tiempo, masa, longitud, temperatura termodinámica, cantidad de materia, corriente eléctrica e intensidad luminosa, (Ver Apéndice).

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Ejemplo:

Supongamos que tenemos un cubo y queremos determinar la Iongitud de la arista, superficie de una cara y volumen del mismo.

Si medimos su arista L, en función de ella sabremos que la superficie de cada cara será:

A=L x L

y el volumen del cubo será:

V=L x L x L

En este caso, podemos ver que la superficie y el volumen serán magnitudes derivadas de la magnitud fundamental longitud.

Las unidades correspondientes pueden hallarse como sigue:

[ Área ] = [ Longitud ] x [ Longitud ] =[ L]2

[Volumen ] = [ Long. ] x [ Long. ] x [ Long.] = [ L ]3 donde [ ... ] indica : "La unidad de ..."

Actividad N°1: Calcular el volumen y la superficie de un bloque de madera con las medidas que se indican .

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Actividad N°2: Calcular el volumen y la superficie de una bola de pool de 6 cm de diámetro.

Actividad N°3: Calcular el volumen de un cuerpo sólido que no tiene forma regular. Por ejemplo, una piedra.

Para ello colocar agua en una probeta adecuada y leer el volumen del líquido (V1). Ahora sumergir el cuerpo en la probeta. El agua cambia de nivel, efectuar nuevamente la lectura del volumen (V2).

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Actividad N°4

Considérese una escalera sólida construida con cubos unitarios:

a) Si la escalera tiene 10 cubos de ancho y 10 de altura y cada escalón tiene 1 cubo de profundidad y 1 cubo de altura, ¿cuál es el volumen de la escalera? Realizar un dibujo de la escalera.

b) ¿Cuál sería el volumen del sólido si consideramos a la escalera como si fuera un plano inclinado uniformemente desde el suelo hasta la base de la capa más alta de cubos?

(Consultar el libro: “Introducción al curso de Física Universitaria”. MG Bertoluzzo- SM Bertoluzzo- Rrigatuso- FE Quattrin- Librería El Estudiante. Suipacha 581- (2000) Rosario).

Las magnitudes y sus unidades

En la antigüedad, antes de inventarse los primeros instrumentos de medición se usaban partes del cuerpo para medir longitudes.

Por ejemplo, el pie era una unidad usada antiguamente. Sin embargo, la longitud del pie no era la misma para diferentes personas.

Fue necesario entonces establecer unidades que no presentaran esas dificultades, y que por lo tanto fueran constantes y reproducibles.

Para tener perfectamente definidas estas unidades y para que pudieran ser compartidas por todos se construyeron patrones para cada una de las principales magnitudes.

Históricamente los patrones cambian y permanecen los nombres de las unidades. Así, el metro pasó a ser una fracción de meridiano terrestre, luego la longitud de cierto péndulo, más tarde la distancia entre las marcas de una regla guardada en una oficina de medidas y después cierto número de longitudes de onda en el vacío de la luz anaranjada del kriptón.

Existen tres sistemas principales de unidades y en ellos a las magnitudes tiempo, masa, longitud, y fuerza les corresponden las siguientes unidades:

SISTEMA MAGNITUD MKS cgs TECNICO Tiempo s s s Longitud m cm m Masa kg g UTM Fuerza N dina kgf

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Las unidades indicadas en el cuadro anterior son fundamentales en sus respectivos sistemas, a excepción de:

Newton (N), dina y UTM,

que son unidades derivadas, como se muestra a continuación:

Un Newton (N) es la fuerza que aplicada a un cuerpo de un kilogramo de masa le imprime una aceleración de un metro sobre segundo al cuadrado.

2

s

m

x

kg

N=

Una dina es la fuerza que aplicada a un cuerpo de un gramo de masa le imprime una aceleración de un centímetro sobre segundo al cuadrado.

2 s cm x g Dina=

Una Unidad Técnica de Masa (UTM) es la masa a la cual una fuerza de un kilogramo fuerza le imprime una aceleración de un metro sobre segundo al cuadrado.

Por otra parte, se verifican las siguientes relaciones: 1 kg = 103_{g = 0,102 UTM} 1N = 105 dina = 0,102 kgf

Es conveniente tener en cuenta para agilizar algunos cálculos, que en lugares donde la aceleración de la gravedad es normal (9,80665 m/s2), la medida de la masa de un cuerpo expresada en kg es igual a la medida de su peso expresada en kgf. Podemos escribir entonces:

1 kgf = 1 kg x 9,80665 m

s2

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Se designa con este nombre al sistema que se basa en las siete unidades de base correspondientes a las magnitudes: Longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura termodinámica, intensidad luminosa y cantidad de materia.

(Ver apéndice)

Muchas veces la medida de una magnitud tiene un valor muy chico o muy grande en relación a la unidad adoptada. Es por eso que dentro de una misma unidad se definen múltiplos y submúltiplos en potencias de diez para expresar esos resultados.

Ejemplo:

1000 m = 1 km (Nota: k (kilo) = 103₎ 0,001 l = 1 ml ( Nota: m(mili) = 10-3 )

Múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI.

Los nombres de los múltiplos y submúltiplos de las unidades, se formarán anteponiendo el prefijo indicado en la siguiente tabla, en la que también se indica el factor por el que resulta multiplicada la unidad.

Prefijos

Tabla con nombres de múltiplos y submúltiplos usuales

PREFIJO

SIMBOLO

FACTOR

nano

Ejercitación:

Empleando los prefijos de la tabla anterior, expresar adecuadamente las siguientes cantidades: 1) 1,2 x 10-15 m = 2) 5,0 x 10-9 J = 3) 3 x 103_{W =} 4) 1 x 10-12 g = 5) 7,5 x 10-8_{m =} 6) 6,7 x 10-10 kg = 7) 1,3 x 1017 s = 8) 5 x 10-11_{m =} 9) 4,3 x 1016 m = 10) 2,0 x 109_{s =}

Magnitudes derivadas

A continuación definiremos algunas de las magnitudes que utilizaremos en el curso de Física. A partir de su definición (ver apéndice), determinaremos luego las unidades que les corresponden:

a)

Velocidad media

desplazamiento

tiempo empleado

=

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Como el desplazamiento es una magnitud vectorial cuyo módulo es una cantidad de longitud, y el tiempo empleado es una cantidad de tiempo, podemos escribir:

v L

t L x t

= = −1

La última ecuación representa la ecuación de dimensión de la magnitud velocidad.

Ecuación de dimensión es la ecuación matemática que define a una magnitud derivada en función de magnitudes fundamentales.

