1. Introducción 5
2. Grupos 25
3. Cuerpos 47
4. Espacios Vectoriales 63
5. Algunas aplicaciones geométricas y físicas 105
6. Algunas ecuaciones diferenciales 133
7. Transformaciones Lineales 147
8. Vectores propios 187
9. Vector de Inercia 209
10.Oscilaciones propias 231
11.Velocidad Angular 243
12.La matriz de Euler 249
13.Cónicas 265
14.Algunas Aplicaciones 279
Introducción
• Una especie de Introducción para aclarar qué significa entender “alguna cosa” • Diez desafíos para que verifiquen si han entendido algunas cosas que “ya conocen”. • Buenos y malos conjuntos.
• Conjuntos de pares ordenados.
• Un poderoso y elemental concepto de Funciones como conjuntos de pares ordenados. • Operaciones con funciones.
• Derivada direccional (es una generalización más o menos simple del concepto de
a derivada; y se puede aplicar a funciones ordinarias, funciones de varias variables,
a funciones vectoriales y matriciales, funcionales y operadores, etc).
Para poder sobrevivir en el mundo hay que conocer cómo funciona el mundo que nos rodea (Esto no es trivial: Según las informaciones publicadas en El Comercio, so-lamente en la Vía de Evitamiento, mueren mensualmente dos o tres personas).
Para conocer cómo funciona el mundo, entre otras cosas, es indispensable poder representarlos. Los llamados animales inferiores solamente cuentan con su memoria para representar al mundo. Con la invención del lenguaje el hombre logró obtener re-presentaciones más o menos permanentes. Dentro de la gran variedad de lenguajes que usa el ser humano(hablado, escrito, pictórico, musical, teatral,etc), la matemática ha demostrado ser el más universal, objetivo y adaptable.
02) ¿Es difícil aprender a hablar japonés o chino? La experiencia muestra dos co-sas: i) Si uno se matricula en una academia para aprender, por ejemplo japonés, tendrá que esforzarse bastante para llegar a usar aceptablemente tal idioma, ii) Los japonesi-tos de 5 años no tienen mayor problema para hablar japonés.
Uno puede “aprender”la matemática para tratar de aprobar los exámenes; por tal ca-mino posiblemente nunca llegue a usarla eficientemente. Así por ejemplo, todos ustedes han tenido que aprobar los cursos de inglés de la secundaria, y aprobarán otros cursos de inglés en la Facultad; pero...
Por otra parte, hay quienes usan la matemática para expresar diversas situaciones como los japonesitos usan el idioma japonés. Ese es el camino más fructífero para entender la matemática; y puede ser divertido.
03) Un aprendiz de carpintería debe preocuparse por no sufrir algún accidente con el martillo, el formón, el serrucho o alguna otra herramienta; entonces no puede pres-tar atención a la pres-tarea de, por ejemplo, construir un mueble. Cuando haya practicado suficientemente el uso de las herramientas, tratando de descubrir y separar las fuentes de peligro, recién estará en condiciones de enfocar su atención en las tareas propias de los trabajos de carpintería.
La matemática es una herramienta indispensable para entender la física. Pero también puede ser un estorbo, como lo es el serrucho para quien no ha aprendido a usarlo. La Matemática y la Física son cosas totalmente diferentes. La Física necesita a la Ma-temática para representar una serie de situaciones, para modelarlas y para verificar que tales modelos son (matemáticamente) consistentes. Pero si un modelo es correcto, en el sentido que representa la situación real, o no lo es, es algo que incumbe netamente a la Física (Experimental).
04) Todos aprendemos algunas cosas difíciles ... cuando realmente nos interesa. Por ejemplo, a caminar, a hablar, a montar bicicleta, a nadar, a patinar, a correr olas, a tocar algún instrumento musical, a sobrellevar algunas clases de matemáticas sin que se note que nos morimos de aburrimiento, a jugar voley, fútbol o ajedrez, etc. ¿Han oído hablar de ese joven ambulante que hace unos años ingresó como primer puesto de la UNI; o de aquél niño de 10 años, E.Córdova, que sin apoyo de las federaciones deportivas, se fue en Noviembre del 2001, a participar en España en el campeonato
mundial juvenil de ajedrez?
05) Entonces el truco no está en aprender cosas fáciles (lo cual puede ser una pér-dida de tiempo), sino en aprender cosas interesantes.
Pero atención: Caerse de la bicicleta, tragar agua dulce o salada, estar yendo a recoger la pelota cada vez que nos la lanzan, mover los peones e intercambiar tratando de dejar sin piezas al adversario, mantenerse despierto en un clase que no entendemos, nada de estas cosas son interesantes ni agradables.
Una persona que piense que puede lograr cosas interesantes sin pagar un precio por el correspondiente aprendizaje será una víctima ilusa de algunos de esos politiqueros que promete arreglar todo si votamos por él. Eso si es fácil.
06) Un niño que se cae de la bicicleta y vuelve a montar, con el riesgo de volver a caerse, no hace tal cosa porque le guste golpearse. Lo hace a pesar de los golpes, por la visión que tiene de todo lo que podrá disfrutar cuando ya haya aprendido a manejar la bicicleta. Sin esa visión, de la que podremos hacer cuando hayamos pasado la primera etapa del aprendizaje, este aprendizaje es sólo una tortura, un sin sentido.
07) “Las personas inteligentes entienden lo que se les dice, sin necesidad de plantear preguntas”, es un chiste de mal gusto. Sin embargo muchos no consideran que esto sea un chiste, sino afirman que las personas eficientes no requieren preguntar cuando se les dice algo claramente. Se olvidan que lo que pueda ser claro para una persona, no es necesariamente claro para otra. En particular, lo que pueda ser claro para un profesor, no suele serlo para un alumno. Toda afirmación, todo discurso, es planteado bajo una serie de asunciones que supuestamente son compartidas (lo cual frecuentemente no es cierto) por todos los interlocutores, en particular, por el profesor y los alumnos. Desgraciadamente, nuestro sistema de educación desalienta - y a veces castiga - a quie-nes creen que deben preguntar para:
i) Asegurarse que han entendido bien la información vertida por el profesor.
ii) Constrastar la información recibida, con los conocimientos que uno mismo ya posee. iii) Demandar algunas sugerencias para completar o constrastar algunas ideas sobre el problema en consideración.
Sin embargo, salvo en casos triviales, es imposible entender la “cuestión”si uno no plantea preguntas complementarias. En este sentido en el curso de Algebra Lineal de este semestre, se supone que ustedes van a esforzarse por plantear preguntas que les permita asimilar lo que se explique en clase o lo que se presente en este Pre - texto. Por mi parte, trataré de estimular el planteamiento de preguntas, aunque es ciertos casos me resulte difícil mantener mi buen humor.
08) El presente Pre - Texto no pretende enseñar qué es el Álgebra Lineal, sino que el estudiante, usando las Reglas del Juego y las situaciones presentadas en el texto, se familiarize con las características principales del álgebra, que le permitirán expresar situaciones en una serie de ámbitos de la Física.
Aquí parto del postulado educacional según el cual es imposible la transmisión del co-nocimiento, pues éste es adquirido ( o no ) por cada persona como fruto de su propio esfuerzo. Lo que se transmite es la información sobre las Reglas de Juego y algunos consejos para evitar errores groseros de interpretación o de operación ( cómo cuando un grupo de personas invitan a otras personas a participar en un juego desconocido para éstas).
09) Cuando se plantea un problema o pregunta, por ejemplo
Si la única fuerza (significativa) sobre la Tierra es la que el Sol ejerce sobre ella ¿Por qué entonces no nos vamos hacia el Sol?
suelen ofrecerse variadas respuestas:
La fuerza de atracción del Sol es contrarrestada por la fuerza centrífuga (con lo cual desaparecería la aparente contradicción).
La fuerza ejercida por el Sol es sólo teórica; en la práctica la fuerza sobre la Tierra es tangencial, sino ¿Cómo se explicaría su movimiento? ( Era la visión de los ángeles empujando a la Tierra, existen versiones más modernas).
Ese es uno de los trucos de los teóricos, para que nadie los entienda. Olvídate del asunto y dedícate a aprender cosas serias, no metafísicas.
Un momento; la Tierra está cayendo constantemente hacia el Sol. Mira, ella trata de seguir en línea recta y cae un poquito, luego trata de alejarse en línea recta y vuelve a caer un poquito más; y así indefinidamente...
Ah; esa pregunta ya me la he planteado varias veces, y he leído algunas respuestas que dan en los libros; pero no me convencen. A ver, tratemos de entender qué significa la pregunta.
Me arriesgo a decir, que este Pre - Texto está dirigido al tipo de personas de la última respuesta; personas que grosso modo pueden caracterizarse así:
i) No creen que una pregunta o un problema sea fácilmente entendida por sólo su enunciado.
ii) La única manera de entender algo es experimentar con los conceptos y las situa-ciones que allí se plantean.
iii) Están más interesados en entender el problema y sus consecuencias, que en obtener la respuesta (Para la pregunta planteada más arriba, del Sol y la Tierra, hay una respuesta correcta y directa, que desgraciadamente no está suficientemente difundida).
a
10) Este Pre - Texto trata de ser sensatamente consistente, pero no en base a demos-trar la validez de todos los pasos que se dan, sino en proponer y desafiar al lector o lectora a que él mismo, o ella misma, construya dicha justificación. Es la única mane-ra de adquirir confianza personal de haber entendido (o de ir enetendiendo) el tema desarrollado. El otro camino es recurrir a una seguidilla de actos de fe, posiblemente significativos en un creyente, pero venenosos para un científico en formación.
11) Como desafíos iniciales (pero también como una manera de “medir”hasta qué punto el lector ha desarrollado su propio aprendizaje) se presentan algunos problemitas que no requieren mayor información que la que se suele usar en secundaria.
ALGUNOS PROBLEMITAS:
Para que quienes se sienten desafiados por situaciones que no son típicas, pero no son complicadas.
