PROYECTO FINAL ALGEBRA LINEAL Nestor muñoz

Instituto Tecnológico de Tijuana

Algebra Lineal

Dra. Marisela Castillo López

“Proyecto Final”

Mu

ñoz Ramírez Néstor Armando.

14210685.

Ingeniería Civil

Transformaciones lineales.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

T (u + v) = T (u) + T (v)

T(c u) = c T (u)

Introducción a las transformaciones lineales.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Núcleo e imagen de una transformación lineal.

Problema:

Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal

Solución:

Como tenemos que

Reemplazando

Imagen de una transformación lineal.

Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal , esto es como el conjunto de los vectores que tienen al menos una pre imagen.

Problema

:Dada la transformación lineal

Determinar la imagen de

Solución:

Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen pre imagen.

Para ello, sean tales que

T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)

Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

luego, un vector tiene pre imagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto,

Im(T) = {(a;b;c) /((x;y;z) ((T(x;y;z)=(a;b;c)) = {(a;b;c) /a-b-c=0}

= <(1;1;0);(1;0;1)>:

La matriz de una transformación lineal

Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal

Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax

Sea una base de V. Entonces todo vector v en V esta determinado de manera ¨ nica por los coeficientes en : Si f : V ¡ú W es una transformación lineal, lo cual implica que esto completamente determinada por los valores.

Ahora es una base de W.

Entonces la función F está enteramente determinada por los valores ai,j.. Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la base canoníca.

Aplicaciones de las transformaciones lineales: Reflexión,

Dilatación, Contracción, y Rotación.

Reflexión

Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano.

Rotación

Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en

torno a cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las

rotaciones en torno al origen. Rotación en el plano: La

transformación

����

:

��

2→

��

2 se define por

y hace girar cada vector,

θ

rad en sentido contrario al de las manecillas

del reloj en torno al origen.

Por ejemplo, calcularemos la imagen de (1,1) para

�

��=��/2

.

Rotación en torno al origen

Contracción.

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Dilatación.

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias. 1

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical A  0

0

cuando K=2 k

VA  2 4 1 0 2 8 0 2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

Aplicaciones.

Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están dados en gramos por la siguiente matriz:

dado que x=(x1¦(x2@x3)) represente el vector producción, donde x1, x2, x3

representan el número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo respectivamente, que se publican. La transformación lineal T: R3 → R2 definida por T(x) = Ax nos da el vector ((y1@y2)) donde y1 representa la cantidad total de papel requerido y y2 la cantidad de material para la cubierta. Suponga que

x=((1000@700@200))

Problema:

Dada la transformación lineal

Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio. Solución:

Sean las bases canónicas de

, respectivamente. Calculemos T (1; 0; 0) = (5; 1)

T (0; 1; 0) = (-2; 4)

T (0; 0; 1) = (3;-2)

Y escribamos cada vector en combinación lineal de la base (5; 1) = 5(1; 0)+1(0; 1)

(-2; 4) = -2(1; 0)+4(0; 1)

(3;-2) = 3(1; 0)-2(0; 1)

Problema:

Dada la transformación lineal

Determinar , donde

Solución:

Para determinar la matriz asociada a en la base canónica, primero calculemos F (1; 0) = (3; 1)

F (0; 1) = (2;-4)

Ahora expresemos cada vector como combinación lineal de los elementos de la base

(3; 1) = 3(1; 0)+1(0; 1)

(2;-4)= 2(1; 0)-4(0; 1)

CONCLUSIÓN

A través de este trabajo puedo concluir que se ha ido viendo un amplio número de teoremas y propiedades que son indispensables para el cálculo de muchos problemas que se nos presenten a futuro en la carrera de ingeniería civil.

. Bibliografí

a

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ml

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