Podemos escribir también:

[ ] [ ] [ ] v x t m = ∆ ∆

considerando la definición de velocidad. La unidad de la magnitud velocidad se obtiene reemplazando en la última ecuación, por las unidades correspondientes. Así:

[ vm ] = m/s, en el SI y sistema técnico [ vm ] = cm/s, en el sistema cgs

b) Aceleración media iación de velocidad tiempo transcurrido

= var

La ecuación de dimensión para esta magnitud es:

a

L

t

L x t

m

=

− 2 2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a v t x t m = = ∆ ∆ ∆ ∆ 2

(10)

considerando !a definición de aceleración. La unidad de la magnitud aceleración se obtiene reemplazando en la última ecuación por las unidades correspondientes.

Así:

[am] = mls2 en el S.I. y sistema Técnico

[am]= cmls2, en eI sistema c.g.s.

c) Fuerza = masa x aceleración

La ecuación de dimensión para esta magnitud es:

f m x L

t

mx L x t

= ₂ = −2

f = m x a

considerando la definición de fuerza. La unidad de la magnitud fuerza se obtiene reemplazando en la última ecuación por las unidades correspondientes.

Así:

[ f ] = kg x m/s2 = N, en el SI [ f ] = g x cm/s2_{= dina, en el sistema cgs}

[ f ] = kgf, en el sistema técnico. Como un caso particular tenemos la fuerza peso:

peso = masa x aceleración de la gravedad [ P ] = [ m ] x [ g ]

La unidad de la magnitud peso se obtiene reemplazando en la última ecuación por las unidades correspondientes.

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[ P ] = kg x m/s2 = N, en el SI [ P ] = g x cm/s2_{= dina, en el cgs}

[ P ] = kgf, en el sistema técnico.

Es muy importante la relación expresada, ya que permite conocer el peso de un cuerpo si se conoce la masa, y viceversa.

Ejercitación:

Determinar, a partir de las definiciones, las unidades que corresponden a las siguientes magnitudes, en los tres sistemas de unidades:

a)

volumen

masa

densidad =

b)

área

fuerza

presión =

c)trabajo = fuerza x desplazamiento

d) densidad relativa de un líquido =

agua del densidad líquido del densidad

Tener en cuenta que el patrón de densidades relativas de sólidos y líquidos es el agua destilada a 4°C. ( A esa temperatura el agua presenta el valor máximo de densidad, y corresponde arbitrariamente a 1 g/cm3_{) .}

Para los gases, el patrón de densidades es el hidrógeno molecular en condiciones normales de presión y temperatura, esto es, 1 atmósfera y 273 K.

En esas condiciones la densidad del hidrógeno molecular es 0,0000893 g/ cm3_.

Ejercitación:

Con ayuda de las definiciones del Apéndice, deducir la ecuación de dimensión de las siguientes magnitudes:

1) volumen 2) aceleración

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3) peso específico 4) fuerza

5) trabajo 6) potencia 7) presión

8) Demostrar que las magnitudes energía cinética y energía potencial tienen la misma dimensión que la magnitud trabajo.

Equivalencia de unidades

Método práctico para el cambio de unidades: Método del factor 1.

Consiste en multiplicar la cantidad a transformar por una fracción igual a 1, de modo que no altera a la cantidad, y permite el cambio de unidades de manera simple y rápida. Ejemplos: 1) Convertir 9 kg a g. Sabemos que: 1 kg = 103_g luego:

9

1

9 1 0

1 9 00 0

3

k g x

g

kg

g

=

2) Convertir 5,8 UTM a g. Sabemos que: 1 kg = 0,102 UTM

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y 1 kg = 103_g luego: 5 8 1 5 8 1 0 102 56 84 10 1 56840 3 , , , , UTM x UTM x kg UTM kg x g kg g = = = 3) Convertir 18 N a dina. 18 1 18 10 1 18 10 5 5 N x N x N x din a = = 4) Convertir 15,5 N/m3_{a kgf/cm}3 Sabemos que: 1N = 0,102 kgf y 1 m3 = 106 cm3 15 5 1 15 5 0 102 1 1 581 1 10 1 581 10 3 3 3 3 6 3 6 3 , N , , , , m x N m x kgf N kgf m x m cm x kgf cm = = = − Ejercitación:

A) Efectuar las transformaciones de unidades que en cada caso se indican: 1) 11 kg/m2 a g/cm2 . 2) 119 m/s2_{a cm/s}2_. 3) 408 kgf a dina. 4) 918 cm3 a m3 . 5) 49 kg x m2_{/ s}2_{a g x cm}2_/s2_. 6) 1200 cm/s a m/s. 7) 45 N x m a kgf x m.

(14)

8) 45 N x m a dina x cm. 9) 0,19 g/cm3_{a kg/m}3_.

10) 325 km/h a m/s.

11) 123 N x m/s2 a dina x cm/s2 .

B) Indicar en qué sistema de unidades están expresadas las siguientes cantidades y expresarlas en otros dos sistemas de unidades.

1) Un golpe de karate dado con la mano, puede ejercer una fuerza de 300 kgf. 2) La mano de un karateka puede desarrollar una velocidad máxima de 1200 cm/s. 3) La masa de un hombre adulto es 7,3 UTM.

4) La densidad media de la Tierra es 5,5 g/cm3_.

5) La presión en el fondo de un estanque es 2 x 104 kgf/m2 . 6) La potencia desarrollada por un motor es 5 kgf m / s. 7) La presión atmosférica normal es de 101325 Pa.

8) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo a una altura de 50 m es de 9800 J.

C) Expresar en unidades del SI las siguientes cantidades: 1) 3,6 x 1017_m/min2 2) 202 kgf m 3) 0,02 UTM/m3 4) 980 dina /cm3 5) 0,4 kgf / m3 6) 3,8 x 108_erg. 7) 700 dina 8) 0,52 cm/s

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9) 1,4 g/cm3 10) 84 km /h 11) 4,5 x 103 l 12) 2,5 at 13) 1,015 x 106_{dina / cm}2 14) 1,3 g/dm3 15) 5900 A 16) 30° 15’ 20’’ 17) 7,8 g/l 18) 90 km/min 19) 45° 02’ 10’’ 20) 50 kgf

D) Empleando la notación exponencial, expresar las siguientes cantidades en unidades del SI.

1)620 nm 2) 15 Gg 3) 8,5 µs 4) 50 ml 5) 1020 hPa 6) 2,60 pg 7) 60 kw 8) 97 Mhz 9) 1,5 dm3

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Problemas:

1) Calcular la capacidad en litros de un tanque cilíndrico para agua, cuya base tiene 20 m de perímetro, y su altura es de 1,5 m.

2) Deducir una expresión para calcular el área y el volumen de las esferas inscriptas y circunscriptas en un cubo de lado a.

3) Una tarjeta rectangular mide 12 cm por 8 cm. Se la hace girar 90° en torno al lado de 8 cm. ¿Qué volumen barre en su movimiento?