01: Para comenzar con algo fácil; resuelva la siguiente ecuación: x
x + 2 + 2 x + 1 = 1
02: Usted seguramente es de las personas que creen que tienen una estatura bien deter-minada, por ejemplo, 1.68m. Mida su estatura al levantarse y luego antes de acostarse. Se convencerá que tal crencia es infundada.
03: Posiblemente usted también cree que si una afirmación es falsa, entonces la ne-gación de tal afirmación debe ser verdadera. Pero...
ESTA FRASE ESTÁ CONSTRUIDA CON OCHO PALABRAS [falso]
ESTA FRASE NO ESTÁ CONSTRUIDA CON OCHO PALABRAS [falso]
04: De entre las afirmaciones que aquí presento, cuatro son falsas; descúbralas: i) x, y ∈ R , x2 + xy + y2 = 0 → x = y = 0 ii) x 6= 0 , √ x 1 + x2 = 1 q 1 + x12 iii) x 2− 1 x − 1 = x + 1 iv) x, y ∈ R , x2 − xy + y2 = 0 → x = y = 0 v) (√a)(√b) =p(ab) vi) N X k=1 ak−1Xk = N +6 X j=7 aj−7Xj−6
05: Sobre un piso plano se colocan dos postes verticales, que sobresalen 10 y 15 metros sobre el nivel de suelo, separados por una distancia L. Por medio de tirantes (recti-líneas) se conectan los extremos superiores da cada poste con el extremo inferior del otro poste (formando una especie de X).
Si la altura del punto de corte de los tirantes es de 6 metros ¿Cuánto vale la distancia L entre los postes?
06: Conecte las casillas de las letras iguales, trazando líneas que no salgan del rec-tángulo, ni se corten entre sí.
A A B B C C D D
07: De AB = 0 muchos deducen que A = 0 ó B = 0. Tal cosa es cierta en el caso de los números reales y de los números complejos; pero tal cosa no tiene porque ser válida en el caso de las matrices ... por ejemplo:
A = r 1 −r −1 ! , B = p q −rp −rq ! , C = 1 1 −r −r ! , D = r 1 −r2 −r !
Verifique que AC = CA = 0, AB = 0, pero BA = (p − q)D
08: El bloque reposa sobre una mesa fija al suelo. La fuerza F, aplicada al bloque no es suficiente para romper el estado de equilibrio. [DCL=Diagrama de Cuerpo Li-bre] Puesto que el DCL mostrado al centro es incorrecto, se prefiere el DCL, del lado derecho ¿Su opinión?
F
GF
W
N
f
GF
W
N
f
09:En algunos textos de Física General se suele encontrar las dos siguientes afirmacio-nes:
i) La fricción se opone al movimiento
ii) La fuerza de un auto se encuentra en el motor
¿Cómo es que entonces un auto reposando sobre un piso horizontal, completamente liso, no puede iniciar el movimiento cuando se pone en funcionamiento su motor? 10: Sobre la Tierra prácticamente actúa sólo la fuerza de atracción del Sol (las fuerzas de los otros planetas son insignificantes).
¿Cómo se explica que la Tierra no se precipite sobre el Sol. Peor aún, que durante algunos meses del año la Tierra se aleje del Sol? (es decir, aumenta la distancia entre la Tierra y el Sol).
12) CONJUNTOS (esto es una revisión y una aclaración de ciertos conceptos) 12.1) Existen buenos y malos conjuntos. Malos conjuntos serían por ejemplo: { mi primera idea de ayer, alguna cosa } , { x / x es un día caluroso }, {p / p es uno de los pensamientos de Einstein },
{z / z es un peruano}, {h / h es una hoja de este árbol } Estos, ¿Por qué?
Cuando uno se refiere a un conjunto (matemático) está suponiendo que se trata de un buen conjunto, pero tal cosa puede no ser cierta. Por eso es conveniente tener cuidado. Un buen conjunto, C, se caracteriza por lo siguiente: Dado un objeto cualquiera, X, no existen dudas para afirmar una de las dos posibilidades, X ∈ C ó X /∈ C.
{Las hojas de este árbol, los días calurosos, las personas inteligentes, los libros desco-nocidos, los peruanos, las mujeres altas, etc}
12.2) En un conjunto no interesa el orden en el que se escriben sus elementos, ni tampoco interesa si algunos de los elementos están repetidos:
{ UNA, CHINA, EN, LA, UNIVERSIDAD} = { UNA, UNIVERSIDAD, EN LA CHI-NA}
{c, a, r, r, e, t, e, r, a} = { c, a, r, r, e, t, a} = { c, r, e, t, a} 12.3) ATENCIÓN: El conjunto { l, l, l, l}
¿Está constituido por cuatro hojas, tres hojas, dos hojas; o por una sola?
A veces conviene considerar conjuntos ordenados. Cuando se especifica que un conjunto es ordenado, entonces los elementos de tal conjunto deben ser escritos en el orden especificado. Sus elementos suelen mostrarse encerrados entre dos parén-tesis, o de alguna otra forma que no causa confusión. Por ejemplo, una palabra es un conjunto ordenado de ciertas letras, (c, a, r, r, e, t, a)≡ carreta 6= careta. Cuan-do en un conjunto ordinario algún elemento aparece repetidamente dichas repeticiones pueden ser suprimidas. En cambio, en un conjunto ordenado tal simplificación no se puede realizar.
{e, l, e, m, e, n, t, a, l, m, e, n, t, e} = {m, e, n, t, a, l}, pero (e, l, e, m, e, n, t, a, l, m, e, n, t, e) 6= (m, e, n, t, a, l)
El conjunto ordenado 05 08 01 significa en el Perú, el día 5 de agosto del año 2001, en cambio en EEUU significa el día 8 de mayo del año 2001.
La escritura posicional de un número en la base decimal (o cualquier otra base) es un conjunto ordenado de números naturales; por ejemplo 334602 6= 334620 Para pares ordenados (a, b)= (c, d) ⇐⇒ a = c y b = d
{ A los alumnos de la FC que han oído sobre la escritura de los números en la base dual se les puede clasificar en 10 clases: i) Los que no entendieron el asunto, ii) Los que sí lo entendieron}
CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS:
13) Sea g un conjunto de pares ordenados de objetos, por ejemplo, g = {(a, 1), (♯, ♯), (′′, 4), (Y, Y), (Y, Y), (a, 1), (
Z ,
Z
donde debemos recordar que no interesa en qué orden se escriban los elementos de g (es decir, el conjunto g no es ordenado; los elementos de cada par sí son ordenados). Al conjunto de las primeras componentes de g lo designaremos con Dg y le damos el
nombre de dominio de g , al conjunto de las segundas componentes lo llamaremos rango de g y lo designaremos con Rg Dg = {a, ♯,′′, Y, Y, Z , ♦} Rg = {1, ♯, 4, Y, Z , ♦}
13.1) Por otra parte, definimos el conjunto gin , llamado conjunto inverso de g , como
el conjunto de pares ordenados que se obtiene al intercambiar, en cada par, la primera con la segunda componente, es decir,
(x, z) ∈ gin ⇐⇒ (z, x) ∈ g 13.2) Ahora, el conjunto h de pares ordenados:
h = {(a, 1), (a, ♯), (′′, 4), (Y, Y), (Y, Y), (Y, Z
), (♦, ♦), (23, 0), (0, 0)} se diferencia del conjunto g, entre otras cosas por lo siguiente:
1. En el conjunto g no existen dos pares ordenados diferentes que posean la misma primera componente. [Notemos que el par ordenado (a, 1) está repetido; no se trata de dos pares diferentes. Notemos también que en g existen pares ordenados diferentes que tienen la misma segunda componente]
2. En el conjunto h si existen (por lo menos) dos pares ordenados diferentes que tienen la misma primera componente, por ejemplo, (a, 1) y (a, ♯)
Determine a cuál tipo de conjuntos (al tipo g , o al tipo h) pertenece cada uno de los siguientes conjuntos: f1 = {(r, s)/r ∈ R , r2+ 4r + s = 4} f2 = {x, y)/x ∈ R , x4+ y4 = 1} f3 = {(y, x)/x, y ∈ R , x > 0, y2+ x2 = 1} f4 = {(p, q)/p ∈ R , p3+ q3 = 1} f5 = {(g, h)}
f6 = {(sen, cos), (cos, −sen), (tan, sec2), (exp, exp), (In, n · In−1), (sen3, 3cos3)}
donde In, sen
3 y cos3, son funciones tales que: In(x) = xn, sen3(x) = sen(3x),
cos3(x) = cos(3x)
f7 = {(sen, cos), (cos, cos), (tan, cos), (exp, cos), (In, cos), (sen3, cos)}
f8 = {(x, y) / x ∈ R , y = ax+bcx+d , las constantes son reales}
f9 = {(x, y) / x ∈ R, y = −(cx−a)dx−b , las constantes son reales}
f10= {(,, ,), (2, ,), (_, [), (D, 8), (QPPPPPPR, )}
⁅Consideremos dos pares de f1 que posean la misma primera componente, (r, s) y (r, t).
Si resultase que necesariamente s = t , entonces se trata de un único par, repetido, y f1 sería del tipo g. Si existiesen objetos s , t diferentes, entonces f1 será del tipo h.
Ahora (r, s) , (r, t) ∈ f1 → r2+ 4r + s = 4 ∧ r2+ 4r + t = 4
→(restando) s − t = 0 → s = t.
Para f2 tendremos: (x, w), (x, z) ∈ f2 → x4+ w4 = 1 ∧ x4+ z4 = 1
→ w4− z4 = 0 → (w2+ z2)(w2− z2) = 0 → a) w2+ z2 = 0 → w = z = 0 ,
b) w2− z2 = 0 → (w + z)(w − z) = 0 → b
1) w = z , b2) w = −z en cuyo caso, no siendo
nulos, w, z son números diferentes y f2 resulta ser del tipo h.