4) Una cáscara esférica tiene un radio exterior de 5 cm y el volumen ocupado por el material es de 24 cm3. Calcular el radio interior de la cáscara.

5) Considerar un cilindro que tiene un volumen ocho veces mayor que otro e igual altura ¿cuál es la relación entre sus radios?

6) Establecer a qué magnitudes se te asignan las siguientes unidades: kg, kgf, dina, mm de mercurio, cm/s, km/h2, N/m3.

7) Qué cantidad indica mayor presión:10 Pa o 100 dina/cm2 ( 1 Pa = 1 N/m2 ). 8) Qué cantidad indica mayor fuerza:10 N o 1,5 kgf.

9) Qué cantidad indica mayor densidad:1,2 g/cm3 o 120 kg/m3.

10) Qué cuerpo poseerá mayor masa, un cubo de madera de 3 cm de arista o una esfera de hierro de 1 cm de radio? .

Datos: densidad de la madera =1,2 g/ cm3 . densidad del hierro = 7,8 g/cm3_.

11) Qué peso tiene una semiesfera de bronce de 5 cm de diámetro, si la densidad del bronce es 8,6 g/cm3.

12) Se sabe que la masa de la Tierra es de 5,98 x 1024 kg y su radio de 6,38 x 106 m. ¿Cuál es la densidad media de la Tierra ? ¿ y su peso específico?

13) Calcular:

a) EI radio de un cilindro de acero de masa 3 kg y altura igual a 20 cm. Densidad del acero = 7,8 g/cm3

b) EI volumen ocupado por 10 g de alcohol y por igual masa de agua si sus densidades son respectivamente 0,8 g/cm3 y 1 g/cm3.

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Densidad del cobre = 8,6 g/cm3

14) Una cierta cantidad de azúcar llena un envase de 16 cm x 0,08 m x 50 mm. a) ¿ Cuántos envases pueden colocarse en un vagón de carga de 220 dm x 240 cm x 2,4 m?

b) Si la masa de azúcar en uno de los envases es de 450 g, ¿cuál es la masa de azúcar en el vagón de carga?

c) ¿Cuál es la densidad del azúcar?

15) Un corredor olímpico puede correr a una velocidad media de 10 m/s un cierto trecho. Suponer que su masa es de 67 kg. Calcular su energía cinética en unidades de SI y de los sistemas cgs y técnico.

16)Sobre dos superficies A y B de áreas 2 dm2 y 8 cm2 respectivamente, se ejercen fuerzas perpendiculares de valores 50N y 2N. Comparar ambas presiones y expresarlas en el sistema cgs.

17)Un trozo de madera ocupa un volumen de 1,2 dm3 y tiene una masa de 960 g. Calcular en unidades del SI:

a) El peso de ese trozo de madera b)El peso específico de la madera c)La densidad de la madera.

18)Un átomo de hierro tiene un diámetro del orden de 2 A. Considerando que el átomo es de forma esférica, ¿cuántos átomos de hierro existirán en un cubo de 1 cm de arista?

19) Calcular la energía cinética, en unidad del SI de un electrón que alcanza la pantalla de un tubo de rayos catódicos con una velocidad de 1 x 107_{cm/s, si la}

masa del electrón es 9 x10-28_g.

20) ¿Cómo se podría determinar la densidad del hielo? ¿ Se podría obtener su volumen fundiendo el hielo y midiendo el del agua resultante? ¿Por qué?

21) Según la Biblia, Noé recibió instrucciones de construir un arca de 300 codos de largo, 50 codos de ancho y 30 codos de alto. El codo era una unidad de longitud basada en el largo del antebrazo e igual a la mitad de una yarda.

a) ¿Cuáles pudieron ser las dimensiones del arca en metros?

b) ¿Cuál pudo ser el volumen en metros cúbicos? Considere que el arca era rectangular

(Consultar el libro: “Introducción al curso de Física Universitaria”. MG Bertoluzzo- SM Bertoluzzo- R Rigatuso- FE Quattrin- Librería El Estudiante. Suipacha 581- (2000) Rosario).

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Tiempo de reflejo nervioso:

Desde que recibimos un estímulo hasta que nos damos cuenta transcurre un tiempo y otro lapso adicional desde que decidimos reaccionar hasta que lo hacemos efectivamente. Este tiempo total está comprendido entre 0,15 y 0,25 segundos.

Para realizar la medición de este tiempo, se puede proceder de la siguiente manera:

Utiliza una regla de unos 20 a 40 cm de longitud, tómala verticalmente del extremo superior. Pídele a un compañero que coloque el índice y el pulgar alrededor del extremo inferior de la regla y que detenga la caída del objeto en el mismo instante que la sueltas.

Comprobarás que hasta que tu compañero logre sujetar a la regla, ésta habrá caído cerca de 20 cm.

Podemos aplicar la siguiente fórmula para averiguar el tiempo:

y g t t y g = 1 ⇒ ₌ 2 2 2 ; y = 20 cm ; g = 9,8 m/s2 Actividad N°6

Determinación del número de gotas que cabe en un determinado volumen Objetivo:

Se trata de medir el número de gotas que cabe en un volumen determinado marcado con una cinta adhesiva transparente en un tubo de ensayo o un recipiente cualquiera.

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Observaciones:

• De acuerdo al tiempo que dispongas, elije el tamaño del recipiente. Recomendamos un recipiente pequeño, donde quepan no mucho más de 100 gotas. Se trata de determinar varias veces cuántas gotas caben en el tubo. • La primera vez que se llena el recipiente, probablemente se necesitarán más

gotas, y después del primer vaciado, menos, porque si el líquido moja las paredes interiores, eso lleva varias gotas.

• Los químicos acostumbran, para enrasar el nivel, dirigir la visual horizontalmente, sobre el borde inferior del menisco o curva cóncava que hace el líquido cuando moja el recipiente. Si no lo moja, el superior.

• Notar cómo el tamaño de las gotas no puede ser arbitrariamente grande, y además depende de la temperatura y de la presencia de detergentes.

1. La experiencia consiste en llenar sucesivas veces el recipiente con ayuda del mismo gotero. Hasta enrasar en la marca hecha previamente.

(no hacer "trampa" y forzar la coincidencia de sus determinaciones) Actividad N°7

El dinamómetro es un instrumento que se utiliza para medir fuerzas. Consta de un resorte y una escala donde se puede leer el valor de la fuerza a la que está sometido dicho resorte.

En las siguientes figuras observamos dos cuerpos cuyos pesos quieren determinarse.

Construir un dinamómetro, y calibrarlo para poder determinar el peso de distintos cuerpos.

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Actividad N°8:

Toma dos o tres trozos de plastilina de diversos tamaños y dales forma alargada para que puedan entrar en la probeta. Sujeta cada trozo con un hilo y determina:

• su peso P mediante el dinamómetro.

• Su volumen V por desplazamiento del agua en la probeta.

Con los datos obtenidos elaborar una tabla donde figure en una columna el material utilizado, en otra el peso, en otra el volumen y en otra el cociente entre el peso y el volumen. Observar los resultados del cociente P/V en la última columna de la tabla.

¿ Cómo son estos valores entre sí? ¿ Cómo se denomina a este cociente?.

Ahora tomar otro objeto, por ejemplo una llave, y repetir con ella las mediciones. ¿Qué se observa?.

(21)

Deberás disponer de un dinamómetro y un trozo de plastilina. Determina el peso P1 de la plastilina con el dinamómetro cuando la plastilina está

"sumergida" en aire. Ahora volver a determinar el peso P2 de la

plastilina

pero sumergida en un líquido ( por ejemplo, agua ). ¿ Qué se observa?

Problemas

1 ) Qué es más doloroso el pisotón de un hombre que pesa 100 kgf y tiene un taco de 5 cm2, o el de una dama de 50 kgf con un taco de 1 cm2 ?

2) ¿Qué nombre recibe el instrumento para medir la presión atmosférica? 3) ¿ A qué se denomina presión de una atmósfera ?

4) Determinar el aumento de presión de un fluido en una jeringa hipodérmica cuando se le aplica una fuerza de 42 N al pistón cuyo radio es de 1,1 cm.

5) Calcular la presión manométrica en el fondo de un depósito lleno de benceno de (densidad 879 kg/ m3) hasta una altura de 2.5 m, si el fondo del depósito tiene forma rectangular y sus dimensiones son 3 m x 1,5m. ¿Qué fuerza ejerce el benceno sobre él?.

6)La cabeza de una jirafa está a 2 .5 m de su corazón. ¿ Cuál es la diferencia de presión de la sangre de una jirafa entre el corazón y la cabeza?. (Densidad de la sangre = 1,05 x 103 kg / m3 ).

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INTRODUCCION A PROBLEMAS TIPICOS DE FISICA Ecuaciones:

Cuando tenemos una expresión algebraica que relaciona distintas magnitudes, es muy habitual que nos interese conocer el valor de alguna de ellas que no está directamente expresada en la relación. Veamos algunos ejemplos:

1) Dada la siguiente expresión:

L

=

L

_o

(

1 +

α

(

T

_f

−

T

_i

) )

obtener la expresión para:

a) Tf ; b) Ti ; c) α ; d) Lo

Si:

[L] = [Lo] = cm y [Tf ] = [Ti ] = °C

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2) A partir de la expresión para el calor específico: c Q m T T = − ( ₂ ₁ )

obtener la expresión para : Q , m, T2 , T1 .

Si [Q] = cal , [m] = g, [T2] = [T1] = °C

determinar la unidad de c.

3) Dada la siguiente ecuación despejar x , x´, y f:

1 1 1

x + x ' = f

4) Dada la siguiente fórmula:

h

x

A

T

x

m

V

T

x

Hg

V

(

1 +

β

∆

)

−

(

1 +

3 α

∆

)

=

despejar ∆T.

5) De la siguiente ecuación despejar ρl :

T

+

ρ

_l

gV

_s

=

ρ

_c

gV

_c 6)Despejar γ:

p

r

1 2

4 −

=

γ

cos

θ

7) De la siguiente ecuación despejar h:

1

2

180

2

mv

−

mgh

=

µ

mg

θ

h

°

θ

cos

sen

cos

8) Despejar ρ :

(24)

(

ρ

_c

−

ρ

_l

)

g V

= 6

π

r

η

v

Sistema de ecuaciones

Para arribar a la solución de numerosos problemas de Física es necesario resolver un sistema de ecuaciones. Por tal motivo se dará, mediante un ejemplo, una breve explicación del tema, dejando un estudio más profundo para el curso de Matemática.

1) En un tiempo t=0 un automóvil comienza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con una velocidad vo . Si al cabo de 10 s su velocidad es

de 15 m/s, y la distancia recorrida es de 100 m, calcular su aceleración. Solución

Si recordamos las fórmulas vistas en cinemática notaremos que no se puede aplicar ninguna directamente, ya que en todas, además de la aceleración ( a ) aparece la velocidad inicial ( vo ), que también es desconocida.

Sin embargo, podemos tomar dos ecuaciones que tengan a la aceleración y a la velocidad inicial como incógnitas y formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

x = Vo t + ½ a t2

v = vo + a t

Reemplazando las letras por sus valores: 10s vo + 50s2 a = 100 m (1)

vo + 10s a = 15 m/s (2)

Primer método: Sustitución

Este método consiste en despejar una variable de una ecuación y reemplazarla en la otra. Por ejemplo de la ecuación (2)

Vo = 15 m/s - 10s a

(25)

10s (15 m/s - 10s a ) + 50s2 a = 100 m

Resolviendo

150 m - 100s2 a + 50s2 a = 100 m 50 m - 50s2 a = 0

a = 50 m/ 50s2_{= 1 m/s}2

Segundo método: Igualación

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (1) por 10 el sistema queda: 1s vo + 5s2 a = 10 m (3)

vo + 10s a = 15 m/s (4)

En este método se despeja la misma variable de ambas ecuaciones y después se igualan. De (3) vo = 10 m/s - 5s a De (4) vo = 15 m/s - 10s a luego, 10 m/s - 5s a = 15 m/s - 10s a 5s a = 5 m/s a = 1 m/s2

2) Calcular la velocidad y la longitud de un tren que ha empleado 10s en pasar delante de un observador que se encuentra junto a las vías y 15s en atravesar una estación de 100 m de longitud.

(26)

− + = − + = − + = − m g T m a T T m a m g T m a A AB A AB BC B c BC c

mA , mB, mc y g son datos. Hallar: a, TAB y TBC.

4) Se sabe que: γ π L L P N r = 2 y γ a π a P N r = 2 Expresar γ L en función de γ a , Na y NL .

5) Del siguiente sistema de ecuaciones despejar α :

F - P sen α = 0 N - P cos α = 0

6) Del siguiente sistema de ecuaciones despejar T y F en función de P y β :

T cos β - P = 0 F - T sen β = 0 7) Despejar a y T en función de m1 y m2 : T - m1 g = m1 a - m2 g + T = - m2 a 8) Despejar x en función de f : 2 ' 1 ' 1 1 = = + x x f x x

(27)

Ecuación de segundo grado

A menudo en Física nos encontramos con la necesidad de resolver ecuaciones como la siguiente:

ax2 + b x + c = 0 con a, b y c pertenecientes a los reales y a distinto de cero.