Para f3 tendremos: (y, x), (y, z) ∈ f3 → y2+ x2 = 1, y2+ z2 = 1 → x2− z2 = 0
→ a) z = x , b) z = −x pero en f3 las segundas componentes de sus pares ordenados
son positivas, luego z = −x se cumplirá solamente cuando z = x = 0; f3 es del tipo g.
Por otro lado (p, q), (p, r) ∈ f4 → q3− r3 → (q − r)(q2+ qr + r2) = 0
→ a) q = r , b) q2+ qr + r2 = 0 → q2+ 2qr + r2 = qr → (q + r)2 = qr ≥ 0 → si qr > 0
entonces en w2+ qr + r2 los tres sumandos serían positivos, y la suma no podría ser
nula → qr = 0 → q2+ r2 = 0 → q = r = 0. Es decir, sólo queda la posibilidad q = r.
Entonces f4 es del tipo g.⁆
13.3) Sean los conjuntos de pares ordenados: M = {(x, z) / x4+ z4 = 16 con x real, z < 0}
N = {(p, q) / p4+ q4 = 16 con p, q reales}
P = {(1, 1), (1, 2), (p, q), (x, y) / p, q, x, y son letras del abecedario}
13.4) Los conjuntos N y P anteriores son tales que si uno conoce el conjunto (es decir conoce todos sus elementos) y conoce la primera componente de uno de sus
pa-res, a veces NO ES POSIBLE determinar (en forma única) el correspondiente segundo elemento del par. Es decir, existen pares diferentes que tienen la misma primera com-ponente; por ejemplo, (0, 2), (0, −2) ∈ N , (1, 1), (1, 2) ∈ P
13.5) Por otra parte, supongamos que en el conjunto M existan dos pares diferen-tes con la misma primera componente: (a, b), (a, c) ∈ M , entonces a4 + b4 = 16 ,
a4 + c4 = 16 . restando obtenemos b4 − c4 = 0 , es decir, (b − c)(b + c)(b2+ c2) = 0 ;
pero por la condición del conjunto M tanto b como c son negativos, entonces b + c < 0 , b2+ c2 > 0 . Es decir, b − c = 0 , con lo cual los dos pares resultan ser iguales.
Nues-tra suposición de que existan dos pares diferentes con la misma primera componente resultó contradictoria; luego dicha suposición es falsa.
14) DEFINICIÓN: Un conjunto de pares ordenados (pares de objetos cualesquiera, pero bien definidos) en el que no existan dos pares diferentes con la misma prime-ra componente, será bautizado con el nombre de función.
Identifique, entre los conjuntos fk de 13.2, aquellos que son funciones.
{ f1, f3, f4 son funciones; f2 no lo es. Es claro que f5 es del tipo g , pues no
exis-ten dos pares diferentes, luego es una función. }
14.1) Nótese que dada una función f , y dada una de las primeras componentes de sus pares, x , entonces la correspondiente segunda componente, z , queda bien determi-nada (esto no se cumple en un conjunto de pares ordenados que no sea una función). Es decir, podemos afirmar que z ≡ [f, x] , lo que suele escribirse así: z = f(x) . O también f es una función 7−→ { z = f(x) ⇐⇒ (x, z) ∈ f}
14.2) ¿Cuáles de las siguientes conjuntos son funciones? A = {(1, 2), (ϕ, κ), (λ, µ)}
B = {(p, p)}
D = {(sen, cos), (cos, −sen), (tan, sec2), (cotan, −cosec2), (I7, 7I6), (sen3, 3sen2· cos)}
D0 = {(f, g) / f, g son funciones reales de una variable, donde g(x) = l´ım h→0 f (x + h) − f(x) h } E = {((x, y, z); (xyz, x2+y z))/ 0 < x < 1, 2 < y < 10, −7 < z < 0} F = {(g, Z 7
2 g(x)dx) donde g es una función integrable de variable real}
Fa= {(g, g(a)) donde g es una función continua de variable real; a es un número real}
G = {(A, 1), (B, 2), (C, 3), (D, 4), (E, 5), (F, 6) donde; A, B, C, D, E, F, G son los conjuntos dados más arriba}
I = {(s, s) / s ∈ A ⊂ R} En realidad deberíamos escribir Ia
In= {(p, q) / q = pn, con p ∈ S ⊂ R}
senw = {(θ, sen(wθ)) / θ ∈ U ⊂ R} ¿Cuantas funciones sen1 existen?
ew = {(θ, ewθ), / θ es un entero}
M = {(x, y) / x4+ y4 = 16 con x real , y > 0}
N = {(p, q) / p4+ q4 = 16 con p, q reales}
P = {(1, 1), (1, 2), (p, q), (x, y) / p, q, x, y son letras del abecedario}
14.3) Usualmente se escribe una función solamente dando la fórmula para la segunda componente, sin especificar el rango; por ejemplo la función: y =r sin(x)
81 − x2
¿Qué significa tal cosa? Se trata de la función: f = {(x, y) / y = r sin(x)
81 − x2 con x ∈ A ⊂ R}
Donde el conjunto A es el máximo posible, tal que las dos componentes existan y re-sulten reales. En el ejemplo no está permitido x = −9 ni x = 25π
2 ; en cambio es claro
que f(0) = 0; pero ¿ f(327π) = 0 ? Tampoco está permitido x = 9 ni x = 19. Es decir, cuando no se especifique el dominio de la función, entonces deberá suponerse que se trata del dominio máximo.
14.5) Las funciones se pueden graficar de muchas maneras. Lo importante es que la representación usada no sea confusa. Normalmente sólo las funciones de pares de números reales pueden ser representadas (en el plano) en forma “ópticamente correcta”.
14.4) Gráfico de una función con dos puntos de discontinuidad:
Ecuación de una función con dos pun-tos de discontinuidad f(x) = x4− 1
x2− 1
•Un ejemplo de representación que no puede ser fiel: Si se nos dice que la figura presentada es un cubo, entonces debemos aceptar que el ángulo ABC es recto, y que las longitudes de los segmentos AB, BC y CD son iguales, aunque parezca que eso no es así ¿Cuánto vale la suma
de los tres ángulos que forman los tres segmentos que concurren en C? A B C D
15) Dadas dos funciones f, g se construye una nueva función, denominada la función compuesta de g con f , designada con g ◦ f
g ◦ f = {(p, q) / p ∈ Df , f (p) ∈ Dg , q = g(f (p))}
f g
Df Rf D
g Rg
gof
más arriba.
16) Si f es una función, y su conjunto inverso, fin , también es una función,
en-tonces diremos que f es invertible y que fin es la función inversa de f.
Verifique que f ◦fin = fin ◦f = I donde D
I = Df.
16.1) Verifique que si f es invertible f(x) = f(z) ⇒ x = z
17) Sea n un número natural; consideremos las funciones de la forma:
f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), · · · , (k, ak), · · · , (n, an)} donde ak ∈ [n] ≡ {1, 2, 3, · · · , n}
y, por supuesto, f(k) = ak. Nótese los ak no tienen porque ser diferentes entre sí.
17.1) Cuando una función de 17: sea invertible recibirá el nombre de permutación (del conjunto [n]). Diremos que f ◦ g, es el producto de composición de tales funciones. [Nótese que en este producto sí importa el orden de los factores] Verifique que si p es una permutación, entonces pj = k ⇔ (pin)k = j
17.2)Designemos con Pn al conjunto de todas las funciones invertibles de la forma
dada en 17(formadas por n pares de números naturales). Entonces verifique que:
i) f, g ∈ Pn ⇒ f ◦ g ∈ Pn ii) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
iii) Existe una función I ∈ Pn tal que I ◦ f = f ◦ I = f para toda f ∈ Pn iv) Para toda f ∈ Pn existe otra función fin∈ Pn tal que f ◦ fin= fin ◦ f = I
v) Pn , con la operación composición, es grupo.
.
17.3) Sean las funciones f , g tales que f(x) = 1
x − 1 , g(x) = 1 x
.[NOTA: Cuando no se define explícitamente el dominio de una función debe supo-nerse que se trata del máximo. dominio posible].
Resolver las dos siguientes ecuaciones: f ◦ u = g , v ◦ f = g. ⁅f ◦ u = g → f(u(x)) = g(x) → 1 u(x) − 1 = 1 x → u(x) − 1 = x → u(x) = x + 1 v ◦ f = g → v(f(x)) = g(x) → v(x−11 ) = 1 x . Por otra parte f(x) = 1
x − 1 → x = 1 + 1 f (x) Entonces v(f(x)) = 1 x = 1 1 + f (x)1 = f (x)
1 + f (x), de donde podemos escribir v(z) = z 1 + z Verifique que ambas soluciones son correctas⁆
18) Suma de dos funciones: f + g = h ⇔ h(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ Df ∩ Dg
18.1) Suma de dos funciones: f · g = h ⇔ h(x) = f(x) · g(x) ∀ x ∈ Df ∩ Dg
18.2) Suma de dos funciones: f
g = h ⇔ g(x) 6= 0, h(x) = f (x)
g(x) ∀ x ∈ Df ∩ Dg
18.3) OTROS: Para una función se puede definir su valor máximo, sus puntos es-tacionarios, su norma (de muchas maneras), regiones de continuidad, regiones de deri-vabilidad, etc.