Las soluciones de esta ecuación, llamada de segundo grado, se obtienen aplicando una fórmula denominada resolvente:

x b b a c a 1 2 2 ₄ 2 , = − ± −

donde, según el discriminante ∆ = b2_{- 4 a c , tendremos tres casos:}

i) ∆ > 0 , entonces x1 y x2 son números reales distintos.

ii) ∆ = 0 , entonces x1 = x2 y pertenecientes a los números reales.

iii) ∆ < 0 , entonces x1 y x2 son números complejos.

Ejemplo:

Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 24,5 m/s. Calcular el tiempo para el cual la piedra está a 19,6 m por encima del punto de lanzamiento.

Solución

Como tenemos un tiro vertical usamos la fórmula: h = vo t - ½ g t2

reemplazando por los datos

4,9 m/s2 t2 - 24,5 m/s t + 19,6 m = 0 Aplicando la resolvente:

(28)

t m s m s x m s x m x m s 1 2 2 2 24 5 24 5 4 4 9 19 6 2 4 9 , , ( , ) , , , = ± − t m s m s m s 1 2 2 24 5 14 7 9 8 , , / , / , / = ± t1 = 4 s y t2 = 1 s

Por lo tanto hay dos tiempos para los cuales la altura es de 19,6 m. ¿Qué interpretación puede darse?

Si alguno de los valores obtenidos fuese negativo, la solución sería el valor positivo.

En ese caso, el problema tendría sólo una solución, ya que un valor negativo no tendría sentido físico para la situación que estamos analizando.

Problemas

1) Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que la diagonal es de 15 cm y la altura es 3 cm más corta que la base.

2) Calcular el largo y el ancho de un terreno rectangular cuya área es de 600 m2_y

su perímetro es de 110 m.

3) Calcular los números a y b sabiendo que son consecutivos y su producto es igual a 210.

4) Hallar los números m y n sabiendo que su producto es igual a -18 y que su suma es igual a 3.

5) Calcular el perímetro de un triángulo isósceles sabiendo que la base supera a la altura en 4 cm y los lados iguales superan a la altura en 2 cm.

6) Calcular el área de un trapecio cuya base mayor es el triple de la base menor y su altura el doble de la base menor. La suma de las tres medidas es 142 cm. 7) Dadas las siguientes ecuaciones:

(29)

R x g x h x t H h g t = = − − 2 0 1 2 2

obtener R y t sabiendo que g, H, y h son datos. Si g = 9,8 m/s2 , H = 10m y h = 6m, hallar R y t

8) Dadas las siguientes ecuaciones:

2 2 0 1 2 3 3 2 h H h x g H h t h x g x t ( − ) = ( − ) = −

hallar h3 y t, sabiendo que H, h y g son datos

INTERPRETACION DE TEXTOS

Con la finalidad de agilizar la mente en la comprensión de textos, proponemos la realización de los siguientes ejercicios.

Debe realizarse en cada caso un gráfico que represente claramente la situación descripta.

1) Un extremo de una barra está fijo a la pared. La barra está en posición horizontal (se desprecia la flexión de la barra por acción de la gravedad).

Una fuerza F = 100 N se aplica en el extremo libre de la barra, con una dirección que forma 30° con la horizontal. (¿Hay sólo un gráfico que cumpla lo especificado?)

2) Dos esferas de masa m están ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero colocado en posición vertical, y una esfera de masa 2m está ubicada en el vértice superior.

3) En un círculo de radio R se recorta un círculo de radio r cuyo centro está ubicado a la distancia R/2 del centro del disco. Represente 3 situaciones diferentes.

(30)

4) Dos esferas, una de masa 9 g y la otra de 3 g, están vinculadas por una varilla rígida horizontal y giran en torno a un eje vertical que pasa por la varilla en una posición cercana a la masa mayor.

5) En un tubo de vidrio con forma de U conteniendo mercurio se vierte en una rama agua y en la otra aceite. Las interfases del mercurio con cada líquido están a la misma altura. Represente aproximadamente las alturas de líquido que determinan el equilibrio teniendo en cuenta que el aceite es menos denso que el agua.

6) El agua alcanza una altura H en un depósito grande y abierto. Se practica un orificio en una de las paredes a una profundidad h por debajo de la superficie del agua y otro orificio a una profundidad h1. Ambos chorros tienen el mismo alcance

R (distancia medida a partir del pie de la pared).

Actividad N°10

La investigación de Torricelli

Entre los discípulos de Galileo se encontraba Evangelista Torricelli (1608 –1647); gran admirador de su maestro asimiló las enseñanzas de éste y realizó una obra trascendente; su más notable descubrimiento se relaciona con un problema que dejó planteado Galileo. Se sabía que las bombas aspirantes no pueden elevar el agua a más de 18 varas; ¿ por qué ese límite?. Este es un problema que había que solucionar.

Los griegos sostenían que la naturaleza tiene una tendencia a llenar los espacios vacíos y por ello cuando en un tubo sumergido en el agua se hace el vacío el líquido asciende por el tubo para llenar el vacío.

Pero, ¿ por qué tal supuesta tendencia (horror vacuoii) tiene por límite en los tubos de las bombas aspirantes, un límite de 18 varas?

Galileo creía que la columna de agua dentro del tubo de aspiración se rompía al alcanzar esa altura, porque la columna se quiebra por su propio peso.

Los estudiantes italianos Baliani y Magiotti no aceptaron esa explicación de Galileo; sospecharon que la columna de agua, dentro del tubo de aspiración de la bomba, equilibraba la presión del aire exterior.

Torricelli, que con anterioridad había hecho estudios de hidrostática y sabía que la presión en el seno de un líquido es más grande cuanto mayor es la profundidad, decide formular una hipótesis:

“ El océano de aire que rodea la Tierra ejerce presión al igual que los líquidos” Si esta hipótesis fuese válida, debería verificarse la siguiente predicción:

“Si se llena con mercurio un tubo cerrado por un extremo, se tapa con un dedo el extremo abierto y se invierte el tubo sumergiendo el extremo abierto en el mercurio

(31)

contenido en otro recipiente, el mercurio no bajará totalmente dentro del tubo, sino que descenderá hasta igualar la presión exterior”.

Torricelli realizó la experiencia con un tubo de vidrio de media pulgada de diámetro y aproximadamente un metro de longitud. El mercurio descendió hasta 76 cm de altura y en la parte superior del tubo quedó un espacio vacío.

De esta manera la hipótesis de Torricelli quedó confirmada y con ello se puso de manifiesto la existencia de la presión atmosférica. Por otra parte el experimento de Torricelli permitió medir esa presión y así nació el primer barómetro.

El matemático y filósofo francés Blas Pascal (1623 – 1662) al analizar la hipótesis de Torricelli propuso otra predicción. Se sabía que la presión hidrostática en el océano disminuye cuando se asciende desde el fondo a la superficie, por ese motivo, Pascal predijo:

“La presión del aire disminuirá cuando se ascienda por una montaña”.

Pascal propuso medir la presión atmosférica en el pie y en la cumbre de una montaña. Su cuñado Perier se encargó de realizar la experiencia en 1648. Encontró que la longitud de la columna de mercurio era 8,5 cm menor en la cima que en el valle.

• Analizar la experiencia de Torricelli:

• ¿Cuál era el problema que planteó Galileo?

• ¿Qué hipótesis formuló Torricelli?. Realizar un dibujo del barómetro.

• ¿ Qué participación tuvo Pascal con respecto al fenómeno que consideramos?

INTRODUCCION AL USO DE VECTORES Trigonometría

Además de las unidades de tiempo, longitud, masa y fuerza, en el curso de Física, vamos a trabajar también con una unidad suplementaria, que es puramente geométrica. Esta unidad corresponde a la magnitud ángulo plano y su nombre es radián (rad).

¿Cómo definimos esta unidad?

Radián es el ángulo plano comprendido entre dos radios que, sobre una circunferencia, interceptan un arco de longitud igual al radio.

Dado un ángulo φ se traza con radio arbitrario r, el arco AB = a con centro en el vértice O del ángulo.

(32)

La medida de φ φ φ φ en radianes es:

φ

=

a

r

r a d

(

)

Dado un ángulo, la relación a/r es constante e independiente del radio.

Notemos que a y r se expresan en unidades de longitud, por la tanto, el radián es una unidad “adimensional”.

Los ángulos planos suelen medirse utilizando dos unidades: grados (sexagesimales) o radianes.

El radián es el que adopta el sistema internacional (SI). Ejemplo:

¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo completo alrededor de un punto?

Considerando que la longitud de la circunferencia es: 2 π r, tenemos:

a = 2π r φ = a = π = π r r r r a d 2 2 Por lo tanto, 2 ππππ radianes equivalen a 360°

(33)

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas hacen corresponder a cada ángulo un número real. Para el curso de Física nos interesará en particular la aplicación de las funciones trigonométricas correspondientes a ángulos agudos en triángulos rectángulos. Para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se definen las funciones trigonométricas como:

sen

α

=

ca teto o p u esto

h ipo ten u sa

cos

α

=

cateto adyacente

hipotenusa

tg

α

=

cateto opuesto

cateto adyacente

Funciones trigonométricas de ángulos importantes

Angulo

sen α

cos α

tag α

0°

0

1

0 90°

1

0 /

180°

0 -1

0

(34)

Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones trigonométricas inversas hacen corresponder ángulos a números reales. Se indican con el prefijo “arc”: arc sen, arc cos, arc tg, etc.

Ejemplos:

1) arc sen a = α

se lee: α es el ángulo cuyo seno es a. 2) arc sen 0,5 = 30° = π/6 rad

3) arc cos 2 /2 = 45° = π /4 rad 4) arc tg 0 = 0° = 0 rad

Hay una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, expresada por el Teorema de Pitágoras. La misma aplicada al triángulo de la figura resulta:

a

Para determinar la posición de un punto en el plano se necesita establecer una correspondencia entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales.

Para tal fin se forman dos rectas perpendiculares entre sí r1 y r2 que se cortan en

un punto O, al cual se llama origen. La recta r1, que se toma horizontal, se

denomina eje de las abscisas o eje x y la recta r2, que se toma vertical, se llama

eje de las ordenadas o eje y. Ambos reciben el nombre de ejes coordenados cartesianos.

Para cada recta en particular, se define un eje coordenado, es decir, tomamos sobre r1 y a la derecha de O un punto U1 que indica el punto 1 y sobre r2 y arriba

de O un punto U2 que indica el punto 1 sobre la recta. Por lo general OU1 = OU2 .

De esta forma se establece un sistema de coordenadas en el plano.

Para determinar la posición de cualquier punto P se traza por él la paralela al eje y hasta cortar al eje x obteniendo Px .

De igual forma se traza la paralela al eje x hasta cortar al eje y obteniendo Py .

Y

X

Queda así el punto P definido por el par ordenado de números reales ( Px , Py ),

que recibe el nombre de coordenadas cartesianas del punto P. P = ( Px , Py ) U2 _ I I O U1 Px Py P

(37)

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se denominan I, II, III y IV como se indica en la figura.

Y

x

Problemas:

1) Sobre un eje horizontal representar los siguientes puntos: 0,1, 4, -3, -2.

2) Representar los siguientes puntos: A (2,1), B (1,2) , C (-3, 2) , D( 3, -1), E (-2, -4), F (0, -5).

3) Hallar las coordenadas de los puntos simétricos a los puntos: A ( 4 , 1 ), B ( 2, - 5 ) , C (-3, 4), y D (-5, -3):

a) Respecto al eje x. b) Respecto al eje y.

c) Respecto al origen de coordenadas.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Existen magnitudes físicas que quedan determinadas con un número y su respectiva unidad, por ejemplo: tiempo, temperatura, volumen.

Estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. Están sometidas a las reglas habituales del álgebra.

II I

(38)

Por ejemplo, si colocamos en un recipiente 100 cm3 de agua y luego agregamos 200 cm3, tendremos en total 300 cm3.

Otras magnitudes requieren además de alguna “cualidad direccional”. Ejemplo de ellas son: velocidad, fuerza, aceleración.

En estos casos se recurre al concepto de vector y las magnitudes representadas por los mismos reciben el nombre de magnitudes vectoriales.

Este tipo de magnitudes quedan determinadas por un número acompañado de su unidad (módulo), dirección y sentido.

Aquí es importante notar que las operaciones de suma, resta, etc., entre vectores deben resolverse teniendo en cuenta sus características direccionales.

Si aplicamos una fuerza de 10 N sobre un cuerpo, y luego le aplicamos también una de 20 N, ¿cuál es la fuerza resultante? (Si pensó en 30 N, continúe leyendo).

Un vector queda completamente definido cuando de él se conocen su módulo, dirección y sentido.

Se representa por una flecha.

Módulo: Indica la intensidad del vector y corresponde a la longitud de la flecha. Por ejemplo: el módulo de la velocidad de un vehículo puede ser de 20 km / h, 40 km/h, etc.

Dirección: Determina la recta sobre la cual actúa el vector (línea de acción del vector). Por ejemplo: el vehículo se mueve en la dirección de Avenida Francia. Sentido: A cada dirección corresponden dos sentidos y se indica el mismo por la punta de la flecha. En el ejemplo anterior determina si el vehículo se dirige de Sur a Norte o de Norte a Sur.

En la figura siguiente si la masa del balde es de 10 kg, la fuerza peso (P) tiene módulo igual a 98 N, la dirección es vertical y el sentido hacia abajo.

(39)

La fuerza F también tiene módulo igual a 98 N, la dirección es vertical pero el sentido es hacia arriba.