19) Sea la función F = {(p, q) / p = (x, z) ∈ R2 , q = (x2, xz, z
1 + |x|)} i)Verifique que F es invertible
ii)Determine Fin
19.1) Sea la función F = {(p, q) / p = (x, y, z) ∈ R3 , q = (x2+ y2, xyz)}
i)Vea si ella es invertible
ii)Determine F (1, −2, 3) y F (2, 1, −3)
19.2) Sea la función Z = {((r, s), m) / m = r + s2}, construya la función f tal
que f(x, y) = F (x, y, Z(x, y))
19.3) Sean las funciones f1(t) = 2sen(t), f2(t) = exp(t), f3(t) = t; construya la
19.4) Construya la función u tal que u(x) = F (x, f2(x), Z(f1(x), x))
20) La Derivada Direccional. Sea una función F con dominio DF y rango RF
tales que la operación
[F (p + h · v) − F (p)] h
tenga sentido, siendo h un número real “pequeño”. Por ejemplo, para la función de 19.1: tendríamos , con v = (r, s, t) , que p + h · v = (x + hr, y + hs, z + ht) , de donde F(p+h·v)− F(p) = (x + hr)2+ (y + hs)2+ (x + hr)(y + hs)(z + ht) − x2+ y2+ xyz ; es
decir, F(p+h·v)− F(p) = h(2xr + 2ys + xyt + xzs + yzr) + h2(r2+ s2+ xst + yrt + zrs)
, de donde F (p+h·v)−F (p)h = (2xr + 2ys + xyt + xzs + yzr) + h(r2+ s2+ xst + yrt + zrs)
20.1) Supongamos que v sea una cantidad unitaria (por el momento no interesa mucho el significado de tal afirmación), entonces el número h será, de alguna manera, la me-dida de la distancia entre los objetos p y p + hv. Así F (p+h·v)−F (p)
h es el cociente entre
la diferencia de los ‘valores’ de F en los puntos p y p + hv, y la distancia entre dichos puntos. Recordemos que, en el caso de funciones ordinarias, [f (x+h·1)−f(x)]h es la pen-diente de la secante de la recta que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h·1, f(x+h·1)). 20.2) Como en el caso de la derivada ordinaria, cuando h tienda a cero, a veces existirá el límite del cociente F (p+h·v)−F (p)
h , pero otras veces él no existirá. Cuando dicho límite
exista diremos que él es la derivada direccional de la función F en el punto p y en la dirección v. [DvF ](p) ≡ l´ım h→0 F (p + h · v) − F (p) h 20.3)Ejemplos:
i) F(p,q,r) = [pq,qr], es decir, Df ⊂ R3, Rf ⊂ R2 derivada en la dirección k = [a, b, c].
F (x + hk) − F (x) = [(p + ha)(q + hb),q + hbr + hc] − [pq,qr] = [(p + ha)(q + hb) − pq,q + hbr + hc− qr] = [h(pb + aq) + h2ba,h(br − qc) r(r + hc)] = h[(pb + aq) + hba, br − qc r(r + hc)] Entonces DkF (p, q, r) = [pb + aq,br − qc r2 ]
ii) G(p, q, r) = p · q2 + q · r2 ∈ R , que es un ejemplo de una función de 3 variables
(reales), con valores reales, lo que se conoce como un campo escalar. En la dirección v = (x, y, z). Ahora:
G(p + hx, q + hy, r + hz) − G(p, q, r) = (p + hx)(q + hy)2+ (q + hy)(r + hz)2− p · q2− q · r2
= h(xq2 + 2ypq) + h2(y2p + 2qxy) + h3y2+ h(yr2+ 2zqr)+
h2(z2q + 2ryz) + h3z2
Entonces, DvG(p, q, r) = xq2+ 2ypq + yr2+ 2zqr
iii) J(g) =
Z b
a
[g2 + g’·g] , donde se supone que g es una función integrable en el intervalo (a, b) , y también que posee 2a derivada continua. La “dirección”, es ahora
una cierta función. Así, J(g + h) − J(g) = Z b a {[(g + hv) 2 + (g’+hv’) · (g + hv)] − [g2+ g’·g]} = Z b a {2h · g · v + h 2v2+ h(g’v + gv’) + h2v’v} Entonces, DvJ(g) = Z b a {2 · g · v + (g’v + gv’)}
iv) Sea la función G anterior.
Ahora construimos la funcional J(f) = Z b
a
G[f (t), f′(t), t]dt Calcular DvJ(g) , donde
es una función dada.
Primeramente recordemos que podemos escribir el desarrollo en serie de Taylor: G(p+hα, q +hβ, r) = G(p, q, r)+hαG1(p, q, r)+hβG2(p, q, r)+ (hα)2 2 G11+ (hβ)2 2 G22+ . h 2αβ 2 G12+ O(h 3)
donde los subíndices indican con respecto a cual de las variables (la 1a, la 2a ó la 3a variable). Ahora: J(f + hv) − J(f) = Z b a {G[f(t) + hv(t), f ′(t) + hv′(t), t] − G[f(t), f′(t), t]}dt
Pero, teniendo presente que f(t)+hv(t) , f′(t) + hv′(t) , t , f (t) , f′(t) , son 5 números,
y considerando el desarrollo de Taylor anterior, tendremos: J(f + h) − J(f) = Z b a {hv(t)G 1(p, q, r) + hv′(t)G2(p, q, r) + (hv(t))2 2 G11+ (hv′(t))2 2 G22+ (hv(t)v′(t)) 2 G12+ O(h 3 )}dt donde por supuesto, p = f(t), q = f(t)′ , r = t.
Entonces, DvJ(f ) =
Z b
a {v(t)G
1(p, q, r) + v′(t)G2(p, q, r)}dt
20.4) Sea una función F tal que DF ⊂ Rn , entonces la variable independiente p ,
como la dirección v, serán vectores n-dimensionales. En particular podemos tomar la dirección v = ekdel k-ésimo eje de coordenadas; así tenemos Dk≡ Dek . Dicha derivada
direccional suele escribirse ∂ ∂xk
, es decir, ∂F (x) ∂xk ≡ Dk
F (x) 20.5)Sea F (p, q, r) = p2qr + ep
r ¿Qué significan las siguientes expresiones? i) ∂F (p, q, r) ∂x ii) ∂F (p, q, r) ∂x iii) ∂F (3, 4, 3) ∂x iv) ∂F (p, x, r) ∂x v) ∂F (x, x, x) ∂x vi) ∂F (z, z, z) ∂x vii) ∂F (xyz, x 2,1 x) ∂x viii) ∂F (p, g(x), r) ∂x ix) ∂F (g(x), q, r) ∂x x) ∂F (g(p), g′(q), g′′(r)) ∂x donde g(t) = 2 · t2+ 3 · t
20.6) Para la misma función F (p, q, r) = p2qr + ep
r ¿Qué significan las siguientes expresiones?
i) D1F (p, q, r) ii) D1F (p, q, r) iii) D1F (3, 4, 3)
iv) D1F (p, x, r) v) D1F (x, x, x) vi) D1F (z, z, z)
vii) D1F (xyz, x2,x1) viii) D1F (p, g(x), r) ix) D1F (g(x), q, r)
x) D1F (g(p), g′(q), g′′(r))
De 20.5 y 20.6 podemos apreciar las ventajas de usar D1F , D2F , D3F , en vez
de ∂F ∂x , ∂F ∂y , ∂F ∂z.
20.7) [Una tarea trabajosa] Sean las funciones dadas en 19: F = {(p, q) / p = (x, y, z) ∈ R3 , q = (x2+ y2, xyz)}
Z = {((r, s), m) / m = r + s2}
f1(t) = 2sen(t) , f2(t) = exp(t) , f3(t) = t
g(t) = F (f1(t), f2(t), f3(t)) , u(x) = F (x, f2(x), Z(f1(x), x))
Grupos
• Definición y un ejemplo.
• Algunos teoremas sobre las principales propiedades de los grupos. • 30 ejemplos de grupos.
• Tabla de un Grupo (como una especie de Tabla de Multiplicación) • Grupo de permutaciones.
• Grupos de rotaciones de figuras geométricas que poseen algunas simetrías. • Subgrupo
Sean un conjunto ζ y una función g : ζ × ζ → ζ. Diremos que el par (ζ, g) es un grupo si se satisfacen los siguientes postulados:
1) El dominio de la función g es todo ζ × ζ y el rango es todo ζ.
2) La función (operación) es asociativa: g(g(x, y), z) = g(x, g(y, z)) ∀ x, y, z ∈ ζ. 3) ∃ e ∈ ζ tal que ∀ x ∈ ζ se cumple g(x, e) = x (identidad por la derecha) 4) ∀x ∈ ζ ∃ x′ ∈ ζ tal que g(x, x′) = e (inversa por la derecha)
Ejemplo: Sean p, q números racionales, tales que p2+ q2 6= 0 . Sea ζ el conjunto
de los números reales de la forma z = p +√2q . Por otra parte, definimos la función g como el producto ordinario de dos números reales, es decir, g(p +√2q, u +√2v) = pu + 2qv +√2(pv + qu) . ¿Es un grupo el par (ζ, g)? Veamos:
1. a) ¿Es el dominio de la función g, todo ζ × ζ ? Se verifica directamente. b) ¿Es el rango de g todo ζ? Es decir, dado un elemento p +√2q , ¿Existen
a +√2b y c +√2d , tales que (a +√2b)(c +√2d) = p +√2q?
Verifique que tal cosa es cierta. Tenga presente que ni a2 − 2b2 ni c2 − 2d2
pueden ser nulos.
2. ¿Es asociativa la función (operación) g ; es decir, g(g(x, y), z) = g(x, g(y, z)) ∀ x, y, z ∈ ζ?
Verifíquelo.
3. ¿∃ e ∈ ζ tal que ∀x ∈ ζ se cumple g(x, e) = x ?
Sea p +√2q un elemento de ζ tal que para todo a +√2b se cumple
(a +√2b)(p +√2q) = a +√2b ⇒ ap + 2bq = a , aq + bp = b ⇒ p = 1 , q = 0. 4. ¿∀ x ∈ ζ ∃ x′ ∈ ζ tal que g(x, x′) = e ? Verifique que (a +√2b)′ = (a − √ 2b) (a2− 2b2)
¿Qué sucede si a =√2b? (a, b racionales)
⇒ el par (ζ, g) de este ejemplo, es un grupo. Además es un grupo abeliano (es decir, conmutativo).
Teorema 1 Si g(x, x′) = e ⇒ g(x′, x) = e [La inversa por la derecha es también inversa por la izquierda]
En efecto, sea x′′ tal que g(x′, x′′) = e, entonces:
g(x′, x) = g(g(x′, x), e) = g(g(x′, x), g(x′, x′′)) = g(g(g(x′, x), x′), x′′) = g(g(x′, g(x, x′)), x′′) = g(g((x′, e), x′′) = g(x′, x′′) = e
⁅Otro: Sean los elementos g(x′, x) y g(x′, z) con z arbitrario.
g(g(x′, x), g(x′, z)) = g(g(g(x′, x), x′), z) = g(g(x′, g(x, x′)), z) = g(g(x′, e), z) = g(x′, z)
⇒ g(g(x′, x), g(x′, z)) = g(x′, z) , z arbitrario ⇒ g(x′, x) = e ⁆
Teorema 2 g(e, x) = x [Identidad por la izquierda también resulta ser identidad por la derecha]
En efecto, g(e, x) = g(g(x, x′), x) = g(x, g(x′, x)) = g(x, e) = x.
Teorema 3 La identidad e es única.
En efecto, g(x, f) = x ∀x ⇒ g(e, f) = e . Por otra parte, para la identidad f se cumple g(x, f ) = g(f, x); es decir, e = g(e, f ) = g(f, e) = f .
Teorema 4 La inversa x′ es única En efecto, sea g(zx, x) = e, entonces:
x′ = g(x′, e) = g(x′, g(x, z x)) = g(g(x′, x), zx) = g(e, zx) = zx. Además x 6= z ⇒ x′ 6= z′ Teorema 5 (x′)′ = x En efecto, x′′≡ (x′)′ = g(x′′, g(x′, x)) = g(g(x′′, x′), x) = g(e, x) Teorema 6 g(x, z)′ = g(z′, x′) En efecto: g(x, z)′ = g(g(x, z)′, e) = g(g(x, z)′, g(g(x, z), g(z′, x′))) = g(g(g(x, z)′, g(x, z)), g(z′, x′)) = g(e, g(z′, x′)) = g(z′, x′) Teorema 7 g(a, x) = c ⇒ x = g(a′, c)
Teorema 8 g(x, b) = c ⇒ x = g(c, b′)
Teorema 10 Supongamos que exista un elemento q ∈ C tal que g(q, x) = g(x, q) , es decir, q conmuta con todos los elementos de C.
Entonces, con la nueva operación K, tal que K(x, z) = g(g(x, z), q), el par (C, K) es un grupo (caracterizado por el elemento q)
En efecto, K(x, E) = x ⇒ x = g(g(x, E), q) = g(x, g(E, q)) ⇒ g(E, q) = e ⇒ E = q′.
Por otra parte, para el elemento inverso xo (según K) tendremos E = K(x, xo)
⇒ q′ = g(g(x, xo), q) = g(q, g(x, xo)) pues q conmuta
⇒ e = g(q, q′) = g(g(q, q), g(x, x)) = g(g(q2, x), x)
⇒ xo = g(q2, x)′ , donde q2 ≡ g(q, q)
NOTA: Puede ser más cómodo usar x ⊗ z ≡ g(x, z).
Así, por ejemplo, para el primer teorema, con x′′ ≡ (x′)′ , tendríamos:
x′⊗ x = (x′ ⊗ x) ⊗ e = (x′⊗ x) ⊗ (x′ ⊗ x′′) = ((x′⊗ x) ⊗ x′) ⊗ x′′ = (x′⊗ (x ⊗ x′)) ⊗ x′′ = (x′ ⊗ e) ⊗ x′′ = x′⊗ x′′= e
⇒ x′⊗ x = e
EJEMPLOS de grupos:
E01) Los números reales de la forma a = x + z√3 , con x , z racionales; y la ope-ración suma (x + z√3) + (u + v√3) = x + u + (z + v)√3 . Aquí obtenemos que: e = 0, (x + z√3)′ = −x − z√3.
Verifque la asociatividad.
E02) a = x + z√3 y el producto (x + z√3)(u + v√3) = (xu + 3zv) + (xv + zu)√3 con e = 1 + 0√3 , (x + z√3)′ = −x 3z2− x2 + z 3z2 − x2 √ 3 .
Verifique la asociatividad. [Vea qué pasa si se considera a = x + z√4] E03) Las seis funciones f0(x) = x , f1(x) = 1 − x , f2(x) =
1 x , f3(x) = 1 1 − x , f4(x) = 1 − 1 x , f5(x) = x
x − 1 y la composición. ¿Dominio de las funciones?
cambio f3 ◦ f3 = f4 , f4 ◦ f4 = f3 . Note que del dominio común de las funciones debe
excluirse a los números x = 0, x = 1. Verifique la asociatividad ⁆ E04) Las 3 funciones I(x) , f(x) = x − 1
x , g(x) =
1
1 − x y la composición. ¿Dominio?
E05) Los enteros y la suma.
E06) Los racionales no nulos y el producto. E07) Grupos con 1 , 2 ó 3 elementos.
⁅ i) Si el grupo tiene un único elemento, dicho elemento tendrá que ser la identidad. ii) Si tiene dos elementos, ellos serán e, a .El resultado de g(a, a) sólo puede ser e ; pues
de g(a, a) = a obtenemos g(g(a, a), a′) = g(a, a′) ⇒ g(a, g(a, a′)) = e ⇒ a = e lo
que es falso. Es decir, a′ = a.
iii) Para 3 elementos tendremos e, a, b.
La operación g(a, b) = x , donde x no puede coincidir ni con a ni con b [pues, x = a ⇒ g(a′, g(a, b)) = g(a, a′) ⇒ g(g(a′, a), a) = e ⇒ g(e, a) = e ⇒ a = e]:
luego g(a, b) = e.
Entonces g(a, a) ni g(b, b) pueden ser iguales a e [Pues g(a, a) = e = g(a, b) & T eorema 9 ⇒ a = b]. Pero g(a, a) 6= a ⇒ g(a, a) = b. Análogamente g(b, b) = a .⁆
.
ATENCIÓN: Por convención, en una tabla, para la operación g(p, q) se toma p en la primera columna de la izquierda; q en la primera fila superior.
E07.1) Grupos con n = 4 elementos: e, a, b, c. (ver figura)
α) Supongamos que g(a, a) = b,
luego g(a, b) = e ó c.
i) g(a, b) = e →g(a, c) 6= b, e; pero g(a, c) 6= a, c →g(a, c) 6= e, a, b, c ii) g(a, b) = c →g(a, c) = e
Además, de g(a, a) = b obtenemos que g(a, b) = g(a, g(a, a)) = g(g(a, a), a) ⇒ g(a, b) = g(b, a) (ya tenemos todos los resultados g(a, x)).
e a b c
a e → c→ b
b c → a, e e, a
c b e, a a, e
• Resultan 2 posibilidades.
• Los 2 grupos resultan abelianos • En una Tabla de grupo podemos intercambiar el nombre de las letras; eso no es interesante.
.
Ahora veamos g(b, x) : g(b, a) = g(a, b) = c. Luego g(b, b) = a ó e. Pero g(b, b) = a →g(b, c) = e , y como g(a, c) = e resultaría que b = a. Entonces debe ser g(b, b) = e →g(b, c) = a. Para los g(c, x) se obtiene entonces g(c, a) = e, g(c, b) = a, g(c, c) = b. β) Ahora g(a, a) = e, entonces g(a, b) no puede ser ni e , ni a , ni b ; es decir, g(a, b) = c →g(a, c) = b.
Para g(b, x) : Tenemos que g(b, a) no puede ser ni e , ni a , ni b ; entonces g(b, a) = c Esto está indicado en la Tabla de grupo, al lado derecho. Para g(b, b) surgen dos op-ciones i) g(b, b) = a , ii) g(b, b) = e. Note que g(b, b) = c →c = e.
Complete el análisis y verifique la asociatividad. Así que para 4 elementos existen 3 grupos diferentes:
e a b c a b c e b c e a c e a b e a b c a e c b b c e a c b a e e a b c a e c b b c a e c b e a
ACLARACIÓN 1: Supongamos que, por ejemplo, tenemos un grupo constituido por los elementos que representamos por las letras e, a, b, c, u, v. Luego de esto, alguien podría denominar al tercer elemento con la letra v (en vez de la letra b), y al último elemento lo denomina con la letra b (en vez de la letra v), ¿Habrá obtenido un nuevo
grupo? A los grupos que tienen la misma estructura de grupo (tienen la misma tabla de grupo), sólo que sus elementos han sido designados con diferentes nombres se los denomina isomorfos (que tienen la misma forma de grupo). Los grupos isomorfos no son considerados como grupos diferentes. [El concepto de isomorfismo es más amplio; pero, el isomorfismo por cambio de nombres es un caso sencillo particular]
ACLARACIÓN 2: Note que si en una tabla de grupo se permutan las filas (o se per-mutan las columnas), entonces la operación de grupo no es modificada. Es decir, no interesa en que orden se escriben las columnas (o en que orden se escriben las filas). Pero puede ser conveniente escribirlas en determinado orden.
E07.2) Verifique que la segunda y la tercera tablas representan a un mismo grupo. Es decir,existen únicamente dos (diferentes) grupos de 4 elementos.
E07.3) Construya la tabla para los posibles grupos: i) De dos elementos {e, a}
ii) De tres elementos {e, a, b}; verifique que g(a, a) = b
iii) De cuatro elementos; y verifique que existen sólo dos grupos diferentes (ver arriba)
.
E07.4) En una de las Tablas de grupo para n = 4 (son dos Tablas de grupo; una para cada grupo) con los elementos e, a, b, c, obtenga un “nuevo grupo”(aparentemente) diferente al elegido por usted, cuando intercambia las letras; por ejemplo, escriba c en vez de a, y a en vez de c.
xx) GRUPOS EQUIVALENTES o isomorfos: Sean dos grupos G = (C1, g) , H(C2, h)
tales que C1 y C2 son dos conjuntos de igual número de elementos. Sea f una
fun-ción invertible de C1 en C2 ; es decir, para ∀ p ∈ C1 , ∃ q ∈ C2 tal que f(p) = q y
f−1(q) = p ; entonces diremos que dichos grupos son equivalentes si y sólo si se
ejemplos serán mostrados más abajo.
E07.5) En el caso de los grupos de 4 elementos, en (E07.1) mostramos que existen 3 grupos, cuyas tablas de grupo se exhiben en dicho párrafo.
En este caso C1 = C2 = C3, en cambio las operaciones de grupo son diferentes; pues si
bien g1(a, b) = g2(a, b) = g3(a, b) = c ; en cambio g1(c, c) = b , g2(c, c) = e , g3(c, c) = a.
Considere la función invertible f = {(e, e), (a, a), (b, c), (c, b)} de los conjuntos C2 y C3.
Verifique que el segundo y el tercer grupo son equivalentes o isomorfos.
E08) Sea m > 1 un número natural, y sean z, r ciertos enteros. Diremos, por de-finición, que z es igual a r módulo m , lo cual escribiremos así z = r mód(m) , ó así z =m r , si y sólo si, existe un entero q tal que z = mq + r.
El conjunto Jn ≡ {0, 1, 2, 3, · · · , n − 1} recibe el nombre de Conjunto de los Enteros
módulo n.
E09) Verifique que [Jn, +] es un grupo, donde g(p, q) = p + q mód(n).
⁅Es claro que e = 0. Para el elemento inverso tendremos p + p′ =
n 0 =nn ⇒ p′ = n − p,
donde, puesto que 0 ≤ p < n ⇒ n − p ≤ n , n − p > 0, es decir, p′ = n − p ∈ J n.
Verifique la asociatividad⁆
E10) ¿Es [Jn− 0, ×] , con g(p, q) =n p×q , un grupo?
⁅Por una parte, si fuese un grupo, el elemento identidad debe ser el número 1.
A) Sea n un entero producto de otros dos enteros, n = p×q , con p, q < n entonces, p×q = 0 y no se trataría de un grupo.
B) Sea n un número primo. B1) p, q ∈ Jn ⇒ pq 6= n ó pq 6=n0
B2) 0 < p ∈ Jn, 0 ≤ q < n & pq = 0 ⇒ q = 0
B4) Sea 0 6= p ∈ Jn ⇒ p, 2p, 3p, · · · (n − 1)p son todos diferentes, entonces, alguno de
ellos p′p =
n 1 ⇒ g(p′, p) = e. La propiedad asociativa se cumple porque dicha
propie-dad se cumple para los números enteros. Luego, si n es un número primo J′
n≡ [Jn−0,×]
es un grupo}
E10.1) Para q 6= 0 definimos p
q = r ⇔ p = r×q. Construya las fracciones del grupo [Jn− {0},×]
E10.1.1) Dados los enteros positivos p , q , m , (verifique que) existe un entero no negativo k, tal que p + mk es divisible entre q.
E11) Pares ordenados de reales, [x, z] , y la suma. En general, n-uplas y la suma por componentes.
⁅Para pentuplas, e = [0, 0, 0, 0, 0], p = [p1, p2, p3, p4, p5] , p′ = [−p1, −p2, −p3, −p4, −p5],
y la asociatividad se cumple por componentes⁆
E12) Pares ordenados de reales [x, z] , con g([p, q], [x, z]) = [px − qz, pz + qx]. Aquí resulta e = [1, 0] , [x, z]′ = x x2+ z2, −z x2+ z2
, donde debe descartarse el par [0, 0].
E13) Grupo contínuo G(u) = [cos(u), sen(u)] , como un caso particular de E12, resul-tando g(G(u), G(v)) ≡ G(u)G(v) = G(u + v)
⁅ G(u)G(v) = g([cos(u), sen(u)], [cos(v), sen(v)])
= [cos(u)cos(v) − sen(u)sen(v), cos(u)sen(v) + sen(u)cos(v)] = [cos(u + v), sen(u + v)] = G(u + v)
Verifique el cumplimiento de la propiedad asociativa.⁆
E14) Las n-uplas con la suma de las componentes.
E15) G(m, n) = m + n + mn mód(p), donde m, n ∈ {0, 1, 2, 3, · · · , p − 2; p es primo} Para la inversa tener presente que dado m < p, siempre existe
m′ < p tal que m′(m+1) = kp−m (k es un entero adecuado),
por ejemplo, 1’ = 3 , 5’= 5 .
Además e = 0. [G(p − 2, p − 2) = p2− 2p = p 0]
¿Por qué no se considera p − 1 en la tabla?
Note que G(m, p − 1) =m p − 1 , con m arbitrario.
Ver la tabla para p = 7.
G mód 7 0 1 2 3 4 5 1 3 5 0 2 4 2 5 1 4 0 3 3 0 4 1 5 2 4 2 0 5 3 1 5 4 3 2 1 0
E16) Las n-uplas con ningún elemento nulo, y el producto de sus componentes g([xk], [zk]) =
[xkzk] , donde [xk] ≡ [x1 x2 x3 · · · xn] {usar x , x • ek = xk}
⁅e = [1 1 1 · · · 1], [xk]′ =
1 xk
, donde se ve la necesidad de que ningún elemento sea nulo. La asociatividad se cumple porque las componentes son asociativas.⁆
E17) Para p , x , z, reales, p no nulo; g(x, z) = x + z + pxz , con: e = 0 , x′ = −x
1 + px , x 6= 1
p . Verifique la asociatividad. Halle todas las soluciones de la ecuación g(x, x) + g(1, x) = 0 ⁅2x + px2+ 1 + x + px = 0 ⇒ px2+ 2x(3 + p) 2 + 1 = 0 ⇒ * px + p 2+ 3 2 2 = (p + 3) 2 4 − 1 ≥ 0 ⇒ (p + 3) 2 ≥ 4 ⇒ p ≤ −5 ó p ≥ −1
E18) [Desafío] ¿Cómo deben ser las matrices A, B, C, para que los ternas-columnas de números reales, con la operación: p3q = [pTAq , pTBq , pTCq] constituya un
grupo?
E19) Las simetrías de un polígono regular (rotaciones y reflexiones especulares): Triángulo ABC, Cuadrado ABCD, Polígono ABCD · · · LM
Triángulo: e(ABC) = ABC , R1(ABC) = BCA , R2(ABC) = CAB
F1(ABC) = ACB , F2(ABC) = CBA , F3(ABC) = BAC
(6 elementos que pueden verse como 6 posibles permutaciones)
Cuadrado:
e(ABCD) = ABCD , R1(ABCD) = BCDA , R2(ABCD) = CDAB
R3(ABCD) = DABC , F12(ABCD) = BADC , F23(ABCD) = CDBA
V1(ABCD) = ADCB , V2(ABCD) = CBAD
(8 elementos de las 24 posibles permutaciones)
Tetraedro:
e(ABCD) = ABCD , R11(ABCD) = ACDB , R12(ABCD) = ADBC
R21(ABCD) = CBDA , R22(ABCD) = DBAC , R31(ABCD) = BDCA
R32(ABCD) = DACB , R41(ABCD) = BCAD , R42(ABCD) = CABD
R12(ABCD) = BADC , R13(ABCD) = CDAB , R14(ABCD) = DCBA
(12 elementos de las 24 posibles permutaciones)
Verifique usted: Cubo, Círculo , Cilindro ,Esfera.
Traslación sobre una recta, sobre una circunferencia, sobre una curva, sobre el plano. • Sean a, b, c tres números reales; p , q , r tres enteros, α, β, γ ∈ {0, 1}. Diremos que el paralelepípedo cuyos 8 vértices son (pa + αa, qb + βb, rc + γc) es la celda (p, q, r). Es decir, el espacio tridimensional puede ser partido en celdas.
• A continuación consideremos un paralelepípedo P , que puede encajar perfectamente en cualquiera de las celdas. Entonces P puede ser trasladado de una celda a cualquier
otra por medio de desplazamientos paralelos a las tres direcciones determinadas por los lados de las celdas. Verifique que estas traslaciones constituyen un grupo, donde la operación de grupo consiste en realizar una traslación a continuación de otra. [Esta es la operación de grupo característica de los cristales]
E20) Las matrices de m×n (m filas y n columnas), y la operación suma. E21) Las funciones definidas en un intervalo, y la operación suma.
E21.1) Las funciones que no se anulan en un intervalo, y la operación producto de funciones.
E21.2) Las funciones definidas en un intervalo y la operación composición de funciones. E21.3) Las funciones definidas en un intervalo, y la operación f ⊗ g = f + g + αfg , donde α es un número real no nulo.
E22) Funciones invertibles, Df = Rf , con dominio U, y la composición. Es lo que se
conoce como PERMUTACIÓN. E23) Cualquiera de estos conjuntos:
{1, i, −1, −i}, {Y , [0 −1; 1 0], −Y , [0 1; −1 0]} , {Y , −Y , σ1, −σ1}, y la operación
producto son representaciones de un mismo grupo; así también (J4, +). Aquí [a b; c d]
es una matriz con dos columnas [a b] y [c d]; Y es la matriz identidad; por otra parte la matriz σ1 = [0 1; 1 0].
⁅Si designamos con E (identidad), A, B, C, los elementos de cada uno de los cuatro conjuntos anteriores, tendremos la Tabla de Grupo: La lectura B de la 3a fila, y C de la 4a
columna da g(B, C) = A, que se encuentra en la intersección de la fila y columna mencionadas.⁆
E A B C E E A B C A A B C E B B C E A C C E A B
E24.1) Conjunto de matrices de n×n y la operación A ⊗ B = A + B + αAB , con α real no nulo, y det(Y + αA) 6= 0.
⁅Para el elemento identidad:
A ⊗ E = A ⇒ A + E + αAE = A ⇒ E(Y + αA) = 0 (matriz nula). Si det(Y + αA) 6= 0, entonces E = 0.
Por otra parte, para el elemento inverso de A, tendremos:
A + A′+ αAA′ = E ⇒ A′(Y + αA) = −A , y como existe la inversa de la matriz del
paréntesis: A′ = −A(Y + αA)−1.
Para la asociatividad:
(A + B + αAB) + C + α(A + B + αAB)C = A + (B + C + αBC) + αA(B + C + αBC)⁆
E25) Dado un grupo g , y dos de sus elementos a, b, construimos la nueva opera-ción: G(x, z) = g(g(x, a), g(b, z)). Por comodidad simplificaremos g(p, q) ≡ pq , de donde G(x, z) = xabz . Entonces, G(x, E) = x ⇒ x = xabE ⇒ E = (ab)′.
Por otra parte G(x, x′) = E ⇒ xabx′ = (ab)′ ⇒ x′ = (xab)′(ab)′ = (abxab)′.
También G(x, p) = q ⇒ x = q(abp)′ = qp′E E26) Permutaciones: p = {(1, p1), (2, p2), · · · (k, pk), · · · , (n, pn)} ≡ 1 2 3 · · · k · · · n p1 p2 p3 · · · pk · · · pn ! ≡ k pk !
p(k) = pk; donde no interesa el orden en el
que se escriban los pares =
a r t · · · m · · · j pa pr pt · · · pm · · · pj ! p′ = p1 p2 p3 · · · pk · · · pn 1 2 3 · · · k · · · n ! ≡ pk k ! g(p, q) ≡ p ◦ q p ◦ q(j)= p(q(j)) ⇐⇒ j −→ p(qj) qj p(qj) ! ◦ j qj ! = j p(qj) ! p ◦ q = q1 q2 q3 · · · qk · · · qn pq1 pq2 pq3 · · · pqk · · · pqn ! ◦ 1 2 3 · · · k · · · n q1 q2 q3 · · · qk · · · qn !
p ◦ q = 1 2 3 · · · k · · · n pq1 pq2 pq3 · · · pqk · · · pqn
!
Nótese que (k, pk) ∈ p ⇐⇒ (pk, k) ∈ p′ o también pk = m ⇐⇒ p′m = k
E27) El conjunto de los reales no nulos: g(x, z) = Mxz para M 6= 0.
⁅Aquí e = 1
M, x
′ = 1
xM2. Para la asociatividad: M(Mpq)r = Mp(Mqr)⁆
E28) Verifique que la operación f(x, z) = x − z , donde x, z son enteros, no es asocia-tiva.
E29) Sea el conjunto R − {0} , y la operación f(x, z) = |x|z . Verifique que: i) La operación es asociativa.
ii) Existen dos identidades izquierdas, pero no existe identidad derecha. Pregunta: ¿Es un grupo?
E30) Constituido por las dos funciones I, f, y la operación composición, donde:
f (x) = A(Bx + A)
(1 − A2)x − AB, con A 6= 0, B arbitrarios.
Teorema 11 Sea a cierto elemento de un grupo. Verifique que {z/z = g(a, x) con x ∈ C)} = C
Concluya que en una Tabla de Grupo, tanto cada fila (así como cada columna) tiene todos sus elementos diferentes.
Teorema 12 Sea un grupo finito de 2N elementos; entonces para (por lo menos) uno de ellos, p 6= e, se cumple g(p, p) = e.
Consideremos los 2N elementos (diferentes entre sí), xk , con x1 = e ; entonces sus
elementos inversos x′
k también serán diferentes entre sí y por lo tanto, entre ellos
apa-recerán todos los elementos del grupo. Es decir, si C = {xk, k = 1, · · · , 2N}, entonces,
también {x′
k, k = 1, · · · , 2N} = C. Por una parte x′1 = e ó g(x1, x1) = e. Para un
elemento xk 6= e tenemos dos posibilidades: i) x′k= xk , ii) x′k = xm con m 6= k. Cada
vez que no se cumpla el primer caso, tendremos dos elementos, donde uno es el inverso de otro. Así tendremos, cada vez, un número par de elementos, donde la mitad de ellos son los inversos de la otra mitad. Pero, descartando la identidad, sólo disponemos de 2n − 1 elementos.
SUBGRUPO: Sea S ⊂ C, donde [g, C] es un grupo. Si [g, S] es también grupo, se dice que él es un subgrupo de [g, C], y se escribe [g, S] ⊂ [g, C]
Teorema 13 El subconjunto S ⊂ C, con la operación g (del grupo) es un subgrupo si y sólo si x, z ∈ S ⇒ g(x, z′) ∈ S.
⁅Por una parte: Sea [g, S] un grupo. Entonces x, z ∈ S ⇒ x, z′ ∈ S ⇒ g(x, z′) ∈ S.
Por otra parte:
i) x ∈ S ⇒ e = g(x, x′) ∈ S (la identidad está en S)
ii) e, x ∈ S ⇒ x′ = g(e, x′) ∈ S (la inversa de un elemento de S está en S)
iii) x, z ∈ S ⇒ x, z′ ∈ S ⇒ g(x, z) = g(x, z′′) ∈ S (la operación es cerrada en S)
iv) La distributividad se cumple para 3 elementos cualesquiera de C . Luego S es un grupo⁆
Teorema 14 Todo grupo finito de N elementos es un subgrupo del grupo de permu-taciones PN
{Si para cada elemento z definimos la función fz tal que fz(x) = g(z, x), entonces fz
es invertible; es decir, es una permutación. Por otra parte, fw ◦ fz(x) = fw(fz(x)) =
ALGUNOS CASOS PARTICULARES
Sean A, B, C tres puntos equidistantes, fijos en el espacio; M es el baricen-tro del triángulo equilátero ABC. Sea EA una recta orientada, determinada por M y A, en el sentido de M hacia A. Análogamente definimos las rectas orientadas (ejes orientados) EB y EC. Además definimos el eje orientado EM, que pasa por M y es perpendicular al plano determinado por A, B y C, y en el sentido de avance de un tirabuzón que gira en el sentido ABC, como se muestra en el dibujo. Un eje que está desactivado es invisible; se vuelve visible al ser activado. A la derecha se muestra la Regla del Tirabuzón, que conecta el sentido de avance de un tirabuzón con el sentido de rotación del mismo.
EB EA EC EM M B A C
PARA EL TRIÁNGULO:
A
B
C
1
2
3
A
1
B
C
2
3
La celda ABC, fija en el espacio
Un tri´angulo equil´atero con
vertices 1 2 3
El tri´angulo 123, encajado en la celda ABC , en una de las
muchas maneras posibles
Existen 6 maneras cómo el triángulo 123 puede encajar en la celda ABC A B C 1 2 3 ! A B C 1 3 2 ! A B C 2 3 1 ! A B C 2 1 3 ! A B C 3 1 2 ! A B C 3 2 1 !
Lo que en forma simplificada escribiremos simplemente:
a[1 2 3] [1 3 2] [2 3 1] [2 1 3] [3 1 2] [3 2 1]
ATENCIÓN: Los elementos del grupo son las rotaciones. La celda y el triángulo son solamente objetos auxiliares para representar (los efectos de) las rotaciones.
OPERACIONES DE GRUPO: [las rotaciones serán orientadas según la Regla del Tirabuzón] Con X ∈ {A, B, C} diremos que RX es una rotación de 180° alrededor del eje EX. RM es una
rotación de 120° alrededor del eje EM. Con p, q, r, la igualdad RZ[p q r] = [s t u] significa que
al triángulo en la posición [p q r] se le ha aplicado una rotación RZ, como consecuencia de la
cual ha pasado a tomar la posición [s t u]. Por ejemplo RA[3 1 2] = [3 2 1], donde debe notarse
que el vértice 3, que ocupaba el punto fijo A, no ha cambiado su posición.
También RM[3 2 1] = [1 3 2]. Obsérvese que [1 3 2] = RM[3 2 1] = RM(RA[3 1 2]), lo cual
escribiremos, sencillamente, [1 3 2] = RM(RA[3 1 2]). Es decir, RXRYRZRW[3 2 1] significa que
al triángulo en la posición inicial [3 2 1] se le ha aplicado, primeramente la rotación RW, luego
RZ , luego RY , luego RX. Nótese que RA[p q r] = [p r q], RA(RA[p q r]) = RA[p r q]=[p q r]
o también R2
A[p q r] = [p q r]. Es decir, la operación R2A es una operación que no modifica la
posición del triángulo; por ello escribiremos R2
A = Y ≡ {operación identidad}. Análogamente
R2
B = R2C = Y .
Por otra parte RM[p q r] = [r p q], R2M[p q r] = [q r p], R3M[p q r] = [p q r] ⇒ R3M = Y . Como
ya hemos dicho, las rotaciones indicadas se realizan según la Regla del Tirabuzón; cuando deseemos realizar una rotación en sentido contrario al del tirabuzón escribiremos una tilde. Así RM indica una rotación de 120° alrededor del eje EM, en sentido antihorario; entonces R′M
también indicará una rotación de 120° alrededor del eje EM, pero en sentido horario; es decir,
RMR′M = Y , R′MRM = Y . De acuerdo con lo dicho tendremos que, por ejemplo, R′A = RA,
R′
M = RM2
Tabla de “Multiplicación”del Grupo Triangular
Y RA RB RC RM R2M RA Y RM R2M RB RC RB R2M Y RM RC RA RC RM RM2 Y RA RB RM RC RA RB R2M Y R2 M RB RC RA Y RM Los subgrupos: {Y ,RA}, {Y ,RB}, {Y ,RC}, {Y ,RM,R2M}
nn) Construir las diferentes equivalencias (ver 07.1) entre el grupo triangular y el grupo de permutaciones de 3 elementos.
PARA EL CUADRADO:
{Para distinguir mejor la operaciones construya, en cartulina, la figura correspondiente}
EA EV ED EH EM A D B C M 1 2 3 4
La celda cuadrada ABCD y los cinco ejes de rotación EA, EV, ED, EH, EM
con las ocho rotaciones: E[p q r s]=[p q r s] RA[p q r s]=[p s r q] RV[p q r s]=[s r q p] RD[p q r s]=[r q p s] RH[p q r s]=[q p s r] RM[p q r s]=[s p q r] R2 M[p q r s]=[r s p q] R3 M[p q r s]=[q r s p]
Tabla de “Multiplicación”del Grupo del Cuadrado
Y RA RV RD RH RM R2M R3M RA Y RM R2M R3M RV RD RH RV R3M Y RM R2M RD RH RA RD R2M R3M Y RM RH RA RV RH RM R2M R3M Y RA RV RD RM RH RA RV RD R2M R3M Y R2 M RD RH RA RV R3M Y RM R3 M RV RD RH RA Y RM R2M Los subgrupos: {Y ,RA}, {Y ,RV}, {Y ,RD}, {Y ,RH}, {Y ,RM,R2M,R3M}· · ·
Tabla de “Multiplicación”del Grupo del Tetraedro ABCD
.[Son 7 ejes de rotación: 4 pasando por cada vértice y el baricentro de la cara opuesta, más 3 que pasan por los puntos medios de dos aristas no concurrentes]
Y RA R2A RB R2B RC R2C RD R2D RAB RAC RAD Subgrupos: {Y , RA, R2A}, {Y , RB, R2B}, {Y , RC, R2C}, {Y , RD, R2D}, {I, RAB}, {Y , RAC}, {Y , RAD}
B
C
D
A
.Tabla de “Multiplicación”del Grupo del Cubo ABCDA′B′C′D′
Son 13 ejes: (3 perpendiculares a las caras) + (4 diagonales mayores) + (6 que conectan los centros de dos aristas opuestas), y 24 elementos.
RAC(90) RAB′(90) RAD′(90) 1 + 3 × 3 RAC′(120) RBD′(120) RCA′(120) RDB′(120) 4 × 2 RAB(180) RAD(180) RAA′(180) RBC(180) RBB′(180) RCD(180) 1 × 6
A
B
C
D
B
′
C
′
D
′
R
AC
R
DD
′
R
BD
′
.Cuerpos
• Llamados también Field(Inglés), Körper(Alemán)
• Un conjunto G y dos operaciones de grupo: una operación de “suma”, ⊕, y una
a operación de “producto”, ⊗.
• Propiedad distributiva.
• El cuerpo de los números reales.
• El cuerpo de los pares de números reales (⇔ cuerpo de los números complejos). • El sub-cuerpo de los pares con segunda componente nula (⇔ al cuerpo
a de los números reales).
• Representación geométrica de los números complejos. • Polígonos regulares en el Plano Complejo.
• Números complejos “rotantes” • La función exponencial compleja.
• Las ecuaciones zN1 + p = 0 y zN + p = 0
01) Sean (G, χ) un grupo con identidad e ; (G − {e}, η) un grupo con identidad u, donde χ, η, son las operaciones de grupo (usualmente llamadas suma y produc-to, respectivamente). Ahora, si para elementos cualesquiera x, y, z ∈ G se cumple la distributividad:
i) η(x, χ(z, w)) = χ(η(x, z), η(x, w)) ó x ⊗ (z ⊕ w) = (x ⊗ z) ⊕ (x ⊗ w) 47
ii) η(χ(x, z), w) = χ(η(x, w), η(z, w)) ó (x ⊕ z) ⊗ w = (x ⊗ w) ⊕ (z ⊗ w) Diremos que la terna (G, χ, η) es un cuerpo.
Ejemplos: (Q, +, ·), (R, +, ·), (Jp, +, ·), donde p es primo.
01.1) De esto: i) u · u = u ii) e · x + z = e · x + z · 1 x · x = (e + z · 1 x) · x = z · 1 x · x = z ⇒ e · x = e iii) u′· x = x′, pues x + u′· x = u · x + u′· x = (u + u′) · x = e · x = e iv) u′· u′ = u′′ = u
⁅Aquí se está usando “punto”y “cruz”en vez de ⊗ y ⊕, respectivamente⁆
02) Verifique que:
i) El conjunto de los números reales, R, con la operación de suma, (R, +), es un grupo.
ii) Que (R − {0}, ×) es también un grupo.
iii) Que se cumple la propiedad de distributividad.
⁅Entonces (R, +, ×) es un cuerpo⁆
02.1) Verfique que los pares ordenados de números reales [r, s], con la operación [r, s] ⊕ [u, v] = [r + u, s + v]
02.1)aconstituyen un grupo.
02.2) Verifique que el conjunto de los pares ordenados de números reales, excluyendo al par [0, 0], con la operación
[r, s] ⊗ [u, v] = [ru − sv, rv + su] también constituye un grupo.
⁅Identidad u = [1, 0]; inversa [p, q]′ = p p2+ q2, −q p2 + q2 . Para la asociatividad: ([p, q] ⊗ [r, s]) ⊗ [v, w] = [pr − qs, ps + qr] ⊗ [v, w] = [(pr − qs)v − (ps + qr)w, (pr − qs)w + (ps + qr)v] = [p(rv − sw) − q(rw + sv), p(rw + sv) + q(rv − sw)] = [p, q] ⊗ [rv − sw, rw + sv] = [p, q] ⊗ ([r, s][v, w]) ⁆
02.3) Si z es un par ordenado de números reales, definimos iterativamente z0 = u,
zn+1 = zn⊗ z, para n = 0, 1, 2, 3, · · ·
Verifique que:
i) .[p, q]2 = [p2− q2, 2pq]
.[p, q]3 = [p3− 3pq2, 3p2q − q3]
.[p, q]4 = [p4− 6p2q2+ q4, 4p3q − 4pq3]
ii) .[cos(θ), sen(θ)] ⊗ [cos(φ), sen(φ)] = [cos(θ + φ), sen(θ + φ)]
.[cos(θ), sen(θ)]N = [cos(Nθ), sen(Nθ)]
⁅Directamente se verifica que:
..[cos(θ), sen(θ)] ⊗ [cos(φ), sen(φ)] = [cos(θ + φ), sen(θ + φ)], entonces
..[cos(θ), sen(θ)]2 = [cos(θ), sen(θ)] ⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos(2θ), sen(2θ)]; así mismo
.[cos(θ), sen(θ)]3 = [cos(θ), sen(θ)]2⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos(2θ), sen(2θ)] ⊗ [cos(θ), sen(θ)]
= [cos(3θ), sen(3θ)] .
En general:
.[cos(θ), sen(θ)]n+1 = [cos(θ), sen(θ)]n⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos(nθ), sen(nθ)] ⊗ [cos(θ), sen(θ)] = [cos((n + 1)θ), sen((n + 1)θ)]
⇒ por inducción:
[cos(θ), sen(θ)]n = [cos(nθ), sen(nθ)]⁆
02.4) Verifique que, con las dos operaciones definidas para los pares ordenados, se cumplen las leyes de distributividad:
Z1⊗ (Z2⊕ Z3) = (Z1⊗ Z2) ⊕ (Z1⊗ Z3) (Z1⊕ Z2) ⊗ Z3 = (Z1⊗ Z3) ⊕ (Z2⊗ Z3)
Donde, por supuesto, los Zk son pares ordenados de números reales.
03) Dado un conjunto C y las dos operaciones ⊕ y ⊗, de manera que (C, ⊕) sea un grupo con identidad e, y también (C − {e}, ⊗) sea un grupo, con identidad u; y además se cumplan las dos leyes de distribución mostradas en 2.3, entonces diremos que (C, ⊕, ⊗, ecuaciones 02.3) es CUERPO (campo, field)
03.1) El conjunto de los pares ordenados de números reales, R2, con las dos
operacio-nes de grupo mencionadas en 02, cumple con las dos leyes de distribución; entonces (R2, ⊕, ⊗) es un cuerpo, se le conoce con el nombre de (Cuerpo de los) Números
Complejos
⁅Recordemos que la identidad aditiva es e = [0, 0], ¿Cómo son las componentes del par [a, b] tal que [a, b] = [0, 0]? Es decir, [a, b] = e; pero e es única, es decir, a = 0, b = 0. De aquí también obtenemos que [p, q] = [r, s] ⇒ p = r, q = s⁆
03.2) Dentro del cuerpo de los números complejos consideremos el subconjunto R1
de los números complejos de la forma [x, 0]. Verifique que (R1, ⊕, ⊗) es un cuerpo (un
subcuerpo del cuerpo de los números complejos)
⁅[x, 0] ⊕ [z, 0] = [x + z, 0] & [x, 0] ⊗ [z, 0] = [xz, 0]; es decir, en las operaciones in-terviene solamente la primera componente.⁆
03.3) Verifique que el conjunto de los números reales, con las operaciones de suma y producto, constituyen un cuerpo (Cuerpo de los Números Reales)
⁅Note que el cuerpo (R1, ⊕, ⊗) y el cuerpo (R, +, ×) de los reales se comportan
“igua-lito”, donde al par ordenado [x, 0] le corresponde el número real x⁆
03.4) En adelante simplificaremos la escritura
Z1⊕ Z2 ≡ Z1+ Z2 Z1⊗ Z2 ≡ Z1Z2
de manera que las igualdades anteriores se escribirán: i) [r, s] + [v, w] = [r + v, s + w]
ii) [r, s][v, w] = [rv − sw, rw + sv]
iii) Z1(Z2+ Z3) = (Z1Z2) + (Z1Z3) iv) (Z1+ Z2)Z3 = (Z1Z3) + (Z2Z3)
.
04) Sean los números complejos io ≡ [1, 0], i ≡ [0, 1]. Verifique que todo número
complejo Z = [v, w] se puede escribir como Z = io⊗ [v, 0] ⊕ i ⊗ [w, 0]; lo que también
podremos escribir simplemente Z = io[v, 0] + i[w, 0]
⁅io[p, q] = [p, q] , i[p, q] = [−q, p], [p, q] = [p, 0] + [0, q]⁆
05) En 03.2 hemos visto que los números complejos de la forma [x, 0] constituyen un cuerpo. Este cuerpo es totalmente equivalente al cuerpo de los números reales. Por ello se los identifica: [x, 0] ≡ x. Ahora, todo número complejo Z = [v, w], podrá escribirse como Z = iov + iw ó, teniendo presente la identificación io = 1, simplemente