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON VECTORES SUMA DE VECTORES

La suma de dos o más vectores cuyas direcciones sean coincidentes (vectores colineales) y que posean el mismo sentido, da como resultado otro vector cuyo módulo es igual a la suma de los módulos de los vectores sumandos y cuyo sentido y dirección resultarán también idénticos a los de ellos.

Si los sentidos de los vectores anteriores fueran distintos, el resultado de su suma será otro vector cuyo módulo será igual a la resta de los módulos de los vectores sumandos, y su sentido resultará igual al del vector que posee el módulo mayor.

La suma de dos vectores P y N cuyas direcciones forman un ángulo distinto de 0° (vectores no colineales), se representa por un vector R = P + N, cuya dirección es la diagonal del paralelogramo formado por los vectores dados, cuyo origen coincide con el origen común de ambos, y cuyo extremo coincide con el vértice del paralelogramo, tal como lo muestra la figura siguiente:

(40)

DIFERENCIA DE VECTORES

En primer lugar, definiremos vector opuesto: Dados dos vectores a y b tales que

b = -a

o bien, a + b = 0, decimos que el vector b es el vector OPUESTO al a . Ambos tienen el mismo módulo y la misma dirección pero sentidos opuestos.

a b

Entonces, si queremos realizar la operación:

c - d = c + ( - d )

(41)

Producto de un escalar por un vector

Sea a un vector y α un escalar. El producto αa es un vector que tiene la misma dirección que a, módulo igual a α veces el módulo de a y su sentido será:

el sentido de a, si α es mayor que cero. el sentido opuesto a a, si α es menor que cero.

α > 0 α < 0

Ejercicio

Consideremos por ejemplo, que un móvil A tiene velocidad de 40 km/h y se mueve horizontalmente y hacia la derecha. Representar la velocidad de otro móvil B que tiene una velocidad igual al doble de la velocidad del móvil A y se mueve hacia la izquierda. Si expresamos VB = α VA, ¿cuánto vale α ?

FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR Forma polar

Se indica por el módulo del vector y el ángulo α que forma el mismo con un eje coordenado ( generalmente el horizontal positivo ).

Como se ve, el ángulo puede ser cualquiera, incluso mayor que 90°.

a

_{α a}

αa

(42)

Por simplicidad en los cálculos conviene utilizar ángulos agudos e indicar claramente desde qué eje están medidos.

En este último caso, utilizaremos una letra griega distinta de α para nombrar al ángulo que forme el vector con el semieje elegido.

Ejemplo: el vector a es el mismo en ambas figuras.

Forma cartesiana

Todo vector en un plano se puede considerar como el resultado de la suma de otros dos.

En general lo más cómodo es descomponer un vector en sus componentes según dos direcciones perpendiculares entre sí.

Las operaciones con vectores que hemos definido son independientes de los ejes coordenados que se elijan. Sin embargo, a veces para resolver un problema es

(43)

más cómodo elegir algún sistema de coordenadas especial. Nos referimos aquí al sistema cartesiano de coordenadas.

Los vectores i y j son los versores en la dirección de los ejes x e y respectivamente.

Versor es un vector de módulo igual a 1, con dirección y sentido iguales a los del eje coordenado correspondiente.

Cualquier vector se puede expresar como:

a = ax i + ay j

En esta suma, ax i representa la componente vectorial rectangular del vector a

sobre el eje x (proyección de a sobre dicho eje), y ay j representa la

componente vectorial rectangular del vector sobre el eje y (proyección de a sobre dicho eje).

Otra forma de expresar el vector a es:

a = ( ax , ay )

Esta forma es equivalente a la anterior y queda sobreentendida la suma. Recibe el nombre de Par ordenado.

La relación entre el módulo del vector y sus componentes es, de acuerdo al teorema de Pitágoras:

(44)

Propiedades:

Sean dos vectores a y b dados por sus componentes:

Pasaje de forma polar a forma cartesiana

Usando las definiciones:

α ax x ay a y

(45)

s e n c o s α α = = a a a a y x vemos que:

a

x

= a cos α a

y

(270° < α < 360°)

Problemas

1) Dados dos vectores colineales a, b hallar: a) a + b b) a - b c) b - a para los siguientes casos:

(46)

ii) a = 5 y b = 9 iii) a = 13 y b= 11 iv) a = 8 y b = 8

2) Expresar las componentes rectangulares de los siguientes vectores: a = 4, b = 2, c = 3, d = 5

e = 4, f = 3, g = 5, h = 6, m = 9, n = 8

Hallar gráfica y analíticamente e+f+m+g+n+h

-e+2f –0.5g -0.5n+0.8m+3h

3) Calcular las componentes rectangulares de los siguientes vectores: a = 4 ; b =2 ; c =3

(47)

a) b)

Comparar los resultados obtenidos en ambos sistemas de coordenadas.

4) Dados los siguientes vectores según sus componentes rectangulares, determinar el módulo y el ángulo que forma cada vector con el semieje x positivo. Incluir el gráfico.

a = (2 , 4) b = (2 , 2) c = (- 3 , 0) d = ( - 3 , - 6) e = ( - 4 , - 2)

5) Expresar las componentes rectangulares de los siguientes vectores resultantes, realizar el dibujo correspondiente y determinar el ángulo que forma cada uno de ellos con el semieje x positivo.

a) d = a + b a = (2, 3 ) b = ( 3, 2 ) b) e = b + c b = ( 3, 7 ) c = ( 0 , 7 ) c) f = a - c a = ( 1 , 1 ) c = ( 2 , 9 ) d) g = b - c b = ( - 2 , 5 ) c = ( 7 , 1 )

6) Un barco se dirige hacia el norte a 15 km/h en un lugar donde la corriente del río es de 5 km/h en la dirección 60° SE. Encontrar la velocidad resultante del barco. Gráfica y analíticamente.

(48)

7) Una moto de agua se dirige en la dirección 30° NE a 20 km/h en un lugar donde la corriente es tal que el movimiento resultante es de 30 km/h en la dirección 60° NE. Encontrar la velocidad de la corriente.

8) Un cuerpo cuyo peso es de 50 N está apoyado sobre un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. Descomponga el vector peso en dos direcciones perpendiculares, tomando una de ellas paralela al plano inclinado. Proceda gráfica y analíticamente.

9) Hallar el vector resultante del sistema de vectores del problema 2.

10) Hallar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del vector velocidad: 60 km/h, dirección 60° NO.

11) Una partícula parte del origen de coordenadas en dirección sur, y recorre 200 m sobre el plano horizontal, y luego 140 m en dirección oeste. Hallar gráfica y analíticamente el desplazamiento total.

12) Hallar analíticamente la resultante de las siguientes fuerzas: F1 = 2 kgf ( α1 = 30° )

F2 = 4 kgf ( α2 = 135°)

F3 = 3 kgf ( α3 = 230°)

13) Un árbol está sometido a tres tracciones horizontales de módulos F1 = 80 N; F2

= 60 N y F3 = 70 N, en direcciones tales que forman entre sí ángulos de 120°.

Seccionando el árbol en su base, en qué dirección caerá? 14) Componer el sistema formado por las siguientes fuerzas: F1 = 10 kgf ( α1 = 60° )

F2 = 5 kgf ( α2 = 180°)

F3 = 8 kgf ( α3 = 290°)

15)Un estudiante camina dos cuadras al oeste y una cuadra al sur. Si la longitud de cada cuadra es de 60m, ¿qué desplazamiento llevará al estudiante de nuevo al punto de partida?

16)Un bote motor viaja a una velocidad de 40 km/h en una trayectoria recta sobre un lago tranquilo. De improviso, un fuerte viento uniforme empuja el bote en dirección perpendicular a su trayectoria en línea recta con una velocidad de 15

(49)

km/h durante 5.0 s. En relación con su posición en el momento en que el viento comenzó a soplar, ¿dónde estará localizado el bote al final de este tiempo?

17)Un objeto se mueve con una velocidad de 7.5 m/s a un ángulo de 7.5° con el eje de las x. ¿Cuáles son las componentes x e y de la velocidad?

18)El vector desplazamiento de un objeto en movimiento, inicialmente en el origen, tiene una magnitud de 12.5 cm y forma un ángulo de 210° con respecto al eje de las x en determinado instante. ¿Cuáles son las coordenadas del objeto en ese instante?

19)Una persona pasea por la trayectoria mostrada en la figura. El recorrido total se compone de cuatro trayectos rectos. Al final del paseo, ¿cuál es el desplazamiento resultante de la persona medido desde el punto de partida?

20) La figura muestra a dos personas tirando de una mula obstinada. Encontrar a)La única fuerza que es equivalente a las dos fuerzas indicadas, y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero.

(50)

MULTIPLICACION DE VECTORES

MULTIPLICACION ESCALAR DE VECTORES

Se llama producto escalar de los vectores a y b (se representa por a . b ) al escalar definido por la igualdad :

a . b = a b cos φ

donde φ es el ángulo formado por los vectores a y b reducidos a su origen común :

MULTIPLICACION VECTORIAL DE VECTORES

Se llama producto vectorial de los vectores a y b ( se representa por a x b ) al vector c cuyo módulo es igual a :

A

φ b

(51)

c = = Φ − − sen b a b x a

es decir, es igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores a y b como lados ; y cuya dirección es perpendicular al vector a y al vector b ; formando los tres vectores a, b y c una terna de mano derecha. (Después de hacer coincidir los orígenes de los vectores a, b, y c, la rotación más corta de a hacia b debe ser contraria a las agujas del reloj para un observador que está situado en el extremo del vector c).

PROPIEDADES DE LOS PRODUCTOS DE VECTORES a)Propiedad conmutativa

a . b = b . a

a x b = - b x a (Al permutar los factores, el producto vectorial cambia su sentido

por el contrario)

b) Propiedad asociativa con respecto al factor escalar α.

α (a . b) = (α a ) b α (a x b ) = (α a ) x b

c) No se cumple la propiedad asociativa :

a . ( b . c ) ≠ (a . b ). C a x ( b x c )

≠

(a x b ) x c d) Propiedad distributiva : a . ( b + c ) = a . b + a . c c b a

(52)

a x ( b + c ) = a x b + a x c

e) Condición de perpendicularidad de los vectores

a . b = 0 si a ⊥ b

a x b = 0 si a es paralelo a b .

EXPRESION DE LOS PRODUCTOS EN COORDENADAS RECTANGULARES Dados los vectores a y b :

a = ( ax , ay , az ) y b = ( bx, by, bz )

El producto escalar entre a y b resulta :

a . b = ax bx + ay by + az bz

El producto vectorial entre a y b es igual a :

= = − − z y x z y x b b b a a a k j i b x a (ay bz - by az) i + (az bx - ax bz) j + ( ax by -bx ay) k Ejercicios

1)Calcular el trabajo que realiza la fuerza peso ( ver figura ) si el cuerpo : a) se levanta hasta una altura de 10 m.

b) Se traslada sobre un plano inclinado 30° una distancia de 6m.

c) Se lo traslada en forma paralela al plano horizontal, una distancia de 4 m. P = 10 N

(Definimos el trabajo de una fuerza como el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento (d) ).

(53)

a) b) c)

2) Calcular el momento con respecto a o, de la fuerza F para los siguientes casos:

F = 40 kgf ; r = 1,25 m

(Definimos el momento ττττ (tau) de una fuerza F, con respecto a un punto al producto vectorial del vector posición r y la fuerza F: ττττ(0)_{= r x F)}

3)Una partícula de carga q = 3,2x10-18 C, que tiene velocidad v = 3x106 m/s, se encuentra en una zona donde el campo magnético es constante, tiene valor B = 0,3 T y dirección vertical. Determinar el valor de la fuerza magnética sobre la carga, para las distintas direcciones de la velocidad que se indican en la figura. (La fuerza que actúa sobre la partícula está dada por la expresión : F = q v x B, donde q es la carga, v es el vector velocidad y B es el vector campo magnético).

La dirección de la fuerza magnética sobre una partícula con carga positiva se puede determinar a partir de la denominada ¨regla de la mano derecha¨:

d 30° P d P

(54)

Cuando los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección de la velocidad v y se giran hacia el vector campo magnético B (deben coincidir los orígenes de los vectores v y B), el pulgar extendido apuntará en la dirección de la fuerza F para una carga positiva. Para una carga negativa, la fuerza estará en sentido opuesto.

Otra forma de aplicar la regla de la mano derecha es utilizar tres dedos de la mano derecha. El dedo índice de la mano derecha apunta en la dirección del vector v y el dedo medio en la dirección del campo magnético B, entonces, el dedo pulgar derecho extendido apuntará en la dirección de la fuerza F.

(55)

GRÁFICAS

1)Las fotografías representan las posiciones de un péndulo construido con un hilo de tanza de un metro de longitud y una esfera. Dichas fotografías se obtuvieron iluminando el péndulo con una luz estroboscópica de 7 flashes por segundo.

a)Medir la componente horizontal del movimiento para cada instante, directamente de la foto. Tomar 9 posiciones de la esfera en media oscilación y otras 9 posiciones en la otra media oscilación que completa el ciclo, o sea una oscilación completa.

b)Realizar una gráfica de x en función del tiempo. Obtener el período del péndulo, es decir, el tiempo que tarda en dar una oscilación completa.

2)La siguiente figura muestra el movimiento con trayectoria curva, de una pelota de fútbol. A partir de ella: